Содержание к диссертации
Введение
1 Суперпространство в 2D 16
1.1 Двумерная супералгебра Пуанкаре 17
1.1.1 Редукция N — 2 , AD супералгебры Пуанкаре к N = (4,4), 2D супералгебре Пуанкаре 17
1.1.2 Фактор-пространство: общие методы 19
1.1.3 Двумерное JV = (4,4) суперпространство 21
1.2 Бигармоническое суперпространство в 2D 23
1.2.1 Центральный базис в бигармоническом супер пространстве 23
1.2.2 Аналитическое супериространство 29
1.3 Суперкопфорыная группа 32
2 Суперсимметричные J\f — (4,4) сигма—модели в бигармоническом суперпространстве 35
2.1 Описание супермультиплетов J\f = (4,4) материи в бигармоническом суперпространстве 36
2.1.1 Супер мул ьтиплет С ТВИСТОМ (]га 36
2.1.2 Другие супер мул ьтиплеты с твистом 38
2.1.3 Тензорный мультиплет 41
2.1.4 Нелинейный мультиплет 46
2.2 Сигма-модельные действия для мультиплетов 48
2.2.1 Общие действия для мультиплетов с твистом 49
2.2.2 Общие действия для тензорного и нелинейного мультиплетов 59
2.2.3 Суперконформные действия 62
2.2.4 Массивные деформации общих и супер конформных действий 73
2.2.5 Дуальные действия 77
3 Взаимодействие между разными типами мультиплетов с твистом 86
3.1 Описание с явной суперсимметрией 86
3.1.1 Общие действия для разных мультиплетов с твистом 88
3.1.2 Взаимодействие самодуальных мультиплетов с твистом 96
3.2 Описание со скрытой суперсимметрией 98
3.2.1 Связи в супер пространстве R 3.2.2 Общее действие для мультиплєта с твистом дга вНЯ' 101 3.2.3 Действие для пары мультиплетов с твистом 103 4 Суперсимметричная квантовая механика 110 4.1 Мультиплет (4, 8,4) со скрытой суперсимметрией 111 4.2 Мультиплет (4,8,4) в бигармоническом сунерпространстве 119 4.2.1 Основные определения 119 4.2.2 Мультиплет (4,8,4) в HR(1+2+2|8) 121 4.3 Суперсимметричное расшиение алгебры Гейзеиберга 125 4.3.1 Структура супералгебры 125 4.3.2 Инвариантные действия и потенциальные члены 130 4.4 N = 8 супергравитация в ID 134 4.4.1 Структура группы диффеоморфизмов 134 4.4.2 Пример N = 8 супергравитации 142 4.4.3 Мультиплет (4, 8,4) на фоне JV = 8 супер гравитации 144 Заключение 149 Введение к работе Суперсимметрия, как новый принцип симметрии в физике частиц, была открыта в работах Гольфанда и Лихтмана [1], Волкова и Акулова [2], [3], [4], Весса и Зумино [5], [6]. Главной особенностью этого нового принципа симметрии является объединение частиц разной статистики в обобщенные мультиплеты - супермультиплеты, что позволяет рассматривать супер симметрию как симметрию между бозонными и фермионными полями. Подобное объединение означает следующее: существуют определенные преобразования, которые переводят бозонные поля в фермионные и наоборот, причем эти преобразования носят групповой характер. В свою очередь, это означает, что параметры соответствующих преобразований должны быть антикоммутирующими числами, т. е. принадлежать алгебре Грассмана. Кроме того, из свойства лоренц-инвариантности вытекает, что они также являются спипорными величинами. В математике объекты, обладающие групповыми свойствами, в которых в качестве параметров используются грассмановы числа, были уже известны [7, 8, 9], и носят теперь название супергрупп. Таким образом, преобразования суперсимметрии представляет собой пример супергруппы. Простейшая суперсимметрия в четырехмерном пространстве-времени Минковского представляет собой Пуанкаре-супер симметрию и образует супергруппу Пуанкаре. Ее супералгебра содержит наряду с генераторами группы Пуанкаре дополнительные спинорные генераторы Qa , Q<* j которые преобразуются по неприводимым представлениям группы Лоренца (1/2,0) и (0,1/2) и удовлетворяют ант и коммутационному соотношению: {т, (В.1) где Рт - генератор трансляций. Изучение моделей теории ноля, обладающих J\f = 1 суперсимметрией, показало их улучшенные квантовые свойства, в частности, сокращение числа возможных расходимостєй в модели Весса-Зумино [6, 10]. Отсутст- вне в этой модели квантовых поправок во всех порядках теории возмущений к таким величинам, как масса и заряд, составило основу содержания теорем о неперенормировках. Дальнейшее развитие феноменологического направления привело к построению суперсимметричных версий Стандартной Модели [11, 12, 13] и Моделей Великого объединения [14, 15, 16]. В моделях последнего типа становится возможным решение проблемы иерархии масс. В суперсимметричных моделях возникают новые частицы - суперпартнеры стандартных частиц, которые имеют одинаковые с ними квантовые числа (массу, заряд и т.п.), но противоположную статистику. С другой стороны, из алгебры суперсимметрии следует равенство масс частиц, входящих в один и тот же супермультиплет. Однако суперпартнеры с массами известных частиц не обнаружены. Это приводит к тому, что в реалистичной физической теории, обладающей суперсимметрией, суперсимметрия должна быть спонтанно нарушена при чем таким образом, чтобы сохранялись ее свойства перенормируемости. Несмотря на существование разных механизмов нарушения суперсимметрии [17, 18], вопрос об адекватном методе спонтанного нарушения пока не выяснен. В теориях cj\f = 1 суперсимметрией объединение внутренних симметрии и суперсимметрий носит структуру прямого произведения. В расширенных суиерсимметриях становится возможным нетривиальное их объединение [4, 19, 20]. Для этого рассматривается обобщение соотношения (В.1): {QL,Sui}=25}adPra, (В.2) в котором на спинорных генераторах реализуется некоторая группа внутренних симметрии. При этом входящие в супер мул ьтиплеты расширенной суперсимметрии частицы обладают разными изоспипами. Важным свойством соотношений (В.1) (В.2) алгебры суперсимметрии является то, что локализация преобразований суперсдвигов приводит к локальным преобразованиям обычных координат, т.е. к общековариантной группе пространства-времени. Иными словами, в теории с локальной суперсимметрией естественным образом возникает супер гравитация [21, 22]. В расширенных теориях супергравитации естественным образом возникают локальные преобразования группы внутренних симметрии, что приводит в конечном счете к объединению гравитационного взаимодействия с остальными типами взаимодействий. Отметим, что одной из основных мотивировок введения расширенной суперсимметрии было желание выйти за пределы известной теоремы Ко- улмеиа - Мандулы [23], согласно которой объединение группы Пуанкаре и группы внутренней симметрии в классе групп Ли такое, что получающаяся при этом физическая теория была бы нетривиальной, невозможно. Обобщение понятия группы Ли до супергруппы Ли позволило объединить преобразования внутренней и пространственно-временной симметрии в теориях с расширенной суперсимметрией нетривиальным образом. В последствие была доказана теорема Хаага-Лопушапского-Сониуса [24], согласно которой алгебра расширенной суперсимметрии (В.2) является единственной возможной градуированной алгеброй Ли, совместной с принципами релятивистской квантовой теории поля. Принцип сунерсимметрии был распространен и на многомерные теории, из которых методами размерной редукции или компакт и фикации типа Калуца-Клейна [25, 26, 27] возникают четырехмерные расширенные суперсимметричные теории Янга-Миллса и расширенные теории супергравитации. Размерность таких пространств определяется требованием, чтобы после редакции не возникали поля слишком высоких спинов (не выше спина 1 в теории Янга-Миллса, и не выше спина 2 в теории гравитации). Так, максимально расширенная суперсимметричная калибровочная теория может быть сформулирована в Л/* = 1, 10 - мерном пространстве-времени [28, 29], а максимально расширеннаяя супер гравитация — в JV" = 1, 11- мерном пространстве-времени [25, 30]. При редукции или компактификации к четырем измерениям им будут соответствовать М — 4 теория Янга-Миллса и N = 8 супергравитация. Использование идей суперсимметрии в случае одного измерения привели к возникновению суперсимметричной квантовой механике [31, 32, 33, 34, 35, 36]. В ее рамках становится более ясным понимание некоторых вопросов релятивистской теории. В частности, изучение вопроса о динамическом нарушении суперсимметрии непертурбативными эффектами [37, 38, 39, 40], привело к исследованиям нарушения сунерсимметрии в четырехмерном случае инстантонами Янга-Миллса [41, 42, 43]. В расширенной суперсимметричиой квантовой механике был обнаружен механизм частичного спонтанного нарушения суперсимметрии при включении в алгебру генераторов центральных зарядов [44, 45, 46]. Суперсимметрия составляет играет важную роль в двумерной теории поля. В первую очередь это связано с развитием струнных и суперструнных теорий. Так, было установлено, что любая конформно-инвариантная модель в двумерном пространстве-времени мол-сет рассматриваться как модель некоторой струны или суперструны в калибровке светового конуса или конформной калибровке [47]. Важный класс двумерных теорий составляют нелинейные сигма-модели. Они представляют собой системы, в которых сами бозонные поля выступают в качестве координат некоторого многообразия. Суперсимметричые обобщения таких моделей имеют глубокую связь с геометрией комплексных многообразий. Так, в случае 2D, Л/* — (2, 2) сигма-модельной теории (или 4D, Л/* = 1) соответствует Кэ-лерово многообразие [48], а в случае 2D, Л/* — (4,4) (или AD, N = 2) -гипер-Кэлерово многообразие [49]. Исследование двумерных теорий поля привело к открытию более широкого класса двумерных нелинейных сигма-моделей, а именно, нелинейных сигма-моделей, которые включают обобщенный член Весса-Зумино— Новикова-Виттепа (ВЗНВ), или кручение[50, 51]. В последствие стали изучаться сигма-модели с кручением на групповых многообразиях - модели ВЗНВ типа [52]. Использование сигма-моделей подобного типа привело к созданию целого направления в теории струн и суперструи — так называемого сигма-модельного подхода [53, 54]. Как было показано, что суперобоб-щепия ВЗНВ сигма-моделей описывают нетривиальные фоновые многообразия в теории суперструн, требующих конформной инвариантности [55]. Изучение суперсимметричных сигма-моделей дало основы для построения некоторых вполне интегрируемых систем, обладающих соответствующей суперсимметрией, в частности к Л/" = 4 суперрасширепию уравнения Лиу-вилля [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]. Было показано, что эти модели имеют также приложения к конформной теории поля и к индуцированной двумерной N = 4 супергравитации [64, 65]. Подходящим объектом для реализации группы Пуанкаре является пространство Минковского, которое параметризуется вещественными координатами хт: ТС1 = (хт), т = 0,1,2,3. (В.З) Реализация генераторов этой группы в терминах дифференциальных операторов хорошо известна, а ее представлениями являются функции на R.4 . Для того чтобы представить спинорные генераторы Q(l, Qt алгебры су-персимметри как некоторые дифференциальные операторы, потребовалось введение концепции суперпространства [2, 3, 4, 66]. Суперпространство является обобщением обычного пространства Минковского за счет введения дополнительных антиком мутирую і цих координат. Простейшим примером суперпространства служит вещественное А/" = 1 суперпространство: R41"1 = (sm. 0« Л) (в-4) Функции на суперпространстве называются суиерполями. Их разложение по грассмановыы переменным ввиду нильпотельтпостн последних всегда конечно, а коэффициентами этого разложения являются обычные поля, как физические, так и вспомогательные. Преобразования супер симметрии реализуются в суиерпространстве как сдвиги координат: дх = -г {Є Vjta-e ааає h 5ва = єа, (ЮА = Г\ (В.5) где єа , 6а ~- анти ком мутирующие параметры суперсдвигов. Важное свойство суперполей состоит в том, что преобразования суперсимметрии замыкаются на них без использования уравнений движения. Таким образом, явная инвариантная формулировка суперсимметричных теорий вне массовой оболочки достигается в терминах суперполей. Суперполя реализуют линейные представление алгебры суперсимметрии, которые в общем случае являются приводимыми. Неприводимые представления выделяются за счет наложения дополнительных условий на суперполе. В простейшем случае четырехмерной Л/" = 1 суперсимметрии поля материи описываются киральпым суперполем, которое есть комплексное суперполе Ф(х, 0, в), удовлетворяющее связи: ОАФ{х,9,в) = 0. (В.6) Эта связь, записанная в комплексном киральном супер пространстве: С*12 = (я? , 0а), (В.7) имеет простой смысл: она просто означает, что суперполе Ф(х, в, 9) не зависит от соответствую ідей грассмановой координаты и является произвольным комплексным суперполем, определенным на С4!2. Этот простой пример показывает, что выбор адекватного суперпространства является существенным при описании неприводимых представлений алгебры суперсимметрии в терминах неограниченных суперполей. В случае Л/" = 1 суперсимметрии таких суперпространств только два: вещественное R4'4 и киральное С'1'2 суперпространства. Оба этих суперпространства оказались важными для построения теорий с Af = 1 супер симметрией, включая суперобобщение теории Янга-Миллса [67, 68, 69] и супергравитацшо [70]. Нахождение адекватного супер пространств а для теорий с расширенной суперсимметрией представляет собой сложную задачу. Прямым обобщением вещественного N — 1 суперпространства (В.4) является J\f расширенное вещественное супер пространство: К414ЛГ = (ятА*Д). (В.8) Подобным образом возникает и N расширенное киральное суперпространство: С4І2* = «'Лп). (В.9) Оказывается, что описание расширенной N = 2 суперсимметричной теории в рамках этих суперпространств (В.8) (В.9) (случай А/" = 2) не может быть достигнуто на языке неограниченных суперполеи, которые имеют не только разумную размерность, но и ясную и геометрическую интерпретацию. Решение вопроса о существовании адекватного суперпространства для теорий с А/" = 2 суперсимметрией привело к открытию гармонического су-перпространства [71]. Главной особенностью гармонического суперпространства является введение новых бозонных координат, называемых гармониками, в качестве независимых переменных, которые дополняют стандартный координатный набор (В.8) ЛҐ = 2 супер про стран ства: HR4+2I8 = (xm ,ваі,вІ,чї, щ). (В.10) Гармоники ассоциируются с координатами двумерной сферы S2, которая рассматривается как фактор-пространство группы внутренних автоморфизмов SU{2) по ее подгруппе 7(1). Изучение структуры гармонического супер пространства показало существование в нем аналитическое подпространство : AR*+al4=M,eJ, ft,«,+ ,«,-). (B.ll) которое имеет вдвое меньший набор грассмановых координат и замкнуто относительно преобразований N = 2 суперсимметрии. Это позволило определить новый тип аналитичности - гармоническую грассманову аналитичность, которая обобщает понятие комплексной ананалитичности в обычном смысле или киральиости в случае Л/" = 1 суперсимметрии. Именно ы аналитическом суперпространстве удается дать описание супермультнплета материи вне массовой оболочки (гипермультинлета Файе-Сониуса [73, 74]) в терминах неограниченного аналитического супериоля q+ [71]. Это достигается благодаря тому, что общие гармонические суперполя с необходимостью содержат бесконечный набор вспомогательных полей, требуемых для вне массового описания теоремой "запрета" [75, 76]. Отметим также, что в подходе гармонического суперпространства было получено адекватное описание как J\f = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и W ~ 2 теории супер гравитации в четырех измерениях, а также выявлена тесная связь с геометрией комплесных многообразий гипер-Кэлерова и кватернион-Кэлерова типа. Расширенные А/" = (4,4) супер симметричные теории в двух измерениях рассматривались ранее в разных суперпространственных подходах, в частности, в jV = (2,2) суперпространстве [77], в стандартном [59] и проективном J\f = (4,4) суперпространствах [78, 79, 80, 81] В этих подходах использовались J\f = (2,2) киральные и киральные суперполя с твистом суперполя, а также обычные Л/- = (4,4) суперполя. С другой стороны, учитывая значение гармонического суперпространства в четырехмерных расширенных супер симметричных теориях, было бы валено иметь описание двумерных теорий с Л/* ~ (4,4) суперсимметрией на языке гармонических суперполей. При описание двумерных суперсимметричных теорий, которые могут быть получены размерной редукцией из четырехмерных J\f = 2 теорий, стандартное гармоническое суперпространство является вполне адекватным. Возникающие при этом теории, в частности, общие нелинейные сигма-модели, описываются двумерным аналогом аналитического суперполя q+ и приводят к общим гипер-Кэлеровым сигма-моделям соответствующего бозонного многообразия. В теориях, получающихся таким способом, отсутствует ВЗНВ член, или член кручения. С другой стороны, двумерные теории, обладающие суперсимметрией, допускают нетривиальные члены кручения. Таким образом, стандартное гармоническое суперпространство не является подходящим для описания теорий этого типа - суперсимметричных нелинейных сигма-моделей с кручением. Другой интересной задачей в суперсимметрии является построение расширенных версий суперсимметричной квантовой механики [31]. Изучение ее различных вариантов с N = 8 суперсиммстией, основанных на муль-тиилетах с конечным компонентным составом вне массовой оболочки [82], представляет собой сложную задачу и требует развития суиерпространст-венных методов. Особенностью одномерных суперсимметричных теорий является достаточно широкая свобода в построении их супер конформных расширений, которые связаны с разными суперконформными группами в одномерии [83]. Симметрии этих моделей отражают некоторые особенности многомерных квантовых теорий поля. Обобщение суперконформной группы на группу общих супер ко вариантных преобразований ведет к возникновению конформной теории супер гравитации в одном измерении. При ее взаимодействии с суперконформным или общековариаптным обобщением понятия супермультиплета материи, который используется в качестве компенсатора конформных преобразований и их су пер симметричных аналогов, возникает одномерная общековариантная супергравитация. Многие свойства таких моделей оказываются аналогичными свойствами многомерных теорий су пер гравитации. Изучение реализаций этих групп, и построение соответствующих суперконформных действий как и построение различных версий расширенной супергравитации, также нуждаются в поиске новых суперпространств. Эти рассуждения приводят к тому, что необходимо найти некоторое обобщение стандартного гармонического суперпространства, которое бы представляло собой наиболее адекватный объект для построения двумерных расширенных jV — (4,4) суперсимметричпых теорий, включающих класс нелинейных сигма-моделей с кручением. Его построению и применению к описанию этого класса моделей и посвящена настоящая диссертация. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы. В первой главе основным является введение нового типа гармонического суперпространства - б и гармонически го супер пространств а. Его отличительной особенностью является наличие двух независимых наборов гармонических переменных, которые описывают прямое произведение двух двумерных сфер S2L X 3 . Вначале, рассматривается двумерная Л/" = (4,4) супералгебра Пуанкаре, которая получается размерной редукции из 4D, Л/" = 2 суиералгебры Пуанкаре. При переходе к координатам светового конуса становится явной структура двумерной супералгебры Пуанкаре, которая представляет собой прямую сумму двух одномерных супералгебр. При этом, группа внутренних автоморфизмов SU(2) четырехмерия становится общей группой симметрии для одномерных алгебр генераторов левого п правого координатных секторов. С другой стороны, полной группой автоморфизмов двумерной супералгебры Пуанкаре является группа 50(4)ь х SO{A)r. Тем самым, общая группа SU{2), сохраняющаяся после размерной редукции, отвечает случаю, когда входящие в качестве подгрупп в 50(4)^, и SO{4)r группы SU(2)L и SU{2)r отождествляются. В диссертации группы SU(2)l и 5t/(2)# рассматриваются как независимые, и именно это приводит к концепции бигармонического суперпространства. Далее, основываясь на общих методах реализаций (супер)групп в (супер)-фактор-пространствах, вводится понятие бигармонического суперпространства - HR(1+2,1+2'4'4), которое представляет собой расширение стандартного суперпространства R^1-1!4'4) за счет добавлением двух независимых наборов бозонных координат uf и v^ , параметризующих двумерные сферы Si ~ SU{2)L/U{l)L и 8 ~ SU(2)R/U(1)R, соответственно. Определяются центральный и аналитический базисы и находятся с использованием методов форм Картана явные выражения как для спинориых, так и для гармонических ковариантиых производных. Ковариантные гармонические производные, связанные с гармониками uf и v^ , образуют независимые наборы, которые генерируют две разные алгебры SU{2), коммутирующие между собой и с преобразованиями суперсимметрии. В аналитическом базисе бигармонического суперпространства HR/ + ' +"' ' ' выделяется аналитическое подпространство AIv + ' +'' ' ', которое содержит вдвое меньший набор грассмановых координат и является замкнутым относительно преобразовании Л/* = (4,4) супереимыетрии. Введение понятие гармонической грассмановой аналитичности позволяет определить в аналитическом суперпространстве АШ1+ ,1+ ' ' ^ гармонические аналитические суперполя, для которых в центральном базисе устанавливается связь со стандартными N = (4,4) суперполями. Приведены также основные формулы гармонического исчисления, необходимые для описания гармонических суперполей и построения соответствующих инвариантных суперсимметричных действий. Показано, что в обоих координатных секторах аналитического суперп-ростраиства AR^1+2,1+2'2,2^ реализуются две разные N = 4 SU(2) супер-конформиые группы, которые являются подгруппами в так называемой "большой" Л/" = 4 суперконформной группы, содержащей аффинную подгруппу Каца-Муди SO(4) х U(l) в бозошюм секторе. Реализация одной из Л/* = 4 SU(2) суперконформпых групп в аналитическом суперпространстве имеет явное сходство с реализацией соответствующей 4D, ЛА = 2 суперконформной группы в стандартном гармоническом подходе и определяется требованием сохранения понятия аналитичности, тогда как другая N = 4 SU{2) суперконформная группа прямого аналога в четырехмерном случае не имеет. Показано, что мера аналитического суперпространства AR>l+2,I+2'2'2' инвариантна относительно преобразований обоих суперконформпых групп. Во второй главе дано описание четырех различных типов Л/* = (4,4) супермультиплетов с твистом, тензорного и нелинейного супер мультипле-тов в аналитическом суперпространстве AR> + > + !-> J; которые представляются вещественными аналитическими суперполями, ограниченными набором гармонических связей. В обычном Л/" = (4,4), 2D суперпространстве эти мультиплеты описываются N = (4,4) суперполями со связями, которые определяют неприводимый состав вне массовой оболочки соответствующих мультиплетов. Гармонические связи имеют такое же предназначение - они выделяют неприводимый конечный набор компонентных полей в общем аналитическом суперполе. Построены общие суперсимметричные действия для всех рассмотренных супермультиплетов в аналитическом суперпространстве и показано, что они описывают J\f = (4,4) суперсимметричные нелинейные сигма-модели с кручением вне массовой оболочки. Бозоыные многообразия этих сигма-моделей определяются некоторой матричной функцией, зависящей от физических бозонных полей, которая удовлетворяет дополнительным условиям, соответствующим так называемы гииер-Кэлеровым многообразиям с кручением. В подходе би-гармонического суперпространства эти условия на метрическую функцию возникают естественным образом в силу ее конструктивного определения. Приведены также соответствующие инвариантные выражения для массовых членов. Существенным отличием подхода бигармопического суперпространства от стандартного гармонического суперпространства с одним набором гармонических переменных является невозможность построения суперполевого действия в терминах одного единственного неограниченного аналитического суперполя, из которого следовали бы уравнения движения, описывающие неприводимый супер мул ьтиплет. Построены для всех изученных супермультиплотов как суперконформио-инварнаитные действия, отвечающие сигма-моделям типа Весса-Зумино-Новикова-Виттена на групповых многообразиях SU(2) х U(i), так и их массивные деформации, описывающие модели типа ВЗНВ-Лиувилля. Метод нахождение инвариантных действий в двумерном случае оказывается полностью аналогичным процедуре построения суперконформно-инвари-антного действия для тензорного мультиплета в четырехмерном гармоническом суперпространстве. Основываясь на идеи преобразования дуальности, найдено новое описание N = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением в терминах пары неограниченных аналитических суперполей с бесконечным набором компонентных физических и вспомогательных полей. Характерной особенностью полученного таким образом действия является наличие калибровочной инвариантности, которая восстанавливает правильное число физических степеней свободы. Показано, что все супермультиплеты с конечным набором компонентных полей допускают дуальное описание через неограниченные аналитические суперполя, и построены соответствующие ивариантные супер симметричные действия в терминах неограниченных суперполей. Получены также посредством преобразования дуальности неизвестные ранее сунерконформиые действия с присущей им калибровочной инвариантностью. В третьей главе рассматривается неизучавшейся ранее вопрос о возможности взаимодействия между собой различных типов J\f = 4,4) су-пермультиплетов с твистом. Изучение общих сигма-модельных действий, инвариантных относительно Af = (4,4) суперсимметрии и включающих зависимость как от любой пары, так и от любого их числа неэквивалентных мультиплетов, привело к заключению о том, что взаимодействие между мультнплетами разного типа посредством действия сигма-моделыюго типа невозможно. Требование Л/* = (4,4) суперсимметрии в применении к таким сигма-модельным действиям приводит к тому, что они распадаются в сумму сигма-модель пых действий для каждого мультиплета. Тем не менее установлено, что в случае, когда мультиплеты с твистом принадлежат самодуальным парам, существуют инвариантные смешанные массовые выражения, посредством которых мультиплеты из таких пар могут нетривиально взаимодействовать. Включение лагранжиана для таких смешанных массовых выражений в общее сигма-ыоделыюе действие приводит к по- явленню наиболее общей формы для скалярного потенциала на массовой оболочке. Этот анализ проведен как в подходе бигармонического суперпространства, так и в обычном J\f = (2,2) суперпространстве, в котором только половина суперсимметрий является явной. В четвертой главе рассматривается из один из супсрмультиплетов Л/* = 8 суперсимметричной квантовой механики, содержащий конечный набор компонентных полей - (4,8,4) супермультиплет. Такой мультиплет может быть получен размерной редукцией одного из Л/* = (4,4) супермультип-летов с твистом. Описание этого мультиплета дано сначала в J\f = 4 гармоническом суперпространстве с одним набором гармонических переменных в терминах jV* = 4 аналитических супернолей, которые удовлетворяют подходящими гармоническими связями и па которых реализуется дополнительная скрытая Л/* = 4 суперсимметрия. В аналитическом подпространстве Л/" = 4 гармонического супер пространств а построено общее суперполевое действие для (4,8,4) мультиплета, которое наряду с явной JV" = 4 суперсимметрией обладает дополнительной скрытой N = 4 суперсимметрией. Вместе они составляют полную N = 8 супергруппу инвариантности рассматриваемой модели. Получено также компонентное действие и наиболее общая форма потенциала в виде члена типа Файе-Илиопулоса. Изучен вопрос о возможности описания в терминах Л/" = 4 аналитических суперполей мультиплета Л/" = 9 суперсимметричной квантовой механики и построения для него инвариантного действия. Показано, что требование инвариантности действия относительно Л/* = 9 суперсимметрии, приводит к тому, что суперполевое действие описывает свободную теорию. Затем дано определение бигармонического суперпространства в одном измерении. Далее, получено явно N = 8 сунерсимметричное описание (4,8,4) мультиплета в одномерном бигармоническом суперпространстве в терминах ограниченного аналитического суперполя, и построено наиболее общее суперполевое действие вне массовой оболочки для произвольного набора взаимодействующих (4,8,4) мультиплетов. Рассмотрение преобразований координат аналитического супериространства, совместное с требованием сохранения понятия аналитичности и сохранением плоского вида гармонических производных, привело к тому, что полученная в результате супергруппа преобразований представляет собой суперсимметричное расширение двумерной группы Гейзенберга h(2) и содержит при этом оператор цетрального заряда. Показано, инвариантное относительно всех пре- образований полученной супергруппы, за исключением масштабных преобразований, суперполевое действие имет единственный вид, а также получено одпопараметрпческое семейтсво семейство масштабно-инвариантных суперполевых действии. Для обоих случаев представлены соответствующие компонентные действия и найдены явные выражешгя для метрических скалярных функций, которые получаются в результате вычисления соответствующих двойных гармонических интегралов. Основываясь на принципе сохранения бигармонической грассмановой аналитичности, найдена общая супергруппа диффеоморфизмов координат аналитического суперпространства. Сформулирована одномерная конформная JV — 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад, которые обеспечивают ковариантность гармонических производных относительно преобразований общей супергруппы диффеоморфизмов. Показано, что полученный в результате супермультиплет гравитации является чисто калибровочным супер мул ьтип летом Вейля. Найдено обобщение понятия (4,8,4) мультиплета на фоне конформной супергравитации, п построены для некоторой ее усеченной версии как суперполевые, так и компонентные свободные действия для (4,8,4) мультиплета, обладающие локальной N ~ 8 суперсимметрией. Показано, что эта конструкция допускает обобщение на случай произвольного набора взаимодействующих аналитических суперполей, описывающих (4,8,4) мультиплет. В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту. Определим бигармоническое супер пространство как супер фактор-пространство двумерной группы ЛГ — (4,4) суперсимметрии, включающей группу автоморфизмов SU{2)L SU(2)R, по группе Лоренца и подгруппе /(1)/., U{l)a группы Бнгармоническое суперпространство является полупрямым произведением обычного R, 1,1!4 4) суперпростраиства (1.1.28) и двух двумерных сфер, рассматриваемых как фактор-пространства: В экспоненциальной параметризации им соответствуют элементы: Генераторы Т+ ,Х" вместе с генератором Т подгруппы /(1)/,, также, как и Т +,Гд_ вместе с генератором TR подгруппы U(1)R, образуют взаимно коммутирующие SU(2) алгебры, образующие подгруппу автоморфизмов SU(2)L SU(2)R в полной группе автоморфизмов 50(4)/, SO(4)R алгебры суперсимметрии (1.1.8). Произведение элементов фактор-пространств (1.1.26), (1.1.27), (1.2.41): определяет центральный базис в бигармоническом супер пространстве EDR/ + , который содержит наряду с координатами обычного R 1,1!4 4) суперпростраиства дополнительные бозонные координаты, параметризующие двумерные сферы S и S R в левом и правом секторах, соответственно. В подходе гармонического суперпространства эти дополнительные бозонные координаты представляют собой изоспинорные гармоники u+t, и 1 на сфере S2, которые имеют как индексы группы 5/(2), так и индексы группы /(1) (±): Гармонические переменные определены с точностью до произвольных U(l) преобразований, что, вместе с условием нормировки (1.2.43), дает как раз два независимых параметра, необходимых для описания двумерной сферы. В стандартном анализе двумерная сфера задается параметрически, после чего определяется полный набор ортопормированных функций, зависящих от этих параметров. Дифференциальное и интегральное исчисление в этом. случае непосредственно связано с выбором тех или иных координат на сфере. С другой стороны, имеется возможность описания функций на сфере S2, не вводя конкретной параметризации. Для этого рассматриваются функции, заданные на трехмерной сфере S3 SU(2), и вводится дополнительное требование фиксированное /(1) заряда. Это ограничение уменьшает число независимых параметров до двух и означает переход от S3 к S2. Общие функции на трехмерной сфере представляют собой разложение по неприводимым мономам, построенным из гармоник: где скобки ( ) обозначают симметризацию с весом. 1/(к + п)!. Симметрнзо--ванные произведения гармоник щ в (1.2.44) соответствуют высшим гармоникам на S3, а коэффициенты /( І- АІІ-І») являются неприводимыми SU(2) тензорами с изоспином l/(k + п). На сфере S3 вводится коварпаптпое диффереициирование, совместное с условиями (1.2.43), которое задается тремя производными, действующими на индексы "±" группы /(1). Эти производные генерируют вторую группу SU{2) н коммутируют с группой автоморфизмов SU(2)x- Заметим, что их явный вид может быть найден с помощью метода форм Картана, рассмотренного выше. На гармониках uf действие этих ковари-антиых гармонических производных принимает вид: Из этих соотношений следует, что гармоническая производная 9 может быть интерпретирована как оператор /(1) заряда. Использование гармонической производной с)0 позволяет рассматривать среди всех функций (1.2.44) некоторый ограниченный класс, удовлетворяющий требованию фиксированности U(l) заряда: Гармонические функции, принадлежащие к такому классу, представляются гармоническим разложением: в каждом члене которого значение U(l) заряда одинаково. Таким образом, гармонические функции вида (1.2.47) , (1.2.48) зависят только от двух вещественных координат сферы S2 . В случае двумерной Л/" = (4,4) суперсимметрии, каждая из сфер S\ и S2H (1.2.41) может быть описана своим набором гармонических переменных: при этом U{\) индексы "+, —" заменяются на "1,-1". Таким образом, центральный базис бигармонического суперпространства наряду.-с координатами обычного супер пространств a R 1,1 1,4 (1.1.28) содержит два независимых набором гармонических координат: (1.2.50) Координаты (Z) преобразуются относительно суперсимметрии по прежним законам (1.1.29), тогда как гармонические переменные остаются инвариантными относительно этих преобразований. Для каждого набора гармоник вводятся ковариаптные гармонические производные, совместные с определяющими условиями (1.2.49): Они образуют две коммутирующие между собой алгебры SU(2): Соответствующие этим алгебрам группы коммутируют с группами автоморфизмов SU{2)i и SU(2)R. В двумерном случае гармоническое разложение функций (1.2.44) заменяется на более общее: которое соответствует разложению функций на произведении S j, & S . Так как теперь имеется два оператора U(l) заряда, а именно, д,и и д , то класс функций, удовлетворяющих требованию фиксированиости обоих U{1) зарядов, задается условиями, аналогичными (1.2.47): (1.2.54) Такие бнгармошіческие функции зависят только от четырех вещественных координат, связанных с S и S , и представляются разложением: в каждом члене которого строго фиксированы значения обоих U(l) зарядов. Интегрирование в пространстве S S имеет смысл повторного интегрирования по каждой из сфер. Приведем основные правила интегрирования для гармоник uf1 (для гармоник v 1 правила те же с соответствующей заменой и на v и индеков і на а): Из этих правил следует, что интеграл от функции с ненулевыми U(l) зарядами равен нулю: Рассмотрим теперь свойства вещественности гармонических функций. Сначала обратимся к функциям, зависящим только от одного набора гармоник, например, и. При комплексном сопряжении (ии) = ujl, поэтому (F4(u)) = F q(u). Следовательно, заряженные функции пе могут быть вещественными относительно обычного комплексного сопряжения. Кроме этой операции, на S2 существует другая операция, имеющая смысл анти-подального отображения и совместная с условием (1.2.43): Одновременное использование этих двух операций определяет новую операцию Сопряжения, называемую — сопряжением, которая сохраняет U(l) заряд: Относительной этой операции можно налагать условие вещественности для функции с четным С/(1) зарядом: Аналогичная операция - сопряжения вводится и для о гармоник. Обратимся теперь к функциям., зависящим одновременно от обоих- наборов гармонических переменных. Теперь условие вещественностп можно налагать на функции Fq,p(u,v), суммарный гармонический заряд которых есть четная величина: Гармонические производные (1.2.51) являются вещественными относительно операции — сопряжения. Перейдем теперь к рассмотрению суперполей, определенным на бигар-моиическом суперпространстве НГїЯ+2 І+2 4 . Общее бигармоническое суперполе характеризуется двумя U(l) зарядами q п р, которые являются собственными значениями операторов D , ? : Оно не подчинено никаким связям и имеет в центральном базисе (1.2.50) следующее разложение по гармоникам: RJ1 1! 4 4). Таким, образом, бигармоническое суперполе & UP{Z, и, v) содержит дважды бесконечное число обычных N = (4,4) суперполей. Для того чтобы ограничить зависимость $q p(Z, и, v) от гармоник, можно использовать гармонические производные д2 0, д0,2 для наложения условий: которые имеет ненулевое решение: Отметим, что общее бигармоническое суперполе реализует приводимое представление группы суперсимметрии. В бигармоническом суиерпространстве НШ + + существует аналитическое подпространство, которое содержит вдвое меньшее количество грас-смановых координат и замкнутое относительно преобразований суперсимметрии. Для того чтобы выделить это подпространство, перейдем из центрального базиса (1.2.50) в аналитический базис: Эти базисы связаны следующей заменой переменных, которая в квартетной записи принимает вид: Используя (1.1.29), найдем, как преобразуются координаты аналитического базиса при супертрансляциях: Из (1.2.68) следует, что в бигармоническом суперпространстве НШ1+2,1+2 4,4 существует подпространство, называемое аналитическим су пер пространством, замкнутое относительно преобразований J\f = (4,4) суперсимметрии: В аналитическом суперпространстве А Ю1+2,1+2\2 2 группа автоморфизмов SU{2)i, х SU{2)n действует только на гармоники ui , 1, не затрагивая при этом остальных координат. Найдем выражения для ковариантных сшшорных производных (1.1.36) в аналитическом базисе (1.2.G6). Прежде чем переходить к рассмотрению общих действий, остановимся кратко на вопросе о построении действия в бигармоническом суперпространстве на основе неограниченного аналитического суперполя. Так как Лагранжиан должен содержать обе гармонические производные D , D , то таким су-перполем могло бы быть суперполе q, не имеющее U(l) зарядов. Свободное действие для него имело бы вид: Однако уравнения движения, следующие из этого действия, не фиксируют гармонической зависимости в q и, более того, требуют постоянства его физических компонент в .г - пространстве. Оказывается, что построить действие в терминах одного единственного неограниченного суперноля в аналитическом супер пространстве АШ1+2,1+2 2,2 невозможно, в отличие от Я = 2 , 2D случая [71]. Перейдем к рассмотрению общих действий для рассмотренных выше супер мультиплетов. Начнем с действия для супер мул ьтии лета д1 1- Так как в аналитическом суперпространстве АШ1+2 1+2 2,2 этот мультиплет представляется гармоническим суперполем ql,l{C,u ,v), подчиненным связям (2.1.4), то общее действие представляется интегралом по аналитическому супер пространству от лагранжиана с U(l) зарядами 2,2), который является произвольной функцией суиерполей 71,1A/(C,«)t ) (М — 1,2,...77.) и гармоник: Для самосогласованности необходимо, чтобы лагранжиан удовлетворял ус ловию невырожденности: Действие (2.2.59) описывает нелинейную супер симметричную сигма-модель и является действием вне массовой оболочки. Для нахождения компонентного действия надо подставить выражение (2.1.5) для суперполя q1,1 в (2.2.59) и проинтегрировать по грассмановым переменным. Приведем здесь бозонную часть действия, содержащую как физические, так и вспомогательные поля : Компонентное действие физических бозонных полей (2.2.60) содержит объекты Gfufifa) и B jiiv) ) которые являются, соответственно, симметричными и антисимметричными относительно одновременной перестановки индексов Mi-N,i j,a -i-b. Следовательно, Gf{nfb(q) и B Vfb(q) являются метрикой и потенциалом кручения на бозонном многообразии физических полей. Потенциал кручения может быть выражен через напряженность поля кручения [59]: Таким образом, все геометрические объекты выражаются через единственную функцию GXfN , определяемую лагранжианом 2,2 , который является аналогом потенциала пшер-Кэлеровой геометрии [100] или геометрии сигма-моделей с гетеротической суперсимметрией [101]. Построение общих суперсимметричных действий для других мультип-летов с твистом (2.1.1) в аналитическом суперпросранстве AR, 1+2,I+2 2,2 является более сложной задачей, чем для мультиплета qta. Это связано с тем, что мультиплет qta описывается в аналитическом суперпространстве суперполем q , т.е. объектом, инвариантным относительно преобразований суперсимметрии. С другой стороны, остальные мультиплеты определяются в бигармоническом супсрпросранстве неаналитическими суперполями согласно (2.1.12), (2.1.13). Все компоненты в разложении но иеаналитичес-ким грассмановым переменным, за исключением высших, нетривиально преобразуются при суперсимметрии (2.1.15), (2.1.16). Это означает, что лагранжиан с произвольной зависимостью от аналитических компонент, входящих в эти разложения, не будет суперсимметрично инвариантным. Перечислим основные принципы, которые должны выполняться при построении действий: 1) действительность действий; 2) действия имеют нулевые 7(1) заряды, что означает, что соответствующие лагранжианы должны иметь U(l) заряды (2,2); 3) двумерная лоренцева ковариантность требует, чтобы лагранжианы С2 2 были лорендевыми сипглетами; 4) действия должны быть безразмерные; следовательно, лагранжианы С2 2 являются безразмерными величинами также, как и суперполя в (2.1.1) . После того, как найдены действия, удовлетворяющие перечисленным критериям, необходимо установить дальнейшие ограничения на лагранжианы, которые возникают из требования инвариантности действий относительно преобразований суперсимметрии. Как обычпо, инвариантность действий допускает сдвиги лагранжиана на полные производные. Перейдем к построению общих суперсимметрнчных действий для муль-типлетов ql-, ql (действие для мультпплета ql" получается из действия для ql- при замене соответствующих SU{2) индексов и гармоник f 1 -н-uf1). Для суперполей ql -, qia наиболее общие действия, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям, могут быть записаны в аналитическом суперпросранстве как: Присутствие явных грассмановых переменных в качестве аргументов лагранжианов диктуется тем, что они зависят от величин, преобразующихся относительно соответствующих суперсдвигов. Лагранжиан С Ал не зависит явно от 9г 1, т.к. д1 0- и д1,1 - суперполя относительно левых суперсдвигов. Дальнейшая спецификация структуры лагранжианов основана на следующих рассуждениях. Во-первых, потребуем, чтобы все возможные члены были лоренц-инвариантными. Во-вторых, можно исключить зависимость от всех величин в (2.2.70) , кроме q[,0 A и гармоник (кроме qla и гармоник в (2.2.71)). В самом деле, из лоренцевой инвариантности следует, что, например, д1,1 может входить в (2.2.70) только в комбинации в 1-д1,1. Кроме того, так как д1,1 - фермионная величина, то любая ее степень равна нулю. Поэтому, используя гармонические (2.1.4) связи, это выражение может быть записано как D{),2ql {) . Следуя этим рассуждениям, и подобным для мультиплета д1-, представим лагранжианы (2.2.70) , (2.2.71) виде:. Причины, по которым возможные члены ex— производными не включены в (2.2.73), будут указаны ниже. Обсудим теперь, свойства лагранжианов А , л относительно преобразований суперсимметрии. Начнем с (2.2.72) ...Так как д1,0-. не является суперполем (2.1.15), то на функции в правой части (2.2.72) должны быть ограничения, чтобы обеспечить суперсимметричность действия. Требование инвариантности относительно преобразований суперсимметрии приводит к тому, что вариация (2.2.72) есть сумма полных производных от произвольных функций: которые зависят от тех же аргументов, что и лагранжиан. (Возможное-выражение вида DQ (e0,1-Л2 -1) уже содержится в (2.2.74), поскольку оно сводится к последнему в силу є0,1- = j90 20 _1- и интегрирования по частям) . Вычисление явного вида вариации 8 А в (2.2.72) с учетом (2.1.15) и вариации 00,l , приводит к единственному ограничению: обеспечивающему инвариантность действия: которое обеспечивает инвариантность действия. Здесь частная гармоническая производная действует иа явные гармоники v в C}t . Из условия Другим следствием вариации (2.2.74) является то, что последний член в (2.2.72) оказывается полной х - производной. Действительно, общая форма грассмановых функций G2,3 и Н2,1 размерности —1/2, совместная с лоренцевой ковариантностью, имеет вид: Подстановка (2.2.77) в (2.2.74) приводит к условиям: которые означают, что последний член в (2.2.72) является х - производ-ной от функции На1 . Аналогичная ситуация имеет место и для лагранжиана (2.2.73), поэтому выражение с х производной было опущено. Найдем теперь, какие возникают ограничения для л . Инвариантность действия (2.2.73) приводит к следующему выражению для 5 СТС\ : Записывая, с-учетом (2.1.16), вариацию 5-Тс\ ь явной форме, получим систему уравнений, которым удовлетворяют функции в (2.2.73): где символы ( ) и [ ] означают симметризацию и антнсимметризацпю с фактором 1/2 и введено обозначение: Ниже будет показано, что последний член в (2.2.83) не зависит от грассмановых переменных и определяет метрику бозонного многообразия, а антисимметричная часть Ciatde o является потенциалом кручения. Для перехода к компонентным действиям надо подставить разложения qlfi (2.1.21) в (2.2.72) и q1 1 (2.1.23) в (2.2.73) и проинтегрировать с помощью условий (2.2.75) и (2.2.80), (2.2.81) по грассмановым переменным. Стандартный способ получения массовых членов в N 4 , AD случае состоит в введении в алгебру супер с им метр и и центральных зарядов, которые затем связываются с изометриями исходного действия [105, 106]. Для N = (4,4) сигма-моделей потенциальные члены могут быть построены без добавления центральных зарядов в алгебру суперсимметрии [56, 58, 107]. Таким примером является модель Л/ = 4 SU{2) ВЗНВ-Лиувилля [56, 58, 59] -конформно-инвариантная деформация действия JV — 4 S/(2)x/(l) ВЗНВ. Здесь мы рассмотрим массивные деформации общих действий для муль-типлетов q1,1, q l -, ql-, а также деформации суперкрнформных действий (2.2.140), (2.2.175). Поскольку суперполе q1,1 и мера интегрирования в аналитическом суперпространстве являются безразмерными, единственная возможность для построения суперсимметричного массового члена для мультиплета д1,1 состоит в введении в действие явных грассмановых переменных. Отметим сразу, что таким же способом строятся массовые члены и для остальных мультшглетов. Потенциальное действие для мультиплета с/1 1 имеет вид: где гармоническая константа С {и, v) с самого начала произвольна. Учитывая связи для суперполя g1,1 (2.1.4) и вариацию грассмановых координат: легко показать, что инвариантность действие (2.2.186) относительно преобразований суперсимметрии приводит к ограничениям на константу С: которые означает независимость С от гармоник. Действие (2.2.186), линейное по суперполю q1 1, является единственным действием, совместным с суперсимметрией. Действительно, зависимость от более высоких степеней (g1,l)p+1 требует введение гармонической константы С р р с отрицательными U(l) зарядами. Инвариантность такого действия предполагает выполнение условий д2,0С р р = 0, д[),2С р р = 0, из которых следует равенство нулю константы С р р. Добавление действии (2.2.186) к общему сигма-модельному действию (2.2.59) изменяет компонентную структуру последнего. Выполняя интегрирование по грассмановым и гармоническим переменным, найдем: После исключения вспомогательных полей из суммы Sq + S/ Л , компонентное действие физических полей приобретает новые члены: взаимодействие типа Юкавы между фермионами и физическими бозонами, а также потенциальные члены для последних. Все эти новые члены выражаются через метрику (2.2.62) и обратную к ней величину. В частности, потенциальный член для суперполя д1,1 имеет вид: Рассмотрим теперь массивные члены для мультиплета qlj0-. Требование суперсимметрии, как и в предыдущем случае, ограничивает возможные массивные члены выражением, линейным по суперфункции q1 0-: где константа Citlh(u,v) пока произвольна. Из инвариантности действия (2.2.191) относительно суперсимметрии следуют условия на С (напомним, что q-1 0- преобразуется при суперсимметрии согласно (2.1.15)): общее решение которых имеет вид: где С - некоторые константы. После интегрирования по грассмановым и гармоническим переменным в (2.2.191), получим: Исключая, затем, вспомогательные поля из суммы действий S,s + SY\ , где Sq из (2.2.85), найдем выражение для потенциального члена: которое определяется метрикой соответствующей сигма-модели (2.2.86). В фермношюм секторе также возникает взаимодействие типа Юкавы. Последний пример связан с мультиплетом qm. В этом случае линейное по ql- действие имеет вид: с произвольно-зависящей от гармоник константой С . Сунерфункция q-- не является скаляром относительно преобразований суперсимметрии (2.1.15) . Инвариантность действия накладывает ограничения па константу С: которые означают, что С1,1 = Ctau\vl_. Переходя к компонентному в (2.2.196) найдем действие вне массовой оболочки: Потенциальный член возникает после исключения вспомогательных полей в сумме Sq + 1.9 и выражается через метрику G(q) (2.2.91): Таким образом, выражения для потенциальных членов во всех случаях строятся по одному и тому же принципу — линейность по соответствующему суперполю или суперфункции и квадратичность по грассмановым неременным. Результирующее действие содержит на массовой оболочке потенциальные члены для физических бозонных полей, а также взаимодействие типа Юкавы между фермионными и бозоиными полями. Сделаем два замечания, относящиеся к потенциальным членам для муль-типлетов с твистом. Первое замечание касается того, что массовые члены, записанные в аналитическом суперпрострапстве, представляются в обычном J\f = (4,4) суперпространстве членами типа Файе-Илиопулоса для неограниченных нре-потенциалов [59], в терминах которых разрешаются условия неприводимости (2.1.2), (2.1.9). Второе замечание связано со структурой выражений для компонентных действий на массовой оболочке (2.2.190) ,(2.2.195) ,(2.2.199). Из вида этих выражений следует, что в случае свободных действии, когда скалярная метрика является константой, нельзя получать указанным способом массовый член в случае одного мультиплета с твистом. В следующей главе будет показано, что для самодуальной пары мультиплетов с твистом существует возможность построить массовый и в случае свободного действия. Массивная деформацию суперконформного действия для мультиплета д1,1 дается суммой действий (2.2.140) и (2.2.186): Значение; массового параметра в (2.2.200) может быть выбрано любым отличным от нуля числом, что связано с 7(1) инвариантностью супераоля q1,1 (2.2.165). Массовый член (2.2.186) инвариантен относительно всей N = 4 577(2) суперконформной группы типа (I) , но не инвариантен относительно N = 4 SU(2) супер конформной группы типа (II). Дополнительная инвариантность массового члена связана с диагональной группой SU{2) в произведении двух групп SU{2) , действующих на индексы гиб. Эта инвариантность обеспечивается выбором константы Сц, ць. Включение нормы константы СІЬ в массовый параметр яг позволяет положить ее равной: В компонентах массовый член в (2.2.200) имеет вид: . ; Исключая вспомогательные поля из действия (2.2.200), получим- компонентное действие физических полей для деформированной модели ВЗНВ : Действие (2.2.203) отвечает N 4 SU(2) модели ВЗНВ-Лиувилля на массовой оболочке [56, 58, Для мультиплета с/1,0- деформация действия (2.2.175) имеет вид: Оно обладает аналогичным набором симметрии, как и действие (2.2.200) для мультиплета g1,1, с соответствующими данному случаю группами. Выбирая Сіа = Єіа, интегрируя по грассмановым переменным и исключая вспомогательные поля, получим: где Sffos и 5kinf определяются выражениями (2.2.177), (2.2.179) и: Действие (2.2.206) является действием JV = 4 5(7(2) модели ВЗНВ-Лиувил-ля для мультиплета Построение общих сигма-модельных действий, рассмотренных выше, основывалось на су пер мультн платах, -ограниченных гармоническими связями. С другой стороны, по многим причина, необходимо иметь формулировку теорий в терминах суиерполей, не подчиненных никаким связям. В частности, это необходимо для получения суперполевых уравнений движения путем прямого варьирования действия, что невозможно в случае ограниченных суиерполей. Неограниченные формулировки также существенны при изучении геометрических свойств бозоиных многообразий соответствующих сигма-модельных действий. Одна из возможностей достижения формулировки в терминах суиерполей, свободных от связей, состоит в решение гармонических уравнений в терминах препотепциалов [59, 99]. Однако при этом теряется свойство гармонической аналитичности, поскольку такие препотенциалы представляются общими Л/" = (4,4) суперполями. Построение общих действий для мультнплетов с твистом в суперпрост ранстве R 1 1 2 2) в случае, когда лагранжиан зависит только от одного типа мультиплета, одинаково для всех мультшглетов. Это связано с тем, что каждый из мультнплетов с твистом представляется в сунерпространст ве R(Mr2 2) парой киралыюго суперполя и кирального суперполя с твистом, отличаясь при этом свойствами по отношению к дополнительной j\f=(2,2) суперсимметрии. Несмотря на это различие, инвариантность действия от носительно А/" = (4,4) суперсимметрии приводит к одним и тем же ограни чениям на лагранжианы. Поэтому, не теряя общности, можно рассмотреть это построения для какого-нибудь одного из мультнплетов, например, qln . Общее действие для к киральных суперполей Ск и п киральных суперпо- лей с твистом Тп записывается в суперпространстве R 1,1 2 как интеграл от некоторой вещественной функции К: -- .. - мера интегрирования в Rf1»1!2»2). Супсриотенциал К инвариантен относительно обобщенного кэлерова преобразования: Если это действие описывает теорию, обладающую только Л/ (2, 2) суперсимметрией, то число киральных суперполей и киральных суперполей с твистом может быть произвольным, т. е. к ф п. К действию (3.2.62), без введения центральных зарядов, можно добавить скалярный потенциал, который включает две голоморфные функции Pi(Ck), Р2(Тп): Несмотря на присутствие грассмановых координат в, скалярный потенциал (3.2.65) инвариантен относительно преобразований явной Л/"=(2,2) суперсимметрии, поскольку входящие в него суперполя являются кираль-нымп и киральными с твистом, т. е. удовлетворяют известным связям. После исключения вспомогательных полей из суммы двух действий (3.2.62) и (3.2.65), в компонентном действии возникают скалярные потенциальные члены физических бозонных полей. Предположим теперь, что киральные суперполя С и киральные суперполя с твистом Т (и сопряженные им суперполя С пТ) объединяются в фиксированный тип Л/"=(4,4) мультиплета с твистом, например qin . Тогда инвариантность действия (3.2.62) относительно дополиительноіі J\f=(2,2) суперсимметрии, которая реализуется для мультиплета qia в (4.4.107) , требует, во-первых, равенства числа киральных суперполей и киральпых су-перполей с твистом, к п, и, во-вторых, приводит к дифференциальным связям на функцию К. Эти связи выглядят следгующим образом [77]: В частном случае, когда потенциал К зависит только от одной пары ки-рального суперполя и карального суперполя с твистом, связи (3.2.66) , (3.2.67) сводятся к единственному четырехмерному.уравнению Лапласа: Таким образом, для вещественного потенциала К, удовлетворяющего условиям (3.2.66), (3.2.67) и включающего равное число киральных и киральных с твистом суперполей, действие: инвариантно относительно полной J\f = (4,4) супер симметрии. Можно показать, что инвариантность потенциальных (массовых) членов (3.2.65) относительно А/"=(4,4) суперсимметрии требует линейной зависимости функций Pi, В) от соответствующих суперполей: Хотя в компонентном действии (3.2.70) присутствуют только члены, линейные по вспомогательным полям, после исключения последних в полном действии, содержащем также сигма-модельную часть, возникает скалярный потенциал для физических бозонных полей (в случае нетривиальной метрики на пространстве физических бозонов) [56, 58, 59, 173]. Проведенный анализ можно распространить на любой другой тип муль-типлета с твистом. Если действие зависит от пар киральных и киральных с твистом Л/"—(2,2) суперполей, образующих один и тот же тип Л/ —(4,4) мультиплета с твистом, то дифференциальные условия па соответствующий потенциал К, вытекающие из требования дополнительной Л/"=(2, 2) супереимметрни, имеют такой же вид, как и (3.2.66), (3.2.67) , независимо от типа мультиплета. Структура потенциальных членов вне массовой оболочки в этих случаях также однозначно фиксируется требованием инвариантности относительно дополнительной А/"=(2,2) суперсимметрии. Они представляются суммой действий типа (3.2.70). 3.2.3 Действие для пары мультиплетов с твистом Из предыдущего рассмотрения следует, что киральные суперполя и ки-ральные суперполя с твистом, образующие Л/ =(4,4) мультиплет с твистом, могут иметь разные трансформационные свойства относительно преобразог ваний скрытой А/"=(2,2) суперсимметрип. Как результат, соответствующие Л/-—(4,4) мультиплсты не эквивалентны друг другу. С другой стороны, действия, описывающие эти мультиилеты и инват риантные относительно соответствующих преобразований доплнительной А/"=(2,2) суперсимметрии, приводят к одинаковым ограничениям на потенциал К. При этом возникает вопрос о возможном взаимодействии неэквивалентных Л/ = (4,4) мультиплетов с твистом в суперпространстве Ш1,1!2,2 . В подходе бпгармонического супернространства эта ситуация рассматривалась для двух случаев, когда лагранжианы сигма-модельного типа содержали зависимость либо от самодуалыюн (3.1.1), либо от несамоду-альной (3.1.2) пары jV—(4,4) мультиплетов с твистом. Как было показано выше, действия, включающие зависимость от разных мультиплетов инвариантные относительно J\f = (4,4) суперсимметрип, сводились к сумме сигма-модельных действий соответствующих мультиплетов. Рассмотрим теперь этот вопрос в суперпространствс R 1 1!2,2 в терминах киральных суперполей и киральных суперполей с твистом. Прежде, чем перейти к общему рассмотрению, напомним, как в бнгармоническом подходе выглядят действия, билинейные по Л/ =(4,4) супер полям с твистом для двух разных случаев. В первом из них общие квадратичные действия зависили только от одного типа мультиплета с твистом и содержатли произвольные гармонические константы (3.1.3). Требование, чтобы эти действия были Л/"=(4,4) суперсимметричными, приводило к условиям на гармонические константы и, в результате, соответствующие действия сводились к свободным. Во втором случае, билинейные действия зависили от разных типов Л/"=(4,4) мультиплетов с твистом (3.1.5). Изучение таких действий привело к заключению, что требование инвариантности относительно Л/ =(4,4) суперсимметрии сводит их к нулю. Эти результаты могут быть воспроизведены в суперпространетве R 1,1 2,2 в терминах киральных суперполей и киральных суперполей с твистом. Так, билинейное действие, зависящее от кпрального и кнрального с твистом суперполей, которые принадлежат одному типу мультиплета с твистом: эквивалентно свободному jV—(4,4) супер симметрично.му действию соответствующего мультиплета Л/"=(4,4) с твистом. В то лее время действия, билинейные по нарам киральных суперполей и киралькых суперполей с твистом, которые относятся к разным типам j\f=(4,4) мультиплетов, оказываются равными нулю в силу требования дополнительной Л/=(2, 2) суперсимметрии. Заметим, что относительный знак между двумя членами в (3.2.71) фиксируется дополнительной М= (2, 2) суперсимметрией единственным образом, а компонентный лагранжиан, несмотря на знак минус в (3.2.71), положительно определен. Вернемся теперь к общему анализу. Рассмотрим сначала действие для мультиплетов qlCi и q1-, которые принадлежат несамодуальной паре. Оно записывается как интеграл от вещественной функции К по суперпространству R 1-1!2-2) в виде: Действие (3.2.72) инвариантно относительно явной J\f={2, 2) суперсимметрии, поскольку функция К зависит только от JV =(2, 2) суперполей. Оно также инвариантно относительно обобщенных кэлеровых преобразований: Используя тот факт, что входящие в правую часть (3.2.73) суперполя являются киральными и киральными с твистом, а также определение меры интегрирования на суперпространстве R 1 1 2 , легко показать, что калибровочные функции в (3.2.73) не дают вклада в Л/"=(2, 2) суперполевое действие. Требование, чтобы это действие было инвариантным относительно дополнительной Л/ =(2, 2) суперсимметрии, которая реализуется на су пер полях преобразованиями (3.2.60), (3.2.G1) , приводит к дополнительным условиям на потенциал К.Бигармоническое суперпространство в 2D
Сигма-модельные действия для мультиплетов
Массивные деформации общих и супер конформных действий
Общее действие для мультиплєта с твистом дга вНЯ'
Похожие диссертации на Расширенные суперсимметричные модели в бигармоническом суперпространстве
