Содержание к диссертации
Введение
I. Обзор исследований тепловых режимов трубопроводов ... 12
1.1. Обзор исследований стационарных тепловых режимов трубопроводов 12
1.2. Обзор аналитических исследований нестационарных тепловых режимов трубопроводов 21
1.3. Обзор численных исследований нестационарных тепловых режимов трубопроводов 27
2. Описание процесса в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции 31
2.1. Основные предположения 31
2.2. Уравнения теплопереноса в грунте 33
2.3. Начальные и краевые условия задачи 35
2.4. Упрощение уравнений теплообмена в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции и переход к безразмерным переменным 37
3. Метод расчета теплообмена в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции при малых числах Рэлея .. 42
3.1. Разложение по малому параметру - числу Рэлея 42
3.2. Переход к биполярным координатам 46
3.3. Стационарное решение в нулевом приближении 53
4. Численное решение стационарной задачи о теплообмене в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции 55
4.1. Представление точной системы уравнений в конечно-разностном виде и выбор схемы счета 55
4.2. Представление приближенных уравнений в конечно-разностном виде и выбор схемы счета 60
4.3. Анализ полученных результатов при граничных условиях 1-го и 3-го рода с проницаемой поверхностью грунта и сравнение решения задачи без учета свободной конвекции с точным и приближенным решениями с учетом свободной конвекции 65
4.4. Анализ полученных результатов при граничных условиях 1-го рода и 3-го рода с непроницаемой поверхностью грунта и сравнение решения задачи без учета свободной конвекции с точным и приближенным решениями с учетом свободной конвекции 104
Выводы 131
Литература 132
Приложения 146
- Обзор аналитических исследований нестационарных тепловых режимов трубопроводов
- Упрощение уравнений теплообмена в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции и переход к безразмерным переменным
- Разложение по малому параметру - числу Рэлея
- Представление приближенных уравнений в конечно-разностном виде и выбор схемы счета
Обзор аналитических исследований нестационарных тепловых режимов трубопроводов
Учет термического сопротивления на границе грунт-воздух по методу дополнительного слоя известен в литературе как поправка Гребера [зз]. Поправка Гребера фактически приводит к замене граничных условий 3-го рода граничными условиями 1-го рода, что существенно облегчает решение задачи. Если коэффициент теплоотдачи от поверхности грунта в воздух (U-&0.) велик, то толщина дополнительного слоя -» О } и формула (1.5) переходит в формулу Форхгеймера (I.I).
При определении толщины "дополнительного" слоя I необходимо, чтобы температура поверхности грунта в различных точках над трубой была одинакова. Это условие не выполняется при малой глубине заложения трубопровода и высокой температуре газа или нефти в трубе. В данном случае температура поверхности грунта непосредственно над трубой на несколько градусов выше, чем в точках, расположенных в стороне от трубы. Поэтому величина теплового потока также различна в разных точках над трубой. Следовательно, толщина дополнительного слоя также является переменной величиной. Е.П.Шубин оценил применимость поправки Гребера, сравнивая результаты расчета по формуле (I.I) с экспериментальными данными для труб с диаметрами 143 и 152 мм [105] . Результаты теории и опыта хорошо совпадают при к 0,35 0,6 м. С уменьшением глубины заложе-ния нюхе указанного предела формула (1.5) дает заниженные, по сравнению с экспериментом, значения теплового потока. Аналогичные оценки даны А.А.Аронсом и О.С.Кутателадзе [12].
Задачу стационарного теплообмена при граничных условиях 1-го рода на стенке трубы и 3-го рода на поверхности грунта решили И.А.Чарный [98] и К.Елгети [ііб]. Решение ими было получено с использованием конформного преобразования, с помощью которого полуограниченный массив грунта отображался в кольцо [98] или в прямоугольник [ііб] . В обоих случаях решения задачи получены весьма громоздкими, что ограничивает их применение в инженерной практике.
Дальнейшее продолжение задача Форхгеймера нашла в работах И.А.Иоффе [42, 43, 45] , где рассматривалось стационарное температурное поле в полуограниченном массиве с несколькими цилиндрическими источниками тепла.
Решения задачи о температурном поле трубы в массиве окружающего грунта при граничных условиях 3-го рода на его поверхности приводятся в работах [б,7,9,56, 57, 79] . При этом Л.М.Альтшул-лер [б,7,9] видоизменил задачу Форхгеймера. В его работах труба рассматривалась как линейный источник постоянной тепловой мощности, т.е. на поверхности трубы были приняты граничные условия 2-го рода. На поверхности грунта происходил конвективный теплообмен по закону Ньютона.Решение было получено в виде решения Форхгеймера и поправки, учитывающей теплообмен на поверхности грунта (граничное условие 3-го рода), в форме интеграла от экспоненциально! функции.
При большой глубине заложения трубопровода второе слагаемое мало, и формула Л.М.Альтшуллера переходит в формулу Форхгеймера. G уменьшением глубины заложения трубопровода первое и второе слагаемые могут быть сопоставимы.
Аналогичную задачу рассматривал П.И.Тугунов [87]. Для расчета термического сопротивления системы "труба-грунт-воздух" им было получено более простое выражение. При eL - 00 формула П.И.Ту-гунова, как и решение Л.М.Альтшуллера, переходит в формулу Форхгеймера. Также теплообмен подземного трубопровода при граничных условиях 2-го рода на стенке трубы рассматривался в работах [79,67] . Но, в отличие от работ Л.М.Альтшуллера и П.И.Тугунова, в этих работах на поверхности грунта приняты граничные условия 1-го рода. Б работе Р.Тиягарайяна [79] решение получено с использованием конформного отображения полубесконечного массива окружающего трубопровод грунта в прямоугольник и содержит слагаемые, представляющие собой бесконечные суммы.
Все эти исследования справедливы для полностью заглубленных трубопроводов.
Н.И.Белоконь и А.В.Матвеев [їв] для расчета теплопередачи системы "газ-грунт-атмосфера" для различных случаев заложения трубопроводов предложили формулу, которую они назвали обобщенной. Она позволяет определить термическое сопротивление системы "грунт-воздух", а значит и коэффициент теплопередачи при любой глубине заложения, в том числе и для малой глубины, а также для случаев залегания трубопроводов у поверхности, полузаглубленных и трубопроводов на поверхности.
В работах В.Е.Губина [Зб] и А.А.Шутова [ЮЧ] предлагается решение задачи Форхгеймера с учетом зависимости коэффициента теплопроводности грунта 7L от температуры Х- X(t) . В работе А.А.Шутова [Ю8] рассматривается теплоизолированный трубопровод с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности теплоизоляции. В обеих работах решение найдено при помощи конформного отображения рассматриваемой полубесконечной области с круговым вырезом в кольцевую.
Во всех этих работах не учитывается естественное температурное поле грунта. В работах Б.Л.Кривошеина и В.Н.Новаковского [54, 56, 60, 71] , А.В.Фурмана и Г.П.Дячука [38, 93], В.М.Агагашна [2] учитывается естественное температурное поле грунта.
В этих работах для упрощения геометрии задачи используется метод конформных отображений. Метод позволяет перевести постановку двухмерной задачи из плоскости действительного переменного в плоскость комплексного переменного, преобразовав полубесконечную плоскость с полуокружностью на одной из ее границ в более простую -прямоугольник с ее границами, причем одна из сторон прямоугольника - спрямленная полуокружность. Учет собственных тепловых потоков в грунте осуществляется с помощью термоградиента гДе Т температура на нижней границе нейтрального слоя глубиной Ийс , т.е., естественное распределение температуры в грунте подчинено линейному закону, что уже само по себе является очередным допущением. На границе "грунт-атмосфера" принимаются граничные условия 3-го рода.
Упрощение уравнений теплообмена в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции и переход к безразмерным переменным
При исследованиях теплопередачи в грунте вокруг трубопровода пользуются моделью "эквивалентной" теплопроводности, согласно которой перенос тепла в грунте происходит путем теплопроводности. В пористых, влажных грунтах, особенно в зоне сплошной обводненности, нагрев жидкости в окрестности трубопровода приводит к ее тепловой конвекции, что сказывается на переносе тепла. В данной главе приводится описание математической модели теплообмена в грунте в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции грунтовой жидкости.
Исследованию тепловых режимов подземных трубопроводов, в частности, процессов переноса тепла в грунте в окрестности трубопровода, посвящено много работ, обзор которых дан в I главе.
Все имеющиеся решения получены при различных упрощениях, поскольку учет всех факторов при исследовании теплопереноса в грунте вокруг трубопровода связан со значительными математическими трудностями. Общим у всех исследователей является принятие модели "эквивалентной" теплопроводности [юз] . Обоснование применимости этой модели для описания теплопередачи в грунте приводится в работе [ч]. При этом грунт рассматривается как некоторое квазиоднородное вещество, к которому применимо уравнение теплопроводности. Но в связи с тем, что в дисперсных средах, каковыми являются грунты, существуют другие механизмы теплопереноса, кроме теплопроводности, характеристики теплопереноса являются эффективными или эквивалентными величинами. Грунт представляет собой двухфазную (сухую) или трехфазную (влажную) среду, состоящую из твердого скелета, поры которого заполнены газом, влагой или одновременно и тем и другим. В связи с этим, теплообмен в грунте осуществляется путем теплопроводности вдоль отдельной частицы, контактной теплопроводности между частицами, молекулярной теплопроводности в среде, заполняющей промежутки между частицами, излучения от частицы к частице и конвекции газа и влаги, содержащихся в грунте.
Следовательно, модель эквивалентной теплопроводности пригодна для сравнительно сухих (непромерзающих) грунтов, т.е. в условиях Средней Азии, или для слабовлажных, сезоннопромерзающих грунтов, т.е. в условиях европейской части страны, когда градиенты температуры и влажности невелики и перенос тепла в результате движения почвенной влаги мал. Для влажных грунтов, особенно в зоне сплошной обводненности, модель теплообмена в грунте должна основываться на совместном рассмотрении взаимосвязанных процессов переноса тепла и влаги.
Наиболее подробно тепловлагообменная модель разработана школой академика А.В.Лыкова [бб, 67, 68, 69]. Однако, в этих исследованиях не учитывается перенос тепла в водонасыщенных грунтах, который может возникнуть за счет свободной конвекции.
Исследования естественной конвекции в неизотермических пористых материалах были начаты в сороковых годах нашего столетия [15, 125]. В работах [17, 39, 40, ПО, 114, 115, 122] выполнены исследования конвективного теплообмена, исходя из модели конвекции в слоях пористой среды, которая основана на уравнениях фильтрации, использующих закон Дарси.
Экспериментальное определение теплопередачи конвекцией в вертикальных пористых слоях выполнено в работе [l27]. Структура полей течения и температуры изучалась в [124] . Б работах [25, 26, 46, 9б] , на основе численного решения уравнений Дар си-Бус сине ска, выполнены исследования конвекции в широком диапазоне значений числа Рэлея и удлинения слоя.
Физические предположения, в рамках которых уравнения Дарси-Буссинеска применимы для описания свободной конвекции в пористой среде, подробно обсуждаются в работах [26, 46, Зі] . В данной работе рассматривается теплообмен в грунте в окрестности трубопровода при условиях, когда перенос тепла осуществляется путем теплопроводности и конвекции. Грунт полагается насыщенной жидкостью пористой средой, недеформируемой, изотропной, а жидкость - несжимаемой. Характерный размер пор много меньше размера характерных элементов течения. Инерционные члены пренебрежимо малы. Жидкость и пористый скелет находятся в тепловом равновесии [ЮО], отсутствуют объемные тепло- и массовыделения. Справедливы обычные предпосылки приближения Буссинеска [Зі] . Температура грунта в естественном тепловом состоянии постоянная по глубине массива; глубина заложения оси трубы постоянна. Коэффициенты проницаемости грунта ft , вязкости жидкости ft , теплопроводности грунта X , удельные теплоемкости грунта и жидкости С » С, » а также коэффициент теплового расширения жидкости В полагаются постоянными; эффектами дисперсии пренебрегается.
Задача рассматривается как плоская, поскольку при транспортировке различных продуктов градиент температуры вдоль оси трубопровода на несколько порядков меньше, чем в радиальном направлении.
Разложение по малому параметру - числу Рэлея
В 4.2. была описана схема численного расчета приближенной системы уравнений, описывающей распространение тепла в окрестности трубопровода с учетом свободной конвекции при малых числах Рэлея. По описанным разностным схемам были выполнены исследования стационарных температурных полей грунта, полей давления, скорости миграции грунтовой жидкости вокруг подземного трубопровода и определены тепловые потери от трубопровода в грунт [74].
При этом на поверхности грунта принимались условия 1-го рода и 3-го рода для температуры. Для условий Щ 3 4, как указано в [4], можно пренебречь термическим сопротивлением на границе "грунт-атмосфера" и принимать граничное условие 1-го рода для температуры. Поэтому при проведении расчетов с граничным условием 1-го рода, k и ъ выбирались таким образом, чтобы выполнялось условие 3 4. Для трубопроводов большого диаметра и малой глубины заложения необходимо на поверхности грунта принимать граничное условие 3-го рода. Поверхность грунта полагалась проницаемой.
Расчеты выполнялись на ЭВМ EC-I033 с использованием программы, текст которой приводится в приложении I. Исходные данные, использованные при расчетах: к. = 1,7 м, X = 0,5 м - при граничном условии 1-го рода; Z = 0,7 м - при граничном условии 3-го рода; Tj, = 313 К; 7 , = 278 К; Т = 283 К; а = 9,81 м/с2; Сж= 1256,04 Дж/(кг К); ро = 1000 кг/м3 ; Р = 1,5 10" I/K; JL = 1,3 Ю"3 Па С; К = 5,911 КГ12 м2; /La= 0,5 ; X = І Вт/(м К).
На рис. 4.1.а и 4.1.6 представлены безразмерные изотермы температуры грунта (сплошные линии) соответственно для граничных условий 1-го рода и 3-го рода с учетом свободной конвекции. Поскольку нулевое приближение для температуры соответствует переносу тепла только путем теплопроводности, пунктирными линиями обозначены безразмерные изотермы без учета тепловой конвекции. Из рис. 4.1.а и 4.1.6 следует, что учет тепловой конвекции приводит к сдвигу изотерм вверх по отношению к нулевому приближению. Наиболее существенное расхождение в положении изотерм наблюдается под трубопроводом и составляет 13$ в случае граничного условия 1-го рода и 11% в случае граничного условия 3-го рода.
Для оценки точности приближенного метода решалась полная система уравнений свободной конвекции. Схема численного расчета точной математической модели приводится в 4.1. В таблицах 4.1.а и 4.1.6 сопоставляются результаты расчета полей температуры с применением приближенной и точной математических моделей. Здесь Л и р - биполярные координаты. Наибольшее расхождение, как видно из таблиц, не превышает 1%.
На рис. 4.2 схематически изображены линии тока фильтрации грунтовой жидкости в окрестности трубопровода при граничном условии 3-го рода. Слои более теплой жидкости, вследствие разности плотностей, поднимаются вверх и под действием избыточного давления просачиваются в атмосферу через поверхность, а место теплых слоев занимает более холодная жидкость. Этим можно объяснить сдвиг изотерм вверх под трубой. Следовательно, разогрев грунта под трубой меньше в случае, когда учитывается свободная конвекция. А над трубой, наоборот, прогрев грунта больше из-за того, что более теплая жидкость поднимается вверх, перенося с собой тепло. Линии тока грунтовой жидкости для граничного условия 1-го рода качественно сходны с линиями тока, представленными на рис. 4.2 в случае условия 3-го рода.
Распределение теплового потока по периметру трубопровода с учетом и без учета свободной конвекции представлено на рис. 4.3.а и 4.3.6. Здесь пунктирной линией обозначено распределение тепловых потерь без учета свободной конвекции, сплошной линией - результаты приближенного решения.
Представление приближенных уравнений в конечно-разностном виде и выбор схемы счета
Наибольшее расхождение для граничного условия 1-го рода наблюдается под трубопроводом и составляет 15$, наименьшее над трубой - 2$. Средние по поверхности тепловые потери от трубопровода в грунт с учетом свободной конвекции меньше на 7$. Максимальное расхождение для граничного условия 3-го рода (рис. 4.16.6) - под трубопроводом и составляет 14$, а над трубопроводом разница в тепловых потерях очень маленькая. Средние по поверхности тепловые потери от трубопровода в грунт с учетом свободной конвекции меньше на 5$.
Сравнение результатов расчета тепловых потерь с использованием приближенной и точной математических моделей показывает, что наибольшее расхождение составляет 2$ для граничного условия 1-го рода и 1,8$ для граничного условия 3-го рода.
В таблицах 4.II.а и б представлены результаты расчета давления в грунте по приближенной методике и с использованием точной математической модели при граничных условиях 1-го рода и 3-го рода. В таблицах 4.12.а и б представлены результаты расчета компонент скорости миграции грунтовой жидкости с применением приближенной и точной математических моделей.
Анализ результатов расчетов показывает, что расхождение в результатах расчетов по приближенной методике и точных решений вполне в пределах точности инженерных расчетов.
Б случае непроницаемой поверхности грунта понижение температуры на поверхности приводит к увеличению влияния свободной конвекции на теплообмен в окрестности трубопровода. Это можно объяснить тем, что при понижении температуры на поверхности грунта разница между естественной температурой грунта и температурой на поверхности увеличивается и, следовательно, скорость фильтрации грунтовой жидкости также увеличивается. Для рассмотренных условий при / = 268 К, начиная с Ясь= 0,1, и при Т = 273 К, начиная с Пси = 0,2, необходимо учитывать свободную конвекцию. С ростом коэффициента проницаемости и числа Рэлея, влияние свободной конвекции на теплопередачу в грунте и на тепловые потери от трубопровода в грунт возрастает. Для /2о.4 0,5 расчеты рекомендуется производить по приближенной методике, а при Я,сх 0,5 необходимо использовать точную математическую модель. 1. Построена математическая модель процесса теплообмена в окрестности трубопровода, учитывающая свободную конвекцию грунтовой жидкости. Разработаны численные алгоритмы и программы для ЭЦВМ для решения рассматриваемой задачи в приближенной и точной постановке. 2. Свободная конвекция жидкости в окрестности трубопровода приводит к существенному перераспределению тепловых потоков по периметру трубопровода по сравнению с теплообменом без учета конвекции, поэтому при проведении тепловых расчетов во влажных грунтах и особенно в зонах обводненности, необходимо учитывать свободную конвекцию жидкости. 3. В случае проницаемой поверхности грунта в верхней части трубы поток тепла уменьшается, а в нижней части трубы поток тепла увеличивается. В случае непроницаемой поверхности грунта поток тепла уменьшается по всему периметру трубы. 4. Показано, что метод отыскания решения путем разложения по числу Рэлея, который в четыре раза уменьшает время расчетов на ЭЦВМ, применим при числах Рэлея меньших 0,5. При числах Рэлея больших 0,5 следует воспользоваться программой расчетов на ЭЦВМ задачи в точной постановке.
