Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Комплекс программ для решения релятивистских уравнений атомной физики 13
I. Уравнения Хартри-Фока-Слэйтера и Хартри-Фока для атомов и ионов с замкнутыми оболочками 13
2. Выбор координатной сетки и интегрирование уравнений на одном шаге 15
3. Граничные условия 17
4. Решение уравнения Дирака в фиксированном потенциале 19
5. Процедура самосогласования в методе Хартри-Фока-Слэйтера 20
6. Решение уравнения Дирака в фиксированном нелокальном потенциале 21
7. Решение уравнения Дирака с учетом конечного размера ядра 24
8. Процедура самосогласования в методе РХФ 25
9. Возбужденные состояния дискретного и непрерывного спектра 26
10. Неоднородное уравнение Дирака
(уравнение Штернгеймера) 28
ГЛАВА II. Уровни энергии Цезия и Франция 37
I. Уровни энергии цезия 37
2. Уровни энергии франция 47
ГЛАВА III. Сверхтонкая структура Цезия и Франция 53
I. Релятивистские уравнения Хартри-Фока во внешнем поле 53
2. Расчет корреляций 59
3. Результаты и обсуждение 63
ГЛАВА ІV. Бракнеровскйе орбитаж 69
I. Включение корреляционного потенциала в релятивистские уравнения Хартри-Фока 69
2. Вычисление амплитуд разрешенных EI-переходов 74
3. Сверхтонкая структура уровней цезия 79
ГЛАВА V. Несохранение четности в цезии 81
1. Включение слабого взаимодействия в самосогласованные уравнения 81
2. Вычисление нарушающей четность Е1-амшштуды . 83
3. Обсуждение точности расчета нарушающей
четность El-амплитуды. Сравнение с
экспериментом 88
Заключение 94
Приложение 96
Литература
- Выбор координатной сетки и интегрирование уравнений на одном шаге
- Уровни энергии франция
- Расчет корреляций
- Вычисление амплитуд разрешенных EI-переходов
Введение к работе
В настоящее время потребность в максимально точном расчете электронной структуры атомов очень высока. С одной стороны, это связано с экспериментами по измерению эффектов несохранения четности в тяжелых атомах, где эти эффекты усилены [ 1-6 ] . С другой стороны, такой расчет является важным источником получения информации о тех атомах, которые экспериментально мало изучены. Одним из наиболее надежных методов является полуэмпирический расчет. Применительно к эффекту несохранения четности он обеспечивает точность 10-20$ (см., например, [7,8] ). Другим возможным путем является использование релятивистского метода Харт-ри-Фока (РХФ). Однако без учета корреляционных поправок второго порядка по кулоновскому взаимодействию точность таких расчетов невысока. В то же время учет этих поправок позволяет радикально улучшить точность вычислений (см., например, [э,ю] ). Кроме того, преимущество расчетов а о initio проявляется в тех случаях, когда недостаток экспериментальных данных затрудняет использование полуэмпирических методов.
В данной диссертации метод расчета аЬ initio рассматривается применительно к тяжелым щелочным атомам. Во-первых, щелочные атомы являются удобным объектом для отладки методики, так как для них расчет наиболее прост. Во-вторых, тяжелые щелочные атомы, цезий и франций, интересны и сами по себе. Первое предложение по поиску эффекта несохранения четности в тяжелых атомах относилось именно к цезию [ II ] . И хотя впервые эффект был обнаружен в висмуте [ i] , эксперименты на цезии интенсивно ведутся в настоящее время в нескольких группах. В одной из них уже проведены первые измерения циркулярной поляризации излучения, вызванного несохра-няющим четность слабым взаимодействием электронов с ядром [ 6 ] .
Величина эффекта согласуется с предсказанием модели Вайнбер-га-Салама. Расчеты нарушающей четность EI-амшштуды перехода 6s-7$ в цезии проводились ранее методом эффективного потенциала и другими полу эмпирическими методами [іі-іб] . Однако точность этих расчетов не слишком высока. В последнем и, пови-димому, наиболее точном из них 15 J она составляет, по оценкам авторов, ~Ю$. Улучшение точности расчета одновременно с повышением точности измерений может послужить важной проверкой калибровочных теорий слабых и электромагнитных взаимодействий. Цезий привлекателен также тем, что большое количество экспериментальных данных по этому атому позволяет тщательно исследовать вопрос о точности расчетов.
Франций интересен по другой причине. Его спектр до сих пор экспериментально не измерен (известна лишь длина волны перехода ?s- f>f/z [l6j ), а данные по магнитному моменту ядра 17 J и сверхтонкой структуре основного состояния Ff't 1б] еще совсем недавно казались противоречащими друг другу согласно расчету в работе 18 J . Поэтому расчет является важным источником получения информации об атоме франция и его ядре.
Данная диссертация посвящена подробному изложению методики расчетов ab initio , учитывающих корреляционные поправки, а также вычислению с помощью этой методики уровней энергии, интервалов тонкой и сверхтонкой структуры (СТО) цезия и франция и эффекта несохранения четности в атоме цезия. Большое внимание уделяется технике включения в релятивистские уравнения Хартри-Фока дополнительного оператора, описывающего взаимодействие с внешним полем, либо корреляционное взаимодействие внешнего электрона с внутренними (см.главы Ш и ІУ). Такая техника позволяет эффективно понизить порядок теории возмуще-
ний и в значительной мере упрощает вычисления.
В первой главе описан комплекс программ, с помощью которого были получены все изложенные в диссертации результаты. При этом основное внимание уделяется изложению численных алгоритмов решения уравнений, возникающих в атомных расчетах. Конечно, атомные расчеты не сводятся только к решению уравнений. Кроме этого приходится еще суммировать ряды многочастичной теории возмущений. Соответствующие программы сложны по структуре, по громоздкости используемых математических выражений, однако, с точки зрения построения численного алгоритма, они просты и, поэтому, их описание мы опустим.
Для того, чтобы понять, какие уравнения приходится решать, рассмотрим в качестве примера расчет СТС щелочного атома.
Удобным начальным приближением здесь является так называемое V "± приближение (см., например, [18,19,9,10 J ), которое состоит в том, что процедура самосогласования в методе РХФ проводится для однократного иона ( Cs или а состояния внешнего электрона вычисляются затем в поле замороженного остова. Такое приближение не учитывает влияние внешнего электрона на атомный остов и хорошо работает в щелочных атомах, где это влияние мало (его можно учесть затем по теории возмущений). Далее, можно было бы учесть сверхтонкое взаимодействие (СТВ) и корреляционные поправки по многочастичной теории возмущений, что делалось, например, в работах [ 18,20J . Однако, на наш взгляд, более удобным является другой путь. А именно: оператор СТВ включается в уравнения ЕКФ [ 10J . При этом возникают некоторые новые уравнения относительно индуцируемых оператором СТВ поправок к волновой функции и энергии электрона, которые выглядят как уравнения Хартри-Фока с правой
частью (см.гл.Ш).
Таким образом, нам необходимо решать релятивистские уравнения Хартри-Фока для атомов с замкнутыми оболочками (какими являются ионы щелочных атомов), вычислять возбужденные состояния в фиксированном нелокальном потенциале и решать систему неоднородных интегро-дифференциальных уравнений Хартри-Фока. Численные алгоритмы и подпрограммы решения релятивистских уравнений Хартри-Фока описаны в 1-3, 6-8 первой главы. При расчете величин, имеющих сингулярные в нуле операторы (сверхтонкое, слабое взаимодействие), необходимо учитывать конечный размер ядра. Способ этого учета описан в 3,7. Как известно, уравнения Хартри-Фока решаются итерациями. Хорошим начальным приближением для них являются волновые функции и энергии, полученные методом Хартри-Фока-Слэйтера. Замена в этом методе обменного хартри-фоковского потенциала его локальной апрокси-мацией в статистической модели атома значительно упрощает вычисления. Соответствующие алгоритмы и подпрограммы описаны в 1-5. В 9 описано вычисление возбужденных состояний внешнего электрона в фиксированном поле атомного остова, лежащие как в дискретном, так и в непрерывном спектре. В 10 описаны численные алгоритмы решения уравнений Хартри-Фока с правой частью. Отметим здесь, что такие уравнения также необходимо решать как для дискретного, так и для непрерывного спектров. Дело в том, что после решения уравнений Хартри-Фока во внешнем поле, вообще говоря, необходимо еще использование многочастичной теории возмущений (для расчета корреляционных поправок) , которая требует наличия полного набора одночастичных состояний. Отметим еще, что в ряде случаев к решению уравнений Хартри-Фока с правой частью можно свести суммирование по возбужденным состояниям, возникающее в теории возмущений. При
этом улучшается точность вычислений, так как решение уравнения соответствует бесконечной сумме по полному набору.
Во второй главе рассматривается расчет уровней энергии и интервалов тонкой структуры атомов цезия и франция. В качестве начального приближения используется стандартное V приближение. Корреляционные поправки второго порядка по остаточному кулоновскому взаимодействию вычисляются по многочастичной теории возмущений. Как показывают результаты по цезию, такой расчет воспроизводит положение S , /5 и f -уровней с точностью 0,1-0,4$, тонкую структуру р и т -уровней - с точностью 1-2$. Интересно отметить, что тонкая структура і -уровней является инверсной, что воспроизводится расчетом уже в нулевом (ЕХФ) приближении. Для с/ -уровней, где корреляционные поправки особенно велики, точность несколько хуже. Например, для "4 уровня - 3$ по энергии и 35$ по тонкой структуре.
В аналогичном расчете для франция положение уровней энергии уточнялось в предположении, что вклад корреляционных поправок высших порядков во франции такой же, как и в цезии (нулевое приближение и корреляционные поправки второго порядка в цезии и франции имеют близкую величину). Ориентируясь на данные по цезию, можно ожидать, что уровни энергии франция определены с точностью не хуже 0,5$.
В третьей главе рассмотрен расчет констант СТО цезия и франция. В первом параграфе описывается упоминавшийся выше метод включения оператора СТВ в релятивистские уравнения Хартри-Фока (уравнения РХФ во внешнем поле). Этот метод обладает рядом достоинств по сравнению с учетом СТВ по многочастичной теории возмущений. Он более точно учитывает поляризацию кора, поскольку эквивалентен суммированию некоторой бесконечной последо-
вательности графиков. Однако для СТО это отличие невелико. Главный выигрыш в данном случае чисто технический - здесь существенно проще расчет корреляций, хотя, конечно, само приближение Хартри-Фока несколько усложняется.
Во втором параграфе рассмотрен собственно расчет корреляций. Б такой технике он аналогичен расчету корреляционных поправок к энергии, рассмотренному во второй главе. А именно, если СТВ учтено уже в одночастичных орбиталях, то корреляционная поправка к константе СТО есть, с точностью до коэффициента, линейная по СТВ часть корреляционной поправки к энергии.
В третьем параграфе приводятся результаты расчета одиннадцати констант СТС цезия и шести констант СТС франция. Для франция экспериментально измерены лишь две константы СТС ( А (Vs) и А(руь)[і&] ) Сравнение расчетных данных с экспериментальными для цезия показывает, что погрешность в вычислении констант СТС S и pt/t -уровней не хуже 3%, Примерно такую же погрешность следует ожидать и для франция. Из результатов расчета следует, что роль корреляций сводится, в основном, к увеличению на 30-40$ плотности внешнего электрона вблизи ядра. Следовательно, их учет особенно важен при расчете величин, имеющих сингулярные в нуле операторы. Тот же вывод следует из расчета тонкой структуры цезия и франция. Кроме того, при расчете констант СТС тяжелых атомов необходимо учитывать конечный размер ядра. Этот фактор уменьшает константы СТС S -уровней на 3% для Cs и на 16$ для Fr .
Сравнение имеющихся экспериментальных данных по СТС основного состояния 208-213 изотопов франция с расчетными позволило определить магнитные моменты ядер этих атомов. Результат для 211 рг (уи= 3,93(6)jn# ) находится в хорошем согласии с экспериментальным значением уи = 3.996 (77)уИ^ 17 J . Для остальных изотопов экспериментальных данных нет.
В четвертой главе рассмотрен метод учета корреляционного взаимодействия внешнего электрона с внутренними с помощью введения корреляционного потенциала. Основная идея метода состоит в том, что в уравнения ЕШ> добавляется зависящий от Е , j , і оператор VCoff(^j,C) ( В - энергия, j - полный момент электрона, t - орбитальный момент) такой, что среднее значение от этого оператора совпадает с корреляционной поправкой к энергии для состояния с теми же , j , . Например,
Полученные таким образом орбитали по сути дела совпадают с бракнеровскими (см., например, [21J ), и хотя некоторое отличие есть, мы будем пользоваться этим названием. Использование бракнеровских орбиталей особенно удобно при расчете эффекта несохранения четности при взаимодействии излучения с атомом, так как эффективно понижает порядок теории возмущений. Напомним, что для расчета эффекта несохранения четности нам необходимо учесть еще слабое взаимодействие и взаимодействие с фотоном. Так что, если бы мы вычисляли корреляционные поправки по теории возмущений, мы бы имели в общей сложности четвертый порядок теории возмущений (более ста диаграмм).
При рассмотрении атома во внешнем поле использование бракнеровских орбиталей эквивалентно суммированию не всех диаграмм теории возмущений, а лишь доминирующих. Однако, как показывает расчет по теории возмущений [ 10,20 J , вклад неучтенных диаграмм для S и put состояний, которые только и представляют интерес, пренебрежимо мал.
Отметим еще, что уравнения для бракнеровских орбиталей в точности аналогичны уравнениям Хартри-Фока. Единственное отличие состоит в том, что в роли нелокального потенциала выступает теперь сумма обменного и корреляционного потенциалов. Поэто-
- II -
му для их вычисления не требуется каких-то новых программ. Что касается корреляционного потенциала, то он вычисляется прямым суммированием по многочастичной теории возмущений.
]]дя: расчета эффекта несохранения четности необходимо вычислять матричные элементы слабого взаимодействия и радиальные интегралы для El-амплитуд. Матричные элементы слабого взаимодействия определяются поведением волновых функций в окрестности ядра, а радиальные интегралы - областью больших расстояний. Поэтому важно проверить поведение бракнеровских орбиталей на больших и малых расстояниях от ядра. Хорошей проверкой на больших расстояниях служит расчет амплитуд разрешенных ЕІ-переходов, приведенный в 2. Расчет проводился двумя способами: с помощью оператора дипольного излучения в форме длины ($ - eJT. t\ ) ив форме скорости (D ="*іггД1 ^{ , * -матрица Дирака). Сравнение расчетных амплитуд переходов в обоих формах между собой и с имеющимися экспериментальными данными показывает, во-первых, что применение бракнеровских орбиталей обеспечивает точность расчета радиальных интегралов около 1%, и, во-вторых, что различие амшштуд в двух формах сравнимо с отклонением от экспериментальных данных и может служить критерием точности расчета в тех случаях, когда экспериментальных данных нет.
Проверкой бракнеровских орбиталей на малых расстояниях от ядра служит расчет констант сверхтонкой структуры, приведенный в 3. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что точность расчета констант СТС для состояний 6 s , 6 fu%. около 1%, для возбужденных состояний - 3*5$,
В последней, пятой, главе описан расчет нарушающей четность El-амплитуды перехода 6$- 7$ в цезии. В первом параграфе описан метод включения слабого взаимодействия в самосогласованные уравнения. Метод аналогичен рассмотренному в Ш главе
в связи с расчетом констант СТС цезия и франция. Однако вместо хартри-фоковских орбиталей теперь выступают бракнеровские. Собственно расчет нарушающей четность Е1-амшштуды рассмотрен во втором параграфе. Расчет ведется по теории возмущений. Поляризация кора полем фотона учитывается в ведущем порядке. Получен ответ:
{?s\DKlts>»4M-toml,(-Q*//V)(-ie*b) - в а -$юрме,
где Qw- слабый заряд ядра Cs » N - количество нейтронов, - заряд электрона, Яв - боровский радиус.
В последнем параграфе пятой главы обсуждается точность расчета нарушающей четность Е1-амшштуды. На основе тщательного анализа результатов сравнения экспериментальных и расчетных данных по СТС, силам осцилляторов, уровням энергии, делается вывод, что полученное в предыдущем параграфе значение амплитуда ЕІ-перехода 6ъ- 7$ , возможно, несколько занижено. Правильность ответа будет гарантирована если среднюю точку в теоретическом значении El-амплитуды увеличить примерно на 3%, увеличив одновременно интервал её возможного изменения:
Из сравнения с экспериментальными данными по измерению нарушающей четность Е1-амшштуды [б J извлечено значение слабого заряда ядра 133 С S :
Этот результат хорошо согласуется с предсказанием модели Вайнберга-Салама. Кроме того, найденная величина Q-w использовалась для независимого определения угла Вайнберга:
^$4, = 0,114 ±0,O36±>,OZ
- ІЗ -
Выбор координатной сетки и интегрирование уравнений на одном шаге
Мы не учитываем обменного взаимодействия в первом из уравнений (1.2) и пренебрегаем нижней компонентой ВФ в выражении (1.4) для кулоновской вершины. Учет этих членов, так же, как и учет магнитного взаимодействия, запаздывания и радиационных поправок практически не влияет на энергии и ВФ внешних электронов, которые нас в конечном итоге интересуют.
Для перехода к нерелятивистскому пределу в уравнении (1.2) достаточно положить ( =0.
К точному решению ЕХФ уравнений (1.2) с помощью итерационной процедуры мы вернемся ниже. Обсудим сначала приближенный метод решения - метод Хартри-Фока-Слэйтера (ХФС). Дело в том, что полученные методом ХФС волновые функции удобно использовать в качестве нулевого приближения при решении уравнений (1.2). В методе ХФС обменное взаимодействие аппроксимируется добавкой к эффективному потенциалу С 23 J : Для тяжелых атомов коэффициент С следует брать равным единице 24 J В результате мы приходим к системе уравнений ХФС
Нерелятивистский вариант этих уравнений получается при &L = 0. Приближение (1.6) неприменимо при больших г , где ftO L Это видно уже из того, что (1.6) приводит к неправильной асимп тотике потенциала. Для исправления асимптотики мы используем правило, предложенное Лэттером 25] , которое состоит в том, что при следует положить V4VJ число электронов.
Напомним, что уравнения (1.7) должны быть решены с учетом условий самосогласования (1.3), (1.6), (1.8). Однако, как обычно, мы сначала рассмотрим их решение в заданном потенциале. Выбор координатной сетки и интегрирование уравнений на одном шаге Для интегрирования уравнений мы переходим к новой переменной 26 J Сетка с постоянным шагом по эс подходит как для внешних, так и для внутренних электронов.
Переход к переменной х. осуществляет подпрограмма ХКХХ. Для интегрирования дифференциальных уравнений применяется метод, аналогичный методу Нумерова, использующий интерполяционную формулу Адамса 5-го порядка: Запишем систему уравнений (1.7) в виде, разрешенном относительно производных:
Здесь мы ввели для общности "вынуждающую силу" р(&) , имея в виду в дальнейшем решение уравнений (1.2). Применяя формулу (I.II) для каждой из функций г и й и подставляя производные в точке Хт согласно (I.I2), получим:
Разрешив эту систему относительно , мы выразим их через rm«, , fa, и значения производных в предыдущих точках. Интегрирование на одном шаге осуществляет подпрограмма DTF. 3. Граничные условия Рассмотрим сначала граничные условия (ІУ) при г - 0.
Если нам не нужна Ш внутри и в непосредственной близости от о. . ядра, то ГУ нужно задавать при r„« t« \b/Z {г {,1 /ж - радиус ядра). В противном случае - при Г« Г . а) Граничные условия при г «г«д$/2 В этой области Ч(г) - С (I.I4) 2f - заряд ядра, С - потенциал электронов, который здесь можно считать постоянным. Таким образом возникает задача о движении в кулоновском поле частицы с эффективной энергией решение хорошо известно (см., например, [27J ). Если обозначим -то при вырожденная гипергеометрическая функция (верхний знак в фигурной скобке относится к г , нижний -).
Константа А может быть произвольной, поскольку В впоследствии нормируются. Однако, чтобы не слишком ошибаться в масштабе функций, мы выбираем А в соответствии с квазиклассической формулой Ферми-Сегре (см., напр.,28J ) гамма функция Эйлера. Знак в этой формуле подбирается так, что і (г- о) 0
Для интегрирования уравнения мы используем интерполяционную формулу пятого порядка, поэтому до интегрирования функции и производные должны быть вычислены в четырех точках. Эту процедуру осуществляет подпрограмма
Уровни энергии франция
Как уже было отмечено во введении, положение уровней энергии франция до сих пор не измерено. (Известна лишь длина волны перехода т$ — 4fJtu l6 J ). С другой стороны, существует возможность сравнительно точного вычисления положения этих уровней с помощью многочастичной теории возмущений. Как показывают результаты такого расчета для С$ (см. предыдущий параграф) точность определения S , р и г уровней составляет 0,1 0,4$, точность определения тонкой структуры р и Т уровней - 1 2/6. Поскольку атом франция является аналогом цезия, можно ожидать, что для него точность определения S ,р и 7 уровней будет также не хуже 0,5$. Что касается d уровней, где велик вклад корреляций высших порядков, то их положение для Гг можно уточнить, экстраполировав корреляционные поправки высших порядков из Cs .
Расчет для Fr ведется точно так же как для С$ : сначала, с помощью метода Ш строится полный набор одночастич-ных состояний в V приближении, а затем, по формулам (2.3), вычисляются корреляционные поправки второго порядка. В таблицах 3 и 4 приведены величины энергии и ТС для нижних уровней а также корреляционные поправки к ним. Интервалы ТС вычисляются как разность соответствующих энергий. Отметим, что несмотря на относительно маленькую величину интервалов ТС (Особенно для ff : oEL%/E 1,36 10 ) они вычисляются с точностью 1-2$. Причина состоит в том, что вычислительная ошибка для обоих компонент тонкого дублета примерно одна и та же. Кроме многочастичных корреляций имеются поправки, связанные с магнитным взаимодействием между электронами и запаздыванием (Брейтовское взаимодействие), а также радиационные поправки (Лэмб-сдвиг). Для Ft- эти две поправки одинакового порядка по величине ( $Е/Е & I0" 3) и с нашей точностью они пренебрежимо малы. Несмотря на это мы вычислили Лэмб-сдвиг для внешнего электрона, так как результат имеет очень простую аналитическую форму. Лэмб-сдвиг обусловлен поправкой к электронной вершине и поляризацией вакуума в кулоновском поле. Для этих квантово-электродинамических поправок основной вклад в интегралы по импульсу в петлях даются областью Это означает, что Лэмб-сдвиг в тяжелом атоме определяется областью
Здесь кулоновское поле не экранировано, и энергия внешнего электрона мала по сравнению с потенциалом. Поэтому в области r&(\tf% волновая функция внешнего электрона пропорциональна волновой функции электрона с Й ОБ ЧИСТО кулоновском поле. Согласно
Здесь V - эффективное главное квантовое число для внешнего электрона поправка Ридберга (обычно A$/dn « і), п - главное квантовое число для электрона в чисто кулоновском поле Формула (2.7) вер на, если П I. Реально достаточно п & 2. Лэмб-сдвиг для кулоновских уровней s,/t и pt/t для Z = 10 100 вычислен в работе [46] . Используя результат этой работы и формулу (2.7), получим для внешнего электрона в тяжелом атоме: где - слабо зависящая от Z функция, затабулированная в [46] . Для 2 = 87, F(%t) = 2,13 для. К сожалению, нам неизвестно значение F(Zt) для других орбиталей. Однако, оценки по нерелятивистским формулам показывают, что оно мало. Вклад Лэмб-сдвига в тонкую структуру может быть также оценен по нерелятивистским формулам: «Г) - спин-орбитальное расщепление. Величина Лэмб-сдвига для S -уровней приведена в таблице 3.
Расчетное значение длины волны перехода) оказалось примерно на 0,5$ меньше экспериментального значения). В пересчете на положение s -уровня это соответствует ошибке Конечно, это отклонение лежит в пределах нашей точности. Несмотря на это, мы попытались уточнить положение уровней энергии во Fr . Разница между вычисленными и экспериментальными значениями обусловлена следующими причинами: (I) вкладом поправок высокого порядка многочастичной теории возмущений, (2) Брейтовс-ким взаимодействием, (3) вычислительными ошибками. Можно предположить, что эта разность одна и та же для С$ и для Ft (РХФ-энергии и корреляции второго порядка для С$ и Ft оказались довольно близки), и учесть её. Кроме этого, мы уточнили энергии уровней, чтобы воспроизвести экспериментальное значение длины волны Л (9з 7рПх) Окончательные результаты для состояний с V 5 приве дены в таблице 5. Уровни i&$ и 6t получены экстраполяцией корреляционной поправки (она ведет себя как I/V% при боль ших V ). Не приведенные в таблице уровни с V 5 с хорошей точностью даются формулой Ридберга. Расчет положения т 5 , тр 9 Ьр - уровней fr был проведен ранее в работе [ 47 J . В этой работе уровни энергии Ff были рассчитаны сначала в приближе нии Хартри-Слэйтера (без учета корреляционных поправок) и затем скорректированы, опираясь на расчетные и экспериментальные дан ные по . Наши результаты по уровням практически совпадают с результатами из [ 47 ] .
Расчет корреляций
Для расчета корреляционных поправок воспользуемся теорией возмущений. Оператором возмущения является разность между точным гамильтонианом и РХФС-гамильтонианом (сравни с (2.1)):
Благодаря тому, что оператор СЕВ включен в РХФС-гамильто-ниан, расчет корреляционных поправок к константам ОТО сводится к расчету корреляционных поправок к энергии. Поправки первого порядка по остаточному кулоновскому взаимодействию точно равны нулю, а поправки ВТОРОГО порядка описываются четырьмя графиками (рис.4). Обозначим латинскими буквами m , п состояния из заполненных оболочек, а греческими .,,#- возбужденные состояния. Пусть вычисляется СТС-константа состояния с номером ?с . Рассмотрим в качестве примера график на рис.4а. Соответствующая поправка к энергии дается выражением:
Здесь А новский интеграл. Знак тильда в кулоновском интеграле обозначает, что вместо соответствующей функции подставлена КШЮ-поправка. Например, Qu&b Qfy fa f fj?) . Первый член в формуле (3.20) одинаков для всех компонент СТ мультиплета и поэтому может быть опущен. Это часть корреляционной поправки к энергии уровня, вычисленной в главе П. Остальные члены в (3.20) дают вклад в СТ-константу. Аналогичным образом раскладываются корреляционные поправки, соответствующие графикам 4/, 4е , 4І На рисунках бек , & , 6с 9 6М графически изображены различные слагаемые, которые дают вклад в корреляционную поправку. Крестик на линии означает, что вместо волновой функции следует взять соответствующую добавку &f , индуцированную СТВ, и учесть сдвиг энергии соответствующей орбитали (см. (3.20)). Рисунок 6 к соответствует разложению графика к л , 6 $- і ( , 6с- he , 6d- 44 . Как мы уже упоминали во введении, относительная простота расчета корреляций является главной причиной, по которой СТВ включается в уравнения Хартри-Фока, а не учитывается по многочастичной теории возмущений наряду с остаточным кулоновским взаимодействием. Хотя при разложении корреляционной поправки к энергии возника - 61 ет довольно много графиков, их число все-таки меньше, чем в стандартной многочастичной теории возмущений и главное, все они вычисляются совершенно единообразно. С учетом формул (3.12) суммирование по проекциям момента состояний п ,, »т в поправках рис. 6 а , б і , С с , 6с/ выполняется аналитически. Соответствующие формулы приведены в приложении. При численном расчете корреляционной поправки учитывались все промежуточные орбитали с С 4 5. Что касается НФС-поправок к функциям if, то, как мы уже упоминали, достаточно учесть диагональные по і поправки. Более того, при расчете корреляций можно было бы ограничиться и диагональными по j поправками. Даже для Дь-состояния вклад в корреляционную поправку недиагональных по j ofx составляет всего 0,5$ от экспериментального значения СТС. Для S.,,. и р,х -состояний этот вклад намного меньше.
Суммирование по промежуточным состояниям дискретного спектра выполнялось вплоть до к =8 для S и / - состояний, до и = 7 для d и до п =5 для f -состояний ( К -главное квантовое число). Вклады от более высоких состояний дискретного спектра учитывались с помощью квазиклассической асимптотической формулы, т.е. в предположении, что они зависят от энергии как. Вклады о и к -функций дискретного спектра были опущены. Интегрирование по состояниям непрерывного спектра выполнялось с помощью метода Симпсона в области Вклад более низких энергий учитывался с помощью квазиклассической асимптотической формулы.
Вычисление амплитуд разрешенных EI-переходов
Для оценки точности расчета в данной работе были проведены следующие тесты: 1) Оценка чувствительности к параметрам распределения нуклонов в ядре. Погрешность расчета 0,2$. 2) Совпадение результатов расчета в і и tf - формах. Разница 0,2$. Напомним, что для Е1-амшштуд обычных переходов отличие і и iT - форм было того же порядка, что и расхождение с экспериментальными данными. 3) Расчет известных из эксперимента атомных параметров. Этот тест особенно важен, так как наши вычисления исходят из первых принципов и не содержат никаких подгоночных параметров. Расчетные значения энергии отличаются от экспериментальных менее, чем на 1$. Точность 1$ получается также при расчете ЕІ-амплитуд между низшими состояниями. Несколько большей оказывается погрешность в расчете тонкой и сверхтонкой структуры. Причина, по-видимому, состоит в том, что здесь большими оказываются корреляционные поправки ( 30$), которые мы учитываем не совсем точно. В энергиях и Е1-амшштудах эти поправки 10$. Невелики они и в нарушающей четность El-амплитуде: - 3$ в I -форме и 13$ в if -форме. Поэтому можно надеяться, что точность в этой амплитуде, так же, как при расчете энергий и обычных
Из таблицы 14 видно, что все расчетные значения сверхтонких констант оказались меньше экспериментальных: 6$ на 0,4 &- на 2,7$, /ь- на 1,8$, Чр,1ь - на Ъ% при (Е6р) и на 3% при гЕ.(Е+р) . Из этих данных может сложиться впечатление, что мы занижаем волновые функции электронов в окрестности ядра, и, следовательно, занижаем величину слабого взаимодействия электронов с ядром. Для проверки мы провели тестовый расчет, где сверхтонкие константы получаются больше экспериментальных: 6s, на 4$, h - на 0,2$, 6p4t. - на 0,6$ и Урі/г. - на (-3$) при 2 бр) и на (-1$) при Z(E?f) . Этот вариант получается, если при переходе от хартри-фоковского одночастичного потенциала Ve -V -I/Wi к бракнеровскому V V - +Vtorr (см. формулы (4.2), (4.3) не проводить пересогласования орбиталей кора, т.е. вычислить 14 на хартри-фоковских орбиталях. Первый вариант отличается от второго фактически тем, что в нем учтены некоторые дополнительные графики третьего порядка по кулоновс-кому взаимодействию. Во втором варианте обычные Е1-амплитуды для переходов между низшими состояниями отличаются от полученных в согласованном менее, чем на 1%. Р -нечетная амплитуда также изменяется мало:
Если в формулу для р -нечетной амплитуды (5.5) подставить о Ф , полученное с помощью обычной теории возмущений по k„v , то наибольший вклад в доминирующее слагаемое (uffS\b\fi дает смешивание т5 и 6р -состояний:
Матричный элемент ?s / kp \6( /%} определяется поведением волновых функций в окрестности ядра. К этой же области чувствительны константы сверхтонкой структуры. Например, в нерелятивистском пределе A% \ft(o)\ . Поэтому мы можем сравнить с экспериментом похожую по структуре на р -нечетную Е1-ампли-туду величины:
Обнаружение эффекта несохранения четности в атомах [ I ] , затем подтвержденное в (_ 2-6 J , явилось в свое время очень важной проверкой единой теории электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама. Точное измерение слабого заряда ядра может оказаться новым важным шагом в этой области.
В заключение заметим, что высокая точность атомных расчетов, полученная в настоящей работе, связана, возможно со следующими обстоятельствами. В однородной материи метод RP/| (суммирование диаграмм на рис.8) является приближением высокой плотности частиц. Метод Бракнера же (суммирование диаграмм типа изображенных на рис.4,9) соответствует приближению низкой плотности. Мы же учитываем оба класса диаграмм, и, вероятно, поэтому получаем неплохую точность и в промежуточной области. Другим объяснением хорошей точности может служить то обстоятельство, что мы учитываем все диаграммы первого порядка и основные диаграммы второго и более высоких порядков по остаточному кулоновскому взаимодействию. Причина же доминирования учтенных нами корреляционных графиков (рис.9) состоит в том, что только они содержат малый энергетический знаменатель, соответствующий изменению состояния одного внешнего электрона. Во всех остальных графиках этого порядка в промежуточных состояниях есть хотя бы один электрон, возбужденный из заполненной оболочки, т.е. все энергетические знаменатели велики.
