Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 D-браны 4
1.2 Решения для р-бран в супергравитации и браны с асимптотикой линейного дилатона б
1.3 Доменные стенки и обобщения AdS/CFT соответствия 9
1.4 Гравитационные D-инстантоны 12
1.5 Струнная теория поля и D-браны 13
1.6 Конформная теория поля и линейный дилатон 16
1.7 Цель диссертационного исследования 17
1.8 План диссертации 18
2 Исследование полного решения уравнений черной р-браны 19
2.1 Действие и уравнения движения 19
2.2 Интегрирование уравнений движения 23
2.3 Особые точки общего решения 25
2.4 Черная брана в координатах Шварцшильда 31
2.5 Черные браны и линейный дилатон 36
2.6 Доменные стенки 39
2.6.1 Стандартное решение 41
2.6.2 Черное решение 43
2.7 Связь с известными решениями для р-бран 45
2.8 Выводы 49
3 Решение для инстантона в супергравитации 51
3.1 Общее решение 51
3.2 Асимптотически плоские решения 56
3.3 Действие на D-инстантоне 59
3.4 Выводы 60
4 Браны в струнной теории поля 61
4.1 Основные факты 61
4.1.1 Действие струнной теории поля 61
4.1.2 Некоммутативная геометрия и струнная теория поля 63
4.1.3 Структура умножения на пространстве Фока 65
4.1.4 Операторы на пространстве половинок струн 68
4.1.5 Конформная теория поля 69
4.1.6 Решения уравнений движения. Сливер 73
4.2 Струнная теория поля на D-бранах 76
4.2.1 D-браны, как граничные условия на мировой поверхности 76
4.2.2 Струнная теория поля в присутствии D-бран 77
4.2.3 Теория Янга-Миллса из струнной теории поля на D-бранах . 79
4.3 Выводы 82
5 Вертекс-операторная конструкция квантовых афинных алгебр 83
5.1 Алгебры вершинных операторов 83
5.2 Конструкция Uq(sl3) 84
5.3 Соотношения Серра для Uq(slz) 87
5.4 Квантовая группа J7g(sZ2) 89
5.5 Выводы 92
6 Заключение 94
6.1 Основные результаты 94
6.2 Благодарности 95
6.3 Список публикаций
- Доменные стенки и обобщения AdS/CFT соответствия
- Интегрирование уравнений движения
- Асимптотически плоские решения
- Некоммутативная геометрия и струнная теория поля
Введение к работе
1.1 D-браны
Теория суперструн является одним из перспективных вариантов объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Она возникла в 1960-70-х гг. из попытки описания теории сильных взаимодействий в рамках дуальной струнной модели. Долгое время считалось, что единственной фундаментальной степенью свободы теории является струна планковских размеров, различные возбуждения которой соответствуют физически наблюдаемым частицам [1]. Существует пять пертурбативных теорий суперструн (гетеротическая струна с калибровочной группой Е& х Es, 50(32), струны типа I, ПА и ИВ), в низкоэнергетическом пределе соответствующих различным десятимерным супергравитациям. В 1995 г. было предложено непертурбативное описание теории струн в рамках 11-мерной М-теории [2], в низкоэнергетическом пределе - одиннадцатимерной супергравитации. Все пять десятимерных теорий суперструн при этом получаются из М-теории различными редукциями дополнительного измерения. Замечательным свойством М-теории является то, что фундаментальными степенями свободы в ней являются многомерные протяженные объекты - гипербраны (М-браны, D-браны).
Независимо от М-теории в теории суперструн существовало естественное описание D-бран, как граничных условий на мировой поверхности (D - от граничных условий Дирихле) [3], как протяженных объектов, несущих заряды по Рамон-Рамоновским полям формы [4], а также описание бран, как многомерных солитонов в супергравитации (р-браны, где р-размерность браны, см. например [5, б, 7] или обзор [8]).
Открытие М-теории привело к пониманию того факта, что гипербраны должны рассматриваться в теории на равных основаниях с одномерными объектами (струнами).
D-брана имеет D пространственных измерений и D + 1-мерный мировой объем. В известном смысле гипербраны являются обобщением солитонных решений в классической теории гравитации и квантовой теории поля. Такие объекты, как вихрь Абрикосова-Олесена [9] (аналог 1-браны, т.е. струны), инстантон БПШТ [10] ((—1)-брана, так как мировой объем евклидового решения 0-мерен), доменные стенки [9] (гипербраны коразмерности 1) тесно связаны с различными непертурбативными эффектами в теории поля. Примером гравитационной 0-браны является черная дыра Шварцшильда. Пространственно-протяженные объекты активно изучаются в космологических моделях [11], а также в моделях с большими дополнительными измерениями [12], в которых они используются для решения проблемы иерархии. Как и в квантовой теории поля, в теории струн/М теории браны ответственны за различные непертурбативные эффекты (см. обзор [13]).
В данной работе исследуются отдельные аспекты физики гипербран. Во-первых, мы изучаем гравитационные р-браны, как решения классических уравнений движения в многомерных теориях гравитации, заряженные по полю полиформы и содержащие нетривиальное поле дилатона (см. п.
введения). Мы строим общие решения для черных р-бран, доменных стенок и D-инстантонов. Среди общих решений физически наиболее интересны рещения, удовлетворяющие принципу космической цензуры и обладающие при этом регулярным горизонтом событий. Оказывается, что существует два типа таких решений - стандартные асимптотически плоские гипербраны и гипербраны с асимптотически линейным дилатоном. Решения второго типа, не являющиеся асимптотически плоскими, играют важную роль, например, в обобщениях AdS/CFT соответствия [14] (голографического соответствия теории квантовой гравитации и негравитационной теории, живущей на бране, более подробно см. п.
введения). Также мы изучаем D-браны в рамках струнной теории поля (вторично-квантованной формулировки теории струн, п. 1.5). Мы показываем, что введение бран в теорию приводит к возникновения
ХВ данной диссертации мы используем термин гипербрапа наравне с более широко распространенным термином D-брана. В отношении гравитационных решений используется также термин р-брана
неабелевых калибровочных моделей в низкоэнергетическом пределе (теория Янга-миллса на стопке бран). В качестве приложения теорий с линейным дилатоном мы рассмотриваем модель конформной теорию поля, в которой добавление линейного дилатона приводит к квантовой деформации алгебры физических операторов и возникновению в ней структуры квантовой группы (п. 1.6).
1.2 Решения для р-бран в супергравитации и браны с асимптотикой линейного дилатона
Принимая во внимание важность бран в супергравитации и теории струн/М теории, особый интерес вызывает построение явных решений такого типа в различных супергравитациях в размерности 4 < d < 11. Если ограничиться рассмотрением только бозонного сектора супергравитаций (фермионную часть решения уравнений движения всегда можно восстановить по суперсимметрии), то задача в большой степени становится универсальной для различных размерностей пространства-времени. Действительно, бозонная часть всех теорий суиергравитации состоит из различных наборов полей форм (разного для различных теорий, однако мы будем рассматривать упрощенную ситуацию, когда включено только одно поле формы) и дилатона, взаимодействующих с гравитацией. Уравнения движения выглядят универсально, поэтому обычно теория рассматривается в d-мерии, где d - произвольно. Супергравитационные решения, описывающие р-браны, были построены и изучались на протяжении последних пятнадцати лет [5, 6, 7, 8,15,16,17,18,19, 20, 21, 22, 23]. Решения подобного типа обобщают на старшие измерения классическое решение для черной дыры Шварцшильда. Они представляют собой р-мерное плоское подпространство с ISO(p) х R симметрией мирового объема (R соответствует времени), обладающее регулярным горизонтом событий в трансверсальных к бране измерениях и асимптотически плоские. Трансверсалыюе пространство обычно выбирается в виде пространства постоянной кривизны. Черная дыра таким образом является 0-браной со сферическим трансверсальным пространством. Симметрия ISO(p) х R дополняется до полной ISO(p, 1) симметрии в случае экстремальной (БПС) браны (что в случае черной дыры соответствует решению Рейсснера-Нордстрема с массой, равной заряду). Мы сосредоточимся на
случае статических решений. Заметим, однако, что в последнее время изучались также решения, зависящие от времени [24].
Долгое время считалось, что решение для одиночной статической заряженной по полю формы р-браны, зависит от двух параметров - массы и заряда. Этот факт, вообще говоря не является очевидным с точки зрения решения конкретных дифференциальных уравнений. Первоначально гравитационное решение для браны не удавалось получить в общем виде, ограниченным лишь описанной выше симметрией. Черное и БПС-решения выводились из специального анзаца [7], более узкого чем позволяет наложенная симметрия, поэтому априори не было ясно, существует ли более общее решение, и сколько параметров такое решение может содержать. Позднее были предложены более общие решения бранного типа [22, 17], а в [25] впервые было произведено явное интегрирование уравнений движения в случае наиболее общего анзаца для статической р-браны. В последней работе было построено семейство решений для анзаца, соответствующего сферически-симметричному трансверсальному пространству и ISO(p) х R симметрии мирового объема, зависящее от четырех параметров. В последствии была предложена интерпретация этих решений [26], согласно которой данное семейство решений соответствовало системе брана-антибрана [27], а дополнительные параметры отвечали за тахионную конденсацию.
Следует заметить, что в связи с запутанностью метода интегрирования [25], до последнего времени не существовало анализа гравитационной структуры общего решения - его особых точек, возможных сингулярностей и горизонтов. В серии работ [28, 29, 30, 31] был найден более легкий способ интегрирования уравнений движения, на основе которого был произведен подробный анализ полного решения, а также получен более общий класс решений с сферическим, плоским или гиперболическим трансверсальным пространством и с дополнительной цилиндрической структурой. Рассматриваемый анзац для метрики содержит ISO(p) х R - инвариантную часть, соответствующую мировому объему гипербраны, и трансверсального пространства вида Е/- х Rq~k, где Е^ - однородное пространство с плоской, сферической или гиперболической симметрией. Система уравнений также включает в себя полиформу произвольного ранга, по которой заряжена гипербрана, и дилатон с произвольной константой связи. Метод интегрирования уравнений движения
(системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка), разработанный в [28, 29, 30, 31], состоит в общих чертах в следующем. Путем взятия определенных линейных комбинаций уравнений движения, система сводится к двум независимым уравнениям Лиувилля. Выразив все метрические функции через решения этих уравнений, получаем, что наиболее общее решение зависит от десяти свободных параметров и одной произвольной функции, соответствующей калибровочной степени свободы изначально присутствовавшей в анзаце (переопределению радиальной координаты). При этом решение уравнения для формы дает постоянный магнитный заряд на бране. Электрически заряженные решения могут быть получены при помощи электромагнитной (S) дуальности.
Из наиболее общего решения выделяются только физически осмысленные, т. е. имеющие регулярный горизонт событий и удовлетворяющие принципу космической цензуры. Эти критерии значительно сужают пространство параметров наиболее общего решения. Во-первых, оказывается, что в случае плоского и гиперболического трансверсального пространств не существует асимптотически плоских стационарных решений. В сферическом случае анализ скаляра кривизны и квадрата тензора Римана показывает наличие сингулярных точек, а также точек, потенциально соответствующих горизонтам и асимптотическим областям. Расположение этих точек фактически однозначно определяется принципом космической цензуры. После наложения условия регулярности горизонта оказывается, что все пространство параметров физически интересного решения расщепляется на две ветви. Первая ветвь соответствует известному решению асимптотически плоской черной браны (обобщенному на цилиндрический случай). Это решение зависит от трех параметров, соответствующих массе и заряду, а также значению дилатона на бесконечности. Ранее построенное решение [25] получается в частном случае из найденного общего решения при занулении части параметров и замены координат. Из приведенного анализа становится очевидным, что решение [25] вообще говоря не удовлетворяют принципу космической цензуры, также как и его различные вариации [32, 33, 26]. Накладывая дополнительно условия, вытекающие из критериев 2 и 3, можно показать, что данные решения сводятся к известному решению для черной браны.
Вторая ветвь решения соответствует черной бране с асимптотикой
линейного дилатона. Наличие нетривиального дилатона в супергравитации соответствует различным обобщениям голографического соответствия теории поля на бране и теории струн в объемлющем пространстве, аналогичного AdS/CFT соответствию (более подробно см. п. 1.3). Например, в случае NS5 браны соответствующая дуальная теория является нелокальной теорией поля, так называемой "маленькой теорией струн"[52], живущей в 6-мерном мировом объеме NS5 браны. Известно, что квантовая теория при конечной температуре соответствует бране с асимптотикой линейного дилатона, снабженной горизонтом событий. Такие конфигурации были обнаружены например [53] в случае NS5 бран. В общем случае подобные решения были найдены и исследованы в работах [54, 55, 56, 57, 30]. В частности, было показано [29], что конфигурации бран с линейным дилатоном являются частным случаем общего решения для черной браны [25, 28, 30].
Разработанный метод явного интегрирования уравнений движения также может быть применен для нахождения общего решения в случаях доменной стенки (подмногообразия коразмерности один) и D-инстантона (Б(-1)-браны). Заметим, что эти решения и не могут быть получены из общего решения для р-браны, если положить р = d — 1 или р = — 1.
Отметим также, что за последние годы были построены гравитационные решения более общего типа, нежели решение для одной р-браны, обсуждающееся в данной диссертации. Так были проинтегрированы уравнения в случае нескольких пересекающихся бран [34, 35]. Известны другие примеры явного интегрирования уравнений Эйнштейна, а также связь уравнения Эйнштейна и интегрируемых систем. Например, в работах [36, 37, 38, 39, 40] изучался более общий анзац для метрики, для которого уравнения Эйнштейна сводились к уравнениям цепочки Тоды. Также изучались нестационарные решения для бран, так называемые S-браны [24].
1.3 Доменные стенки и обобщения AdS/CFT соответствия
Гипотеза AdS/CFT соответствия [14, 41, 42] является первым явным примером соответствия между теорией струн и калибровочной теорией. Утверждение состоит в том, что U(N) J\f = 4 суперсимметричная
теория Янга-Миллса 2 в четырех измерениях (являющаяся конформной теорией) эквивалентна теории суперструн типа ПВ на многообразии AdS^ х S5. При этом калибровочная теория живет на границе пространства AdSs, симметрия которого соответствует суперконформной группе в четырех измерениях, а сферическая симметрия соответствует R-симметрии суперсимметричной теории Янга-Миллса. Параметр 'тХоофта Л = дум-^, по которому происходит разложение по родам в калибровочной теории связан с радиусом AdS (и сферы) и струнной единицей длинны, как Л = ^2. Таким образом это соответствие является примером дуальности, при которой теория в слабой связи на одной стороне дуальна теории в сильной связи. Действительно, при большом радиусе R, то есть при малой кривизне многообразия, можно пользоваться эффективным супергравитационным описанием теории струн ПВ. При этом параметр Л также становится большим, что затрудняет использование теории возмущений в калибровочной теории. Тем не менее AdS/CFT соответствие подтверждается многочисленными неявными проверками (см. [43], а также обзор [44] всвязи с последними результатами).
В наиболее общем виде AdS/CFT соответствие является примером голографического соответствия между (калибровочной )теорией на границе и теорией (струн) в объеме. Эта гипотеза восходит к идеям 'тХоофта [45] и Полякова [46]. Основной целью является попытка описания теории сильных взаимодейстий и конфайнмента. N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса не является реалистичной теорией сильных взаимодействий, поэтому большой представляет интерес построение различных обобщений AdS/CFT соответствия на случай теорий с меньшим количеством суперсимметрий. Одно из таких обобщений было предложено в работе [47]. Для его объяснения заметим сначала, что U(N) теория Янга- Миллса естественным образом получается в низкоэнергетическом пределе теории струн на N совпадающих D-бранах (см. например обзор [48] и раздел 4 данной диссертации), В теории струн браны являются солитонными объектами, в низкоэнергетическом пределе - супергравитационными решениями (р-бранами). Таким образом р + 1-мерная теория Янга-Миллса должна соответствовать р-бране. Метрика соответствующая р-бране (точнее N совпадающим р-бранам) вблизи горизонта (предел, эквивалентный N —> со) переходит в метрику,
2в пределе большого ранга калибровочной группы (N —> оо)
конформно эквивалентную метрике AdSp+2 х S8~p [49]. Таким образом естественно предположить существование более общего соответствия между калибровочными теориями в различных измерениях (с меньшим числом суперсимметрий, чем в четырехмерном случае) в пределе больших iV и супергравитационными бранами [47, 49]. В работе [47] рассмотрены примеры теорий, возникающих при различных значениях р. Классическое AdS/CFT соответствие возникает, если положить р = 3.
Дальнейшее обобщение было рассмотрено в работах [49, 50]. Было, в частности, замечено, что метрика AdS является частным случаем более общей метрики доменной стенки [51]. Доменная стенка в D измерениях обладает (D — 1)-мерной симметрией Пуанкаре и сохраняет половину суперсимметрий. При компактификации супергравитации на некоторое многообразие (например сферу, как в случае AdS/CFT), калуцо-клейновский вакуум оказывается инвариантным относительно группы симметрии многообразия. Таким образом (суперсимметричная) квантовая теория поля, живущая на доменной стенке, ставится в соответствие данной теории супергавитации. При этом (D — 1)-мерная супергруппа Пуанкаре является симметрией теории поля, а группа симметрии дополнительного многообразия - группой Д-симметрии.
Следует также отметить, что решение для суперсимметричной р-браны вблизи горизонта не только факторизуется на произведение пространства AdS и сферы, но и содержит, вообще говоря, нетривиальный дилатон. При определенном выборе радиальной координаты дилатон зависит от нее линейно ("асимптотически линейный дилатон"). Решения для доменных стенок также содержат дилатон, линейно зависящий от координаты в специальной системе отсчета (т.н. дуальной [50], конформно эквивалентной струнной и эйнштейновской метрике). Пространство AdS является частным случаем метрики доменной стенки, при котором дилатон равен нулю.
Доменные стенки - это браны коразмерности один. Так как решение для поля формы в этом случае оказывается тривиальным, то соответствующий вклад в действие равен постоянной величине, которую можно интерпретировать как космологическую константу [49]. Решения такого типа были построены в работе [49] методом выбора определенного анзаца. В данной диссертации мы строим наиболее общую конфигурацию типа доменной стенки, которую можно интерпретировать как черную
доменную стенку на фоне асимптотически линейного дилатона. Решение [49] при этом получается в качестве частного случая. Наше решение содержит горизонт и соответствует, таким образом, (гипотетической) дуальной теории при конечной температуре. Мы получения данного решения используется метод явного интегрирования уравнений Эйнштейна в произвольном числе измерений [28, 29, 30].
1.4 Гравитационные D-инстантоны
Ипстантоны первоначально были открыты в квантовой теории поля, как топологические решения самодуальных уравнений Янга-Миллса [10]. В теории поля они проявляют себя в непертурбативных явлениях (см. например [9]). Методы работы [10] были применены для нахождения инстантоно-иодобных самодуальных решений в евклидовой четырехмерной гравитации (см. обзор [58]). Под инстантоном (или D-инстантоном) понимают обычно евклидово решение, локализованное в точке и минимизирующее действие (вообще говоря, не обязательно самодуалыюе).
В супргравитации и теории струн инстантоны возникают в различных контекстах. Во-первых, они являются частным случаем D-бран (D-инстантон соответствует — 1-бране) [4]. Также они появляются в при изучении компактификации теории струн, когда р + 1-мерный мировой объем евклидовой р-браны Дирихле наматывается на соответствующий р+ 1-мерный цикл многообразия компактификации. Инстантоны при этом дают вклад в поправки к метрике пространства модулей компактификации [59, 60]. В работе [61] были рассмотрены точечные конфигурации в теории суиерструн типа НВ, отвечающие D-инстантонам, соответствующие инстантонные поправки к струнным амплитудам были вычислены затем в [62]. Супергравитационное решение для инстантона (как р = —1) было построено в некомпактифицированной ПВ супергравитации в работе [63]. Геометрически это решение представляет собой евклидову кротовую нору - оно устроено как горловина, соединяющая две асимптотически плоских области. Близкие по смыслу конфигурации найдены в дилатон-аксиошюй четырехмерной гравитации (аксионные инстантоны и евклидовы кротовые норы) [65, 66, 67, 68, 69, 70].
Дальнейшие обобщения инстантонного решения изучались в работах [71, 72, 73, 74, 75]. В [72, 73] для построения более общего решения
использовался тот факт, что инстантон электромагнитно дуален D7-6pane. Максимально общее решение для сферически-симметричного инстантона было построено в [75] и интерпретировалось как (несуперсимметричный) инстантон ИВ суперструны. Решение, найденное в этой работе, является неэкстремальным, в том смысле, что некоторое его подпространство [75] описывает кротовую нору, соответствующую неэкстремальной черной дыре Рейснера-Нордстрема, если добавить одно дополнительное измерение. В той же работе инстантон использовался для вычисления поправок в эффективное низкоэнергетическое действие суперструны типа ПВ.
Супергравитационные инстантоны отвечают за различные непертурбативные явления в теории струн [61, 62, 76, 77, 78, 79, 80]. В частности они индуцируют новые эффективные вершины в низкоэнергетическом эффективном действии в результате интегрирования по соответствующим фермионным нулевым модам, меняют поведение струнных амплитуд рассеяния в высокоэнергетическом режиме, и т.д.
В диссертации мы строим полное D-инстантонное решение с дополнительной цилиндрической симметрией, обобщающее существовавшие ранее решения [75] со сферической симметрией. Эти решения имеют конечное действие для цилиндра конечной длины. Данное решение получено при помощи метода интегрирования уравнений Эйнштейна для р-бран [28, 29, 30].
1.5 Струнная теория поля и D-браны
Теория струны определяется обычно в первично-квантованном формализме, т.е. как функциональный интеграл по траекториям. Вторичное квантование затрудняется тем фактом, что одна струна содержит одну полевую степень свободы, поэтому вторично-квантованная струна должна опираться на некоторое обобщение теории поля, содержащее естественным образом бесконечное количество полевых степеней свободы. Такая "струнная"теория поля была предложена в [92] для теории открытой критической бозонной струны. Она опирается на некоммутативную геометрию и формализм БРСТ квантования. Основным объектом в теории является струнное поле Ф - функционал на отрезке, для которого вводится кубическое действие типа Черна-Саймонса. Дифференциальный оператор заменяется на БРСТ-оператор,
естественным образом действующий на функционалы, а умножение функционалов заменяется на некоммутативное ассоциативное *-умножение. В работе [92] струнное умножение было сформулировано на языке функционального интеграла и заключается в простой прескрипции "склеивания"мировых поверхностей струны вдоль границы. При этом умножение автоматически ассоциативно.
Более удобные для конкретных приложений формулировки были предложены позже в работах [93, 94, 95]. В работе [94] струнное умножение формулировалось на языке конформной теории поля. Струнное поле можно записать, как функциональный интеграл по поверхности со вставкой оператора на границе. Умножение струнных полей соответствует коррелятору в конформной теории поля на поверхности, полученной склейкой трех поверхностей со вставками соответствующих операторов. Формализм гильбертова пространства первично-квантованной струны использовался для построения струнной теории поля в [93]. Струнное поле записывается как состояние в гильбертовом пространстве струны. Кубическая вершина в действии строится как при помощи оператора, действующего на трех гильбертовых пространствах различных струнных состояний, а интегрирование соответствует взятию среднего в гильбертовом пространстве. Можно также явно разделить струну на левую и правую половины [95] и отождествлять их при помощи дельта-функций.
В последнее время, в связи с построением решения струнных уравнений движения [96, 98] интерес к струнной теории поля значительно возрос. Первоначально решения уравнений движения были получены в случае, когда струнное поле факторизуется на духовую и материальную части [100, 100]. Если при этом БРСТ-оператор состоит только из духовых полей на мировом листе струны, то уравнение движения также факторизуется, что его значительно упрощает. В обычной теории струн факторизации, вообще говоря, не происходит. Поэтому интересно решить уравнения движения в наиболее общем виде. Это было сделано недавно в работе [98]. Предположительно это решение соответствует вакууму в который конденсируется тахион бозонной струны, (обзор см. в [101], последние результаты изложены в [98, 102]). Обзор решений вакуумной суперструнной теории поля см. в работе [103].
Связь полученных решений с D-бранами была обнаружена и изучена в работах [104, 105]. В частности, было показано, что найденное в [96]
решение струнных уравнений движения (сливер), соответствует такой конфигурации струнного поля, при которой центр масс струны закреплен на некоторой р-мерной гиперповерхности. Это интерпретируется, как возникновение Dp-браны в центре струны. Связь D-бран и струнной теории поля также исследовалась в [95] и многочисленных других работах (см. ссылки например в [106]). В суперструнной теории поля
Существующая формулировка струнной теории поля, построенная в 80 гг. [93, 94], приспособлена к струнам с граничными условиями Неймана. Однако теперь мы знаем, что важную роль в теории струн играют граничные условия Дирихле, которые соответствуют D-бранам [3]. Поэтому, вообще говоря, следует построить формализм струнной теории поля, в котором был бы заложен произвол в выборе граничных условий, присутствующий в теории струн изначально. Также в существующей формулировке струнной теории поля не заложена матричная структура, позволяющая извлекать например неабелеву теорию в низкоэнергетическом пределе. В данной работе мы делаем первый шаг в реализации этой программы, построив струнную теорию поля в присутствии D-бран. Мы обобщаем действие струнной теории поля и струнное умножение на случай несовпадающих в пространстве-времени D-бран.
Большой интерес представляет получение эффективных действий для полей струнного спектра из струнной теории поля [107, 106, 110]. В частности, вычисление тахионного потенциала [107,106] позволяет сделать различные предположения об истинном вакууме в теории бозонных струн. Данный вопрос также рассматривался в теории суперструн (см. [ИЗ, 114] и обзор [115]). Тэйлор [ПО] начал систематическое исследование эффективных действий для полей Янга-Миллса в рамках струнной теории поля. В работе [ПО] изучалось эффективное действие для безмассовых абелевых векторных полей, а также анализировались возможные неабелевых структуры в эффективном действии при наличии факторов Чана-Патона на концах струны. В дальнейшем неабелевы эффективные действия изучались в работах [111, 116, 145] в бозонной струнной теории поля и в суперструнной теории поля [112].
В данной работе мы вычислили в некотором приближении эффективное действие для полей ip\ соответствующих флуктуациям координат D(-l)-бран. Наш подход отличается от [111,110,112] тем, что мы вводим D-браны
в теорию на уровне действия, при этом неабелевы структуры естественным образом возникают в низкоэнергетической теории.
1.6 Конформная теория поля и линейный дилатон
В случае линейной зависимости дилатона от радиальной координаты, D-браны имеют описание в терминах конформной теории поля с линейным дилатоном на мировой поверхности. Такое описание есть например для NSb браны [3]. Конформная теория с линейным дилатоном - это теория двумерного скалярного поля, в которой тензор энергии-импульса содержит член, пропорциональный второй производной поля. Эта теория важна для полевого представления минимальных моделей конформной теории поля [123, 124], используется в двумерной квантовой гравитации (теории Лиувилля) [125], а также для представления вершинных операторов [126, 127, 128]. Иногда эта теория называется также кулоновским газом [129].
В данной работе мы изучаем алгебру вершинных операторов в конформной теории с линейным дилатоном. Вершинные операторы реализуют представления квантово-деформированных конечномерных и афинных алгебр Ли. Они используются во многих областях современной физики и математики, см. например [130]. Первоначально вершинные операторы использовались для построения токов в кварковых моделях, а также в дуальных струнных моделях [132]. В теории струн вершинные операторы задают физические состояния в пространстве Фока в формализме ДДФ [131]. В конформной теории поля вершинные операторы используются при построении представлений алгебры Вирасоро и афинных алгебр Каца-Муди [133].
Связь квантовых групп [134, 135], конформной теории поля и вершинных операторов была обнаружена во второй половине 1980-х [136, 138, 139, 140, 141]. Первоначально структура квантовой группы была обнаружена в матрице монодромий конформных блоков рациональных конформных теорий [136], затем этот результат был обобщен на случай минимальных моделей [137]. В работе [142] было показано, что квантовую группу Uq(sl2) можно реализовать при помощи операторов скрининга в теории свободных полей с фоновым зарядом (т.е. конформной теории ПОЛЯ с линейным дилатоном). Этот результат был обобщен на случай Uq(sln) (точнее, ее верхнетреугольной борелевской подгруппы) в работах [143, 144].
Для представления алгебр Ли вершинными операторами обычно поступают следующим образом [126]. Рассматривается теория п свободных полей, где п - ранг группы, компактифицированных на п-мерный тор, соответствующий решетке корней алгебры Ли. Афинные алгебры получаются, когда одно из направлений в пространстве импульсов светоподобно. Далее в теории изучаются поля размерности один, представляемые в виде вершинных операторов определенного вида - каждый оператор соответствует простому корню алгебры Ли. Коммутационные соотношения проверяются при помощи операторного разложения.
В случае нетривиального фонового заряда (добавки в тензор энергии-импульса, соответствующей линейному дилатону), коммутационные соотношения деформируются и алгебра вершинных операторов становится квантовой группой [142], при этом верхнє - и нижнетреугольные борелевские подалгебры деформируются независимо [143]. При этом нетривиальным является доказательство соотношений Серра в квантовой группе. В простейшем случае Uq(sl2) [142] соотношений Серра нет, в случае Uq(sln) были рассмотрены общие аргументы в пользу выполнения соотношений Серра [143, 144], однако полное доказательство не было приведено. В данной работе мы доказываем соотношения Серра для Uq(slz) [145] (результат легко обобщается на Uq(sln)). Также мы строим представление афинной алгебры Uq(sl2) в терминах вершинных операторов и доказываем соотношения Серра в этом случае.
1.7 Цель диссертационного исследования
Целью работы является построение общих решений для р-бран, доменных стенок и D-ипстантонов в системе взаимодействующих поля формы, дилатона и гравитации, в частности бран с асимптотикой линейного дилатона; построение струнной теории поля на фоне бран и получение низкоэнергетического действия, а также построение вертекс-операторной конструкции квантовых алгебр в модели конформной теории поля с линейным дилатоном и доказательства соотношений Серра. В работе использованы в основном аналитические методы.
1.8 План диссертации
Во второй главе мы описываем действие и уравнений движения системы взаимодействующих поля формы, дилатона и гравитации, производим явное интегрирование системы для анзаца, соответствующего р-бране, и получаем решение в общем виде. Далее после изучения особых точек решения и наложения некоторых физически мотивированных требований на решение мы получаем две возможных физически интересных ветви пространства решений - первая соответствует черной р-бране, вторая -бране с асимптотически линейным дилатоном. Затем мы иллюстрируем связь наших решений с ранее полученными решениями и критически анализируем последние. Аналогично мы находим общее решение в случае браны коразмерности один - доменной стенки, и получаем новое решение, соответствующее черной доменной стенке.
В третьей главе изучается общее решение для D-инстантона (р = — 1 браны), делокализованного по части измерений. Мы явно интегрируем уравнения движения и получаем новое решение. Оно обладает конечным действием, если дополнительные цилиндрические измерения компактифицировать на тор.
В первой части четвертой главы мы приводим различные формулировки струнной теории поля и даем краткий обзор недавно построенных решений уравнений движения, соответствующих бранам. Во второй части мы формулируем струнную теорию поля на фоне N несовпадающих D-инстанонах и выводим низкоэнергетическое эффективное действие для полей, соответствующих флуктуациям координат D-инстантонов. Это действие совпадает с точностью до членов третьего порядка с редуцированным действием Янга-Миллса.
В пятой главе мы описываем вертекс-операторную конструкцию квантово-деформированных алгебр Uq(slz) и Uq^sU) (точнее, соответствующих верхнетреугольных борелевских подалгебр) Далее мы доказываем соотношения Серра в обоих случаях. В афинном случае мы строим формулы для генераторов, соответсвующих сложным корням.
В заключении мы формулируем основные результаты диссертации.
Доменные стенки и обобщения AdS/CFT соответствия
Гипотеза AdS/CFT соответствия [14, 41, 42] является первым явным примером соответствия между теорией струн и калибровочной теорией. Утверждение состоит в том, что U(N) J\f = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса 2 в четырех измерениях (являющаяся конформной теорией) эквивалентна теории суперструн типа ПВ на многообразии AdS х S5. При этом калибровочная теория живет на границе пространства AdSs, симметрия которого соответствует суперконформной группе в четырех измерениях, а сферическая симметрия соответствует R-симметрии суперсимметричной теории Янга-Миллса. Параметр тХоофта Л = дум- , по которому происходит разложение по родам в калибровочной теории связан с радиусом AdS (и сферы) и струнной единицей длинны, как Л = 2. Таким образом это соответствие является примером дуальности, при которой теория в слабой связи на одной стороне дуальна теории в сильной связи. Действительно, при большом радиусе R, то есть при малой кривизне многообразия, можно пользоваться эффективным супергравитационным описанием теории струн ПВ. При этом параметр Л также становится большим, что затрудняет использование теории возмущений в калибровочной теории. Тем не менее AdS/CFT соответствие подтверждается многочисленными неявными проверками (см. [43], а также обзор [44] всвязи с последними результатами).
В наиболее общем виде AdS/CFT соответствие является примером голографического соответствия между (калибровочной )теорией на границе и теорией (струн) в объеме. Эта гипотеза восходит к идеям тХоофта [45] и Полякова [46]. Основной целью является попытка описания теории сильных взаимодейстий и конфайнмента. N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса не является реалистичной теорией сильных взаимодействий, поэтому большой представляет интерес построение различных обобщений AdS/CFT соответствия на случай теорий с меньшим количеством суперсимметрий. Одно из таких обобщений было предложено в работе [47]. Для его объяснения заметим сначала, что U(N) теория Янга- Миллса естественным образом получается в низкоэнергетическом пределе теории струн на N совпадающих D-бранах (см. например обзор [48] и раздел 4 данной диссертации), В теории струн браны являются солитонными объектами, в низкоэнергетическом пределе - супергравитационными решениями (р-бранами). Таким образом р + 1-мерная теория Янга-Миллса должна соответствовать р-бране. Метрика соответствующая р-бране (точнее N совпадающим р-бранам) вблизи горизонта (предел, эквивалентный N — со) переходит в метрику, в пределе большого ранга калибровочной группы (N — оо) конформно эквивалентную метрике AdSp+2 х S8 p [49]. Таким образом естественно предположить существование более общего соответствия между калибровочными теориями в различных измерениях (с меньшим числом суперсимметрий, чем в четырехмерном случае) в пределе больших iV и супергравитационными бранами [47, 49]. В работе [47] рассмотрены примеры теорий, возникающих при различных значениях р. Классическое AdS/CFT соответствие возникает, если положить р = 3.
Дальнейшее обобщение было рассмотрено в работах [49, 50]. Было, в частности, замечено, что метрика AdS является частным случаем более общей метрики доменной стенки [51]. Доменная стенка в D измерениях обладает (D — 1)-мерной симметрией Пуанкаре и сохраняет половину суперсимметрий. При компактификации супергравитации на некоторое многообразие (например сферу, как в случае AdS/CFT), калуцо-клейновский вакуум оказывается инвариантным относительно группы симметрии многообразия. Таким образом (суперсимметричная) квантовая теория поля, живущая на доменной стенке, ставится в соответствие данной теории супергавитации. При этом (D — 1)-мерная супергруппа Пуанкаре является симметрией теории поля, а группа симметрии дополнительного многообразия - группой Д-симметрии.
Следует также отметить, что решение для суперсимметричной р-браны вблизи горизонта не только факторизуется на произведение пространства AdS и сферы, но и содержит, вообще говоря, нетривиальный дилатон. При определенном выборе радиальной координаты дилатон зависит от нее линейно ("асимптотически линейный дилатон"). Решения для доменных стенок также содержат дилатон, линейно зависящий от координаты в специальной системе отсчета (т.н. дуальной [50], конформно эквивалентной струнной и эйнштейновской метрике). Пространство AdS является частным случаем метрики доменной стенки, при котором дилатон равен нулю.
Доменные стенки - это браны коразмерности один. Так как решение для поля формы в этом случае оказывается тривиальным, то соответствующий вклад в действие равен постоянной величине, которую можно интерпретировать как космологическую константу [49].
Интегрирование уравнений движения
При то 0 (+ _ 0), оно стационарно в секторах + и 0 , _, во внутреннем же секторе роль времени играет координата х. Решение для то 0 (+ _ 0) преобразуется при инволюции (2.111) в что является просто асимптотически плоским решением (2.112) с + и _, поменявшимися местами. Если идти вдоль координаты от +со, то при пересечении внешнего горизонта событий = + ди сохраняет знак, а дхх и дгг его меняют так, что в промежутке между двумя горизонтами есть три временных координаты1. При пересечении внутреннего горизонта событий = _ остается только одна временная координата х и центральная сингулярность расположена при = 0.
Возвращаясь к общему случаю, напомним, что общее решение (2.45-2.50) содержало семь независимых параметров. Три условия (2.76) следуют из регулярности на горизонте (четвертое соотношение (2.76) следует из связи (2.53)), соотношения (2.99) обеспечивают асимптотическое стремление метрики к метрике Минковского на бесконечности. Координатное преобразование (2.86) содержало два параметра ±, соответствующих положению горизонтов. На эти параметры было впоследствии наложены условия (2.87) и (2.103). Таким образом решение (2.104) зависит от 7—4 = 3 независимых параметров: +, _ и фо. Последний параметр соответствует значению дилатона на бесконечности. Два других параметра входят в выражения для массы и заряда решения. Анализ общего решения, приведенный в предыдущих параграфах, не работает в случае браны коразмерности один, то есть доменной стенки. Рассмотрим этот случай подробнее. Пусть p = d — 2, k = q = 0. Тогда метрика имеет вид ds2 = -e2Bdt2 + e2D (dx\ + ... + dxl) + e2Ady2, (2.142) где координата у пробегает теперь всю вещественную ось. В магнитном секторе решение для поля формы тривиально F[0] = Ь = const. (2.143)
Заметим, что член F2 входит в действие в форме космологической постоянной Л = — Ь2/2, поэтому естественно рассматривать оба знака перед этим членом. Поэтому мы рассмотрим случай вещественного б2. Соответственно, параметр
Оно содержит три специальных точки т = О, ±оо. Рассмотрим поведение световой радиальной геодезической и скалярной кривизны в их окрестностях. Афинный параметр зависит от т следующим образом
Можно видеть, что при Д 0 точки т = ±оо находятся на бесконечном афипном расстоянии и скаляр кривизны в них обращается в ноль. В точке т = О, находящейся на конечном афинном расстоянии, R расходится (при а ф 0). Поэтому, для того чтобы исключить сингулярность мы должны обрезать решение при каком-то конечном значении т, введя материальную брану.
Для А 0 скалярная кривизна обращается в ноль при г = 0 (если а ф 0) и расходится при т = ±оо. Поверхность т = О находится теперь на бесконечном афинном расстоянии и поэтому можно обрезать решение, так, чтобы избежать сингулярностей в точках т = ±оо. В случае если сингулярности находятся на конечном афинном расстоянии, произведем следующую замену координат -r = q lH\ H = c + m\y\, m = qe, (2.167) где є = ±1. Тогда при с 0 сингулярности будут обрезаны. Свободный параметр е может быть выбран согласно следующим правилам a) если г = ±оо на конечном афинном расстоянии (А 0), выбираем б = +1, так что область г Є (-со, —с/т] отображается на полупрямую у ф 0. Доменная стенка расположена в точке г = —с/т. b) если г = 0 находится на бесконечности (А 0), выбираем (2.167) є = — 1. В этом случае область т Є [—т/с, 0) отображается на полупрямую у Ф 0, доменная стенка расположена при г = —т/с. Во введенных координатах наше решение совпадает со стандартной решением для доменной стенкой найденным в работе [50]
Асимптотически плоские решения
В этой главе мы проинтегрировали уравнения движения для заряженного инстантона с дополнительной цилиндрической симметрией. Мы построили общее решение уравнений движения и рассмотрели его подкласс, соответствующий асимптотически плоским решениям. При этом получено новое более общее асимптотически плоское решение, содержащее четыре параметра. Показано, что ранее известное решение для неэкстремального инстантона является частным случаем построенного общего решения.
Также вычислено действие для полученного решения. Показано, что оно является конечным, если дополнительное цилиндрическое пространство компактифицировать на тор.
В обычной теории струн факторизации, вообще говоря, не происходит. Было сделано предположение [101], что решение (4.3) соответствует новому вакууму в теории струн, в котором БРСТ-оператор имеет вид Q = n(cn + (-l)nC-n), (4.4) где сп-осцилляторные моды духов, а -числовые коэффициенты. Это предположение исследовалось в большом числе работ (обзор см. в [101]).
Связь полученных решений с D-бранами была обнаружена и изучена в работах [104, 105]. В частности, было показано, что найденное в [96] решение струнных уравнений движения (сливер), соответствует такой конфигурации струнного поля, при которой центр масс струны закреплен на некоторой р-мерной гиперповерхности. Это интерпретируется, как возникновение Dp-браны в центре струны. Связь D-бран и струнной теории поля также исследовалась в [106, 95].
Существующая формулировка струнной теории поля, построенная в 80 гг. [93, 94], приспособлена к струнам с граничными условиями Неймана. Однако теперь мы знаем, что важную роль в теории струн играют граничные условия Дирихле, которые соответствуют D-бранам [3]. Поэтому, вообще говоря, следует построить формализм струнной теории поля, в котором был бы заложен произвол в выборе граничных условий, присутствующий в теории струн изначально.
В этой главе мы рассматриваем попытку осуществления этой программы, а именно построение струнной теории поля в присутствии D-бран [116, 145]. Мы обобщаем действие струнной теории поля и струнное умножение на случай N несовпадающих в пространстве-времени D-бран.
Большой интерес представляет получение эффективных действий для полей струнного спектра из струнной теории поля [107, 110]. В частности, вычисление тахионного потенциала [107] позволяет сделать различные предположения об истинном вакууме в теории бозонных струн. В работе [НО] было начато систематическое исследование эффективных действий в рамках струнной теории поля. Эта деятельность может иметь большое значение как для получения поправок к неабелевому действию Янга-Миллса, так и для проверки согласованности струнной теории поля и первично квантованной теории струн. Известно [48], что в низкоэнергетическая физика N D-бран в плоском пространстве описывается размерной редукцией десятимерной теории Янга-Миллса. В данной работе мы показываем, что построенная нами струнная теория поля на D-бранах, согласована с этим фактом. Именно, мы рассматриваем случай N (несовпадающих) D-инстантонов и показываем, что низкоэнергетическое эффективное действие для полей (рг (описывающих флуктуации координат D-инстантонов) действительно в некотором приближении является действием Янга-Миллса.
Данная глава построена следующим образом. В первой части мы излагаем (необходимые для части 2) факты о струнной теории поля, следуя [92, 93, 95, 94]. Для вычислений в струнной теории поля существует четыре формализма, каждый из которых имеет свои преимущества. Наиболее популярный формализм [93] связан с представлением струнного поля Ф, как состояния в гильбертовом пространстве первично-квантованной струны. В формализме конформной теории поля [94], которым мы будем пользоваться для вычисления эффективного действия, струнное поля является оператором в двумерной теории поля. Также существует формализм половинок струн [95], в котором струнное поле является оператором на пространстве половинок струн, и мойаловский формализм [118], который мы здесь не приводим. В последнем параграфе в качестве иллюстрации мы рассматриваем решение струнных уравнений движения (сливер), следуя работе [96]. В пределе а —» 0 сливер соответствует возникновению D-браны в центре струны. Таким образом мы иллюстрируем, как D-браны возникают в струнной теории поля динамически.
В второй части мы строим струнную теорию поля на D-бранах. В присутствии D-бран поля, присутствующие в спектре струны, становятся матрицами в присоединенном представлении группы GL(N). Мы вычисляем в некотором приближении приближении эффективное действие для полей (р\ которое оказывается действием теории Янга-Миллса, до четвертого порядка по ірг. Метод вычисления эффективных действий в струнной теории поля был предложен в [107]. Согласно этому методу, мы подставляем в действие (4.1) струнное поле, разложенное по осцилляторному базису вплоть до полей на уровне 2 и интегрируем по всем дополнительным полям, взаимодействующим с ірг. При этом мы получаем первые два члена эффективного действия точно, а коэффициент перед третьим членом - приближенно (более подробно см. п. 4.2).
Некоммутативная геометрия и струнная теория поля
В этом пункте мы выводим низкоэнергетическую теорию для полей, соответствующих флуктуациям координат N D-инстантонов, из действия струнной теории поля. Для вычисления низкоэнергетических действий поступают следующим образом [ПО]. Струнное поле можно разложить по базису в пространстве Фока, порождающему бесконечный набор состояний. При этом поле будет суперпозицией состояний различного уровня (уровень соответствует числу операторов рождения, действующих на вакуум). Чем больше уровень состояния - тем больше его масса. Подставив соответствующее разложение в действие струнной теории поля, мы получим лагранжиан, содержащий бесконечное количество взаимодействий. Если мы хотим получить низкоэнергетический лагранжиан для пизколежащих возбуждений (в нашем случае для полей на уровне 1), мы должны проинтегрировать по всем полям с большей массой. Так как число вершин взаимодействия бесконечно, то реально вычислить низкоэнергетическое действие лишь в некотором приближении. Здесь мы получим его в первом приближении, проинтегрировав по полям на уровне 2.
Выпишем разложение Фаь, включая поля вплоть до уровня 2 +G -2C! + &6c_i + ъъсф-2 + ...)fi . (4.89) Здесь \Q)- состояние, соответствующее единичному оператору (4.44). Поля t, рг,... является матрицами в присоединенном представлении алгебры Gl(N). Духовое число произвольного состояния в гильбертовом пространстве определяется следующим образом: Ugh(b-nv..b-nkc-mv.X-m)\Q) = {1- кЩ (4.90) где Ugh - оператор духового числа. Очевидно, что духовое число нашего состояния (4.89) равно единице, как и предписывалось в п. 4.1.2. Мы будем вычислять эффективное действие для полей (fxab. Эти поля соответствуют флуктуациям координат D-инстантонов, поэтому точное низкоэнергетическое действие в пределе АСгаЬ = Сга — С\ С а является -,2 размерной редукцией действия Янга-Миллса Из этого разложения видно, что ненулевые АСгаЬ = Сга — Сгь ответственны за появление массовых членов для полей р в результате эффекта Хиггса. Символ Тг означает суммирование по матричным индексам а, Ь.
Мы будем считать эффективное действие следующим образом [НО]. Из действия (4.83) мы вычислим кинетические члены для всех полей, взаимодействие всех полей с (р\ а также самодействие, пропорциональное /?3. Далее проинтегрируем по всем дополнительным полям, считая, что АС2 « а . Для вычисления кинетического члена выпишем часть BRST-оператора, содержащую осцилляторы не старше первого порядка: получилась лишь приближенно. Это не удивительно, так как для получения точного вклада в член четвертого порядка по полям, необходимо учесть все поля на старших уровнях.
Тем не менее, мы показали, что в отличии от стандартной формулировки струнной теории поля, в предложенной модели в низкоэнергетическом пределе возникают неабелевы структуры, необходимые для получения лагранжианов теорий типа Янга-Миллса. Можно предположить, что при учете большего числа полей на старших уровнях, член четвертого порядка будет приближаться к соответствующему члену в теории Янга-Миллса. 4.3 Выводы
В этой главе мы рассмотрели связь D-бран и струнной теории поля. В первой части мы описали различные формулировки виттеновской струнной теории поля. Также мы показали, следуя [96], что D-браны возникают в струнной теории поля, как определенные решения струнных уравнений движения. В пределе а —» 0 сливер отвечает такой конфигурации струнного поля, при которой центр масс струны находится на определенной гиперповерхности в объемлющем пространстве.
Во второй части мы построили действие для струнной теории поля на D-инстантонах и показали, как использовать формализм конформной теории поля для конкретных вычислений в данной модели. Затем мы вычислили в первом приближении эффективное действие для полей ірг, соответствующих флуктуациям координат D-инстантонов. Это действие совпало с действием теории Янга-Миллса вплоть до членов порядка у?3, что связано с тем фактом, что в струнной теории поля имеется только кубическое взаимодействие. Мы также получили вклады в член Тг[срг, рк]2 с определенной точностью. Глава 5
Вертекс-операторная конструкция квантовых афинных алгебр Алгебры вершинных (вертексных) операторов [127, 128, 130, 132] в теории свободных полей [124, 133, 146] обладают богатой математической структурой. Их связь с теорией квантовых групп была выявлена в работе [136]. Различные аспекты вертекс-операторных конструкций квантовых групп также изучались в [143, 144].
В этой главе мы изучаем вертекс-операторную конструкцию квантовых Борелевских подалгебр конечномерных и афинных алгебр в теории свободных полей рг,і = 1,...,п с линейным дилатоном. Теория описывается действием S = [(fzid + iaoRpY), (5.1) где R- двумерная кривизна фоновой метрики, а0- экранирующий заряд и рг- некоторый постоянный вектор. Пусть if1 принимают значения на некотором торе. Решетка корней, соответствующая тору, порождает некоторую алгебру Ли д [130]. Мы рассматриваем вершинные операторы конформной размерности 1 и изучаем их коммутационные соотношения. Строго говоря, если алгебра Ли д имеет некоторое разложение Картана д = п_ /І0П+, то вершинные операторы, соответствующие простым корням, удовлетворяют соотношениям универсальной обертывающей Uq(n+) с некоторым параметром деформации q = q+. Аналогично можно получить квантовую группу Uq(n-) (с некоторым другим параметром деформации Конструкции подобного рода для конечномерных алгебр типа ADE были предложены в работе [146] и изучены в [143] (см. также [144]). Нашей целью является обобщение этой конструкции на случай квантовых афинных алгебр (рассмотрены также и конечномерные алгебры). Мы доказываем соотношения Серра и приводим явные формулы для генераторов в аффинном случае. В классическом пределе а?0 — О вершинные операторы в теории (5.1) должны сводиться к известным формулам [130]. В приведенном здесь подходе предел а0 —» 0 может быть получен явно (ср. с [143, 144, 147], где этот предел неочевиден).
Данная глава организована следующим образом. В п. 5.2 описана конструкция Uq(slz). В п. 5.3 доказаны тождества Серра в этом случае. Конструкция квантовой афишюй алгебры Uq{sl2) и доказательство тождеств Серра представлены в п. 5.4; там же приведены явные формулы для генераторов в афинном случае. Отметим также, что доказательство соотношений Серра для Uq{slz) полностью переносится на случай произвольной алгебры типа ADE, то есть представленная конструкция обобщается на случай произвольной алгебры данного типа.
