Содержание к диссертации
Стр.
ВВБЩЕНИЕ 4
А. Основные обозначения 10
Б. Основные сведения из спектральной теории линейных
операторов в гильбертовом пространстве 12
ГЛАВА I. СІЖТРАЛЬНАЯ АСШІТОТИКА НЕЭЛЖПТИЧЕСКЙХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 16
I. Классическая асимптотика спектра задачи Дирихле
для ДО с постоянными коэффициентами 16
2. Оценки спектра модельной задачи в кубе 20
3. Доказательство теорем I.I, 1.2 22
4. Спектральная асимптотика системы уравнений груп
повой диффузии нейтронов в ядерном реакторе 25
5. Оценки спектра оператора системы уравнений диф
фузии нейтронов в модельных ситуациях 31
6. Доказательство теорем 1.3, 1.4 38
7. Квазивейлевские асшлптотики спектра в скалярной
задаче Дирихле 44
ГЛАВА 2. ОЦЕНКИ ОСТАТКА В СПЕКТРАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКЕ
ПСЕВДОДИФФЕЕЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО
ПОРЯДКА 51
I. Постановка задачи и формулировка теорем 51
2. Задача для ПДО с символом класса X./? в кубе
Л-* 56
3. Доказательство теоремы 2.1 67
4. Доказательство теоремы 2.2 71
Стр.
5. Доказательство теорем 2.3, 2.4 77
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФАЗ ПОТЕН
ЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ 81
I. Постановка задачи и формулировки теорем 81
2. Редукция задачи к спектральной асимптотике ПДО
на евклидовой области 85
3. Доказательство теорем 3.2, 3.1 93
4. Примеры асимптотических оценок фаз рассеяния .... 99
ПРИЛОЖЕНИЯ 104
П-І. Некоторые свойства евклидовых множеств 104
П-2. О свойствах множеств, ограниченных алгебраичес
кими поверхностями 107
П-3. Доказательство равенств (1.37) 112
П-4. Фурье-преобразование функций класса 114
П-5. Вспомогательные оценки спектра компактных ПДО ... 118
П-6. "Формула Лейбница" для ПДО и ее следствия 123
ЛИТЕРАТУРА 127
_ 4 -
Введение к работе
Асимптотика дискретного спектра дифференциальных операторов (ДО) является одним из традиционных объектов исследования в анализе и математической физике. Результаты, относящиеся к этой области, нашли многочисленные физические применения. В последнее время спектральная теория ДО была дополнена исследованиями, относящимися к интегродифференциальным; точнее - к псевдодифференциальным операторам (ПДО). Другая важная тенденция последнего времени - ослабление ограничений на тип (отказ от эллиптичности) ДО и ПДО.
Распространенным методом получения асимптотики спектра ДО является вариационный метод. Он восходит к классическим работам Г.Вейля [1,23. К ПДО вариационная методика применялась в меньшей степени.
Исследования в области спектральной асимптотики ДО и ПДО наиболее продвинуты для эллиптических операторов. Большое число работ посвящено асшлптотике спектра операторов с вырождением эллиптичности. Довольно полно исследован дискретный спектр гипоэллип-тических операторов. В большинстве работ о эллиптических и гипо-эллиптических ПДО рассматриваются спектральные задачи на многообразии без края. Подробные литературные указания см. в [3-53.
Асимптотика спектра негипоэллиптических ДО исследована мало. Отметим здесь работу [63. В ней классическая асимптотическая формула Вейля (см. напр. Г43) для функции распределения спектра установлена для широкого класса ДО с постоянными коэффициентами. Краевые условия в [6] соответствуют задаче Дирихле. Спектральная асимптотика получена в 163 с оценкой остатка курантовского (см.
[7]) типа. В 8] эти результаты перенесены на линейные операторные пучки.
В L9J получена асимптотика спектра задачи Дирихле для ДО -аналогов квадрата оператора смешанного дифференцирования. Эти ДО негипоэллиптические, а их асимптотика спектра отличается от классической. В [10] для одной модельной существенно неэллиптической задачи установлена асимптотика дискретного спектра, накапливающегося слева к предельной точке ноль (положительный спектр в этой задаче не дискретен). Коэффициенты ДО в [9-Ю], вообще говоря, переменные.
В последнее время выяснилась важность изучения спектра неэллиптических матричных ДО. В частности, рассматривались операторы, имеющие непустой существенный спектр, расположенный на конечном промежутке, а также серию собственных значений, уходящих на-*-«=>. Общий метод исследования существенного спектра таких операторов предложен в [II]. Метод получения асимптотики собственных значений на +- осэ разработан в [12,13]. Ряд проблем механики и физики приводит к задачам такого типа на спектр неэллиптических матричных ДО. Это относится, например, к задаче решения уравнений баланса нейтронов в ядерном реакторе методом Фурье. В приближении групповой диффузии нейтронов (см. [14]) эта проблема приводит к спектральному анализу неэллиптического матричного ДО смешанного порядка. Спектр такого оператора частично исследован в СІ2ДЗ] , [15,16]. В [12] получен главный член асимптотики серии собственных значений на + с?о .В [13] указан способ оценки остатка в этой асимптотике. При этом не рассматривался вопрос об асимптотике собственных значений вблизи существенного спектра. Заметим, что именно таким собственным значениям соответствуют медленно за-
тухающие во времени слагаемые в Фурье-разложении решения.
Асимптотика спектра неэллиптических ЦЦО изучена опять-таки мало. Остановимся лишь на случае компактных самосопряженных ЦЦО на евклидовом множестве. Основную роль здесь играют работы CI7, 18], где рассматриваются матричные ЦЦО с однородными (или анизотропно '-однородными) по двойственной переменной символами отрицательного порядка. Асимптотика спектра оператора получена в I7,I8J без каких-либо предположений о знаке символа. Другие работы об асимптотике спектра компактных ПДО (или интегральных операторов) либо связаны со спецификой одномерной ситуации, либо с Предположениями типа положительности символа (литературные указания см. в [3]). В частности, в tl9] получена асимптотика спектра компактного ЦЦО с неоднородным символом. Символ в [19] предполагается неотрицательным, и подчинен ряду тяжелых ограничений (например, из рассмотрения исключаются однородные символы). Отметим, что в [17-191 устанавливается только главный член спектральной асимптотики ЦЦО без оценки остатка. Оценок остатка в асимптотике спектра общих ЦЦО отрицательного порядка в литературе практически не появлялось. Отметим работу [2Q], где исследуется регуляризованная интегрированием функция распределения спектра ПДО отрицательного порядка на выпуклой области. Асимптотика этой функции получена в 20] с оценкой остатка. Некоторые результаты об оценке остатка для ЦЦО отрицательного порядка можно, по-видимому, извлечь из результатов статьи [21]. Эти оценки, однако, относятся только к ЦЦО целого порядка и требуют подробных сведений о характере вырождения главного символа.
Остановимся на задаче об асимптотике спектра матрицы рассеяния при фиксированной энергии. До недавнего времени такая асимп-
тотика была известна лишь в случае квантового рассеяния на сферически-симметричном потенциале (см. [22]). В [23-25] спектр s-матрицы рассмотрен в случае рассеяния на асимптотически однородном, вообще говоря, знакопеременном потенциале без сферической симметрии. Задача об асимптотике фаз рассеяния сведена в [24] к описанию спектра компактного ІЩ0 на евклидовом множестве. Символ ЦЦО при этом определяется интегральным преобразованием специального вида над потенциалом. Вообще говоря, он не удовлетворяет каким-либо условиям типа эллиптичности. Кроме задач потенциального рассеяния, метод [23-24] применим и к другим задачам рассеяния. Асимптотика предельных фаз получена в [23-25] без оценки остатка.
В настоящей работе получен ряд новых результатов в указанных направлениях. Исследуется асимптотика дискретного спектра полуограниченных снизу (вообще говоря, неэллиптических) ДО на евклидовой области при условиях Дирихле. Рассмотрены случаи бесконечной или конечной точки накопления дискретного спектра. Результаты применены к задаче о балансе нейтронов в реакторе. Изучена асимптотика дискретного спектра не только в бесконечности, но и вблизи конечных точек накопления (постоянных распада). Далее, на специально выбранном классе скалярных ДО выяснены точные пределы применимости классической спектральной асимптотики вейлевского типа. Ддя ДО этого класса описываются также все элементарные обобщения формулы Вейля - квазивейлевские асимптотики. Асимптотические формулы, упомянутые выше, получены с оценками остаточных членов. Далее, рассматривается спектр ЦЦО отрицательного порядка (без предположения о типе). Основной результат здесь - оценка остатка в спектральной асимптотике вейлевского типа. При этом не делается никаких предположений о характере вырождения символа.
Эта оценка затем применяется к исследованию спектра s-матрицы в задаче потенциального рассеяния. Потенциал здесь предполагается
либо асимптотически однородным, либо состоящим из суммы двух таких однородных слагаемых различных порядков. Устанавливается оценка остатка в асимптотике функции распределения фаз рассеяния.
Для доказательства всех теорем о спектральной асимптотике в работе используется вариационный метод. Схема применения этого метода для ДО и ЦЦО единая. Сначала получаются оценки спектра модельной задачи в кубе стандартных размеров с последующим переходом к кубу произвольных размеров. Далее проводится процедура покрытия исходного евклидова множества кубами. В доказательствах существенно используется методика работ [26] и Гб].
Структура диссертации следующая. В начале работы помещены А и Б, в которых вводятся основные обозначения и приводятся необходимые сведения из теории линейных операторов. В главе I формулируются и доказываются результаты, относящиеся к спектру неэллиптических ДО. Эти результаты применяются к исследованию асимптотики дискретного спектра уравнений диффузии нейтронов. В главе 2 получены теоремы об оценке остатка в асимптотике спектра ЦЦО отрицательного порядка. В главе 3 сначала описывается редукция задачи об асимптотике предельных фаз потенциального рассеяния к спектральной теории ЦЦО отрицательного порядка. В основном мы следуем здесь схеме Е243. Затем, с использованием результатов главы 2, выводится требуемая оценка остатка в асимптотике спектра ъ-матрицы.
Формулировки и доказательства некоторых утверждений технического характера вынесены в конец работы в виде "Приложений".
Нумерация теорем, лемм и формул в пределах одной и той же
главы сквозная. Первый индекс в обозначении формулы (леммы, теоремы) указывает на номер главы; индекс "Б" указывает на утверждение, приведенное в Б. Формулы раздела "Приложения" имеют индекс "4".
Основные результаты работы опубликованы в статьях [34-38]. Указанные результаты докладывались автором на семинарах по спектральной теории в ЛГУ им.А.А.Жданова (математико-механический факультет); МГУ им.М.В.Ломоносова (механико-математический факультет) ; Ленинградском отделении математического института АН СССР; а также на семинаре кафедры математической физики физического факультета ЛГУ, и на конференции молодых ученых НИИФ ЛГУ.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю проф.М.Ш.Бирману.
Похожие диссертации на Спектральная асимптотика неэллиптических псевдодифференциальных операторов и задачи рассеяния
