Введение к работе
Актуальность темы. Исследование уравнений, описывающих модели статистической механики и квантовой теории поля, играет важную роль в теоретической физике. В частности, представляет интерес решение таких уравнений как уравнения Лиувилля, Шредингера, Вигнера. В виду значительной сложности нахождения точных решений этих уравнений актуально применение асимптотических методов для нахождения приближенных решений. В этой связи представляет интерес применение теории комплексного ростка, разработанной В.П. Масловым, для построения асимптотических решений. В частности оказывается, что теория комплексного ростка дает возможность для построения асимптотических решений уравнения Шредингера с малым параметром при производных и для построения асимптотических решений уравнения Лиувилля для большого числа частиц с малым параметром при взаимодействии.
Целями диссертационного исследования ивлается.
Исследование некоторых решений и отвечающего им спектра уравнения Лиувилля для систем нескольких частиц и построение асимптотических решений и асимптотических собственных значений уравнения Лиувилля для различных систем большого числа частиц с малым параметром при взаимодействии.
Построение асимптотической собственной функции для уравнения Шредингера для N фермионов с притягивающим потенциалом, которая отвечает основному состоянию.
Построение асимптотического решения уравнения для матрицы плотности. Исследование решения возникающего при этом уравнения типа уравнения Риккати.
Научная новизна и практическая ценность работы.
Впервые теория комплексного ростка применена для построения асимптотических собственных функций и асимптотических собственных значений многочастичного уравнения Лиувилля. Полученные результаты представляют интерес как для математики, так и для физики. Они могут быть применены для исследования реальных физических систем, кроме этого некоторые из полученных результатов могут быть использованы при изучении квантовых систем фермионов с сильным взаимодействием между частицами.
Апробаидя работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля и на семинарах отдела статистической механики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, а также на международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения".
По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 96 страниц, список цитированной литературы включает 52 работы.
