Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных осцилляции заряженных капель и пузырьков в жидкости
1.1. Нелинейные осцилляции заряженных капель 8
1.2. Заряженные пузырьки в жидкости 26
Глава 2. Нелинейные осцилляции капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде начального возмущения ее поверхности
2.1 Нелинейные колебания заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации 44
2.2. Асимптотический анализ нелинейных колебаний заряженной капли во внешней несжимаемой среде в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации 61
2.3 Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки к критическим условиям реализации ее неустойчивости 75
2.4 Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие капиллярных осцилляции заряженной капли идеальной жидкости 87
Глава 3. Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости
3.1. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости 103
3.2 Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости 119
3.3 Влияние вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положение внутренних нелинейных резонансов 143
Глава 4. Нелинейные пульсации заряженного пузырька в вязкой жидкости
4.1 Влияние движения газа внутри заряженного пузырька в жидкости на параметры его радиальных пульсаций и поверхностных осцилляции 148
4.2 Капиллярные колебания и устойчивость заряженного пузырька в диэлектрической жидкости 164
4.3 Временная эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька в вязкой жидкости 180
4.4 Нелинейные пульсации заряженного пузырька в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости 196
Глава 5. Диспергирование заряженных капель и пузырьков в электростатическом поле
5.1 Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле 215
5.2 Диспергирование в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике 225
Результаты и выводы 263
Список литературы 265
- Заряженные пузырьки в жидкости
- Асимптотический анализ нелинейных колебаний заряженной капли во внешней несжимаемой среде в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации
- Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости
- Диспергирование в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике
Введение к работе
Первое строгое аналитическое исследование устойчивости заряженной капли идеальной электропроводной жидкости по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы было выполнено в XIX - веке и принадлежит Рэлею. С тех пор заряженная капля стала объектом пристальных теоретических и экспериментальных исследований, спектр которых определяется значительным списком технических, технологических, геофизических и академических приложений, в которых заряженная капля играют определяющую роль.
Теоретические исследования нелинейных капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к деформации ее равновесной сферической формы, основаны на решении нелинейных уравнений электрогидродинамики, содержащих нелинейное уравнение Навье-Стокса и нелинейные граничные условия. Нелинейность задачи стала причиной того, что до настоящего момента времени, решить данную задачу в строгой постановке никому еще не удавалось. В связи с таким положением дел исторически выделились приближенные подходы к решению обсуждаемой задачи, содержащие ряд упрощающих допущений.
К простейшим решениям такой задачи следует отнести приближение идеальной жидкости, в котором векторное поле скоростей можно представить в виде градиента скалярного потенциала и отыскать точное общее решение гидродинамической части задачи. Однако форму свободной поверхности капли можно найти только из нелинейных граничных условий, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для функции, определяющей форму поверхности капли. Решение этих уравнений связно с существенными математическими трудностями, потому для их решения обычно используют методы возмущений. Использование этих методов позволяет исследовать устойчивость капли по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы по первому приближению. Однако в этом приближении автономная система дифференциальных уравнений, описывающих капиллярные колебания капли идеальной жидкости, имеет чисто мнимые собственные числа при параметре Релея не превосходящем четырех и действительные положительные при параметре Рэлея превышающем четыре. Согласно теореме Ляпунова об исследовании устойчивости автономных систем по первому приближению можно утверждать, что при параметре Рэлея, превышающем четыре и нелинейная система будет так же неустойчивой. Однако в том случае, когда параметр Рэлея меньше четырех об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы сказать нечего нельзя. В связи с этим в конце XX века появились работы, исследующие нелинейную динамику заряженной капли идеальной жидкости. Наиболее первыми работами в этой области явились работы, выполненные Tsamopolous & Brown, в которых авторы рассмотрели решение задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости и выделили сдвиг частот, который появляется только в третьем порядке малости по величине начальной деформации капли. Как и следовало ожидать, они обнаружили уменьшение критического значения параметра Рэлея, при котором капля идеальной жидкости становится неустойчивой. Однако их работы были выполнены для начального возбуждения одной из мод: второй, третьей, четвертой капиллярных колебаний поверхности свободной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме.
Теоретическое исследование капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым искажениям ее формы в случае учета вязкости жидкости наталкиваются на еще большие трудности математического плана, чем в случае идеальной жидкости. Для преодоления которых был разработан метод скаляри-зации векторных краевых задач. Идея этого метода основана на известной теореме Гельм-гольца о возможности разделения векторного поля на потенциальную и вихревую компоненты. Данный метод хорошо применим к исследованию устойчивости нелинейной гидродинамической задачи о капиллярных колебания заряженной капли вязкой жидкости по первому приближению. Чисто теоретически, данный метод, дополненный методами интегральных преобразований (преобразования Лапласа, Фурье и т.д.) и методами теории возмущений, позволяет решить начальную краевую задачу о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, то есть отыскать явный вид полей скоростей, давлений, а,так же образующей капли. Однако, не смотря на это, теоретических работ, в которых найдены конкретные выражения для физических величин, исследуемой задачи нет. Содержание же большинства работ, использующих метод скаляризации, ограничивается исследование дисперсионного соотношения. Исследование же нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной капли вязкой жидкости на основе метода скаляризации наталкивается на математические затруднения, которые до настоящего времени никому из исследователей преодолеть не удалось.
Цель работы состояла в исследовании влияния вязкости жидкости и величины начальной деформации заряженных капель и пузырьков в жидкости на нелинейные осцилляции их формы. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
- выделение нелинейного сдвига частот при нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме, при начальной произвольной одномодовои деформации ее формы и определение формы ее образующей;
- выделение сдвига частот свободной заряженной капли идеальной жидкости при многомодовой начальной деформации ее формы;
- исследование влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляции заряженной капли и на форму ее образующей;
- исследование четырехмодовых внутренних нелинейных резонансных взаимодействий мод капли идеальной жидкости;
- разработка метода решения нелинейной задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;
- исследование влияния вязкости на закономерности линейных колебаний заряженной капли;
- исследование влияния вязкости на особенности нелинейных осцилляции заряженной , капли;
- изучение влияния вязкости на условия резонансного взаимодействия мод в задаче второго порядка малости по величине начальной ее деформации;
- изучение влияния движения газа внутри газового пузырька на закономерности его осцилляции в жидкости;
- исследование влияния вязкости на устойчивость газового пузырька в жидкости;
- исследование влияния вязкости жидкости на закономерности нелинейных осцилляции газового пузырька в ней;
- изучение закономерностей диспергирования заряженной капли и заряженного пузырька во внешнем электростатическом поле.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней:
- разработан асимптотический метод решения задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, основанный на теории возмущений и преобразовании Лапласа;
- впервые найдено решение задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости во втором порядке малости по величине начальное ее деформации;
- исследовано влияние вязкости жидкости на форму образующей капли при линейных и нелинейных ее осцилляциях;
- изучено влияние вязкости жидкости на положение нелинейных трехмодовых резо-нансов, которые имеют место в задаче второго порядка малости по величине начального возмущения капли;
- впервые найдены поправки к частоте капиллярных колебаний заряженной капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания для случая произвольного мно-гомодового начального искажения ее формы;
- впервые изучено влияние внешней среды на нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по величине многомодовои начальной деформации капли и на нелинейную поправку к частоте ее колебаний;
- выяснено влияние вязкости жидкости на устойчивость линейных и нелинейных осцилляции пузырька в жидкости.
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о роли нелинейных эффектов и вязкости жидкости на эволюцию жидко-капельных систем искусственного и естественного происхождения.
На защиту выносятся
- асимптотический метод решения задачи о нелинейных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;
- теоретический анализ влияния вязкости жидкости на форму образующей нелинейно осциллирующей заряженной капли;
- исследование влияния вязкости на положение внутренних нелинейных трехмодовых резонансов при осцилляциях заряженной капли;
- анализ влияния формы начальной деформации заряженной капли идеальной жидкости на нелинейные поправки к частоте капиллярных колебаний ее поверхности;
- теоретический анализ влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляции заряженной капли идеальной жидкости;
- теоретическое исследование внутреннего нелинейного четырехмодового резонанса, между модами капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания;
- анализ влияния вязкости жидкости на устойчивость газового пузырька в диэлектрической жидкости;
Апробация работы: Результаты работы докладывались на: VII Четаевской научной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань. 1997); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский. [1997]); I, II, III и IV Всероссийских конференциях «Математика и математическое образование» (Ярославль. [1999; 2001; 2002, 2004]); на международной конференции "Annual Conference on liquid atomization & spray systems" (Zurich) [2001]; 3-ей областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов "Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии" (Ярославль) [2002]; IX, X, XI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва. [2002, 2003, 2005]); XVIII - XXI научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса) [1998, 2000, 2002; 2004]; V, VI и VII-ой международных научных конференциях "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики" (С-Петербург) [1998, 2000, 2003]; Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета (Ярославль) [2003]; IX Всероссийской конференции молодых ученых "Состав атмосферы и электрические процессы" САтЭП-2005 (Борок) [2005].
Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 285 страниц, содержит 73 рисунка, 10 таблиц, состоит из введения, пяти глав, приложений, заключения, и списка литературы из 312 наименования.
Заряженные пузырьки в жидкости
Явление разрыва сплошности жидкости при интенсивных силовых воздействиях было замечено еще в 19-ом веке. В частности, было отмечено, что увеличение частоты вращения и размеров гребных винтов не приводит к увеличению скорости судов [Шашин 1990], а напро 27 тив ведет к интенсивному износу поверхности винтов, что связано с развитием кавитацион ных явлений вблизи их поверхности [Буравова 1996; Карелин 1983; Жаров 1990]. Поскольку молекулярное давление в жидкости имеет величину P Gп = 10 атм (а- коэффициент поверхностного натяжения, п - концентрация частиц в жидкости), а разрыв сплошности жидкости наступает уже когда давление в ней спадает до величины давления насыщенных паров, то ясно, что в обычных условиях в жидкости существуют довольно мелкие пузырьки газа, которые и являются центрами разрыва жидкости [Гегузин 1985]. В связи с огромной ролью микропузырьков в процессах, протекающих в жидкости, в настоящее время, развиваются и совершенствуются методы позволяющие изучать микровключения в жидкости, т.е. определять их состав, объемную концентрацию, средний линейный размер и т.д.
Для исследования микровключений в жидкостях обычно используют стандартные методы: акустические; оптические; методы оптимизации зародышей; газоаналитические; методы ядерной физики и различные комбинированные методы [Буланов 1995; Бункин и др. 1995; Емец 1997; Бесов, Кедринский и Пальчиков 1984]. Акустические методы основываются на возможности раскачки низкочастотных радиальных колебаний стенок пузырька акустической волной, что дает возможность акустической спектроскопии газовых микровключений [Буланов 1995]. Оптические методы включают в себя: методы непосредственной регистрации; методы оптического поглощения; голографический метод; методы оптического рассеяния. К методам оптимизации зародышей относятся любые методы связанные с активизацией микровключений в жидкости. Например, на основе изучения процессов кипения или измерения порогов кавитации, можно сделать вывод о структуре, объемной концентрации и линейных размерах микровключений в жидкости. Газоаналитические методы основываются на экспериментах по исследованию общего газосодержания в жидкостях.
Широко используются при изучении микропузырьков и методы ядерной физики. Например, в работе [Бункин и др. 1995] методом малоуглового рассеяния нейтронов в жидкости изучалось газосодержание в простой и тяжелой воде. Перед экспериментом жидкости тщательно очищали. Степень очистки была очень высокая, о чем говорит высокое удельное сопротивление испытуемых жидкостей 18 МОм см. Как выяснилось, радиус стабильного пузырька в простой воде равен /? = 3.6 10 см, an тяжелой воде R = 4 10 см. Кроме метода рассеяния элементарных частиц в жидкости используется метод ядерного магнитного резонанса, при использовании которого выяснилось что средний радиус стабильного пузырька в отстоявшейся воде і? = 1.8-10" см, а. объемная концентрация микропузырьков в жидкости /7 = 9 10 см [Емец 1997]. Результаты измерений на основе перечисленных методов дают широкой разброс в величинах радиусов пузырьков и концентрации их в объеме жидкости. Так радиус стабильного пузырька, по экспериментальным оценкам различных авторов, колеблется в пределах от R = 10" см до R = 10 см. Концентрация микропузырьков, по различным данным, меня ется от п = 1 см до п = 10 ел . Такой разброс экспериментальных данных связан, как с несовершенством отдельных методик измерения, так и с различными свойствами жидкостей. С другой стороны столь широкий спектр данных указывает на сложность объекта исследования.
Таким образом присутствие микропузырьков в жидкости не вызывает сомнений. В связи с чем возникает проблема трактовки стабилизации микропузырьков. На микропузырек в жидкости действует выталкивающая сила, приводящая к его всплытию. Так пузырек радиуса R = 10 см, находящийся в воде, всплывает на 1 см за 10 часов. Из чего следует, что за время в несколько суток из жидкости должны удалиться все микропузырьки. С другой стороны пузырек является неустойчивым по отношению к растворению его содержимого в жидкости. Давление газа в пузырьке удовлетворяет условию: Р = Р0 + 2(3/R, где Подавление в жидкости равное сумме атмосферного и гидростатического. Оно больше давления в жидкости на величину капиллярного 2(j/R, а следовательно раствор жидкости является ненасыщенным для газа, находящегося в пузырьке.
Для преодоления перечисленных трудностей выдвигаются различные гипотезы стабилизации микропузырьков газа в жидкости [Бесов 1990; Кедринский 1993; Акуличев 1966; Кнэпп, Дейли и Хэммит 1974; Бункин и Бункин 1992]. Одни из исследователей считали, что на поверхности пузырька может образовываться пленка за счет адсорбции газа [Бесов 1990] или органическая пленка поверхностно-активного вещества (ПАВ), обладающая механической жесткостью и препятствующая диффузии газа в жидкость [Бесов 1990; Кедринский 1993]. Идея стабилизации микропузырька ПАВ представляется сомнительной, поскольку наличие ПАВ на поверхности пузырька приводит только к уменьшению поверхностного натяжения, а следовательно может только замедлить процесс диффузии газа в жидкость. Так же неясно, как в этом случае решается проблема всплытия пузырька. Проблема всплытия объяснялась существованием температурного градиента в жидкости [Кедринский 1993]. Но неясно с чем связано наличие градиента температуры.
Несколько проясняющей ситуацию является идея Гарвея и Эпштейна [Шашин 1990; Кедринский 1993]. Они высказали предположение, что газ может находиться в микропорах твердых частиц, взвешенных в жидкости, на стенках сосуда, в котором находится жидкость, а так же на несущих поверхностях, движущихся в жидкой среде [Шашин 1990; Кедринский 1993]. Эта идея решает проблему всплытия и объясняет стабильность микропузырьков, но проблема существования свободных микропузырьков в жидкости остается нерешенной. Наиболее адекватной физической сути представляется идея стабилизации микропузырьков электрическим зарядом [Акуличев 1966; Кнэпп, Дейли и Хэммит 1974; Бункин и Бункин 1992]. В присутствии электрического заряда на поверхности пузырька давление газа определяется выражением: P-P.3__eL. где Q - электрический заряд поверхности пузырька, Є -диэлектрическая проницаемость жид кости. Как только заряд пузырька достигает величины: Q =1 6JISGR , раствор жидкости становится насыщенным для газа пузырька и его растворение прекращается. Возможность адсорбции ионов на поверхности микропузырька подтверждается исследованием кавитаци-онной прочности воды при добавлении в ее ионов. Увеличение концентрации ионов адсор-бата от 0 до 0.005.моль/л приводит к уменьшению порога кавитации в среднем на 15-т-20% [Акуличев 1966]. Данный механизм стабилизации обеспечивает существование пузырьков газа радиусом /ї = 2 10 см, концентрацией п = 10 см , всплывающих на 1 см за один месяц [Бункин и Бункин 1992].
Идея стабилизации микропузырьков электрическим двойным слоем представляется правильной, поскольку может объяснить все имеющиеся противоречия. Так считается, что пузырьки всплывают в жидкости, но количество всплывших пузырьков равно количеству вновь образовавшихся. Широкий разброс экспериментальных данных относительно радиу- ч сов и концентраций микропузырьков в жидкости так же прекрасно объясняется на основе этого механизма стабилизации. Во всех экспериментах по измерению газосодержания воздействие на жидкость звуковой волны, электрического поля, ударной волны и т.д. приводит к коалесценции микропузырьков [Бункин и Бункин 1992].
Асимптотический анализ нелинейных колебаний заряженной капли во внешней несжимаемой среде в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации
Исследование нелинейной динамики поверхности заряженной капли представляет значительный интерес в связи с большим разнообразием академических, технических и технологических приложений в которых заряженная капля играет определяющую роль (см., например, [Григорьев и Ширяева 1994; Григорьев 2000; Белоножко и Григорьев 2000 а] и указанную там литературу). В связи с этим задача о нелинейных осцилляциях свободной поверхности заряженной капли неоднократно решалась как аналитически [Wang, Anilkumar & Lee 1996; Ширяева 2001 а; Ширяева 2001 Ь; Ширяева 2002; Ширяева 2003 с; Tsamopolous & Brown 1983; Жаров, Григорьев и Ширяева 2003; Жаров, Ширяева и Григорьев 2003 а], так и численно [Pelekasis, Tsamopolous & Manolis 1990; Горшков и Чабан 1999]. Однако, в большинстве работ, выполненных по обсуждаемому вопросу до настоящего времени, нелинейные осцилляции поверхности заряженной капли изучались с точностью до второго порядка малости по величине начальной деформации [Wang, Anilkumar & Lee 1996; Ширяева 2001 а; Ширяева 2001 Ь; Ширяева 2002; Ширяева 2003 с; Ширяева и др. 2003], тогда как нелинейные поправки к частотам появляются, как известно, только в третьем порядке малости [Tsamopolous & Brown 1983; Жаров, Григорьев и Ширяева 2003; Жаров, Ширяева и Григорьев 2003 а; Жаров, Ширяева и Григорьев 2003 Ь]. В связи со сказанным и было проведено настоящее исследование.
Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеющая заряд, равный Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью р, и коэффициентом поверхностного натяжения а, находящаяся в идеальной несжимаемой жидкости плотности р(еч с диэлектрической проницаемостью Zd в условиях отсутствия гравитации. Подставляя (12)-(16) в (1)-(11) получим задачи различных порядков малости, которые ради краткости изложения вынесены в "Приложение D".
Отметим, что решение сформулированной задачи в третьем порядке малости позволяет выявить зависимость коэффициентов первого порядка малости (т=1) в разложениях (17)-(20) от трех временных масштабов 70,7,, 72; коэффициентов второго порядка малости (т=2) от двух временных масштабов TtT\\ коэффициентов третьего порядка малости (т=3) -только от времени TQ .
В случае начального возбуждения нескольких мод капиллярных колебаний поверхности капли при условии отсутствия окружающей среды, величину Ът, характеризующую нелинейный сдвиг частот капиллярных колебаний капли, можно так же представить в виде полинома по параметру Рэлея, но с другими числовыми коэффициентами.
Отметим, что поправки (37) и (38) к частотам капиллярных колебаний поверхности капли не только зависят от множества изначально возбужденных мод Q, но и имеют резонансный характер. Так если один из множителей, стоящих в знаменателе выражений (37) или (38), будет близок к нулю, то поправка к частоте может стать значительной. Из вида знаменателей выражений (37) и (38) следует наличие двух и трехмодовых резонансов. Сами же выражения (37) и (38) в резонансной ситуации будут непригодны.
Выписанные выражения (37) и (38) весьма сильно изменяются в условиях, когда заряженная капля находится во внешней среде. В этом случае поправки к частотам капиллярных колебаний поверхности капли можно представить двойным рядом по параметру Рэлея W и плотности окружающей жидкости Р(еч При этом коэффициенты данного ряда оказываются зависящими от множества изначально возбужденных мод Q.
Численные расчеты, проведенные по (39), указывают на весьма сильную зависимость поправок к частотам от плотности окружающей жидкости. В частности как видно из рис. 2.2.1 и рис. 2.2.2 при увеличении плотности окружающей жидкости р,еч поправки к частотам увеличиваются (за исключением малых окрестностей возможных резонансных ситуаций). Из выражений (39), (40), рис. 2.2.1 и рис. 2.2.2 хорошо видно, что присутствие внешней жидкости не меняет резонансного характера поправок к частотам капиллярных колебаний капли.
Как известно наличие поправок к частотам капиллярных колебаний поверхности капли приводит к изменению критических условий реализации неустойчивости т -ой моды по отношению к собственному заряду капли [Жаров, Ширяева и Григорьев 2003 а; Жаров 2003; Жаров, Григорьев и Филиппова 2003]. Это связано с тем, что при увеличении заряда квадрат частоты капиллярных колебаний уменьшается и при некотором критическом значении пара 71 метра Рэлея Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда капли ведет к переходу квадрата частоты в область отрицательных значений, то есть приводит к появлению мнимых частот и экспоненциальному росту амплитуд капиллярных колебаний поверхности капли и как следствие к ее неустойчивости.
Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости
К простейшим решениям такой задачи следует отнести приближение идеальной жидкости, в котором векторное поле скоростей можно представить в виде градиента скалярного потенциала и отыскать точное общее решение гидродинамической части задачи. Однако форму свободной поверхности капли можно найти только из нелинейных граничных условий, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для функции, определяющей форму поверхности капли. Решение этих уравнений связно с существенными математическими трудностями, потому для их решения обычно используют методы возмущений. Использование этих методов позволяет исследовать устойчивость капли по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы по первому приближению. Однако в этом приближении автономная система дифференциальных уравнений, описывающих капиллярные колебания капли идеальной жидкости, имеет чисто мнимые собственные числа при параметре Релея не превосходящем четырех и действительные положительные при параметре Рэлея превышающем четыре. Согласно теореме Ляпунова об исследовании устойчивости автономных систем по первому приближению можно утверждать, что при параметре Рэлея, превышающем четыре и нелинейная система будет так же неустойчивой. Однако в том случае, когда параметр Рэлея меньше четырех об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы сказать нечего нельзя. В связи с этим в конце XX века появились работы, исследующие нелинейную динамику заряженной капли идеальной жидкости. Наиболее первыми работами в этой области явились работы, выполненные Tsamopolous & Brown, в которых авторы рассмотрели решение задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости и выделили сдвиг частот, который появляется только в третьем порядке малости по величине начальной деформации капли. Как и следовало ожидать, они обнаружили уменьшение критического значения параметра Рэлея, при котором капля идеальной жидкости становится неустойчивой. Однако их работы были выполнены для начального возбуждения одной из мод: второй, третьей, четвертой капиллярных колебаний поверхности свободной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме.
Теоретическое исследование капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым искажениям ее формы в случае учета вязкости жидкости наталкиваются на еще большие трудности математического плана, чем в случае идеальной жидкости. Для преодоления которых был разработан метод скаляри-зации векторных краевых задач. Идея этого метода основана на известной теореме Гельм-гольца о возможности разделения векторного поля на потенциальную и вихревую компоненты. Данный метод хорошо применим к исследованию устойчивости нелинейной гидродинамической задачи о капиллярных колебания заряженной капли вязкой жидкости по первому приближению. Чисто теоретически, данный метод, дополненный методами интегральных преобразований (преобразования Лапласа, Фурье и т.д.) и методами теории возмущений, позволяет решить начальную краевую задачу о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, то есть отыскать явный вид полей скоростей, давлений, а,так же образующей капли. Однако, не смотря на это, теоретических работ, в которых найдены конкретные выражения для физических величин, исследуемой задачи нет. Содержание же большинства работ, использующих метод скаляризации, ограничивается исследование дисперсионного соотношения. Исследование же нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной капли вязкой жидкости на основе метода скаляризации наталкивается на математические затруднения, которые до настоящего времени никому из исследователей преодолеть не удалось. Цель работы состояла в исследовании влияния вязкости жидкости и величины начальной деформации заряженных капель и пузырьков в жидкости на нелинейные осцилляции их формы. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: - выделение нелинейного сдвига частот при нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме, при начальной произвольной одномодовои деформации ее формы и определение формы ее образующей; - выделение сдвига частот свободной заряженной капли идеальной жидкости при многомодовой начальной деформации ее формы; - исследование влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляции заряженной капли и на форму ее образующей; - исследование четырехмодовых внутренних нелинейных резонансных взаимодействий мод капли идеальной жидкости; - разработка метода решения нелинейной задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости; - исследование влияния вязкости на закономерности линейных колебаний заряженной капли; - исследование влияния вязкости на особенности нелинейных осцилляции заряженной , капли; - изучение влияния вязкости на условия резонансного взаимодействия мод в задаче второго порядка малости по величине начальной ее деформации; - изучение влияния движения газа внутри газового пузырька на закономерности его осцилляции в жидкости; - исследование влияния вязкости на устойчивость газового пузырька в жидкости; - исследование влияния вязкости жидкости на закономерности нелинейных осцилляции газового пузырька в ней; - изучение закономерностей диспергирования заряженной капли и заряженного пузырька во внешнем электростатическом поле. Научная новизна работы состоит в том, что в ней: - разработан асимптотический метод решения задачи о нелинейных капиллярных ко лебаниях заряженной капли вязкой жидкости, основанный на теории возмущений и преобра зовании Лапласа; - впервые найдено решение задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости во втором порядке малости по величине начальное ее деформации; - исследовано влияние вязкости жидкости на форму образующей капли при линейных и нелинейных ее осцилляциях; - изучено влияние вязкости жидкости на положение нелинейных трехмодовых резо-нансов, которые имеют место в задаче второго порядка малости по величине начального возмущения капли; - впервые найдены поправки к частоте капиллярных колебаний заряженной капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания для случая произвольного мно-гомодового начального искажения ее формы; - впервые изучено влияние внешней среды на нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по величине многомодовои начальной деформации капли и на нелинейную поправку к частоте ее колебаний; - выяснено влияние вязкости жидкости на устойчивость линейных и нелинейных осцилляции пузырька в жидкости.
Диспергирование в электростатическом поле заряженного газового пузыря в жидком диэлектрике
Явление диспергирования жидкости во внешнем электростатическом поле, а также исследование равновесных форм и устойчивости заряженных капель и пузырей в диэлектрической жидкости представляет интерес для различных разделов технической физики, геофизики технологии [Григорьев и др. 1998; Ширяева и Жаров 1998; Григорьев, Ширяева и Жаров 1999 a; Shiryaeva, Jarov & Koromyslov 1998]. Тем не менее многие вопросы, связанные с устойчивостью пузырей в диэлектрической жидкости по отношению к собственному или поляризационному зарядам изучена весьма поверхностно хотя отдельные экспериментальные [Garton & Krasucki 1964] и теоретические [Григорьев, Ширяева и Жаров 1999 a; Cheng & Chaddock 1984; Cheng & Chaddock 1986; Григорьев, Коромыслов и Жаров 1997; Жаров 1998] работы в этом направлении выполнены. Однако наиболее интересный вопрос, поднятый в экспериментальной работе [Garton & Krasucki 1964]: о диспергировании внешним электростатическом полем пузыря в жидком диэлектрике, в теоретическом отношении практически не изучен, хотя сам эффект, приводящий к быстрому увеличению дисперсности пузырей и площади контакта с окружающей жидкостью, представляет известный интерес. Заполнение этого пробела и является целью данного исследования. Все рассмотрение проведем по схеме использованной в предыдущем параграфе, посвященном исследованию распада заряженной капли в однородном электростатическом поле.
.Примем, что в жидком диэлектрике с диэлектрической проницаемостью Є, плотностью р имеется сферический пузырь начального радиуса RQ, с коэффициентом поверхностного натяжения границы раздела с, несущий электрический заряд Q. И пусть в диэлектрике создается однородное электростатическое поле напряженностью Е, в котором пузырь поляризуется за счет поверхностной подвижности носителей электрического заряда В. Под действием поля Е и заряда Q пузырь вытягивается вдоль Е в фигуру близкую к сфероиду, с эксцентриситетом е [Cheng & Chaddock 1984; Григорьев, Ширяева и Белавина 1989], а радиус равновеликой ему сферы увеличивается до R, давление же газа в пузыре становится равным Р. Увеличение Q и Е может привести к неустойчивости пузыря, проявляющейся в эмиссии с его вершин высокодисперсных заряженных же дочерних пузырьков, как это показано в [Garton & Krasucki 1964]. В зависимости от соотношения периода тепловых колебаний пузыря и характерного времени выравнивания электрического потенциала стенки пузыря за счет поверхностной подвижности носителей заряда неустойчивость может реализовываться по различным каналам. Характерное время выравнивания электрического потенциала за счет поверхностной подвижности носителей электрического заряда на границе раздела фаз газ - жидкость определится известным соотношением х =ER/[E + BQIR ), а характерное время тепловых колебаний пузыря есть хи = (pR3 /o(l - W2 - w2 /(І6ті)))1/2. Здесь w2 = zE2Rla - параметр Тейлора, характеризующий устойчивость проводящего пузыря по отношению к поверхностному поляризационному заряду, - параметр Релея, характеризующий устойчивость пузыря по отношению к электрическому заряду. Если величина подвижности зарядов В мала настолько, что хи « % , то поверхность пузыря в процессе реализации неустойчивости можно принимать непроводящей, а заряд "вмороженным" в поверхность. При реализации неустойчивости такого пузыря по отношению к имеющемуся на его поверхности заряду он распадается на два равных дочерних пузырька, несущих одинаковые заряды [Григорьев, Коромыслов и Жаров 1997; Жаров и Коромыслов 1997]. Если же подвижность В велика настолько, что xq « хи, то поверхность пузыря можно принять идеально проводящей. В этом случае пузырь распадается на множество высокодисперсных дочерних пузырьков [Григорьев и др. 1998; Garton & Krasucki 1964; Григорьев и Ширяева 1991].
