Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор литературы 7
1.1. Обзор литературы 7
1.2. Математическая модель свободной конвекции жидкости с тем-пературной зависимостью вязкости 13
Глава 2. Численный метод и тестовые расчеты 19
2.1. Введение 19
2.2. Метод контрольного объема и процедура SIMPLE 20
2.3. Течение изотермической жидкости в плоском канале 31
2.4. Вынужденная конвекция 37
2.5. Свободная конвекция 42
2.6. Выводы 50
Глава 3. Влияние типа температурной зависимости вязкости на свободную конвекцию несжимаемой жидкости 51
3.1. Введение 51
3.2. Математическая модель и постановка задачи 51
3.3. Параметры модельной задачи 54
3.4. Результаты численного исследования 56
3.5. Выводы 86
Глава 4. Влияние угла наклона на свободную конвекцию жидкости с температурной зависимостью вязкости 88
4.1. Введение 88
4.2. Математическая модель и постановка задачи 88
4.3. Параметры модельной задачи 90
4.4. Результаты численного исследования 91
4.5. Выводы 105
Заключение 106
Литература 107
- Математическая модель свободной конвекции жидкости с тем-пературной зависимостью вязкости
- Течение изотермической жидкости в плоском канале
- Математическая модель и постановка задачи
- Параметры модельной задачи
Введение к работе
Актуальность работы
Исследование процессов конвективного переноса является одной из важнейших задач современной гидродинамики, так как эти процессы широко распространены как в природе, так и в технике.
В современной промышленности для улучшения характеристик рабочих жидкостей аппаратов и машин используются различные полимерные присадки, способные изменять реологические свойства жидкости. Между тем, даже при незначительных добавках присадок, эти свойства могут претерпеть как качественные, так и количественные изменения. Например, процессы полимеризации и деполимеризации, образования и разрушения гелевых структур при изменении температуры могут привести к немонотонным температурным зависимостям вязкости. Этот факт должен учитываться при оценке режимов технологических процессов, так как оптимальные режимы тепломассопереноса могут сильно измениться.
В отечественной и зарубежной литературе достаточно широко представлены работы по изучению конвективных течений в жидкостях, вязкость которых не изменяется или монотонно убывает с ростом температуры. Тем не менее, температурная зависимость вязкости может иметь достаточно сложный характер. Вязкость гелеобратимых водных растворов ме-тилцеллюлозы, полиакриламида, карбоксиметилцеллюлозы с ростом температуры до точки начала гелеобразования убывает и при достижении этой точки начинает резко возрастать, то есть изменяется немонотонно, и имеет в точке гелеобразования минимальное значение. Вязкость жидкой серы и ряда органических полимеров также имеет немонотонный характер: образование длинных полимерных цепочек в определенном температурном диапазоне приводит к значительному увеличению вязкости. Понижение или повышение температуры уменьшает их длину и ведет к уменьшению вязкости. Кривая температурной зависимости вязкости таких жидкостей имеет точку максимума.
Изучение эффектов конвективного переноса жидкостей с аномалией вязкости по температуре представляет собой сложную задачу, сопряженную с необходимостью проведения исследований с применением математического моделирования и современных вычислительных средств.
Закономерности поведения таких сред при свободно-конвективном переносе практически не изучены и представляют большой практический и научный интерес.
Цель работы
Установление особенностей свободно-конвективного переноса в двухмерной ячейке жидкостей, имеющих монотонные и немонотонные зависимости вязкости от температуры; изучение режимов свободной конвекции в двухмерной наклонной ячейке жидкости с аномальной зависимостью вязкости от температуры.
Научная новизна
Изучено влияние функциональной зависимости вязкости от температуры на режимы свободной конвекции.
Определены параметры, характеризующие интенсивность теплообмена для жидкостей с температурными зависимостями вязкости.
Исследовано влияние угла наклона ячейки относительно горизонта на свободную конвекцию жидкости с немонотонной зависимостью вязкости.
Достоверность результатов
При исследовании применялись методы, основанные на фундаментальных законах механики сплошных сред, и апробированные методы вычислительной гидродинамики. Для проверки компьютерной программы, реализующей численный метод, был проведен ряд тестовых расчетов.
Практическая значимость
Полученные в работе результаты необходимы для более полного понимания процессов, происходящих в аппаратах и установках, рабочие жидкости которых имеют сложные зависимости вязкости от температуры. Также результаты могут быть использованы при оценках степени влияния температурной зависимости вязкости на режимы конвективных течений, распределение температуры и теплообмен. Кроме того, результаты работы могут
служить теоретической основой для проектирования нагревательных приборов, теплоносители которых имеют аномалию вязкости по температуре.
Работа выполнена в рамках программы исследований по гранту Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-3483.2008.1) и при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН «Динамика многофазных и неоднородных жидкостей» (2006-2008 гг.).
Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Института механики УНЦ РАН № 01200614458 инв. № 02.2.00951105 за 2009 г.
Апробации работы. Основные положения и результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях:
Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. РАН, проф. P.P. Мавлютова, Уфа, 2006 г.
Четвертая Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-4), Москва, 2006 г.
Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред», Бирск, 2007 г.
Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях», Санкт-Петербург, 2007 г.
IV Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2008 г.
Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах в Институте механики Уфимского научного центра РАН под руководством профессора С. В. Хабирова, профессора В. Ш. Шагапова и в Тюменском филиале Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Хри-стиановича СО РАН под руководством профессора А. А. Губайдуллина.
В 2009 г. работа была удостоена гранта Республики Башкортостан на конкурсе работ молодых ученых и молодежных научных коллективов.
Публикации
Основные результаты по теме исследований опубликованы в 6 печатных работах.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 113 страниц, 7 таблиц и 80 рисунков. Список литературы включает 82 наименования работ российских и зарубежных авторов.
Во введении отображена актуальность исследований, сформулированы цели, отмечены научная новизна, достоверность результатов и практическая ценность. Кратко изложена структура работы.
В первой главе представлен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению процессов конвективного тепломассообмена и течений жидких сред имеющих зависимости вязкости от температуры. Приведены основные допущения используемой математической модели. Выписана система уравнений описывающая процессы свободной конвекции жидкости с температурной зависимостью вязкости в двухмерной области.
Во второй главе подробно описан численный метод решения системы уравнений свободной конвекции. Выполнен ряд тестовых расчетов. Произведен анализ сходимости и оценен порядок точности численного метода.
В третьей главе рассматривается задача о свободной конвекции жидкостей, имеющих монотонные и немонотонные зависимости вязкости от температуры в двухмерной ячейке, подогреваемой снизу. Изучается влияние зависимости вязкости на режимы течений и интенсивность теплообмена. Численно оценены минимальные критические числа Рэлея.
В четвертой главе изучается влияние угла наклона ячейки на свободную конвекцию жидкости с аномальной зависимостью вязкости от температуры. Исследуется интенсивность теплообмена на изотермических границах и минимальные критические числа Рэлея.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю С.Ф. Урманчееву за постановку задачи и оказанную поддержку, а также научному консультанту A.M. Ильясову за ценные советы и полезное обсуждение результатов работы.
Математическая модель свободной конвекции жидкости с тем-пературной зависимостью вязкости
Двумерная гравитационная конвекции в удлиненном горизонтальном слое, ограниченном твердыми поверхностями, при внезапном подогреве нижней границы рассматривалась в работе [52]. Изучены особенности перехода от режима теплопроводности к конвективному теплообмену, описаны структуры течений и характеристики теплопередачи от начального момента, соответствующего покоящейся изотермической жидкости, до установления стационарного режима валиковой конвекции. Получена критериальная зависимость между безразмерным временем начала влияния гравитационной конвекции на теплопередачу и числом Рэлея.
Турбулентная конвекция в вертикальном слое с изотермическими вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками моделировалась в работе [23]. Двумерные уравнения тепловой гравитационной конвекции решались в переменных «функция тока - вихрь». Применялась неявная разностная схема, разработанная авторами. Проведено сопоставление некоторых средних характеристик турбулентной конвекции с опытными данными и показано хорошее соответствие структуры осредненного движения.
Переходные и турбулентные режимы свободной конвекции в вертикальном слое численно исследовались в работе [24]. Представлена эволюция конвективных структур от ламинарного к турбулентному режиму. Исследована тонкая структура турбулентного пограничного слоя. Показано, что вязкий подслой не является статическим образованием, а постоянно находится во взаимодействии с элементами среды на внешней границе пограничного слоя.
Экспериментальное исследование колебательных режимов конвекции в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу рассматривалась в работе [53]. Обнаружено, что колебания вызваны перезамыканием вихрей одного направления.
Хаотическим режимам в рамках двумерных уравнений Навье - Сток-са посвящена работа [56]. В ней рассматривается задача Рэлея - Бенара о конвекции в бесконечном горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. Решение задачи произведено методом Бубнова-Галеркина. Построена бифуркационная диаграмма двумерных режимов для различных параметров усечения ряда. В зависимости от параметров надкритичности установлены области, соответствующие следующим бифуркациям: Ландау -Хопфа, удвоения периода (сценарий Фейгенбаума), Рюэля - Такенса (бифуркация на тор), хаотических режимов и области ложного хаоса. Таким образом, показано существование двумерных турбулентных режимов конвекции, которые присутствуют и в полных трехмерных уравнениях.
В работе [10] проведено экспериментальное исследование эволюции пространственной формы тепловой гравитационно-капиллярной конвекции в горизонтальных слоях этилового спирта. Получена информация о полях температуры и градиентах температуры на поверхности жидкости в стационарных и нестационарных режимах. Оценены диапазоны чисел Рэлея и Марагони, в которых существуют простое ячеистое течение, течение с двумя, тремя и т.д. масштабами, определены границы появления колебаний температуры м даны оценки их характерных частот.
Процессы ламинарно-турбулентного перехода в свободно-конвективном пограничном слое экспериментально исследовались в работе [11]. Проведены измерения локальных полей скорости и температуры, локальных тепловых потоков.
Большое количество работ, в которых учитывается монотонно убывающие температурные зависимости вязкости, посвящено моделированию процессов, происходящих в мантии Земли и других планет. Основные теоретические результаты по изучению течения магмы представлены в статьях [7], [8], [9]. В этих работах с применением методов механики многофазных сред были построены математические модели для квазистационарного эксплозивного, взрывного и экструзивного режимов извержения газонасыщенных сильновязких магм. На основе предложенных моделей объяснены механизмы перехода от одного типа извержения к другому, явления катастрофического усиления извержений, иульсационных и взрывных течений. Отмечена существенная зависимость вязкости магмы от концентрации растворенного в ней газа, зависимость вязкости от температуры была принята в экспоненциальной форме.
Нестационарная свободная конвекция для жидкости с монотонно убывающей зависимостью вязкости от температуры в сферическом кольце и между двумя эксцентрическими сферами обсуждается в работе [82]. Были получены решения для чисел Рэлея от 5000 до 65000 с различными числами Прандтля (158, 405, 720). Результаты показали, что потоки тепла и массы изменяются в зависимости от числа Рэлея и эксцентриситета, и не изменяются в зависимости от числа Прандтля при малых числах Рэлея, эффект переменной вязкости усиливает конвекцию и увеличивает коэффициент переноса тепла. Показано, что особенности переноса тепла могут быть быть выражены линейной зависимостью числа Ыуссельта от числа Рэлея в логарифмических координатах для различных чисел Прандтля.
Влияние сильной зависимости вязкости от температуры на структуру и тепловой режим свободной конвекции в сферической области изучено в работе [79]. Рассматривается термогравитационная конвекции в мантии земли при бесконечно большом числе Прандтля. Приведены поля температур и скорости, определены критические числа Рэлея при изменении вязкости по экспоненциальному закону Аррениуса (монотонно убывающая). Исследованы числа Ыуссельта на поверхности сферической области при различных условиях нагрева.
Учет изменения по температуре коэффициентов вязкости и температуропроводности при свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической области произведен в работе [69], обнаружено существование различных режимов течений.
Устойчивость конвективных течений жидкостей с вязкостью линейно зависящей от температуры исследовалась в работе [20], показано, что учет температурной зависимости вязкости приводит к асимметрии основного течения и связанным с ней (асимметрией) эффектам дрейфа вихрей гидродинамической моды и локализации наиболее опасных волновых возмущений в восходящем потоке.
Важное значение для развития гидродинамики жидкостей с температурными зависимостями вязкости имеет книга [50], в ней приведены основные уравнения термогидродинамики сред с переменными физическими параметрами. На основе анализа критериев подобия установлены основные режимы течений при теплообмене. Решена серия задач по исследованию ламинарного пограничного слоя и конвекции в средах вязкость которых монотонно зависит от температуры.
В работе [1] численно исследовались иодкритические движения жидкости в случае вязкости линейно зависящей от температуры, в вертикальном цилиндре верхняя и нижняя границы которого поддерживаются при различных температурах. Осуществлен перебор перепада вязкости и найдены зависимости основных характеристик подкритических движений.
Численному исследованию влияния переменной вязкости жидкости на теплообмен и трение при ламинарной свободной и вынужденной конвекции посвящена работа [59]. Установлено, что на тепловые потоки и динамические характеристики пограничного слоя влияет относительная вязкость жидкости.
Впервые в полной постановке решение задачи о свободной конвекции жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры было представлено в работе [31]. Обнаружены области существования стационарных, периодических, квазипериодических и хаотических режимов свободной конвекции. Построены карты режимов теплообмена.
Течение изотермической жидкости в плоском канале
Однозначному решению уравнений Навье - Стокса, посвящено большое количество работ, однако общей теории о существовании и единственности решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости с произвольными массовыми силами до сих пор нет. Так как работа посвящена изучению конвекции несжимаемой жидкости с температурной зависимостью вязкости, то по вопросам существования, единственности и устойчивости решения уравнении Навье - Стокса будем опираться на работу [35]. В указанной работе доказано существование решения для нелинейных стационарных задач. Устойчивость же решения доказана только для малых чисел Рейнольдса. Для нестационарных краевых задач доказано, что уравнения Навье -Стокса однозначно разрешимы во все моменты времени, если задача является двумерной (например, осесимметричной). В трехмерном случае однозначная разрешимость доказана для потенциальных массовых сил и малости числа Рейнольдса в начальный момент времени.
Для нестационарных задач также доказана непрерывная зависимость полей скоростей от массовых сил и начальных условий в любые моменты времени в случае плоскопараллельных течений. В общем трехмерном случае непрерывная зависимость доказана лишь на конечном временном отрезке.
Развитие вычислительной техники изменило характер аналитических исследований и укрепило роль численного эксперимента в гидродинамике. Разработано большое количество численных методов и алгоритмов решения системы уравнений Навье - Стокса, метод маркеров и ячеек и его модификация [64], [73], [71], метод конечных элементов [60], метод контрольного объема [78] и другие.
В данной работе для численного интегрирования уравнений Навье -Стокса использовался метод контрольного объема и алгоритм SIMPLE основы которых были заложены Сполдингом и Патанкаром для параболических уравнений в работе [78] и окончательно разработаны для численного интегрирования уравнений несжимаемой жидкости в работе [48]. Основная причина выбора этого метода заключается в том, что расчетная область разбивается на конечное число контрольных объемов, а дискретные аналоги, полученные этим методом представляют собой законы сохранения энергии, количества движения и массы для каждого контрольного объема, следовательно полученное решение будет удовлетворять законам сохранения во всей области.
Согласно Патанкару интересующие нас переменные дифференциальных уравнений гидродинамики и теплообмена подчиняются обобщенному закону сохранения. Если обозначить зависимую переменную через Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение, представляющее закон сохранение этой переменной, в плоских декартовых координатах примет вид: где Гф — обобщенный коэффициент диффузии, 5ф — источниковый член, и и v продольная и поперечная составляющие вектора скорости. Конкретный вид величин Гф и S$ зависит от смысла переменной Ф. Так в уравнении движения Навье - Стокса для горизонтальной составляющей скорости и: Г ? = —, So = 0-Рг Расчетная область разбивается на конечное число непересекающихся контрольных объемов таким образом, чтобы каждая узловая точка содержалась в одном контрольном объеме как показано на Рис. 2.1. Для нахождения дискретного аналога закона сохранения величины Ф дифференциальное уравнение (2.1) интегрируется по каждому контрольному объему. Здесь и далее значения переменных в узловых точках будем обозначать в подстрочных индексах большими буквами, а значения на гранях контрольного объема маленькими. Найдем второй интеграл выражения (2.4): здесь Je и Jw — суммарные потоки через грани е и w контрольного объема соответственно. При интегрировании по времени выражения (2.6) будем использовать следующую формулу: где / — весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1. Выбор коэффициента / приводит к различным хорошо известным схемам для решения параболических дифференциальных уравнений. Например, для / — 0 получим явную схему, / = 1/2 — схема Кранка -Никольсона, / = 1 — полностью неявная схема. В данной работе будет использована полностью неявная схема, то есть будем полагать f = 1. Аналогичным образом найдем третий интеграл выражения (2.4): Верхние индексы (п+1), означающие, что потоки рассчитываются но новом временном слое, опущены. Далее будем полагать, что величины без верхних индексов относятся к новому (n + 1) шагу по времени. Часто оказывается, что источниковый член 5$ уравнения (2.2) является функцией самой зависимой переменой Ф, и тогда при построении дискретного аналога необходимо учесть эту зависимость. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость, так как решение дискретных уравнений будет осуществляться, с помощью методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Запишем среднее по контрольному объему значение источникового члена в виде: здесь Sc — представляет собой постоянную составляющую S$, Sp — коэффициент при зависимой переменной Ф. Тогда для четвертого интеграла (2.4) получим: Группируя (2.5), (2.7), (2.8) и (2.9) получим результат интегрирования обобщенного уравнения (2.2) по контрольному объему и времени: Перейдем к определению суммарного потока Je на грани е контрольного объема Рис. 2.2, через значения переменных в узловых точках. Согласно (2.3) имеем.
Математическая модель и постановка задачи
Вычитая (2.30) из (2.28) и (2.31) из (2.29) получим: аирир = 2 апьипъ + ІРш - Ре) Д2/ (2-34) Отбрасывая слагаемые ]Г) апьипЬ и ]Р сьпьУпЬ в уравнениях (2.34) и (2.35), запишем формулы для поправок составляющих скорости: Пренебрежение слагаемыми в (2.34) и (2.35) подробно обсуждено в [48], с помощью многочисленных экспериментов доказано, что сходящееся решение, полученное с помощью процедуры SIMPLE, не содержит какой - либо ошибки, являющейся результатом отбрасывания J2anbUnb и J2anbVnb. Подставляя (2.36) и (2.37) в (2.33) получим формулы для самих составляющих скорости: Формулы (2.38) и (2.39) назовем поправочными для составляющих скорости. Таким образом, для нахождения поля скорости, нам необходимо знать приближенные значения и , v и поправку к давлению р . Преобразуем уравнение неразрывности в уравнение для определения поправки давления, для этого проинтегрируем его по контрольному объему для обобщенной переменой Ф Рис. 2.3, получим: Подставляя вместо составляющих скорости выражения из поправочных формул вычисленных на соответствующие гранях контрольных объемов, получим дискретный аналог уравнения для Слагаемое 6 взятое с обратным знаком равно левой части дискретного аналога уравнения неразрывности (2.40), записанного через приближенные значения составляющих скорости и и гЛ Равенство 6 = 0 означает, что эти составляющие удовлетворяют уравнению неразрывности и не требуется никакой коррекции давления, то есть представляет собой критерий сходимости. Таким образом, член b «невязка», которая должна быть скомпенсирована поправками давления, а сам алгоритм представляет собой метод установления. Приведем последовательность операций решения дискретных аналогов системы уравнений свободной конвекции: 1. Задание приближенного давления р\ 2. Решение уравнений движения, для получения приближенных значений и И V . 3. Решение уравнения для поправки давления р . 4. Расчет нового значения давления из уравнения (2.32). 5. Расчет новых значений составляющих скорости и и v из поправочных формул (2.36) и (2.37) соответственно. 6. Решение дискретных аналогов уравнений для других Ф( в случае свободной конвекции это температура). 7. Представление скорректированного давления р как нового р , возвращение к пункту 2 и повторение всей процедуры до тех пор пока не будет получено сходящееся решение (6 = 0). В последующих параграфах произведены тестовые расчеты для трех различных задач. Программа, написанная на основе алгоритма SIMPLE, тестировалась на решениях двумерных уравнений Навье - Стокса. Рассмотрены задачи о течении изотермической жидкости в плоском канале, а также о вынужденной и свободно конвекции в квадратной ячейке. 2.3. Течение изотермической жидкости в плоском канале В качестве первого теста рассмотрим задачу о течении изотермической вязкой несжимаемой жидкости в плоском горизонтальном канале длины L и высоты h. Будем считать, что жидкость приводится в движение заданным на нижней границе канала (у = 0) Чу=о = о Чу=о = 0, Так как, рассматриваемый численный метод является методом установления, то в качестве начальных условий, без ограничения общности, примем приближенные «нулевые» поля скоростей и давления: Для установившегося ламинарного течения в плоском канале известно аналитическое решение [39]. Имеет место формула для продольной компоненты скорости: Используя uth, оценим погрешности численных решений. В качестве вязкой жидкости выберем воду с плотностью р = 1000 кг/м3 и вязкостью /І = 10_3 Па-с; длину канала примем равной L — 1 м, а высоту h = 0,1 м. Постоянный перепад давления положим равным Ар — 8-Ю"4 Па, скорость движения верхней границы г о — Ю-3 м/с. Для выбранных параметров течение является ламинарным, так как число Рейнольдса, вычисленное по максимальной скорости, равно Re=1000. Введем величину Аь по норме пространства 1 которая является «невязкой» дискретного аналога уравнения (2.41), определяющей удовлетворяют ли поля и и v уравнению неразрывности, bhj — локальная «невязка» в контрольном объеме, 1шах и Jmax количество узлов сетки в горизонтальном и вертикальном направлении соответственно. Будем считать, что поле скоростей является физичным, если выполняется условие Аь ь = 10_6. Полагалось, что при достижении этого условия получены физичные поля скорости и давления на данном шаге по времени.
Параметры модельной задачи
Неоднородность вязкости по температуре, свойственная многим жидкостям, может иметь различный характер на различных интервалах температур. В связи с этим рассмотрим некоторый температурный интервал [Ті,Т2], на котором изменяются вязкости модельных жидкостей.
В промышленности используются различные полимерные присадки, как увеличивающие, так и уменьшающие вязкость жидкости в нормальном состоянии fiQ. Будем считать, что к жидкости добавлены присадки, увеличивающие вязкость на заданном интервале температур до значения A sup — const, то есть область значений функции вязкости /л(Т) ограничим снизу величиной /io, а сверху параметром /лзир. Предположим, что немонотонная зависимость вязкости является квадратичной функцией температуры, а экстремум /І(Т) достигается в средней точке рассматриваемого температурного интервала То = (Ті + То))2.
Введем в рассмотрение модельные жидкости с квадратичными зависимостями вязкости от температуры с точкой минимума — \±\ (Т) и с точкой максимума — (Т), которые в соответствии с приведенными выше требованиями, можно представить в виде: Область [[io, /isup] назовем, областью больших вязкостей. Кроме того, введем в рассмотрение область меньших значений вязкости [/ inf, /ло] (можно считать, что добавлены присадки уменьшающие вязкость жидкости в нормальном состоянии /Ло до значения fi-m{). В этой области также, рассмотрим квадратичные зависимости вязкости от температуры с точкой минимума — 1Лъ{Т) и с точкой максимума — ц іТ): В обеих областях вязкости введем параметр г, представляющий собой отношений наибольшей к наименьшей вязкости, то есть степень неоднородности. В области больших вязкостей: Используя параметр г и безразмерную температуру #, исследуемые немонотонные функциональные зависимости вязкости от температуры можно привести к безразмерному виду: Помимо немонотонных зависимостей в обеих областях [/л-т, //о] и [цо, //sup] рассмотрим монотонно убывающие и монотонно возрастающие функции вязкости от температуры. Положим, что функция //(Т) монотонна на всем температурном интервале [Ті, Т2] и своих наибольших и наименьших значений достигает на его концах. В качестве монотонных зависимостей вязкости от температуры используем показательные функции. В силу этих требований монотонные зависимости можно представить формулами: Далее будем численно исследовать свободною конвекцию жидкостей с монотонными и немонотонными функциональными зависимостями вязкости от температуры (Ai(6) - fis(0), графики которых приведены на Рис. 3.2 и Рис. 3.3. 3.4. Результаты численного исследования В данном разделе численно исследуются особенности свободной конвекции ньютоновских жидкостей с температурными зависимостями вязкости (3.14) - (3.17) и (3.22) - (3.25). В качестве значений параметров задачи возьмем данные из работы [3], где представлены экспериментальные данные для водных растворов ме-тилцеллюлозы с различными концентрациями стабилизирующих добавок. Эти растворы имеют немонотонные зависимости вязкости от температуры с минимумом. Согласно [3], рассмотрим характерный интервал температур 70 С Т 80 С, То = 75 С — средняя температуру данного интервала. Динамическую вязкость положим равной /IQ = 0, 025 Па-с. Параметр, характеризующий область неоднородности вязкости г, положим равным г — 10. Соответствующее вязкости /L/o число Прандтля, будет равно Pr = 118. Для указанного фиксированного числа Прандтля и чисел Грасгофа 1 Gr 40000 численно исследуем влияние функциональной зависимости вязкости жидкости на режимы течений и ИНТЄНСРІВНОСТЬ теплообмена при свободной конвекции в квадратной ячейке, подогреваемой снизу. Для изучения интенсивности теплообмена, на изотермических границах будем вычислять числа Нуссельта [51], представляющие собой отношение полного потока тепла к потоку тепла за счет теплопроводности: где NUH и NUQ — числа Нуссельта на подогреваемой и охлаждаемой границах соответственно. Параметром определяющим устойчивость равновесия слоя жидкости, к которому приложен вертикальный градиент температуры, является минимальное критическое число Рэлея Rac- Как только число Рэлея Ra достигает этого критического значения Ra Rac, слой жидкости теряет устойчивое состояние равновесие и начинается конвективное движение. Будем исследовать влияние функциональной зависимости вязкости на минимальные критические числа Рэлея. Для детального анализа интенсивности теплообмена в колебательных режимах конвекции, рассмотрим спектр мощности чисел Нуссельта на изотермических границах [41]: где t и и — безразмерные время и круговая частота соответственно. Также исследуем проекции четырехмерного фазового пространства (и, du/dt, v, dv/dt) на плоскость (v, dv/dt) и пространство (и, du/dt, dv/dt). Значения составляющих скорости и ускорения будем вычислять в фиксированной точке ячейки с координатами (я = 0,5; 2/ = 0,04). Свободная конвекция для жидкости с постоянной вязкостью до начинается при числе Грасгофа Gr = 22, 5 или при минимальном критическом числе Рэлея RaMo = 2655. В пределах 22, 5 Gr 1000 выявлены стационарные одновихревые течения. На Рис. 3.4 представлено типичное распределение линий тока при стационарном одновихревом режиме свободной конвекции.
При числах Грасгофа Gr 1000 стационарный одновихревой режим теряет свою устойчивость и происходит переход к колебательному режиму конвекции. Линии тока в колебательном режиме представлены на Рис. 3.5. На Рис. 3.6 приведены колебания тепловых потоков (чисел Нуссельта) на изотермических стенках. Анализ линий тока в различные моменты времени, показал что колебания тепловых потоков вызваны колебаниями потоков массы (перезамыканием вихревых структур относительно центральной вертикальной оси ячейки).
