Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Суперсимметрия, суперполя и деформированное суперпространство 11
1.1 N—1 суперсимметрия 11
1.2 Деформированное суперпространство 18
1.3 Модифицированное произведение суперполей 22
1.4 Теория кирального и антикирального суперполей на деформированном суперпространстве 27
1.5 Неантикоммутативная суперсимметричная модель Янга - Миллса 29
Глава 2. Общая модель кирального - антикирального суперполей на N=1/2 суперпространстве 33
2.1 Действие неантикоммутативной общей модели кирального - антикирального суперполей 33
2.2 Структура компонентного действия 35
2.3 Полный компонентный лагранжиан 43
2.4 Компактная форма записи компонентного лагранжиана 46
2.5 Деформированная суперсимметричная сигма - модель 49
2.6 Исключение вспомогательных нолей в деформированной теории 51
Глава 3. Однопетлевой эффективный потенциал в общей модели кирального и антикирального суперполей на N=1/2 пространстве 53
3.1 Однопетлевое эффективное действие 53
3.2 Вычисление оператора Я* 58
3.2.1 Однонстлевая поправка в деформированной теории 58
3.2.2 Вклад кэлерова потенциала в оператор Я* 61
3.2.3 Вклад суперпотенциалов в оператор Я* 63
3.3 Вычисление однонетлевого эффективного потенциала 65
Глава 4. Эффективное действие суперсимметричной калибровочной теории 71
4.1 Свойства -к - произведения суперполей и символы операторов, зависящих от антикоммутирующих координат 71
4.2 Деформированная суперсимметричная теория поля Янга - Миллса с присоединенной киральной материей, 75
4.3 Метод фонового поля для деформированной теории 78
4.4 Метод собственного времени и функция 80
4.5 Калибровочно - инвариантное эффективное действие Янга - Миллса индуцированное материей 83
4.5.1 Вычисление однопетлевой квантовой поправки в фундаментальном представлении 83
4.5.2 Вычисление тепловых ядер 87
4.6 Эффективное действие деформированной суперсимметричной теории ноля Янга - Миллса 92
4.6.1 Однопетлевые вклады калибровочных и духовых полей 92
4.6.2 Вычисление теплового ядра на постоянно - ковариантном фоне 96
4.6.3 Эффективное действие 104
Заключение 108
Список литературы
- Модифицированное произведение суперполей
- Компактная форма записи компонентного лагранжиана
- Однонстлевая поправка в деформированной теории
- Метод собственного времени и функция
Введение к работе
Объединение всех фундаментальных взаимодействий на основе небольшого количества общих принципов или даже одного единого общего принципа является ведущей тенденцией современной теоретической физики. Достижения, полученные в физике высоких энергий укрепляют представления о том, что все разнообразие явлений природы обусловлено взаимодействующими элементарными частицами. Экснсрсмен-тальные исследования свидетельствуют о существовании четырех типов различных взаимодействий элементарных частиц: - гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного. Данные взаимодействия являются фундаментальными, то есть лежащими в основе всех явлений природы. При этом, все более актуальной становится идея, что существует единое фундаментальное взаимодействие, расщепляющееся при наблюдаемых низких энергиях на четыре известные разновидности. Именно в рамках этой тенденции были достигнуты значительные успехи в построении стандартной модели электро-слабого взаимодействия, квантовой хромодинамики и их обобщений - моделей великого объединения (см., например, [1], [2]). В основе всех таких моделей лежит перенормируемая квантовая теория поля, свободная от аномалий (см., например, [3] - [б]). Объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями в рамках той же системы идей, что привели к единой теории электрослабого и сильного взаимодействий, представляется в настоящее время невозможным в силу неперенормируемости квантовой теории гравитационного ноля.
Современный прогресс в построении объединенных теорий связан с концепцией суперсимметрии (см., например, монографии [7] - [13]) Суперсимметрия представляет собой расширение симметрии специальной теории относительности. Известно, что релятивистская симметрия формулируется в терминах группы Пуанкаре с генераторами пространственно-временных сдвигов Ра и лоренцевских вращений Jab (а, Ь — 0,1,2,3), удовлетворяющих коммутационным соотношениям соответствующей алгебры Ли. Суперсимметрия достигается путем расширения алгебры Ли группы Пуанкаре добавлением новых генераторов Qm и Qhi (где индексы принимают значения і — 1,2,... ЛГ; а = 1,2, а = 1,2), имеющих фермионную природу и подчиняющихся антикоммутационным соотношениям. При N = 1 суперсимметрия называется простой, а при N > 1 - расширенной. Суперсимметрия обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермионов. В силу этого представляется, что суперсимметрия должна быть одним из обязательных принципов, лежащих в основе единой теории.
Разработка суперсимметричной теории поля привела к необходимости усовершен-
ствовать математический аппарат, который бы позволял работать с антикоммутиру-ющими переменными. Было развито обобщение дифференциального и интегрального исчисления для таких величин. Потребовалось обобщить понятие группы и алгебры Ли при наличии новых генераторов, подчиняющихся антикоммутационным соотношениям и, следовательно, были сформулированы понятия супергруппы и супералгебры. Это привело к введению понятия суперпространства как пространства на котором реализована эта группа [14]. Оно определяется как расширение обычного пространства Минковского за счет введения антикоммутирующих координат в и в, принадлежащих алгебре Грассмана (см., например, [7], [9] и [10]). В работе [14] было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве (см., также [9], [10], [15], [16]).
Поскольку суперсимметрия объединяет бозоны и фермионы, то любая модель суперсимметричной теории поля содержит бозонные и фермионные поля, переходящие друг в друга при преобразованиях суперсимметрии. Эти поля принято называть компонентными полями. Суперсимметричные модели теории поля можно сформулировать двумя эквивалентными способами. Во - первых, это формулировка непосредственно в терминах компонентных полей, где суперсимметрия не является явной. Такая формулировка называется компонентной и содержит, вообще говоря, достаточно большое число бозонных и фермионных полей, лагранжиан взаимодействия которых имеет специальную структуру, обеспечивающую суперсимметричность теории. Во многих случаях, в частности в четырехмерном пространстве и при N = 1, все компонентные поля можно объединить в единое суперполе, что ведет к суиерполевой формулировке суперсимметричных моделей. Суперполевая формулировка позволяет существенным образом упростить все вычисления при работе с квантовыми, супер-симметричными моделями из-за ее компактности, так как оперирует целыми мульти-плетами полей в явно ковариантной форме. При этом обычные бозонные и фермионные поля возникают как соответствующие коэффициенты в раложении суперполей по спинорным координатам суперпространства. Достоинствами супериолевого подхода являются не только наличие явной инвариантности относительно преобразований суиерсимметрии, но и значительное упрощение промежуточных расчетов по сравнению с компонентным подходом и автоматическое сокращение некоторых расходимос-тей (уменьшение индекса расходимости и сокращение числа возможных контрчленов, благодаря взаимному уничтожению бозонных и фермионных вкладов, что в конечном итоге ведет к теореме о неперенормировках (см. [8] - [12])).
На данный момент наиболее приемлемый кандидат на роль объединенной "теории всего" является теория суперструн (см. монографии [17] - [22]). В период своего развития теория струн вобрала в себя многие фундаментальные достижения квантовой теории поля, такие как калибровочная инвариантность, сокращение аномалий, квантовая трактовка гравитации и ряд теоретических представлений, которые до этого воспринимались как несколько "надуманные" ( например, старая идея Калуца - Клейна - Фока о многомерном физическом пространстве - времени, в последствии вошедшая в теорию струн как составляющий элемент). Идея рассматривать суперструнную теорию как теорию объединения возникла в работах Дж.Шварца и Дж.Шерка, обратившими внимание, что безмассовая частица спина 2 может быть только гравитоном и, следовательно, возникает естественная возможность включить в объединение и гравитацию. Наличие же высших измерений воспринималось теперь
как существенное достоинство, позволяющее учитывать внутренние симметрии теории. Суперсимметрия включена в теорию суперструн как один из основополагающих принципов. Исходя из общих принципов суперсимметрии, что бозоны и фермионы являются суперпартнерами, решается проблема тахиона, в виду отсутствия его суперпартнера. Базовая идея теории суперструн состоит в том, что фундаментальными объектами Природы являются не точечные элементарные частицы, а элементарные кривые - струны с характерными размерами порядка планковской длины /р; «1.6' 10~33см. При этом элементарная частица понимается как специфическая вибрация струны. В рамках теории суперструн было показано, что условия непротиворечивости на квантовом уровне приводят к десятимерному пространству - времени и фиксированным калибровочным группам Е%хЕ& или 50(32). Кроме того, в модели замкнутой суперструны гравитонная S - матрица, вычисляемая по теории возмущений, будет конечной. В низкоэнергетическом пределе эффективное действие теории суперструн эквивалентно классическому действию супергравитации с материей, записанному в десяти - или одиннадцатимерном пространстве - времени (см., например, |17|). Компактификация шести или семи измерений позволяет перейти к различным четырехмерным суперсимметричным полевым теориям. Таким образом, суперсимметричные полевые теории можно естественным образом трактовать как результат некоторой компактификации в теории суиерструн (см., например, [23]-[25]). Теория суперструн предсказывает существование нового типа протяженных объектов, так называемых, D-бран, причем низкоэнергетическая динамикар- мерных D - бран описывается N = 4 суперсимметричной калибровочной теорией поля в пространстве с размер-ностиью р + 1. Следовательно, исследование сунерсимметричных полевых теорий имеет принципиальное значение как для более глубокого понимания взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией суперструи, так и для понимания самой теории.
Центральным понятием квантовой теории поля является эффективное действие. Знание эффективного действия теории полностью определяет квантовое поведение полевых моделей вне массовой оболочки и тесно связано с решением таких фундаментальных вопросов квантовой теории поля, как нахождение S - матрицы, определение структуры вакуума, нахождение квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследование фазовых переходов, динамического нарушения симметрии и изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях. Понятие эффективного действия является чрезвычайно удобным при рассмотрении многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий. При этом оказывается, что построение эффективного действия для решения разнообразных задач в различных полевых моделях основывается на использовании ряда общих или аналогичных методов.
Естественно ожидать, что в суперсимметричных моделях теории поля, сформулированных в терминах суперполей, эффективное действие также может быть сформулировано в терминах суперполей, что обеспечит явную суперсимметрию и определенную универсальность при нахождении квантовых поправок. Обсудим кратко достоинства суперполевого подхода для вычисления эффективного потенциала в суперсимметричных моделях со скалярными полями. В обычной теории поля эффективный потенциал определяется как эффективное действие при постоянных значениях скалярных полей, и его вычисление может быть осуществлено известными методами (см., например, [26]). Если попытаться найти суперсимметричное эффективное дейст-
виє при постоянных значениях киральных и антикиральных полей, то очевидно, что оно исчезает вследствие известных свойств интеграла Березина (см., например, [27] и [28]). Следовательно, требуется вычислять суперполевое эффективное действие для скалярных суиернолей, постоянных в пространстве - времени, но сохраняющих произвольную зависимость от грассмановых координат (см. работы [29] и [30]). Таким образом, возникает необходимость развивать методы нахождения эффективного действия в суперсимметричных моделях, которые позволили бы оперировать непосредственно с суперполями.
Одним из таких методов, имеющих существенное значение при исследовании суперсимметричных калибровочных теорий, является суперполевой метод фонового поля, в основу которого положено разбиение исходных супернолей классического действия на фоновую и квантовую составляющие. Этот метод является обобщением метода фонового поля, развитого ранее в обычных не суперполевых теориях и широко используется для нахождения контрчленов, аномалий и построения приближенных схем в квантовой теории поля Янга - Миллса и квантовой гравитации (см., например, [9], [10], [31]-[42]).
Стандартное вычисление эффективного действия по теории возмущений основывается на процедуре петлевого разложения (см. работы [3] -]6]) и, при наличии калибровочной симметрии, метода фонового поля. В суперполевых теориях эта процедура предполагает задание фонового поля с помощью квантово - фонового расщепления исходных суперполей и последующим разложением классического действия (с учетом калибровки в случае калибровочных теорий) в ряд по степеням квантовых суперполей. В низшем, однопетлевом приближении достаточно ограничиться рассмотрением только квадратичных по квантовым суперполям членам данного разложения.
В методе собственного времени однопетлевое эффективное действие представляется интегралом по параметру, называемому собственным временем от определенной функции, являющейся ядром (швингеровским тепловым ядром ) и удовлетворяющей обобщенному уравнению теплопроводности (см., например, [42)-(46]).Суперполевая формулировка метода собственного времени дана в книге [9]. Суперсимметричные полевые модели, вытекающие из теории суперструн в низкоэнергетическом приближении обладают N = 1 суперсимметрией в секторе киральных Ф и антикиральных Ф суперполей, характеризуются кэлеровым потенциалом К(Ф, Ф) и киральным и антикиральным потенциалами \У(Ф) и 1У(Ф) соответственно. Такая суиерсимметрич-ная теория обычно называется общей моделью кирального суперполя. Квантовые аспекты данной модели исследовались в работах [47] - [51].
Приведенное выше обсуждение суперполевых моделей касалось в основном только N = 1 суперсимметрии. В случае моделей с расширенной суперсимметрией достоинство суперполевых методов уже не столь очевидно. Дело в том, что непосредственное обобщение N = 1 суперпространства и формулировка в нем соответствующих суперсимметричных теорий ведет к необходимости использовать суперполя, удовлетворяющие определенным ограничениям. Такие суперполя нельзя рассматривать как произвольные функциональные аргументы действия, что затрудняет их использование в квантовой теории поля. Проблема формулировки N — 2,3 суперсимметричных теорий в терминах неограниченных суперполей была решена в работах [52| - [55| на основе гармонического суперпространства. Гармоническое супернространство - есть расширение обычного суперпространства путем добавления специальных доиолнитель-
ных переменных ( гармоник ). После чего на таком расширенном пространстве выделяют подпространство, с меньшим числом грассмановых координат, инвариантное относительно преобразований суперсимметрии. Данный подход имеет определенные аналогии с выделением в N = 1 суперсимметричных теориях киральных подпространств. При этом расширенная суперсимметрия явно сохраняется на любом этапе производимых вычислений. Эффективное действие JV = 2,3 суперсимметричных теорий в гармоническом суперпространстве обсуждалось в статьях [56] - [67].
Низкоэнергетический предел теории суперструн и соответствующая эффективная четырехмерная суперсимметричная теория поля в значительной степени определяется структурой суперструнного вакуума. Как было отмечено Зайбергом и Виттеном в 1999 году [68] низкоэнергетическим пределом теории струн в антисимметричном тензорном фоновом поле является теория поля, определенная в пространстве с пекоммутирующими пространственно - временными координатами. Модели некоммутативной теории поля можно сформулировать в обычном ( коммутативном ) пространстве Минковского, однако, в лагранжиане обычное произведение полей следует заменить на, так называемое, * - произведение, содержащее размерные параметры деформации (параметры некоммутативности) и обладающее свойством некоммутативности. Формулировка и свойства некоммутативных полевых моделей обсуждаются в обзорах [69] - [71].
Сравнительно недавно (в 2005 году) Зайбергом [72] было отмечено, что низкоэнергетический предел теории суперструны в фоновом иоле, отвечающей постоянной гравифотонной напряженности (см., например, [73] и [74]), соответствует D — 4 суперсимметричная теория поля в деформированном суперпространстве, в котором нарушена строгая антикоммутативность грассмановых координат. Данная деформация носит совершенно специфический характер, в силу того, что координаты пространства Минковского оказываются пекоммутирующими, но бозонные координаты в киральном секторе коммутируют. Таким образом, введенная неантикоммутативная деформация нарушает половину всех суперсимметрий теории и поэтому соответствующее суперпространство естественно называть N — | деформированным неантиком-мутативным суперпространством. Анализ полевых теорий на таком деформированном суперпространстве приводит к необходимости замены обычного умножения су-перполей на, так называемое, модифицированное * - произведение, являющегося фермионным вариантом произведения Мойяла и содержащее в своем определение структуру соответствующей деформации. Это позволяет использовать стандартное N — 1 суперпространство при рассмотрении неантикоммутативной суперсимметричной нолевой теории, где параметр деформации включается в - произведение супер-полей.
Изучение различных свойств таких N — | суперсимметричных моделей рассматривалось многими авторами (см., например, [75]-[84] для D = 4 моделей, а также [85] - [88] для D = 2 моделей и [89] - [93] для расширенных суперсимметричных моделей в деформированном гармоническом суперпространстве). Для интерпретации N — \ суперсимметричных теорий как стандартных полевых моделей и для выяснения особенностей их динамики необходимо иметь компонентную форму этих моделей. Нахождение компонентной структуры неантикоммутативной теории является достаточно нетривиальной технической проблемой из-за более сложной структуры суперпространства по сравнению с N = 1 случаем и, следовательно, требует специального
анализа. Компонентный вид действия для деформированной теории в дополнение к стандартным членам действия будем обязательно содержать члены, зависящие от параметра деформации суперпространства. Поскольку половина суперсимметрий нарушена, то симметрия между киральным и антикиральным пространственными координатами отсутствует и, следовательно, некоторые компонентные ноля могут войти в действие в очень громоздких комбинациях. В работе [72] было изучена компонентная структура D — 4, N — \ суперсимметричной модели Весса - Зумино и теории Янга - Миллса. Для этих случаев было показано, что деформированная теория будет перенормируема (см. [7б]-[84] и [94]), несмотря на присутствие в лагранжиане слагаемых высокой массовой размерности и сохраняет локальность (точнее перенормируемость может быть восстановлена во всех порядках теории возмущений после введения в классическое действие дополнительных членов, зависящих от деформации). Однако общая D — 4, N = \ суперсимметричная кирально - антикираль-ная теория, которая формулируется в терминах произвольного кэлерова потенциала К(Ф, Ф) и произвольных киралыюго И^(Ф) и антикиральпого Й^(Ф) суперпотенциалов в литературе не рассматривалась. Не исследовались и квантовые свойства такой модели (проблемы перенормировки и построения эффективного действия). Причем, общая киральная суперполевая модель (с N — 1 суперсимметрией), возникает в низкоэнергетическом пределе теории сунерструн и широко используется в феноменологии (см., например, [49], [50] и [95]-[97]). Еще одна важная, ранее не рассматриваемая задача - исследование эффективного действия калибровочно - инвариантных суперсимметричных теорий, сформулированных на N = \ суперпространстве на основе суперполевых методов. Таким образом, рассмотрение различных аспектов супернолевых моделей на деформированном N = \ суперпространстве является актуальным, бурно развивающимся научным направлением тесно связанным с низкоэнергетическим пределом теории струн и заслуживает специального изучения.
Именно исследованию этих задач посвящена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава является обзорной и включает в себя обсуждение основных понятий N — 1 суперполевых моделей и их деформации. Мы начинаем с определений суперсимметрий и суперпространства, вводим понятия суперполя, ковариантных производных и интегрирования на суперпространстве. Далее рассматривается обобщение этих понятий на случай деформированного неантикоммутативного суперпространства. Определяется деформация через нетривиальное представление антикоммутатора нечетных грассмановых переменных, удовлетворяющих алгебре Клиффорда. Вводится модифицированное * - произведение при помощи экспоненциального оператора и приводятся свойства такого произведения суперполей. Вторая часть главы включает в себя формулировки основных суиерсимметричных полевых моделей на неантиком-мутативном суперпространстве.
Во второй главе рассматривается обобщенная D = 4 неантикоммутативная суперполевая модель, сформулированная в терминах произвольного кэлерова потенциала и киралыюго и антикирального суперпотенциалов. Проводится исследование компонентной структуры модели, осуществляется переход от модифицированного произведения суперполей к из обычному произведению и вводится явный вид компонентного лагранжиана. В качестве частного случая рассматривается суперсимметричная сигма - модель, с произвольным кэлеровым потенциалом и обсуждается проблема
устранения вспомогательных полей.
Третья глава посвящена исследованию квантовых аспектов общей киральной су-перполевой модели в неантикоммутативном суперпространстве. Строится однопет-левое эффективное действие, находятся расходящиеся и конечные вклады в эффективное действие. Установлено, что кроме расходимости в секторе кэлерова потенциала, аналогичной N — 1 теории, здесь возникает новая расходящаяся структура, явно содержащая параметр неантикоммутативности. Показано, что использованная техника вычислений сохраняет структуру модифицированного произведения на всех этапах квантового анализа.
В четвертой главе развивается общий калибровочно - инвариантный подход к нахождению однопетлевого эффективного действия в суперкалибровочных теориях, сформулированных на iV = 1/2 суперпространстве. Рассматривается модель кираль-но - антикирального суперполеи, взаимодействующая с суперполевой теорией поля Янга - Миллса. Одиоиетлсвос эффективное действие анализируется на основе метода собственного времени и точно вычисляется в низкоэнергетическом приближении для калибровочной группы SU(2) спонтанно нарушенной до U(l). Найдены расходящиеся и конечные вклады, ведущие в данном приближении. Исследована структура эффективного действия в случае, когда (анти)киральные суперполя взяты в фундаментальном и присоединенном представлениях калибровочной группы.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.
Модифицированное произведение суперполей
В разделе 1.2 было введено понятие деформированного неантикоммутативного суперпространства и описаны его основные свойства. Поскольку часть снинориых координат деформированного суперпространства не антикоммутируют, а бозоппые координаты х 1 не коммутируют, то их в определенном смысле следует понимать как операторы, обладающие нетривиальными (анти)коммутирующими соотношениями. Поэтому и любые функции от таких координат также следует понимать как операторы. Здесь видна очевидная аналогия с функциями от некоммутирующих операторов координат и импульсов в квантовой механике, которые сами по себе будут операторами. Существует специальная процедура в квантовой механике, позволяющая перейти от операторов, зависящих от операторов координат и импульсов к обычным с-число-вым функциям, определенным на классическом фазовом пространстве. В основе этой процедуры лежит понятие символа оператора [104]. Символ А оператора А однозначно задается на основе правила упорядочивания некоммутирующих операторов координат и импульсов, от которых зависит оператор А. При этом произведению операторов соответствует так называемое - произведение символов, включающее; в себя все свойства некоммутативности операторов координат и импульсов.
Определяем функции на деформированном суперпространстве следуя идее; символов операторов в квантовой механике. В силу соотношения произведение спинорных координат можно записать как
Подобное преобразование можно произвести и в других произведениях спинорных координат и результат сново выразится через в2 = в1в1 и Са . Определим суперполе как функцию на деформированном суперпространстве, такую, что в ее разложении по спинорным координатам проведено указанное выше преобразование. Будем называть такую функцию упорядоченной. Рассмотрим теперь произведение двух упорядоченных функций. Очевидно, оно уже не будет упорядоченной функцией. Однако, если ввести, так называемое, - произведение где Qa = г , коэффициент Са/3 - параметр введенной деформации, то выражение 1\{в) їі{в) автоматически будет упорядоченной функцией [72]. Форма - произведения (1.3.3) является обобщенной фермионной версией обычного произведения Мой-яла [105] - [107] и называется также модифицированным произведением суперполей. Рассмотрим модель Весса- Зумино, описывающую динамику кирального и антикирального суперполей и характеризующуюся действием 5[Ф,Ф] = fd8z ФФ+( J d6z у Ф2 + Jd62 Ф3 + /i.e.) (1.4.1)
Данная модель хорошо подходит для проверки эффективности различных методов изучения суперполевых теорий, поскольку имеет все специфические особенности теорий, включающих киральные суперполя. К тому же эта модель используется как необходимая составляющая во многих суперполевых теориях.
Построение модели Весса - Зумино на деформированном суперпространстве осуществляется на основе действия (1.4.1) с заменой обычного точечного произведения супернолей на их модифицированное - произведение (1.3.3). В итоге имеем S= f d8z Ф Ф+ftfz уФ Ф+ f fz ф Ф Ф+ / /6гуФ Ф + fd6z ф Ф Ф, (1.4.2) где первое слагаемое является кинетическим членом, второе и четвертое массовый член, а третье и пятое - отвечают за взаимодействие.
Данная модель сформулирована в эвклидовом пространстве, и суперполя Ф и Ф считаются независимыми. Воспользовавшись свойством (1.3.7) произведем разложение экспоненты в ряд (1.3.5) и используем (1.3.10), опуская поверхностные члены. Кубические члены можно преобразовать к форме членов классической модели Весса - Зумино (1.4.1) плюс слагаемые включающие деформацию N — 1 суперсимметрии до N — \ суперсимметрии. В результате получаем следующее действие
Таким образом, модель Весса - Зумино на деформированном суперпространстве полностью формулируется в терминах обычных N = 1 супериолей и их обычных произведений. Нарушение N = 1 суперсимметрии до N = суперсимметрии обусловлено двумя последними слагаемыми. К действию (1.4.3) приписали слагаемое где /І - вещественный параметр. Слагаемое такого вида добавляется для обеспечения мультипликативной перенормируемости [80]. Далее мы будем рассматривать модель, содержащую сумму действий (1.4.3) и (1.4.4). Следовательно, действие (1.4.2) можно рассматривать с точки зрения обычного N — 1 суперпространства (используя явную форму записи модифицированного произведения) как в (1.4.3). Таким образом, модель Весса - Зумино на деформированном суперпространстве можно трактовать как стандартную теорию Весса - Зумино с дополнительным членом.
Если обобщить суперполевой кинетический член из (1.4.7) на нелинейный случай, то получаем функционал действия 5[Ф,Ф]= Г dPzK (Ф ,Ф% (1.4.8) где К - вещественная функция п неременных и их сопряженных. Данное действие (1.4.8) было предложенно Б. Зумино и определяет суперсимметричную нелинейную сигма - модель [9). Данная произвольная функция К(Ф,Ф) называется потенциалом Кэлера и связан с метрикой Кэлера правилом пь д2К(Ф,Ф)
Для обобщения на неантикоммутативный случай достаточно произвести разложение кэлерова потенциала К(Ф, Ф) в ряд по Ф, Ф и заменить в этом разложении стандартное произведение суперполей на их модифицированное произведение.
Данную теорию, определенную на N = 1 суиерпространстве, не трудно обобщить на случай деформированного N = \ суперпространства, непосредственным введением неантикоммутативного оператора деформации - произведения (1.3.3) вместо обычной операции умножения суперполей.В данной главе изучается структура лагранжиана общей неантикоммутативной суперполевой модели киральных и антикиральных суперполей. Модель формулируется в терминах произвольного кэлерова потенциала и кирального и антикирального суперпотенциалов. Производится исследование компонентной структуры модели, находится достаточно простая и компактная форма записи компонентного лагранжиана, обсуждается проблема исключения вспомогательных полей.
Рассмотрим общую модель киральных и антикиральных суперполей на деформированном суперпространстве. Такая модель характеризуется кэлеровым потенциалом и киральиым и антикиральным суперпотенциалами, причем разложение этих потенциалов в ряд по суперполям содержит - произведение суперполей (1.3.3), зависящее от параметра деформации Са/3. В модели такого вида существует только половина исходных суперсимметрий по отношению к теории с Cafi = 0.
Для наглядной интерпретации N = суперсимметричной теории и исследования ее динамики полезно представить данную суперполевую модель в компонентной форме. Деформированное действие обязательно будет содержать дополнительные слагаемые, зависящие от деформационного параметра. Симметрия между киральны-ми и антикиральными суперпространственными координатами отсутствует в силу того, что половина суперсимметрий нарушена и следует ожидать, что некоторые компонентные поля войдут в действие в форме, включающей параметр деформации.
Компактная форма записи компонентного лагранжиана
Компонентная форма лагранжиана (2.3.1) имеет достаточно сложную структуру и не очень удобна для рассмотрения различных частных случаев и анализа вытекающих следствий. Поэтому было бы предпочтительным записать выражение (2.3.1), представленное в виде бесконечных рядов, в более компактной форме близкой к стандартному виду лагранжиана Зумино [111] для недеформироваиной теории. Мы покажем, что такая компактная форма записи действительно существует.
По аналогии с приемом приведенным в работах [87] и [112], введем, так называемые, "размытые" - поля (ф + rvAF), регулирующие вспомогательные поля, где параметр г определен в пределах [-1,1]. Используя потенциалы W( j ) и К(ф,ф) определим функции W( ( / , F), К ]{ф, F, ф), 1С {ф, F, ф) и К{ 1){ф, F, ф) по правилу где введено обозначение = yXF.
Рассмотрим функции (2.4.1). Разложим в ряд по степеням параметра и проинтегрируем по переменной т. Тогда не трудно увидеть, что лагранжиан (2.3.1) перепишется в более простой, компактной форме :
Замечательным является тот факт, что теперь деформация сунернространства закодирована в функциях (2.4.1). Обратим также внимание, что входящие в (2.4.2) величины можно интерпретировать в геометрических терминах, а именно л/]Т -"метрика", Kr2i - "связность" и / - "кривизна ". Очевидно, что новые величины действительно совместимы между собой.
Не трудно заметить, что седьмое и девятое слагаемые в выражении для лагранжиана (2.4.2) с точностью до пространственно - временных производных вспомогательного поля F и могут быть переписаны так
Восьмой и двенадцатый члены имеют вид Таким образом, можно переписать (2.4.2) в канонической форме со стандартным кинетическим членом для скалярных полей д" ф даа.фК,\-х. Однако из - за специальной зависимости 1С (ф, F, ф) от вспомогательного поля F появятся новые члены содержащие в себе производную от вспомогательного поля daaF. В пределе же при Л —У О эти введенные члены принимают нулевое значение.
Теперь рассмотрим некоторые существующие интересные свойства: С их помощью можно показать, что выражение (2.4.2) имеет структуру аналогичную структуре лагранжиана в (2.3.4). При этом величину К,\-{ можно рассматривать как деформированную метрику, зависящую от дополнительного поля F. Вследствии свойств (2.4.3) соотношение (2.4.2) записывается при помощи единственной функции KS0 и мы приходим к лагранжиану
Данное обстоятельство имеет естественное объяснение. Несмотря на то, что первоначальный лагранжиан (2.1.1) обладал кэлеровой структурой, деформированное N = суперпространство не является кэлеровым многообразием (в силу отсутствия комплексного сопряжения между в и в). Соотношение (2.4.5) интересно само по себе, поскольку устанавливает простую связь между лагранжианами деформированной и недеформированной моделями.
В этом разделе рассматривается общая неантикоммутативная суперсимметричная сигма - модель с произвольным кэлеровым потенциалом К+(Ф, Ф) (в лагранжиане (2.3.1) отсутствует суперпотенциалы И (Ф) и 1У (Ф)). В статье [88] было представлено, что для случая D — 2, N — 2 деформированной сигма - модели компонентная форма действия имсог простое и явное выражение. Здесь попытаемся найти такую возможность и для случая D = 4, N = неантикоммутативной сигма - модели.
Будем использовать уже полученное выражение для компонентного лагранжиана обобщенной киральной модели (2.3.1). Отбрасываем слагаемые отвечающие суперпотенциалам в силу их отсутствия в данном конкретном случае и, соответственно, получаем
Следует заметить, что данное представление имеет право на существование только в случае равного нулю суперпотенциала W и для синглета фермионных полей. В соответствии с [88] можем проверить, что лагранжиан определенный выражением (2.3.2) при W — 0 и WA = 0 во всех порядках по А можно переписать в форме уравнения (2.5.2).
Таким образом, лагранжиан (2.5.2) в первом порядке по А совпадает с лагранжианом Зумино для недеформированной суперсимметричной сигма - модели с метрикой
В этом разделе обсудим возможность исключения вспомогательных полей F и F из компонентного лагранжиана общей киральной модели в контексте проблемы исследования структуры классического вакуума. Лагранжиан (2.3.1) линеен по F, но существенно нелинеен по F. Следовательно, трудно ожидать, что можно получить точное решение для F и F, но есть возможность пертурбативно найти несколько первых поправок к скалярному потенциалу и скалярно - фермионным членам взаимодействия. В частности, скалярный потенциал - наиболее важный объект при исследовании вакуума теории и изучения нарушения симметрии.
Рассмотрим только независящие от пространственно - временных координат значения скалярных и фермионных физических полей и выразим лагранжиан через них. Предполагаем, что вспомогательные поля можно представить в виде следующих рядов где JP0 и F0 - решения уравнений движения для вспомогательных полей, представленные соотношениями (2.3.5). Остальные слагаемые входящие в эти ряды, являются поправками соответствующего порядка по A: Fn A", F А". Подставим в (2.3.1) поля F и F в виде рядов (2.6.1) и сохраним только линейные по А члены без производных. Это дает первые поправки для вспомогательных полей
Однонстлевая поправка в деформированной теории
В этом разделе мы обсудим построение дифференциального оператора Я , отвечающего однопетлевому эффективному действию.
Рассмотрим действие общей кирально - антикиральной суперполевой модели на неантикоммутативном суперпространстве
Это действие задается кэлеровым потенциалом Я (Ф, Ф), являющимся вещественной функцией суперполей Ф,Ф, антиголоморфным суперпотенциалом Й (Ф) и голоморфным киральный суперпотенциалом И Ф). Обозначение в виде индекса ( ) у потенциалов означает, что все эти функции следует понимать как разложения в ряд по суперполям с заменой обычного произведения суперполей на их - произведение. Далее будут использоваться обозначения и определения приведенные в предыдущей главе.
Мы действуем согласно схеме представленной в разделе 3. 1. Введем фоново -квантовое расщепление суперполей где ф и ф - квантовые супериоля, а Ф и Ф - фоновые. Как было отмечено в разделе 3.1 однопетлевая поправка имеет вид
Дифференциальный оператор Я полностью формулируется в терминах - произведения и определяет спектр квантовых флуктуации на заданном фоне. Индекс ( ) у оператора указывает на естественное обобщение оператора на случай неантикоммута-тивного суперпространства, поскольку это с очевидностью вытекает из того, что Я = Si . У логарифма этот же индекс необходим для согласованности с определением функций Грина, т. к.
Произвольная вариация формально определенной однопетлсвой поправки к действию дается выражением
Здесь и далее любые функции с припиской ( ) являются обобщением аналогичных функций на недеформированном суперпространстве и понимаются в смысле разложения в формальные ряды, где вместо произведения суперполей стоит из - произведение.
Рассмотрим разложение кэлерова потенциала по суперполям суиерпотенциалов. Символ s в (3.2.4) означает полностью симмстризовашюс -произведение.
Вычисление однопетлевого эффективного действия начинается с нахождения оператора # , то есть с вычисления вторых функциональных производных действия 6 (3.2.1). Учитывая соотношения (3.2.4), (3.2.5) и (3.2.6) замечаем, что вклад в оператор Н+, а значит и в эффективное действие будут давать смешанные - произведения киральпых и антикиральных суперполей из (3.2.4), - произведения чисто киральпых суперполей из (3.2.5) и - произведения чисто антикиральных суперполей из (3.2.6). Мы видим, что оператор Я полностью формулируется в терминах - произведения суперполей. Покажем, что процедура вычисления однопетлевого эффективного действия может быть организована так, что ни на каком этапе вычислений нет необходимости переходить от - произведений к обычным произведениям суперполей (в отличии от работы [81]). В этом смысле можно сказать, что мы развиваем явно - инвариантную процедуру вычисления однопетлевого эффективного действия для рассматриваемой модели.
Отметим еще раз использование ограничений для фоновых суперполей. В ведущем низкоэнергетическом приближении эффективное действие характеризуется кэлеро-вым эффективным потенциалом, для нахождения которого достаточно считать, что фоновые поля постоянны где Da и Da определены выше. В следующем за ведущим приближении эффективное действие получает дополнительный вклад, обусловленный эффективным киральным суперпотенциалом. Для получения этого вклада необходимо выйти за пределы приближения постоянных полей. При этом мы предполагаем, что суперполя "медленно" изменяются в суперпространстве и при вычислении эффективного кирального потенциала учитываем низшие производные фоновых суперполей, обуславливающие ненулевой результат.
Вторые функцианальные производные от (3.2.4) содержат три типа членов: это смешанная производная 823 /8Ф8Ф и пара чистых производных 525 / 5Ф2 и 828+/8Ф2. Не трудно продемонстрировать, что несмешанные вторые производные обращаются в нуль. Воспользуемся разложением кэлерова потенциала (3.2.4), и напомним, что все - произведения суперполей записаны в полностью симметризованном виде. Первая вариация имеет вид Необходимо отметить существование некоторых специфических особенностей, обусловленных неантикоммутативностью суперпространства. Все функции понимаются как разложения по суперполям и их спинорным производным. Для неантикоммутатив-ной теории можно ожидать и локальные и нелокальные вклады в эффективное действие. Мы будем рассматривать только - локальные вклады.
Для вычисления ведущих вкладов, не зависящих от производных (отвечающих кэлерову потенциалу) и последующих (отвечающих киральному потенциалу) вкладов, зависящих от низших спинорных производных, будем использовать матричный оператор (3.3.3)
Раскладываем логарифмическую функцию (3.3.5) в ряд выделяем общий множитель вида - -, а затем остальные члены ряда снова переписываем в форме логарифма. Таким образом, получается следующее выражение где уже взят матричный след и использовано свойство проектора JQ - Рассмотрим более подробно выражение (3.3.6). Обратимся сначало к первому слагаемому. При переходе к импульсному пространству мы получим расходящийся интеграл, который анализируется в рамках размерной регуляризации. Не трудно заметить, что данный интеграл представляет собой типичный однопетлсвой фсйн-мановский интеграл безмассовой теории, который равен нулю при применении процедуры размерной регуляризации (см., например, [4]). Таким образом, эффективное действие определяется только вторым слагаемым в (3.3.6). При переходе к импульсному пространству, получаем
Метод собственного времени и функция
Поскольку суперсимметрия объединяет бозоны и фермионы, то любая модель суперсимметричной теории поля содержит бозонные и фермионные поля, переходящие друг в друга при преобразованиях суперсимметрии. Эти поля принято называть компонентными полями. Суперсимметричные модели теории поля можно сформулировать двумя эквивалентными способами. Во - первых, это формулировка непосредственно в терминах компонентных полей, где суперсимметрия не является явной. Такая формулировка называется компонентной и содержит, вообще говоря, достаточно большое число бозонных и фермионных полей, лагранжиан взаимодействия которых имеет специальную структуру, обеспечивающую суперсимметричность теории. Во многих случаях, в частности в четырехмерном пространстве и при N = 1, все компонентные поля можно объединить в единое суперполе, что ведет к суиерполевой формулировке суперсимметричных моделей. Суперполевая формулировка позволяет существенным образом упростить все вычисления при работе с квантовыми, супер-симметричными моделями из-за ее компактности, так как оперирует целыми мульти-плетами полей в явно ковариантной форме. При этом обычные бозонные и фермионные поля возникают как соответствующие коэффициенты в раложении суперполей по спинорным координатам суперпространства. Достоинствами супериолевого подхода являются не только наличие явной инвариантности относительно преобразований суиерсимметрии, но и значительное упрощение промежуточных расчетов по сравнению с компонентным подходом и автоматическое сокращение некоторых расходимос-тей (уменьшение индекса расходимости и сокращение числа возможных контрчленов, благодаря взаимному уничтожению бозонных и фермионных вкладов, что в конечном итоге ведет к теореме о неперенормировках (см. [8] - [12])).
На данный момент наиболее приемлемый кандидат на роль объединенной "теории всего" является теория суперструн (см. монографии [17] - [22]). В период своего развития теория струн вобрала в себя многие фундаментальные достижения квантовой теории поля, такие как калибровочная инвариантность, сокращение аномалий, квантовая трактовка гравитации и ряд теоретических представлений, которые до этого воспринимались как несколько "надуманные" ( например, старая идея Калуца - Клейна - Фока о многомерном физическом пространстве - времени, в последствии вошедшая в теорию струн как составляющий элемент). Идея рассматривать суперструнную теорию как теорию объединения возникла в работах Дж.Шварца и Дж.Шерка, обратившими внимание, что безмассовая частица спина 2 может быть только гравитоном и, следовательно, возникает естественная возможность включить в объединение и гравитацию. Наличие же высших измерений воспринималось теперь как существенное достоинство, позволяющее учитывать внутренние симметрии теории. Суперсимметрия включена в теорию суперструн как один из основополагающих принципов. Исходя из общих принципов суперсимметрии, что бозоны и фермионы являются суперпартнерами, решается проблема тахиона, в виду отсутствия его суперпартнера. Базовая идея теории суперструн состоит в том, что фундаментальными объектами Природы являются не точечные элементарные частицы, а элементарные кривые - струны с характерными размерами порядка планковской длины /р; «1.6 10 33см. При этом элементарная частица понимается как специфическая вибрация струны. В рамках теории суперструн было показано, что условия непротиворечивости на квантовом уровне приводят к десятимерному пространству - времени и фиксированным калибровочным группам Е%хЕ& или 50(32). Кроме того, в модели замкнутой суперструны гравитонная S - матрица, вычисляемая по теории возмущений, будет конечной. В низкоэнергетическом пределе эффективное действие теории суперструн эквивалентно классическому действию супергравитации с материей, записанному в десяти - или одиннадцатимерном пространстве - времени (см., например, 17). Компактификация шести или семи измерений позволяет перейти к различным четырехмерным суперсимметричным полевым теориям. Таким образом, суперсимметричные полевые теории можно естественным образом трактовать как результат некоторой компактификации в теории суиерструн (см., например, [23]-[25]). Теория суперструн предсказывает существование нового типа протяженных объектов, так называемых, D-бран, причем низкоэнергетическая динамикар- мерных D - бран описывается N = 4 суперсимметричной калибровочной теорией поля в пространстве с размер-ностиью р + 1. Следовательно, исследование сунерсимметричных полевых теорий имеет принципиальное значение как для более глубокого понимания взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией суперструи, так и для понимания самой теории.
Центральным понятием квантовой теории поля является эффективное действие. Знание эффективного действия теории полностью определяет квантовое поведение полевых моделей вне массовой оболочки и тесно связано с решением таких фундаментальных вопросов квантовой теории поля, как нахождение S - матрицы, определение структуры вакуума, нахождение квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследование фазовых переходов, динамического нарушения симметрии и изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях. Понятие эффективного действия является чрезвычайно удобным при рассмотрении многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий. При этом оказывается, что построение эффективного действия для решения разнообразных задач в различных полевых моделях основывается на использовании ряда общих или аналогичных методов.
Естественно ожидать, что в суперсимметричных моделях теории поля, сформулированных в терминах суперполей, эффективное действие также может быть сформулировано в терминах суперполей, что обеспечит явную суперсимметрию и определенную универсальность при нахождении квантовых поправок. Обсудим кратко достоинства суперполевого подхода для вычисления эффективного потенциала в суперсимметричных моделях со скалярными полями. В обычной теории поля эффективный потенциал определяется как эффективное действие при постоянных значениях скалярных полей, и его вычисление может быть осуществлено известными методами (см., например, [26]).
