Введение к работе
* Актуальность работы. Интерес к двумерным расширенным суперкон-
формным теориям поля вызван, главнмм образом, их приложениями в струнной теория паяя- единственным, известным в настоящее время icaHt дидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействие элементарных частиц. Первым приложением была конструкция вакуумных состояний сунерструнных теорий с простоанствеїшо-врєменной супсрсиммет-іией. Анализ этих конструкций выявил глубокую связь между определенным классом N -~ 2 суперконформных теорий и су-. . персимметричными «г-моделями на многообразиях Калаби-Яо. При этом ' казалось, что так называемые "твистоваииые AT = 2 суперконформные теории" соответствуют топологическим версиям этих с-моделей, т.е. физические состояния твистованных N — 2 суперконформных теорий являются топологическими объектами многообразия. Вопрос о том как в N = 2 суперконформных теориях закодированы геометрические свойства этих о-моделей является открытым и требует дальнейшего изучения. Второе приложение расширенных суперкоиформных теорий возникает в теории некритической струны. В БРЄТ-формулировке некріггичесгсаі бозонная струна обладает симметрией N — 2 твистованнрй суперкс.е формной теории. Это позволяет рассматривать всякую твистованпую N - 1 суперхонформну.-, теорию как обопіенную теорию некритической бозонноЛ струны, в которой струнный БРСТ-пператор соотвеїствуе»
одному из суперзарядов твистованной N =' % супералгебры Вирасоро Qt С*, а иоле 4-духов соответствует суиертоку G~ artii' алгебры. Обобщение заключается в том, что в обычной бозоштй струне 6-когомологии тривиальны, в то. время как в твистоаанной N ~2 суперкоыформной теории О'чсогомолоі'ии в общем случае нетрилиэлыш.
Расширенные суперконформные модели Весса-Зумино предо.пляют
новый класс суперммформных точиорешаемых теорий. Точная реш
аемость этих м лелей обеспечивается бесконечномерной алгеброй сим
метрии, которая является суперсимметричным расширением алгебры Kaua-
Муди. В связи с этим естественно предположить, что теория пред
ставлений сунералгебр Учцй-Ыу^и окажется полезной в струнных при
ложениях. В нолыу этого предположения говорит нбяі ;еиие регулярных
представлений алгебр Кана-Муди в то* ^логических G/G-Косет-моделях,
я также применение этих представлений для описания струн в d < I-
мерном пр лранстяе. ' >
ЛаучямАа іюнкіна работы заключается в следующем:
1. Рассматриваются N — 2,4 суперконформные модели Весса-Зумино
на осяоне конечномерных троех Манина.
2. Показано, что N - 8 супссимметричные модели Vx-іСд-Зумино
сводятся к прямым суммам N — і суперснмметричных моделей Ве.оа-
Зумиио.
1. Рассматриваются тпистпванпые N - 2 суперконформныо мод-
2 .
ели Весса-Зумино. Изучены спектры и алгебры слив пин физических, ,
состояний а твистованных N =» 2 суперкомформных моделях Весса-Зумино
на группах SU{2)»U{1) и Sl/{3). \
4. Построены регулярные представления алгебр Каца-Муди. S. Методом гамильтововой редукции Чринфелыш-Сокоиюна регулярных представлений яц(2)*-алгебры Каца-Муди построены "регулярные" представления алгебры Вирасоро.
Автор защищает результаты: . '.
1. Любая ff = I -уперкопформная модель Весса-Зумино с группой G .;
допускает У. = 2- расширение если и только если алгебра Ли д группы -'
G допускает разложение в тройку Манииа (e,g+,s-)-
-
Любая N - 2 суперконформная модель Весса-Зумино с груп- >й G допускает N =» 4 расширение если и только если на изотропные подалгебрах +,?_ тройки {g,v+,g-) заданы невырожденные 2-коциклы г+,г„, которые в некотором ортонормированием базисе* на алгебре д представляются язаимно-сбратнымн матрицами.
-
Любая N = 4 суперконформная модель Весса-Зумино с группой G допускает N = 8 расширение ісли и только если алгебра j является прямой суммой двух подалгебр, каждая из которых удовлетворяет усло-виям N - 4 расширения. '
-
N = 2 суперконЛормные модели Весса-Зумино обобщают модели Казама-Сузуки. Модели Казама-Сузукн соответствуют тройкам Мамина
ассоциированным с парами (а,р), где р-простая комплексная алгебра Ли, р-е порябчхлическая подалгебра.
-
Физические состояния в твистои.ишых JV --2 суперконформных моделе» Весса-Зумина "являются элементами 1р\нпы полубесконечных когомодпгни алгебр токов с коэффициентами в представлениях эуич алгебр. Тьистованные N -- 2 суиеркрнформиые S(7(2) 5 (/(і) и SU(3) модели Ііесса-Зумино зкишіллсні нм топологическим о- моделям на максимальных тора- соответствующих групп.
-
Регулярные представления алгебр Каца-Муди существуют. Они естественно возникают в косет-моделнх G/G. Редукция регулярного представлення еи('2)к-алгебри Каца-Муди дает "регулярное" представление іілпіСрьі Пирсоро. Это представление описывает двумерную гравитацию, взаимодействующую с матсру*й с центральным зарядом с = \ -6(fc 4 2 j-l/(fc t-2)).
. Ст())кту|і лііссгріаіми. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Выводов it списка литературы из 48 наименований. Объем диссертации 61 страница включая оглавление и снисох литературы.
Во rucu'imti сформулированы оеь.ашые проблемні которые решались в днс'-еріііипонкой імбоге, показано их место в конформной теории lnvm и ісорич cipui, краггп [формулированы методы их решения, предложенные н диі( ері алии.
4 .
Гл. 1 содержит краткий обзор основных особенностей суперсим-і метричних конформных теорий поля, их приложений в теории струи и устанавливает основные обозначения. В 1.1 описаны N -- 2,4 , су-перкоиформиые теории и рассмагрены их пространства состояний. В 51.2 описаны топологические теории п ія и основные евпйстиа их корреляционных функций. Описана пропедура построения топологических, теорий из N = 2 суперконформных теорий- процедура чпистования. Дается интерпретация физических соотояний твисгованных Л' =2 су-перхонформных тео^ .и в терминах топологических а-моде.пей на многообразиях Калаби-Яо. В 1.3 дана КРСТ-формулировка некритической бояонной струны Полякова и показано, что, как 2-мсрная теория, струна является твистонанной N = 2 суперконформиой теорией поля.
В Гл. 2 даны конструкции расширенных суперконформных моделей Весса-Зумнно па основе конечномерных троек Манина. В 2.1 описаны N — 1 суперконформные модели Весса-Зумино. Кратко рассмотрены представления Н — 1 суперконфор ной алгебры токов- алгебры симметрии этих молелен. В 2.2 найдены условия при котормч N -- 1 супер» .-чформная модель Becca-iysntno с труппой G обладает iV -г 2 суперконформиой симметрией. Показано , что Stjt услоялч эквппл-лентны существованию комплексной тройки Mamma {q,
мое 1«фоцикламц изотропных подалгебр тройки. Далее рассматриваются призеры этой конструкции. В примере 1 рассматривав-ся конструкция тройки Минина, для произвольной простой комплексной алгебры Ли о и ее лараболическоЛ подалгебры р. в этом случае N = 3 суперконформные модели совладают с БРСТ-формулировкой моделей Казама* Сузухя. Рассматривая компактную форму построенной тройки Манина мы получаем ft г.-. 2 суперконформную модель Вееса-Зумино на компактной группа с алгеброй Ли ав, где А полупростая часть ппраболичес -и» подалгебр».» р. Явные формулы для генераторов # = 2 супералгебры Ви-расрро приведены для простейшего случая a ~ sl(2), р- Ь+ -борелевская иодалігбра в л/(2). В случае, когда р = а N = 2 суперконформная модель совпадает с ВРСТ- формулировкой косет-модели AfA, где А группа Ли с алгеброй Ли а. Явные формулы даны для а = «1(2). В примере 2 рассматривается конструкция тройки Макиня для алгебры д, *= л1(2п ї 1). В этом случае картаноаская подалгебра является чет-номерной>и может быть представлена в виде суммы изотропных относительно формы Киллинга на g подпространств Ь-Л+фЛ_. В качестве изотропных полаліебр выбираются д+ = nt ф /ц, , д.. = »»_\ф h-, где п+|п. иильпотентные подалгебры в д. Явные формулы дли генераторов М - 1 пералгкбры Вирасоро приведены для случая д = »/(3). В 2.3 найдены условия при которых N = 2 суперконформная модель Вееса-Чумино соответствующая комплексной трой<е Мамина {д,д^.,у-) обладает
N = 4 суперконформной симметрией. Показано, что эти условия зквнва- ' лентяи существованию невырожденных 2-коциклов г+,т. на изотропных подалгебрах д+,д~, таких, что в некотором ортонормировании* базисе они являются взаимно обратными матрицами. С каждым таким набором данных (д,9+,т+,й-,г-) связываются две N -А супера/'-ебры Вирасоро, Далее рассмотрены примеры JY - 4 суперконформных моделей Ресси- Зу-мнно. В первом примере рассматривается тройка Манича примера t из 2.2 длт простейшего случая а = «1(2). Построены две Н -- 4 онералгс» бры Вирасоро с центральными зарядами сх = 6,с» = fi(fc+l), где к уровень я!(2)*-алгебры Каца-Муди. Во втором примере рассматриваете* 'DOiV.a Мантія примера 2 из 2.2 для случая д = */(3). Построены две N — 4 супералгебры Вирасоро с центральными зарядами «, = \2,et -Цк+l), где к уровень ei(3)t-алгебры Kaua-Муди. В 2.4 расрматр»іпа«тгся уемтия при которых N - 4 суперконформная модель Вссса-Зумино пйладаеі N - 8 сунерконформной симметрией. Показано, что при выполнении этих условий конечномерная алгебра Ли являете* прямой суммой двух подалгебр, каждая из которых удовлетворяет условиям существования jV=.4 сунерконформной симмет чи.
В Гл. Я изучены тв.ястозаиные N = 2 суперкокформные моД ти Весса-Зумино связанные с тройками Манина примеров 1,2 из 52.2. Вычислены спектры и алгебры слияния физических состояний этих моделей дли а = «<{2},г - */(3) соответственно. В 3.1 задача о вычислении спектра
физических состояний в твистованных N ~ 2 супёрконформных моделях Ве<:си-Зумино сводится к задаче о вычислении полубесконечных кого-мологиа алгебр токов изотропных подалгебр. В 3.2 эта аадача решается с іюмлціо полубесконечного аналога теоремы Бореля-Вейля-Ботта. В 3.3 приведены явные формулы для представителей физических сотояний в секторе Района. Показано, что онк являются старші и векторами представлении N = 2 супералгебры Вирасоро, лежащих на границе унитарности. В 3.4 вычислены алгебры слияния, найденных физических состояний.
В гл. 4 построены регулярные представления алгебр Каца-Муди. ІГоказа'-о, что они естественно вознлхают в БРСТ-формулировке косет-мрдели G/G. Кратко рассмотрена редукция Дрннфельда-Соколопа регулярных представлении о связи с теориями W-гравитации. В 4.1 изложены основные геометрические идеи, лежащие в основе конструкции регулярных представлений алгебр Kaua-Муди. Рассмотрена связь этих представлений с БРСТ-формулировкой косет-модсли G/G. В иі.2 кратко рассмотрена конструкция регулярного представления в простейших случаях G ~ Sl(i\,G -- 5/(3). В 4.3 дана аффинная версия конструкции из 4.2, т.е. построены регулярные представлення «1(2)- и «((З)-плгебр Каца-Муди. Рассмотрена связь этих пред явлений с представлениями Вакимого. В 4.4 дана конструкция регулярного представления sl{n + 1)-алгебрн Каца-Муди. В 4.5 рассмотрена конструкция іУ-алалога
регулярных представлений алгебр Каца-Муди с помощк» редукции Дрин-фельда-Соколова, Явные формулы получены длв "регулорного" нред-стапяения алгебры Вирасоро.
