Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теория рассеяния для сжатий
1. Описание класса исследуемых сжатий 16
2. Характеристическая функция сжатия класса спектральное представление унитарной дилатации 18
3. Сравнительный анализ дилатации сжатия класса 22
4. Инвариантностьблочной структуры 29
5 Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия и унитарного. Общие свойства 33
6. Рассеяние для сжатий класса V- 41
7. Рассеяние для слабых сжатий 49
8. Существование расширенного волнового оператора в случае сжатия, не имеющего спектральных особенностей 51
ГЛАВА II. Формулы следов и функция. спектрального сдвига для сжимащего и унитарного операторов 58
1. Редукция к более простым объектам 58
2. Формула следов и функция спектрального сдвига. Случай сжатия без внутренней компоненты 64
3. Включение дискретного спектра. Структура функции спектрального сдвига в общем случае 76
4. Связь функции спектрального сдвига с определителем матрицы рассеяния 83
ГЛАВА III. Спектральные товдества для диссипативного оператора возникающего в задаче о резонансном рассеянии плоских волн на одномерном кристалле 8?
I Диссипативный дифференциальньй оператор в теории резонансного рассеяния на одномерном полубесконечном кристалле 87
2 Высокоэнергетическая асшлптотика характеристической функции 90
3. Спектральные тождества для реаонансов. Случай пары 99
4. Спектральные тождества для резонансов. Случай пары Теорема Левинсона 107
Список литературы
- Характеристическая функция сжатия класса спектральное представление унитарной дилатации
- Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия и унитарного. Общие свойства
- Формула следов и функция спектрального сдвига. Случай сжатия без внутренней компоненты
- Высокоэнергетическая асшлптотика характеристической функции
Введение к работе
К настоящему времени теория возмущений непрерывного спектра самосопряженных операторов получила уже глубокое развитие. Теория рассеяния превратилась в обширную и разветвленную науку, давно стали привычным аппаратом сравнительного анализа операторов формулы следов и спектральные тождества.
Иная ситуация наблюдается для несамосопряженных операторов. Если в соответствующей теории рассеяния уже имеется ряд важных результатов, то аппарат формул следов в сущности не разработав. В то же время многие задачи резонавсвой теории рассеяния требуют исследования формул следов и спектральных тождеств диссипативвых дифференциальных операторов.
В диссертации получена абстрактная формула следов для пары, состоящей из сжимающего и унитарного операторов и построена для этого случая теория функции спектрального сдвига. Методы работы позволяют попутно получить некоторые новые результаты по теории рассеяния для сжатий. На основе разработанных методов выведены спектральные тождества для конкретного диссипативного дифференциального оператора, возникающего в задаче о резонансном рассеянии плоских волн на одномерном полу бесконечном кристалле.
Перейдем к описанию содержания работы. Диссертация содержит три главы, причем, каждая предшествующая глава является базой для последующей. Основным аппаратом первых двух глав служит гар* ионический анализ операторов, развитый Б.С.-Надем и Ч.Фояшом. Третья глава в существенном опирается на асимптотические методы.
В главе I получены подготовительные результаты. С их помощью во второй главе удается быстро получить ооноввой результат. Глава имеет теоретико-операторный характер.
Основным объектом работы является вполне неунитарное сжатие 7" в гильбертовом пространстве 0^ , выделенные тем условием, что 2 — Т*Т ^2 (Sp>0<P^^' Предполагается, что внутри единичного круга у оператора 7~ нет остаточного спектра. Этот класс операторов, который мы будем обозначать через р, является проста, оборви класса славах с*ати* О~0 исследованного в книге [ I]. Важным для теории рассеяния свойством сжатия Т G2 @L является то, что существует унитарный оператор Vу отличающийся от 7~ на оператор из (So.Описанию класса (? посвящается 1. В 2 вводится в рассмотрение характеристическая функция (х.ф.) S-rfz) сжатия (см.Щ) из (0 и произведена удобная для дальнейшего нормировка, выбранная с тем расчетом, чтобы нормированная х.ф. Sfe ) (5ыиа в точке 2=0 положительным оператором. При этом () оказывается представимой внутри круга в виде I -/ оператор из @л. В этом же параграфе описано симметричное спектральное представление минимальной унитарной дилатации U сжатия / (см. Й). Пространство дилатации будем обозначать через сО . В 3 доказано основное утверждение.
Теорема 3.2. Пуоть такой, что
7"— \/ 2 (д Тогда существует в j0 — )OJ^ унитарный оператор ~V0 такой, что XJ- V0V 2 @1о. Причем, выбором оператора Vq это включение невозможно улучшить.
Доказательство этой теоремы опирается на теорию унитарных сцеплений полуунитарных операторов, развитую В.М.Дцамяном и Д.З.Аровым в [в]. В соответствии с этой теорией подпространство "S ~ ^ G J$x можно представить в виде ортогональной суммы приходящего XL и уходящего ^. каналов, в которых действуют соответственно полуунитарные операторы ТИ~ такие, + - v±
Иначе говоря, "U" является унитарным сцеплением V± . Оказывается, это сцепление минимально, то есть = V t7 ^ С-ф <^- ^ > гдв знаком ^ обозначена замкнутая линейная оболочка подпространств \V^ С+ _) I Сцепление U произведено с выходом из сЭ о » однако у операторов ~V+ существует целое семейство так называемых специальных сцеплений без выхода из пространств -$0 . Для теоремы 3.2 подходит лишь одно из них.
В процессе доказательства теоремы 3.2 найдена важная для дальнейших построений блочная структура возмущения Q =— \j _ уо ф V в разложение пространства $ — Т) Ф_^ Ф Х)_ оказывается, что Q = о Q АЛ оо о о
В 4 выяснено, что блочная структура (о>±} инвариантна относительно функций тС^") аналитических внутри круга и имеющих на окружности непрерывную вторую производную. Иными словами, блочная структура возмущения <РСи) - «КЧ, v) - ? -имеет вид (а О и утверждение о принадлежности её элементов соответствующим классам остается справедливым. Как следствие этого, для всякого сцепления ТЄ^ @У^ и V \ Т-У^&х имеет место формула
Теорема 3.2 и вид блочной структуры С о.-і) потребовались нам для доказательства формулы следов. Однако эти утверждения оказываются весьма полезвнми и для теории рассеяния о потерями. Последующие четыре параграфа главы посвящены указанным вопросам.
В 4 определяются модифицированные волновые операторы и оператор рассеяния для пары
Сб.2.) \T±(v>t^ = W+ (туу) где /^_ - ортопроектор на абсолютно непрерывное подпространство оператора
В несамосопряженвои случае, как и в самосопряженном, волновые операторы являются основными объектами теории рассеяния. - 8-Первое исследование волновых операторов было проведено I.A.Cax-новичем J4 J в рамках треугольной модели. Класс диссипативных операторов для которых справедлива построенная в [4] теория, весьма узок (ограниченные дисоипативные операторы с абсолютно непрерывным спектром). Несколько позже этим же автором в [5] было доказано существование волновых операторов для некоторого класса операторов, подобных унитарным, диссипативность уже не предполагалась. Однако, накладываемые условия оказалиоь, все-таки, слишком жесткими для реальной ситуации. Причина этого в том, что в работах Л.А.Сахновича не использовались тонкие результаты гармонического анализа Б. С.-Надя и Ч.Фоеша. Форма функциональной модели сжатий в интересующем нас виде возникла, вероятно, впервые у Б.С.Павлова в [б] . Несколько позже, основываясь на идее явного аналитического представления одновременно двух операторов в паре 0">lO используемой в работе [б] , С.Н.Набоко построил теорию рассеяния уже для целого класса не-самосопряженных операторов (этот класс содержит, в частности, диссипативвне операторы с ядерной мнимой компонентой) (см., например, [7] ).
Определение (o.z) волновых операторов отличается от тех, которые давались в вышеперечисленных работах. Однако, нетрудно показать, что наше определение (о, 2) переходит в общепринятое в самосопряженной теории рассеяния, когда оба оператора 7" и V унитарны. В 5 доказываются основные свой» ства волновых операторов, необходимые нам в дальнейшем* В частности установлено, что
Т/+ (Т, V) = Р W+CV, у0Ф и)/>- ' j$ - j& - Э - где Я* - ортопроектор в ) ва подпростравство -^
Теорема 3.2 и равевства fa.-О позволяют дать прозрач-вое построевие теории рассеявия для сжатий класса Va. (то есть, сжатий с ядервш дефектом D — ^//- 7"** 7"' ) В том числе удается доказать существование всех четырех волновых операторов Со. О и представимость в виде "I-+ ядервый" матрицы рассеяния пары ( г, /) .
Новым является то, что разработаввым методом доказывается принцип инвариантности волновых операторов для указанной пары. Для ограниченных диссипативвых операторов с ядервой мнимой компонентой и абсолютно непрерывная спектром он возник впервые у ЛД.Сахновича в работе [4].
В коротком 7 приведены необходимые для главы П результаты из работы Б.С.Павлова [б].
Заключительный 8 посвящен задаче об учете потерь в теории рассеяния, суть которой заключается в следующем. Пусть полугруппа сжатий Т1^, ^ ъ о описывает эволюцию открытой системы -@и ТҐ*', ^ о - полугруппа унитарных операторов такая, что асимптотические соотояния 7" и V*~ сравнимы (иными словами, существуют волновые операторы l/t/± С7^ Ю} Оператор рассеяния SCt^ is") этой пары Зудет сжатием. Возникает вопрос: можно ли расширить нашу открытую систему & до замкнутой гЗ , а вместе с ней сжатие Т до унитарного оператора 1/ в г5 так, чтобы оператор рассеяния *^ґ"сЛ ^о Ю > ГД9 ^о ~ специальное сцепление, был бы уже унитарным. Задача эта содержательна, поскольку уже в - ю -случае, когда Т — V Є 0>х -> разность "V- VD(&\/ может быть из (> и ни один признак не гарантирует существование волновых операторов для пары (* vy У0Ф Vу) . Однако, они все-таки существуют и это следует из результатов работы 6] Доказательство, данное в [6], однако надо счесть трудным. При некоторых дополнительных ограничениях на сжатие 7" (правда, довольно обременительных) мы можем предложить простое прямое доказательство разрешимости задачи учета потерь.
В главе П выводится формула следов и строится теория функции спектрального сдвига для пары операторов, один из которых -сжатие.
Формулы следов для самосопряженных операторов относятся к одному из наиболее старых аппаратов теории возмущения. Потребности в них возникли у физиков при ре пении некоторых задач квантовой статистики. Формализм теории был построен И.М.Лившицем в 1952 г. (см.[8] ). Строгие математические обоснования были даны М.Г.Крейном в [9], [12]. Для унитарных операторов была получена следующая
Теорема 0.1.Пусть I/, и К - два унитарных оператора, причем l^-Ц С @4 ТогДа точностью до постоянного слагаемого существует единственная вещественная функция ОС<е^і Со, 2гЛ такая, что
С 1 2Т где <0О(//- 4-)- любая функция,допускающая разложение
Функция 0(<е) может быть получена по формуле
9<>) * -L <)* ага Лт> Г\е і%е \ (почти всюду) - II - JІгм/cff < )iv//± , ^-^^ функция о (
М.Ш.Бирманом и Н.Г.Крейном в 1ю] была вайдева связь функ-ции о f(f^) с матрицей рассеяния. А именво c/t6g. = е'**^* (почти всюду)
Формула следов для несамосопряженных операторов возникла впервые у Л.А.Сахновича в [4] , где теорема 0.1 была дока-зава для пары, состоящей из ограниченного диссипативвого и сопряженного с ним операторов. На случай произвольного дисошативного оператора такого, что
Формула следов была получева В.М.Адамявом и Б.С.Павловым в [II] с помощью функциональной модели.
В 1 главы П задача о вычислении следа где Т - сжатие класса ($yz , а V ~ У :
Т- У Z ± о сводится к изучению уже известных объектов. Рассуждения в существенном опираются на теорему 3.2. Отметим, что метод, которым доказывалась формула следов в самосопряженном случае, для пары Ст^ ИЗ нв эффективен.
В 2 изучается случай, когда спектр сжатия 7" чисто абсолютно непрерывен. Формула следов для такого типа сжатий имеет вид соответствующей формулы для пары унитарных операторов.Однако функция спектрального сдвига уже, вообще говоря,не суммируемая по Лебегу. Но оказывается, что если интеграл понимать в более широком смысле, то она будет уже суммируемой.Естественное для нашэго случая обобщение интеграла известно в анализе как В-интеграл. В 2 доказана следующая
Теорема 2.2. Пусть Т-сжатия класса ( у с абсолютно непрерывным спектром э V - унитарный оператор такой, что T-V Є (3± Тогда существует комплекснозначная функция о^ОеО с положительной мнимой частью такая, что для достаточно широкого класса функций Ф(^ C/z/ = О справедлива формула следов Sfi { ФСТ^ -S^CV ) } - C^ywe ) с/ФСе <v J .
Функция со (у) - В-интегрируема, причем её мнимая часть ІтпОд принадлежит L^o^rr) , а вещественная /& со - лишь /jut (0,2.1г) при всяком о <^u ^ d. . Функция ofr) при почти всех о у> < 2тг допускает представление где ОМ- функция спектрального сдвига пары О^Л VQ<& 1/) . 3 посвящен включению дискретного спектра сжатия 7~ . Формула следов для пары Qt^V) приобретает здеоь следующий вид : 2Х- - 13-где /^^, {Fie} ~ соответственно собственные значения и их проекции на единичную окружность, &}(у) - обобщенная функция, которую будем также называть функцией спектрального сдвига упорядоченной пары Ст.1/3
В 4 установлена связь функции спектрального сдвига пары (т V) с определителем матрицы рассеяния cktS д, СТУ И - Є -2***3*» (почти всюду) t
Основные результаты этой главы опубликованы в [13].
В главе Ш полученные в предыдущих главах абстрактные результаты применяются для анализа конкретного диосипативного оператора,возникающего в задаче резонансного рассеяния. Мы рассмотрим представительный случай - рассеяние на одномерном полубесконечном кристалле. Дифференциальный оператор, описывающий возникающую с этой задачей открытую систему, выглядит следующим образом: о -\\fn„
где Qu0 fuY} - вектор-функция в пространстве данных Коши .4?
Цо = Соихі э ttj != О } * < О J э _ Кооператор & — диссипативный Іь, & ^- о и имеет одномерный дефект несамосопряженности, поэтому к нему применимы все результаты предыдущих глав. Исследованию оператора ^ посвящено ряд работ (см..например,[14 , 15 , 16] ). Все сведения об операторе & приведены в I.
Конечной целью главы является описание спектральных тождеств для оператора А (в литературе чаще, однако, их называют формулами следов).
Спектральные тождества для некоторого оператора Н это регуляризованные относительные следы Sjo С // **_ //^4 ) где Н0 - невозмущенный оператор, а ж. - целые неотрицательные числа. В эти тождества явно входят собственные значения операторов //,//0 и регуляризованные моменты функции спектрального сдвига этой пары — с одной стороны и характеристики оператора Н — с другой. Отметим, что доказательства спектральных тождеств основано на знании асимптотики следа разности резольвент операторов И^ tt0 .
Спектральным тождеством для различного типа самосопряженных операторов Штурма-Лиувиля посвящена обширная литература. Так, в работе В.С.Буслаева и Л.Д.Фадцеева \р\ получены опектральные тождества для одномерного оператора Шредингера на полуоси с конечным первым моментом потенциала и нулевым граничным условием в нуле. Позже В.С.Буслаевым {18} были выведены спектральные тождества уже для трехмерного оператора Шредингера.
Для нашего оператора & в качестве невозмущенного оператора естественно брать & э коль скоро для парыС^,^) есть формула следов (см. [її] ). Существенной особенностью, сказывающейся на регуляризации следов SpCeJ"- & *) является сложный вид соответствующих асимптотических формул, - 15-который, в свого очередь, связан со сложностью спектра оператора > . 2 посвящен получению нужной асимптотики х,ф» SC\) оператора & ^ по которой асимптотика следа S/> j /СЛ (я* 3 - /Рл С^ )] получается уже легко.
В 3 получено первое спектральное тождество, то есть произведена регуляризация следа -^уо^Л-А^') , Замечено, что все четные формулы будут тривиальными.
В задачах резонансного рассеяния в качестве невозмущенного оператора, однако, удобнее брать не А > а оператор А вида / о -Л A = tl , <М = о {-& + **> / который является уже самосопряженным (см. [14] ). На основании вычисления следов Sp (&*"- А**} , в 4 получена уже иная серия спектральных тождеств для оператора & « При л* = о — это аналог теоремы Левинсона. Оказывается, что спектральные тождества, отвечающие паре С/> , /\ ) при четных ->п. уже не являются тривиальными, при нечетных же лг совпадают с тождествами, отвечающими паре (А,>^ ) . Как и в 3, явно приведено лишь первое тождество, поскольку следующие чрезмерно громоздки.
Результаты главы опубликованы в [l3 , 19].
Характеристическая функция сжатия класса спектральное представление унитарной дилатации
В этом параграфе вводятся в рассмотрение классы операторов сжатий, играющих, как это будет ясно из дальнейшего, выделенную роль в теории рассеяния. Хотя нас, на самом деле, будут интересовать не все классы, но рассмотрение целесообразно производить в общем случав.
Определение. Будем говорить, что вполне неунитарное сжатие в гильбертовом пространстве принадлежит классу если: (I) его спектр не покрывает единичного круга,
Доказательство: Рассмотрим полярное представление сжатия 7" = у СТ Т) Предположим сначала, что О еГ(ґ(т)9 тогда оператор ]/т будем унитарным и поскольку вместе с 1 -Т Т классу fe / принадлежит и 1—\Г Т)\ Таким образом, в случае, если О Г 7 Y"70 утверждение доказано. Покажем, что точка О может быть лишь собственным значением конечной кратности. Рассмотрим бесконечную последовательность { У и, ] векторов из @ таких, что х;цдесь и везде далее все гильбертовы пространства предполагаются сепараоельными. Il ll-i и o . Тогда в силу того, что 7"-//.Г(ь, последовательность (т- Ут) будет сильно сходиться к О , Но с другой стороны, для любого а. я / -/ !
To есть //(T-c l)u // 0-/ L/)-//CT- / -) /, откуда следует, что (Т-яі) и не может стремиться к нулю ни для какой последовательности I U„, I , а значит точка ь- /ь/ 1 нв может принадлежать существенному спектру оператора 7 . Условие (I) исключает присутствие внутри круга и остаточного спектра сжатия 7" . Таким образом, спектр внутри круга дискретный кояечнократяый. Заметим, что если О Cj Cr)t то о Z Ґ Ст ) и фой же кратности, а значит частично изометрический оператор Ут , переводящий JQ(T ) на Х(т) можно произвольным конечномерным изометрическим из 6 t Т на 6 t 7 оператором расширить до унитарного V во всем пространстве. Очевидно, что Т V будет из fe уо . что и требовалось доказать.
Попутно мы доказали также следующее
Для сжатия, чья характеристическая функция обладает ска лярным кратным (например, слабого), это утверждение хорошо известно (см. [і], ГЛ.УІ). Однако можно доказать, что, при некоторых дополнительных предположениях характеристическая функция сжатия класса (7L имеет скалярное кратное и при
Предложение І.І обращения не допускает, так как у сжатия, отличавдегося от унитарного на оператор из @уо может быть остаточный спектр, покрывающий весь круг. Однако, если предположить, что в круге есть точка, не принадлежащая остаточному спектру оператора 7" , то Т f . Действительно: свойство (2) следует из очевидного тождества
Отсутствие существенного спектра внутри круга уже доказывалось. Таким образом верно Действительно, она означает, что существует изометрический оператор . D — ,J? такой, что V/zfo) = {2L/J) ) Отсюда видно, что если 2 Є&!„ то и Лт Го) С (Sy, .
Непосредственно из определения х.ф. следует, что она является оператором из одного пространства &-. в другое )т Однако, в теории рассеяния удобно иметь дело с одним пространством. Для этого х.ф. следует нормировать, домножив, например, слева на унитарный из rj) на JDT оператор. Заметим, что на запись специального приходящего спектрального представления (связанного с функциональной моделью сжатия 7" (см.,например, \2 \ ) эта нормировка не повлияет, так как х.ф. входит в него только через д () — / - ST fe) &т Оь) , Часто, однако, бывает удобнее симметричный вариант спектрального представления (предложение 2.3), который автоматически предполагает возникновение нормировки. Дело в том, что переход от приходящего к СИМ -20 метричному представлению происходит, как бы, с "расклейкой" ST(z) и ST(h) в операторе AT(z) , при которой и проявляется у т ( ) слева унитарный оператор S , причем, мы свободны в его выборе.
Будем полагать везде далее, что о Г (ҐСт). Это предположение не очень существенно, но сильно упростит изложение. Тогда Sj- Со } обратим в узком смы зле. Выберем = , где 9 - унитарный фактор в полярном представлении
Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия и унитарного. Общие свойства
Предложение 4.1 для случая Г Є- i/z имеет одно важное Следствие 4,3 (принцип инвариантности следа относительно присоединения лаксовского канала). Пусть 7 (=Г -f/2 3 а V унитарный оператор такой, что 7 — У &-± ъ тогда U - 0 Ф У Є @ и для любой функции вида (4.2) имеет место следующее равенство
Формула (4,6), возможно, допускает следующую физическую интерпретацию: хорошо известно, что среднее значение некоторой физической величины определяется взятием следа произведения, отвечающего ей оператора и матрицы плотности. При этом функция от оператора р может возникнуть как описание эволюции системы во времени. Формула (4.6) означает, что среднее значение физической величины не зависит от того, рассматривается ли данная открытая система отдельно или как подсистема минимальной замкнутой системы. Вычитание же функции от некоторого унитарного оператора играет роль необходимой для сходимости следа регуляризации.
Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия и унитарного. Общие свойства На протяжении этого параграфа мы будем рассматривать вполне неунитарные сжатия 7" , допускающие разложение вида С00 - СyY (см.[і] гл.П), например, сжатие, чья характеристическая функция обладает скалярным кратным.
Определение. Пусть V - унитарный в оператор. Для пары С 7", к) определим волновые операторы как сильные пределы: где- ортогональный проектор на абсолютно непрерывное подпространство оператора У .
Введем следующие обозначения: э - абсолютно непрерывное и сингулярное подпространства оператора V \ JQe , - внешнее и внутреннее подпространства сжатия 7 и - J аналогичные подпространства 7" (эти подпростран-ства исследованы в работе [2] , в которой впервые и введены эти термины).
Докажем ряд простых свойств волновых операторов. Для определенности остановимся на к/!+ так как W__ рассматривается аналогично.
Предложение 5.1. Если для пары (т V ) существуют оба оператора 1V+ то: (1) они взаимно сопряжены, то есть (2) начальная область оператора kf+Ст, У) совпадает о JQ s а конечная плотна в некотором подпространстве пространства e хх\ Для W+(V,T) верно то же утверждение с заменой - на Л и на .
Доказательство: При условии существования обоих сильных пределов У утверждение (I) очевидно. Докажем (2). Рассмотрим разложение также часто называют абсолютно непрерывным. Этот термин возник лишь по аналогии с самосопряженной теорией и в него не вкладывается обычного смысла.
Понятие начальной и конечной области для неизометрического оператора мы обобщим астеотвенным образом.
В силу (I) его можно переписать следующим образом Пусть элемент Ає принадлежит /Ut W+(v т) Это означает, что В силу же общего предположения о сжатии (см. І2] ) и таким образом С -СТ \ҐУ) о Вполне аналогично доказывается утверждение о начальной и конечной областях оператора W,+ ( iTy) Будем говорить, что волновой оператор,например, Ь/+( г} О является полным, если его конечная область плотна в J e .
Предложение 5.2. Для полноты оператора U/+ С т \s) достаточно, чтобы существовал h+C r) и JP. Г) J . =/о} При этом оператор W+ Ст, ) является квазиаффинитетом (см.[1]гл.Ш) пространства в ге и осуществляет квази подобие операторов HL = / Р1 и Т„ - Т/&
Доказательство. То, что J(V, О, i/J ) С j уже доказано. Остается лишь убедиться в совпадении. То есть, нам надо доказать, что / Т Ju о для всякого v . Образуем VT L =2 Л + Очевидно, является инвариантным подпространством относительно Т и то S_ -Рл. htol и бесконечномерно, поокольку бесконечномерно Р. . А тогда существует последовательность элементов
В силу произвольности выбора - е заключаем, что /%_7 п / не может стремиться сильно к 0 и «. . V+ =- - Твм самш -f О; ) - е Докажем, что W+CT;)/} осуществляет квазиподобие V и . Но сплетающее свойство
Очевидно, В силу же только что доказанной полноты волнового оператора соотношение (5.3) можно переписать U/+ Ст3 is) = Г 7; -) к Сг.1)
Оператор X = W+CT v) I $ обратим (в широком смысле) на и Х"г имеет плотную область определения. Иными словами, он являетоя квазиаффинитетом в $ (см.Гі? гл.П) и, согласно (5.4), осуществляет квазиподобие L _ и Tt Предложение доказано. Сделаем некоторые замечания:
Замечание 5.3. в самосопряженной теории для полноты волнового оператора W Сл,&) необходимо и достаточно лишь существование w+ С&,4). Для случая, когда один из операторов - сжатие, это утверждение теряет силу. Это связано с тем, что J J и могут даже существовать элементы L . и 1 J . (это происходит когда спектральные компаненты сжатия неразделимы (см.[2])).
Формула следов и функция спектрального сдвига. Случай сжатия без внутренней компоненты
В соответствующей самосопряженной теории наличие дискретного спектра не приводило к необходимости изменений в подходе. Б несамосопряженной теории ситуация иная: нетривиальная внутренняя часть сжатия требует специального рассмотрения и в случае достаточно сложной её структуры возникают дополнительные трудности. По этой причине рассмотрение целесообразно начать со сжатия с абсолютно непрерывным спектром. Замечательно, что уже в этой ситуации функция спектрального сдвига теряет характерные для унитарного случая свойства.
Нам понадобится понятие В-интеграла (см.[28]). Пусть j-fx.} - измеримая функция на конечном полуинтервале I vO . За пределы /vO распространим её как периодическую: jfx+. Пусть t = yo- произвольное разбиение э, -е ) на отрезки /х. . -, х. ) = А- и f УиакІД I. Пусть, далее, - произвольная точка из . . Образуем выражения которые являются римановыми суммами функции ,С ) = -ffx+t) Если функции f (Ос) интегрируемы по Риману, то очевидно, что Xfa) при (Г-ъо существует, не зависит от выбора -V. и . , а в силу периодичности j-C ) , и от
Оказывается (см.128]), что интегрируемая по Лебегу функция также и В-интегрируема, и интегралы в обоих смыслах совпадают. Обратное, вообще говоря, неверно. Подобного рода функции естественно возникают при изучении граничных значений интеграла Шварца О с суммируемой функции / ) (без ограничения общности её можно считать вещественной).
Известно (см. [ 28] ), что L(tt ) имеет почти всюду конечные граничные значения CeL ) , которые являются функцией из ІІ СІ , о с ы d. , причем вещественная УСр) и мнимая ігО) компоненты связаны соотношениями : где, как обычно, / /А — СГ/ /Рс/?} Оказывается, что из суммируемости йСу) следует лишь В-интегрируемость &t J и Й)/ Ъ-CVWY = О (CM.[28J). По построению интеграл Jf зависит от С , то есть J - ґе) Из неравенства (2.8) вытекает, что существует подпоследователь ность ? .- о, по которой У1 С±) сходится к некоторо му У . Подобно тому, как это только что делалось, получаем
В силу условия — о , и произвольности р , оценка (2.10) означает сходимость по мере jfcCt) У при Поскольку же левая часть (2.10) не зависит от , то все час-тичные пределы У совпадают и, тем самым, У = У .Сущест вование В-интеграла доказано. Осталось проверить, что он есть предел У при г - Л . Действительно,
Первое слагаемое в правой части (2.II) меньше Є. при достаточно малом /- , второе меньшэ С при Г—э о вне множества 7 , и« 7" » - в 0ИЛУ В-интегрируемости, третье оценивается при — о по определению интеграла Римана, четвертое и пятое - в силу (2.9). Таким образом, и лемма полностью доказана.
Отметим, что мы попутно описали практически удобный способ вычисления В-интеграла. Действительно, образовывая гладкие срезки 4ггО) функции U( e) такие, что / -« // с » мы, тем самым, вводим в рассмотрение гладкие срезки Ь Сч ) функции -(«е) .А, как это видно из доказательства, предел интегралов %(} от срезок при - о и предел по мере %&) при Г- о совпадают. Иначе говоря,в тех случаях, когда можно корректно определить несобственный интеграл в смысле главного значения, В-интеграл просто заменяется на него. Этим мы будем пользоваться в реальной ситуации третьей главы. Перейдем теперь непосредственно к обсуждению основного факта этого параграфа.
Теорема 2.2. Пусть Т-сжатия класса ($„ с абсолютно непрерывным спектром и V- унитарный оператор такой, что Т-V С ( Тогда существует комплекснозначная функция 0СУ ) с положительной мнимой частью такая, что для любой функции Ф() , производная которой удовлетворяет условию (2.4), справедлива формула следов
Высокоэнергетическая асшлптотика характеристической функции
Как известно, спектральные тождества представляют собой явную запись следа разности натуральных степеней двух резольвентно сравнимых операторов, понятую и регуляризованную определенным образом. В нашей ситуации естественно возникают две пары операторов, разность резольвент которых одномерна. Это пары (,» ) і ГА, ) .В данном параграфе мы остановимся на паре
Теорема 3.1. Пусть j\] собственные числа, a S С\ ) -характеристическая функция оператора /5 . Тогда справедливо следующее соотношение - первое спектральное тождество: Штрих над интегралом означает, что интеграл несобственный и предельный переход осуществлялся по расширяющимся интервалам (о 7Г(и,+ - У) и в окрестности точек А =7Г/г понимается в смыс Z ле главного значения.
Доказательство. Воспользуемся следующей формулой из работы \ll\, учитывая, что х.ф. оператора является скалярной Поскольку асимптотика х.ф. Sfy) нам известна (предложение 2.1), то по формуле (3.2) вычисляется и асимптотика S/o // С&) - )j Обозначим коэффициенты при обратных степенях в разложении для S(x через /fo, , Kz . Тогда для следа будет верна следующая асимптотика:
Асимптотика (3.3) написана для верхней полуплоскости. Для получе-ния асимптотики в нижней достаточно воспользоваться симметрией следа:
Наши асимптотики равномерны по ФТА X для -А А ї-о ЛчА О, однако имеют различный вид в каждой из полуплоскостей, как, впрочем, и должно быть из-за наличия разреза по асимптотически сливающимся зонам.
Образуем интеграл Рисса от J-(A ) с множителем А по раздувающейся последовательности контуров С +1/ радиуса В работе В.М.Адамяна и Б.С.Павлова [2] рассматриваются интегралы более общего вида типа (з.4} при выводе следующей формулы: где - диссипативный оператор; - голоморфная в окрест ности объединения спектров L t L, функция; Д - собствен ные значения L, с кратностью md М } - монотонно воз растающая функция, задающая меру на вещественной оси: cfju С-Л о 5 \ о - нагрузка массы в бесконечно удаленной точке, а е70 - вычет функции - /02, в этой точке. Процедура, используемая при выводе этой формулы, без изменения переносится на наш интеграл (3.4), если в качестве Ф(\ ) взять и а в качестве контура интегрирования -Ch4m,j . Для интеграла (3.4) получается следующее выражение:
Член, отвечающий нагрузке точечной кассы в бесюнечнооти, равен нулю из-за отсутствия сингулярного внутреннего сомножителя в факторизации характеристической функции 5Л") .
При и — р о под знаком интеграла в левой части выражения (3.6) функцию -f (Л") можно заменить её асимптотикой. Это действие законно из-за равномерности асимптотических формул по аргументу А и того, что контуры м%+1/ проходят через середины зон и отделены от концов зон, где наша асимптотика не верна. Заметим, что вследствие свойства симметрии следа где C u - часть контура лежащая в верхней полуплоскости. Обозначив в асимптотике (3.3) коэффициенты при степенях /х через 5о S2 - соответственно, с учетом (3.7), левую часть (3.6)
Заметим, что последний интеграл стремится к нулю при и — о Оставшиеся интегралы рассмотрим по отдельности. Мы подсчитаем для примера лишь первый интеграл, все остальные вычисляются аналогично:
Интеграл в правой части (3.9) обозначим через JL . Заметим, что нам достаточно следить только часть контура C+V/ в нижней полуплоскости, причем контур обходится против часовой стрелки. Вычисляем первый интеграл в (3.10) по теореме о вычетах; во втором же интеграле делаем замену Д на -Д после чего формула Q.so) приобретает вид
Возьмем мнимую часть от 1 и заметим, что подынтегральная функция в (З.ІІ) не имеет полюсов в верхней полуплоскости. Это дает возможность продеформировать контур С // в Г7 ,, - состоящий из отрезков вещественной оси и полуокружностей Kf радиуса обходящих по верхней полуплоскости точки
