Содержание к диссертации
Введение
1 Динамическое нарушение и восстановление киральной и цветовой симметрии в статической Вселенной Эйнштейна 13
1.1 Введение 13
1.2 Расширенная НИЛ-модель в искривленном пространстве . 14
1.3 Эффективное действие 16
1.3.1 Случай статической метрики 19
1.4 Собственные функции и собственные значения 20
1.4.1 Собственные функции и собственные значения оператора Дирака на сфере 20
1.4.2 Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в пространстве Эйнштейна . 28
1.5 Термодинамический потенциал 32
1.5.1 Регуляризованный термодинамический потенциал . 35
1.6 Фазовые переходы 36
1.6.1 Фазовые переходы при нулевой температуре 37
1.6.2 Фазовые переходы при ненулевой температуре 41
1.7 Выводы 42
2 Пионная конденсация в изотопически асимметричной кварковой среде в пространстве Эйнштейна 44
2.1 Введение 44
2.2 Расширенная модель Гросса-Невё и эффективный потенциал 46
2.3 Пионная конденсация при /л = 0, 5ji ф 0 50
2.4 Пионная конденсация в пространстве R
2.4.1 Случай периодических граничных условий 52
2.4.2 Случай антипериодических граничных условий . 54
2.5 Изотопически асимметричная НЙЛ-модель и эффективное действие 56
2.6 Термодинамический потенциал 58
2.6.1 Регуляризация 61
2.7 Пионная конденсация в пространстве R
2.7.1 Нулевая температура 63
2.7.2 Конечная температура 66
2.8 Выводы 67
3 Гравитационный катализ динамического нарушения киральной и цветовой симметрии в статическом гиперболическом пространстве 69
3.1 Введение 69
3.2 Модель 70
3.3 Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в статическом гиперболическом пространстве . 72
3.4 Термодинамический потенциал 75
3.5 Аналитические решения 79
3.5.1 Киральный конденсат 79
3.5.2 Киральный и цветовой конденсаты 83
3.6 Фазовые переходы 88
3.7 Выводы 91
Заключение 93
Приложение 97
- Расширенная НИЛ-модель в искривленном пространстве
- Расширенная модель Гросса-Невё и эффективный потенциал
- Изотопически асимметричная НЙЛ-модель и эффективное действие
- Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в статическом гиперболическом пространстве
Введение к работе
Актуальность темы
Описание свойств кварковой материи является важнейшей задачей квантовой хромодинамики (КХД) - фундаментальной теории сильных взаимодействий. КХД является неабелевой калибровочной теорией, основанной на цветовой группе SUC(3), в рамках которой взаимодействие между кварками осуществляется по средствам обмена глюонами. Одним из замечательных свойств КХД является асимптотическая свобода - стремление к нулю инвариантного заряда при больших передаваемых импульсах. Это приводит к тому, что при больших энергиях кварки ведут себя как почти свободные частицы, поэтому для описания их взаимодействий можно использовать теорию возмущений. Однако, при уменьшении энергии эффективная константа связи растет, что делает теорию возмущений неприменимой в инфракрасной области. Поэтому для описания физики низких энергий требуется применение существенно непертурбативных методов, например, вычислений на решетках или использования различных эффективных моделей.
В настоящее время одной из наиболее распространенных эффективных теорий КХД является модель Намбу—Йона-Лазинио (НИЛ), основанная на механизме динамического нарушения симметрии. НИЛ-модель является релятивистской квантовой теорией поля с точечным четырехфермионным взаимодействием и может рассматриваться как низкоэнергетический предел КХД. Поскольку лагранжианы НИЛ и КХД имеют одну и ту же группу симметрии, модель может быть использована для изучения свойств непер-турбативного вакуума КХД, в частности под влиянием различных внешних условий, таких как температура и химический потенциал (ненулевая плотность барионов). Роль НИЛ-модели особенно возрастает при изучении плотной кварковой среды, поскольку при ненулевом химпотенциале становится затруднительным использование численных решеточных методов КХД. Модель НИЛ также с успехом применяется для изучения динамического нарушения симметрии под влиянием внешних электромагнитных полей.
В то же время для различных космологических и астрофизических приложений большой интерес представляет исследование влияния кривизны пространства-времени на динамическое нарушение симметрии. Одним из распространенных методов учета эффектов гравитации является адиабатическое разложение функции Грина в окрестности фиксированной точки пространства-времени по степеням малой кривизны. Однако, вблизи точки фазового перехода нельзя считать критическое значение кривизны Rc ма-
лой величиной. Поэтому для рассмотрения динамического нарушения симметрии в искривленном пространстве-времени необходимо использование точных по кривизне решений с конечным Rc. Однако, точные решения могут быть получены лишь в ограниченном ряде случаев, когда пространство обладает достаточно широкой группой симметрии. В частности, сюда относятся случаи статических однородных изотропных пространств, а именно статической Вселенной Эйнштейна и статического гиперболического пространства, обладающих соответственно постоянной положительной и отрицательной кривизной.
Целью диссертационной работы является точный учет влияния фоновой гравитации, а также химпотенциала и температуры на динамическое нарушение и восстановление киральной, изоспиновой и цветовой симметрии в плотной кварковой среде в рамках расширенной эффективной модели Намбу—Йона-Лазинио с различными четырехфермионными взаимодействиями в статической Вселенной Эйнштейна и статическом гиперболическом пространстве.
Научная новизна
Исследовано влияние внешних гравитационных полей на образование цветовой сверхпроводимости в плотной кварковой среде на примере статической Вселенной Эйнштейна и статического гиперболического пространства.
Изучен эффект конечного объема пространства на пионную конденсацию в изотопически асимметричной кварковой материи в замкнутой Вселенной Эйнштейна в рамках четырехмерной модели Намбу-Йона-Лазинио, а также двумерной модели Гросса-Невё с компактифицированной пространственной координатой.
Рассмотрено совместное влияние кривизны пространства, химпотенциала и температуры на фазовые переходы с образованием кваркового, дикваркового и пионного конденсатов.
Исследован эффект катализа динамического нарушения киральной и цветовой симметрии в сильном гравитационным поле статического гиперболического пространства.
Научная и практическая значимость работы
Результаты диссертации могут быть использованы для исследования структуры вакуума квантовой хромодинамики в сильных гравитационных полях, а также в различных космологических или астрофизических приложениях, в частности для изучения свойств кварковои материи в ядрах компактных астрофизических объектов, таких как нейтронные звезды.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007" (Москва, 2007); на международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 2007); на международной конференции по квантовой теории поля под влиянием внешних условий (QFEXT'07) (Лейпциг, Германия, 2007); на научной конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (Москва, 2007); на международной конференции по избранным вопросам современной теоретической физики (SPMTP 08) (Дубна, 2008); на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2009); на международной конференции "Калибровочные поля. Вчера, сегодня, завтра" (Москва, 2010).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, включающего 145 наименований. Объем диссертации составляет 115 страниц. Диссертация содержит 31 рисунок.
Расширенная НИЛ-модель в искривленном пространстве
Прежде чем непосредственно перейти к модели НИЛ необходимо обобщить понятие спинора на искривленное пространство. Как известно, определение спинора в искривленном пространстве связано с представлением локальной группы Лоренца, осуществляющей повороты базиса тетрад в касательном пространстве. Тогда с использованием тетрадного формализма линейный элемент длины запишется в виде Приведем для справки необходимые определения гамма-матриц в искривленном пространстве 7/« тетрад ё а, а также спинорной ковариантной производной V„ и коэффициентов спинорной связности Леви-Чивиты си"ь [87,98,99]: Здесь индекс а относится к плоскому касательному пространству в точке х, а 7а (а = 0,1,2,3) являются обычными, гамма-матрицами в пространстве Минковского. Очевидно, что определения (1.1) и (1.2) могут быть обобщены на случай любого числа измерений !). Поэтому для общности мы будем проводить все вычисления для произвольного D. При этом необходимо уточнить, что понимается под киральной симметрией. Как известно, киральная симметрия связана со свойствами представления алгебры Клиффорда [100]. В пространстве четного числа измерений представление гамма-матриц является приводимым, поэтому соответствующие дираковские спиноры могут быть разбиты на два вейлевских. Матрица jD+1 = 70.. -lD l, антикоммутирующая со всеми остальными матрицами, является обобщением 75 на случай четного числа измерений D. В пространстве нечетного числа измерений существует два различных представления алгебра Клиффорда, которые отличаются друг от друга лишь знаком. В этом случае матрица jD+1 является единичной, поскольку коммутирует со всеми образующими алгебры. Поэтому, для того чтобы определить киральную симметрию, необходимо использовать приводимое представление алгебры Клиффорда [64,101]. В дальнейшем мы будем понимать киральную симметрию именно в этом смысле. В обоих случаях матрица 75 определяется также как в плоском пространстве и потому не зависит от пространственно-временных координат (при D = 4 см. например [87]). Одной из простейших теорий, демонстрирующих образование цвето-вой сверхпроводящей фазы, является расширенная модель НИЛ с верхними и нижними кварками. Как известно, такая модель может быть получена как низкоэнергетический предел КХД. Для цветовой группы SU(3)C ее лагран жиан имеет вид G (1.3)
Здесь fj, - кварковый химический потенциал; qc — Cqb, qc = qlC есть зарядово-сопряженные биспиноры (t означает транспонирование). При D — 4 операция зарядового сопряжения определяется как обычно (см. например [87]), с помощью оператора С = г727э гДе используются плоские !В данной работе рассматривается наиболее реалистический случай Nc = 3. Общий случай произвольного Nc обсуждался в работе [13] в связи с эффективными теориями КХД. В дальнейшем, однако, для общности мы сохраним обозначение Nc для числа цветов. матрицы 72 и 7. Лагранжиан также инвариантен относительно киральной группы 517/,(2) х 517ft(2). В трех измерениях лагранжиан (1.3) рассматривался в работе [71]. Кварковое поле q = qla является дублетом ароматов и цветовым триплетом с индексами і = 1,2; а = 1,2,3. Через т = (т1,т2,тъ) обозначены матрицы Паули в пространстве ароматов; (є)гк = єгк, (еь)а0 = еа0Ь есть полностью антисимметричные тензоры в флейворном и цветовом пространствах соответственно. ПрИМеНЯЯ Процедуру боЗОНИЗаЦИИ И ВВОДЯ КОЛЛеКТИВНЫе ПОЛЯ (7, 7Г и А, мы получим линеаризованную версию лагранжиана (1.3) С = ї[і + »7}q - q(a + І75ттт) q - {а2 + тт2) - -Л ЬЛЬ - A [iq Cee q] - Ab [iqee Cq1] . (1.4) Легко видеть, что лагранжианы (1.3) и (1.4) эквивалентны на уравнениях Эйлера-Лагранжа для вспомогательных бозонных полей Аь = _9± iqtC6b7bqj a=- qq, =- #7. (1.5) Из (1.5) видно, что поля a and 7г являются цветовыми синглетами, а поле А6 - цветовым антитриплетом и синглетом по ароматам. Следовательно, если в результате взаимодействия поле а приобретает ненулевое вакуумное среднее (а) ф 0, то киральная симметрия оказывается динамически нарушенной, а если (Дь) ф 0, то нарушается цветовая симметрия. 1.3. Эффективное действие Производящий функционал теории записывается в виде [72] Z = [[dq][dq][dcr][dJr][dA b][dAb] exp j і f dDx gc\, (1.6) где g = det . Далее будем рассматривать эффективное действие для бозонных полей, которое получается в результате интегрирования по квар-ковым полям ехр { г5еЯ( 7, тг, Аь, А 6)} - N f[dq][dq]expL J dDXy/=g\, (1.7) где 3(сг2 + 7?2) ЗДЬД Ь + 5-,, (1.8) SeS(a,iT,Ab,A ) = -JdDx 9 2G\ G2 N - нормировочный множитель. Вклад кварковых полей в эффективное действие определяется следующим выражением Zq = eiS" = N exp ( і / дРху/ д q (27м Vм — а — і 5ттт + /ry) Q -q(iAbsebYC) q4 - ql (іА Сєє 5) q (1.9) Представим бозонные поля в виде суммы их среднего по вакууму и флуктуации относительно этого среднего: а{х) = (а) + &( ), тг(я;) = (тг + Цх), Аъ(х) = (Дь) + А6(а;). Для вычисления эффективного действия будем использовать приближение среднего поля, согласно которому поля а, тт, А6, А ь заменяются на их средние по вакууму значения {а}, (тт), {А6} и (Д ь) соответственно. В случае однородных пространств, к которым относится Вселенная Эйнштейна, вакуумное среднее не зависит от координат, а вся зависимость сосредоточена во флуктуациях. Таким образом вакуумные средние являются свободными параметрами, которые могут быть выбраны в наиболее удобной форме. Выберем основное состояние нашей модели в виде: (А1) = (А2) = (тт) = О а (сг), (А3) ф 0 обозначим буквами а, А. Очевидно, что такой выбор основного состояния нарушает цветовую симметрию до остаточной цветовой группы SUC(2). Вычислим эффективный потенциал нашей модели, глобальный минимум которого определяет величины сг и А. По определению
Расширенная модель Гросса-Невё и эффективный потенциал
Рассмотрим двумерную модель, которая описывает плотную кварковую среду с двумя безмассовыми ароматами кварков (г - и d- кварки). Её лагранжиан имеет вид где кварковые поля q{x) = qta{x) являются дублетом ароматов (і = 1,2) и JVc-плетом цветов (а = 1,..., Nc), а также двухкомпонентным дираковским спинором (в (2.1) предполагается сумма по ароматовым, цветовым и спи-норным.индексам); тг (г = 1, 2,3) - матрицы Паули. Для описания плотной кварковой материи мы ввели /І = Цв/З в (2.1) в качестве кваркового химпо-тенциала. Поскольку третья компонента генератора изоспина /з равна тз/2, величина 8fi в (2.1) есть половина изоспинового химического потенциала, Sfj, = fij/2, и описывает разную плотность и- и d-кварков. При 5pi = 0 помимо очевидной цветовой симметрии SU(3)с лагранжиан (2.1) инвариантен относительно киральной группы SUL{2) Х SUR(2). Однако, при 6}і Ф 0 эта симметрия сводится к подгруппе UI3L(1) х UI3R(1) (здесь и ниже индексы L,R означают, что соответствующие группы действуют только на левые, правые спиноры соответственно). Эту симметрию удобно представить в виде Ui3(l) х UAI3{1), где Ui3(l) и UAI3{1) являются изоспиновой и аксиальной изоспиновой подгруппами киральной группы SUL{2) X SUR{2). Преобразование кварков под действием этих подгрупп выглядит следующим образом где а, « -являются независимыми групповыми параметрами. Линеаризованный лагранжиан (2.1), содержащий коллективные бозонные поля т(х) и 7Г/;(ж) [к = 1,2,3), имеет вид С = q [vfdu + М70 + $№1 -о- і ттт] q- [v2 + Я2] . (2.3) 4Cr Из лагранжиана (2.3) следуют уравнения связей для бозонных полей а(х) = -2 ( ), (х) = -2 (gry5fg). (2.4) Из этих соотношений видно, что под действием изоспинового С//а(1) и аксиального изоспинового UAI3{1) преобразований (2.2) бозонные поля (2.4) изменяются следующим образом: UhW : а - - т, 7Г1 7Г3 - - тгз, 7Г2 иАФ) 7Гі - - 7ГЬ а 7Г2 - - 7Г2, Щ » cos(2a)7Ti + sin(2a)7T2, cos(2o;)7r2 — эт а:)- ; cos(2cn )a + sin a ) , cos(2a )7T3 — 8Іп(2а )(Т. (2.5) (2.6) В ведущем порядке разложения при больших Nc эффективное действие для бозонных полей выражается через интеграл по кварковым полям: exp(iSes(cr, тг)) = N / [с ][ ід] ехр ( г / d2x С (2.7) а2 + 7г21 4G где (2.8) + eff, SeS(a,7v) = -Nc / d2x N - постоянная нормировки. Кварковый вклад в эффективное действие 5eff в (2.8) равен: ехр(гЗД = W f[dq][dq] ехр U А Лg g J = [det D]Nc. (2.9) Здесь было использовано обозначение V = D g 1с, где 1с - единичный оператор в iVc-мерном цветовом пространстве и D = + /І7 + т37 - о- - ry57fr. (2.10) Оператор Дирака D действует в координатном, спинорном и флейворном пространствах. Используя общую формулу In Det D — Trlii, получим эффективное действие в следующем виде " т2 + А2"1 (2.11) -iNcTr]n.D, AG SeS(a,w) = -Nc d2x где операция Tr берется по спинорному, флейворному и двумерному координатному пространствам. Используя (2.11), введем эффективный потенциал системы: где сг и if не зависят от координат, операция tr берется только по спи-норным и флейв этих подгрупп выглядит следующим образом где а, « -являются независимыми групповыми параметрами.
Линеаризованный лагранжиан (2.1), содержащий коллективные бозонные поля т(х) и 7Г/;(ж) [к = 1,2,3), имеет вид С = q [vfdu + М70 + $№1 -о- і ттт] q- [v2 + Я2] . (2.3) 4Cr Из лагранжиана (2.3) следуют уравнения связей для бозонных полей а(х) = -2 ( ), (х) = -2 (gry5fg). (2.4) Из этих соотношений видно, что под действием изоспинового С//а(1) и аксиального изоспинового UAI3{1) преобразований (2.2) бозонные поля (2.4) изменяются следующим образом: UhW : а - - т, 7Г1 а:)- ; cos(2cn )a + sin a ) , cos(2a )7T3 — 8Іп(2а )(Т. (2.5) (2.6) В ведущем порядке разложения при больших Nc эффективное действие для бозонных полей выражается через интеграл по кварковым полям: exp(iSes(cr, тг)) = N / [с ][ ід] ехр ( г / d2x С (2.7) а2 + 7г21 4G где (2.8) + eff, SeS(a,7v) = -Nc / d2x N - постоянная нормировки. Кварковый вклад в эффективное действие 5eff в (2.8) равен: ехр(гЗД = W f[dq][dq] ехр U А Лg g J = [det D]Nc. (2.9) Здесь было использовано обозначение V = D g 1с, где 1с - единичный оператор в iVc-мерном цветовом пространстве и D = + /І7 + т37 - о- - ry57fr. (2.10) Оператор Дирака D действует в координатном, спинорном и флейворном пространствах. Используя общую орным индексам, а оператор в круглых скобках, D, является импульсным представлением оператора Дирака D. Очевидно, что trln. = lne,, Где иДет суммирование по всем собственным значениям вг 4 х 4 матрицы D: (2.15) Эффективный потенциал Г Дсг, 7г) симметричен относительно замен ДІ — —JJL и 5р; — бц. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением области /х 0, dfi 0. В этом случае в (2.15) можно проинтегрировать по ро, используя формулу / 1п[(Ро + а)2 -Ъ2] = l-{\a-b\ + \a + b\} , (2.16) которая справедлива с точностью до бесконечной константы, независящей от а и Ъ. Тогда получим
Изотопически асимметричная НЙЛ-модель и эффективное действие
Рассмотрим обобщение модели (2.1) на случай четырехмерного искривленного пространства. По-прежнему будем рассматривать изотопически асимметричную кварковую материю, но учтем наличие массу у кварков. Тогда лагранжиан будет иметь следующий вид: - ,5- \2 А? = Я iY v — т + /J,J + - 7іТз7 q + G (qq) +{qirrq) (2.42) где m - токовая масса кварков. Как и в предыдущей главе гамма-матрицы, спинорная связность и ковариантная производная Vj, определяются по фор мулам (1.1) и (1.2). При т = О лагранжиан очевидно обладает теми же симметриями, что (2.1). При ненулевой голой массе кварков, т = 0, и ненулевом изотопическом химпотенциале, 5/л ф 0, лагранжиан (2.42) остается инвариантным относительно изоспиновой подгруппы Ui3(l), но инвариантность относительно подгруппы UAI3(1) нарушается. Линеаризованный лагранжиан (2.42), содержащий коллективные бо-зонные поля а(х) и Trk(x) (к = 1, 2,3), имеет вид С = q [vfVv + 7 + №7 - (J - m - і тгт] q - - [а2 + тг2] . (2.43) L J 4G J Из лагранжиана (2.43) следуют уравнения связей для бозонных полей В приближении среднего поля эффективное действие для бозонных полей выражается через интеграл по кварковым полям: 5rfF(cr, 7г) = - / d xy/ g G iV7 - постоянная нормировки. Кварковый вклад в эффективное действие 5ея в (2.46) равен: exp(iSeff) = N [dq}[dq] exp f г / d4Xy/ gqDq j = det D. (2.47) Здесь мы использовали следующее обозначение V = fy" V„ + Д7 + fy"37 - сг - m - г757гг. (2.48) Оператор V действует в координатном, спинорном и флейворном пространствах. Кроме того, он пропорционален единичному оператору в 1с в цветовом пространстве.
Поэтому он может быть представлен в виде прямого произведения операторов в флейворном и цветовом пространствах в следующем матричном виде: V = \ А В J 8 1с s D 0 1с, (2.49) В А где операторы А, А, В, В действуют только в координатном и спинорном пространствах, и A = vfVv + ( + 5д)7 -а — т — ry57r3, A = iY v + (А - А07 - о- - т + г757г3, В = ij5(iri - г7г2), В = ij5(-Ki + г7г2). (2.50) Благодаря тривиальной цветовой структуре, из (2.49) следует, что det = (detZT)3. (2.51) Теперь предположим, что тгз = 7Г2 = 0, a ex и 7Гі не зависят от координат1. Для удобства в дальнейшем мы обозначим пионный конденсат 7Гі через А. Тогда, используя общую формулу det ( _ В ) = detl-BB + BAB-1 А] = det[AA- ABA-1 В], (2.52) получим 5eff(cj,A) =: -Jd xV Зі In det D У + Д21 4G S -П(". ".ад/Л , (2.53) где мы ввели термодинамический потенциал Г2(сг, A; , 5ц) системы при нулевой температуре и det D = det J А2 + Нт - (/І + fy)7 - сг - m] х [г7 ,-г-(Аг- /і)7- -Н} (2-54) 2.6. Термодинамический потенциал Элемент длины в 4-мерной статической Вселенной Эйнштейна выглядит следующим образом: ds2 = giu/(x)dx,idxv = dt2 - a2(dx2 + sin2 X(d92 + sin2 9dip2)), (2.55) 1Для того чтобы оправдать это предположение, рассмотрим для простоты случай т = 0. Если поля сг, Жк не зависят от координат, тогда эффективное действие будет функцией инвариантов а2 + 7г и тг + -к\ (это следует из симметрии модели относительно преобразований (2.6)). Следовательно, без ограничения общНОСТИ МОЖНО ПОЛОЖИТЬ 7Гз = 7Г2 = 0. где а - радиус Вселенной, связанный со скалярной кривизной соотношением R = 6/а2; -оо оо, 0 х 7г, 0 9 тт, 0 р 2тт. Ясно, что 7 в этом случае антикоммутирует со всеми jk(x) и коммутирует со всеми Vv, где v = 0,1, 2,3 и к = 1, 2,3. Кроме того, Vo = до-
Поэтому, переписывая (2.54), получим (и = 0,1, 2,3;к,1 = 1, 2, 3): detD = det{A2 + a?-2z 90- 2 + 7&VA;VVz + 2 +((7 + m)2 - 2сЗДг 7 VVfc -((7 + m)7]}- (2.56) Обозначим po = ідо и ТС = —i l k + ((7 + 771)7 Очевидно, что 72 = 7fcVA,7 \7/ __ __ т Поэтому из (2.56) имеем: det D = det 6, 6 = А2 - (ро + A )2 + (7 - )2. (2.57) Очевидно, что оператор ІЇ является одночастичным оператором Гамильтона, введенным нами в предыдущей главе. Поэтому его собственные значения даются формулами (1.90)и (1.91), а кратности их вырождения формулой (1.98) при N = 3: # &.( ) = ss.i&L( ). с-58 где є = ±, и 1. 3. ип= -(п+-), а 2 п = 0,1,2.... Я„ = Vw2 + (Ж + (7)2, (2.59) dn = 2(n+l)(n + 2), Выберем в гильбертовом пространстве базис из функций Ф/г(, х) — e ipoti/) llTn(x), где — оо ро со- Поскольку каждый элемент базиса Фд;(, ж) является одновременно собственной функцией операторов ро и 7 то оператор О в (2.57) будет диагоналей в этом базисе, то есть каждая Ф (і, х) является собственной функцией О. Соответствующие собственные значения 8ЄПро оператора О равны 8про = А2 - (ро + /а)2 + (еЕп + ад2. (2.60) Ясно, что собственные значения Епро имеют кратность вырождения dn. Подставляя в (2.53) соотношение (2.57) и учитывая формулу Det О = exp Tr In О, получим Г .2 5efif(cr, Д) + / d xyf-g a1 + А = -ЗгТгІпО = -ЗгТ / nln [Д2 - (ро + )2 + (Єп + ад2] . (2.61) ЄП Здесь J cftxy/ g = V"T, где Т = J dt обозначает временной интервал и V — 2тг2а3 - объем Вселенной Эйнштейна (см. формулу (1.85) при D = 4). Используя (2.61), получим выражение для термодинамического потенциала при нулевой температуре а2 + А2 Зг f dp0 Q(a,A ,fj,,Sfj,) = + V I 2тт 4G ]Г dn{ In [А2 - (ро + М)2 + (Я„ - )2] п=0 + \п[А2 - (Ро + ц)2 + (Еп + д(і)2]}. (2.62) Для того чтобы получить термодинамический потенциал 1(а, Д; /U, fyt, Т) при конечной температуре Г, следует перейти от интегрирования по ро к суммированию по мацубаровским частотам. Выполняя суммирование с помощью формулы (1.115), получим 72+Д2 3 4G П(а, Д; /І, ад Г) = 71=0 ЗГ "к зт оо f] d„ {in [і + е-/ +)+м) j + in [і + е- +)-м)] } (2 63) п=0 оо dn {in [і + е-Я +гі] + In [і + е- " -")] } п=0 (±) _ ще ±j = V (#„ ± ад2 + Д2 и /? = 1/Г. Видно, что функция fi((j, Д; /л, dfi, Т) симметрична по отношению к заменам /І — —/І ИЛИ $// — —5/LL. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением неотрицательных значений химпотенциалов, /І 0, S/л 0. Далее мы рассмотрим лишь случай ненулевого изо спинового химпо-тенциала 5ц ф 0, положив барионный химпотенциал равным нулю, /І — 0, поскольку его наличие не слишком важно для наших целей. Из формулы
Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в статическом гиперболическом пространстве
Для нахождения эффективного действия необходимо решить задачу на собственные значения для оператора Гамильтона в гиперболическом пространстве Разбивая спинор ф на верхние и нижние компоненты и используя формулы из приложения А.2 для стандартного представления гамма-матриц, получим систему где через V здесь обозначен оператор Дирака на гиперболоиде единичного радиуса. Для общности мы рассмотрим случай iV-мерного гиперболоида, где N будем считать нечетным, с метрикой где dsjy - метрика на единичной сфере SN l. Заметим, что метрика (3.10) отличается от сферической метрики (1.28) видом функции f(9) и может быть получена из нее с помощью аналитического продолжения в — 19. Выражения для коэффициентов связности в метрике (3.10) могут быть получены по общим формулам (1.32), полагая в них f(9) = sinh 9. Аналогично выражение для оператора Дирака на гиперболоиде HN может быть получено из оператора Дирака на сфере путем замены тригонометрических функций на соответствующие гиперболические. Для нечетного числа измерений имеем где V по-прежнему обозначает оператор Дирака на единичной сфере S -1. Выражая ф\ из первого уравнения (3.9) и подставляя во второе, с использованием (3.11) получим Можно показать, что его решением являются полиномы Якобы мнимого порядка где мы ввели г = ау/Х2 — с2. Используя связь полиномов Якоби с гипергеометрическими функциями (1.54), получим М9) = (sinh )m(cosh 9-)lF(ir +1 + , -ir +1 + j, I + + 1, - sinh2 ). (3.18) Действуя аналогично для функции /г (#), получим МЄ) = (sinh (со8Ь?),+1 (іг+і+у,-гг+г+у,/+у,- sinh2 ). (3.19) В таком виде функции Дг совпадают с полученными в работе [100]. Тогда фі находится из первого уравнения системы (3.9). Используя формулы повышения и понижения, получим решение системы (3.9) в виде и ф г1т \ л(в) (п) ; ( } Соответствующие собственные значения оператора
Гамильтона равны: Нормируем спиноры согласно условию: Воспользуемся тем фактом, что произведение функций /i,2(0) выражается через производную их вронскиана. Тогда получим следующее соотношение Поэтому для вычисления коэффициента нормировки необходимо найти асимптотики функций /1,2( ) на бесконечности. Это может быть легко сделано с помощью формулы Учитывая, что Нтг 0 F(a, (3,7, z) = 1, получим при 9 —» оо где Отсюда следует, что волновые функции являются ограниченными на бесконечности, только если г - действительное. Поэтому из (3.22) следует, что А а. Учитывая все вышесказанное, а также то, что спиноры X/m ( ) на сФе" ре 5 -1 уже нормированы, получим сМ = Q(r)- 2 /ЛТ7 И 1-1 1/2 а /2 V 2Л ,J j где Сдг = -. Аналогичные результаты были получены в работах [143] и [91]. Определим для дальнейшего плотность собственных значений Дл ( ) по формуле X L(9,n)ty l№n) = 2 м(г). (3.31) sim Поскольку пространство HN однородно, сумма в левой (3.31) части не зависит от точки пространства и может быть вычислена при (9 = 0. При этом в сумме остаются только члены с I = 0, так как /i(0) = 0 V I, а /2(0) = 1 при I = 0. Поэтому имеем »(» П Чй»( .П) = 4с СЬ(г)-"х&(П) Х&(П). (3.32) / a Используя тождество (1.97), получим Wr) = "Ш FT" (3-33) 1 CN\CQ{r)\-2 aN nN_ Окончательное выражение для плотности собственных значений в пространстве HN имеет вид Mr) = jf yW)!- - (3.34) 3.4. Термодинамический потенциал Используем результаты, полученные в предыдущем разделе, для вычисления кваркового вклада Sq в эффективное действие. Для этого преобразуем первый детерминант: InDet Н2-(ро + »)2 = Trln H2-{p0 + fi) (3.35) Nf f dNx dt g tr( t\ ln[7? - (p0 + A )2] ) Используем в качестве базиса функции fk(t,x) = е %PatW ninS ) которые являются собственными функциями операторов їи PQ. Тогда tr{x,t\ln H2-{p0 + fi)2] \x,t) (3.36) є=± slm Используя определение (3.31) плотности собственных значений, получим =/ ГdT Е Е1п К )2 - о + )2] Ф±Ш±М. Trln П2 - (ро + vN JZf fdr Mr) In [(eErf - (pQ + M)2] , (3.37) где v - пространственновременной объем R HN, и Nf — 2 - число ароматов. Второй член в Sq дает InDet 4\A\2 + (Hf-Pl 4\А\ + (Н - и,)2 - % = Trln = vNftf1 Е / 5 Г М ) 1" [41ДIа + (Er + mf - pi] (3.38) Тогда кварковый вклад в эффективный потенциал запишется в виде = o /2 "E є=± Гг Sq І JV=1 Kpff = V 2тг dr (r) {in [(r + e\if - pi] + 21n[4A2 + ( + )2- ]}. (3.39) При конечной температуре T — I/ft 0 нужно сделать следующие замены: Фо 2тг ft ft ("")-" дЕ ") о- г п, п = —(п + -), те = 0,±1±2,.. п где u;n - мацубаровская частота. Тогда получим кварковый вклад термодинамический потенциал: Nf + 2/? п=—ОО Є=± а J2J2jdr w {1п [(Яг+ )2+w9 +21п[4Д2 + (, + єм)2 + і} (3.40) Суммируя по мацубаровским частотам, получим термодинамический потенциал: ( о1 1Л12\ 2C?i G2 J POO - 2 Nf(Nc -2)/ driiN{r){Er + Tin (l + e 2 ) + Tin (l + е р + } -2 Nf dr fjLN(r) { V(?r-A»)2 + 4A2 + V№. + / )2 + 4A2+ + 2Tln (l + е-М - +4ДІа) + 2Tln (l + e"V( W+4A j (3.41) Как видно из (3.22), энергия дираковской частицы в пространстве гиперболическом пространстве Ег зависит только от безразмерного параметра г. Если вместо г ввести величину с размерностью импульса р = г/а, то энергия будет иметь вид Ег- Ер= yjp2 + а2. (3.42) Заметим, что энергия (3.42) формально совпадает с дисперсионным соотношением в пространстве
Минковского и не зависит от кривизны пространства. В то же время плотность собственных значений в гиперболическом пространстве отличается от меры интегрирования по импульсу в плоском пространстве. Для N = 3 пространственных измерений из (3.34) получим Ш = Ш (3.43) Тогда термодинамический потенциал в пространстве R Н3 имеет вид: -д) -3 (й+1г) -іГ +і Ч1 -") + Tin (і + Є-№+А0) + у/(Ер-цУ + 4\А\ + /( + )2 + 4 12 + 2Т1п (і + е- ( - )2+4ІдІ2) + 2Т1п (і + е-М +/03+4Да)}, (3.44) где мы положили Nc = 3 и Nf = 2. Заметим, что в пределе а — со (Д — 0), соответствующем плоскому случаю, термодинамический потенциал (3.44) переходит в выражение, полученное в работах [39,41,42] в случае пространства Минковского. Очевидно, что термодинамический потенциал расходится при больших р. Поэтому необходимо ввести регуляризацию. Поскольку мы интерпретируем р как модуль импульса, то наиболее простой способ регуляри-зовать расходящиеся интегралы состоит во ведении жесткого обрезания по импульсу, р А. Тогда получим л) = 3 (Й + СНУ + Я + ты(1 + е- ) + ТIn (l + е- +" ) + р-А)2 + 4А2 + /(?р + )2 + 4А2 + 2Г1п (і + e-M - +W) + 2Tln (l + e-MV APJj( (3.45) где мы использовали выражение для скалярной кривизны i? = — . Как видно, эта формула состоит из из двух частей, возникающих из меры интегрирования по импульсу. Первая часть имеет тот же самый вид, что и в (3+1)-мерном пространстве Минковского, в то время как линейная по кривизне вторая часть соответствует вкладу от (1+1)-мерного пространства-времени. Следовательно, если вклад второй части преобладает над вкладом первой, то происходит размерная редукция, то есть эффективное сокращение размерности пространства до двух измерений. Значения конденсатов а и А соответствуют точке глобального минимума регуляризованного термодинамического потенциала и определяются из уравнений щели
