Введение к работе
Актуальность исследования.
Характерной чертой современных физических теорий. является существенно нелинейный характер взаимодействий. Любая классическая задача, будь то описание турбулентности или проблема конфайманта, упирается в невозможность описать поведение существенно нелинейной системы, когда стандартные методы теории возмущений не работают. Поэтому можно сказать, что изучение нелинейности является важнейшей задачей современной физики.
Вот тут на помощь могут прийти симметрии физических моделей. Мы верим, что мир устроен красиво, а симметрии лежат в самой основе понятия красоты. Симметрии, коль скоро они есть, позволяют упростить исследуемую модель, иногда в некотором смысле решить ее полностью.
Появившийся в конце 60-х начале 70-х г. г. .метод обратной задачи теории рассеяния позволил найти целый ряд уравнений, которые стали называть солитонными или интегрируемыми.' Несмотря на то, что мера их среди всех возможных уравнений равна нулю, в этот класс попали очень многие универсальные модели. Это дало возможность Ф. Калоджеро написать статью "Почему все интересные уравнения интегрируемы". Интегрируемые уравнения имеют много неожиданных применений, и это подтверждает мысль о том, что мир устроен красиво.
Характерной чертой солитонных уравнений явлется наличие бесконечного числа коммутативных симметрии и соответствующих им зарядов.
Большую роль в теории солитонов сыграли инвариантные решения этих абелевых симметрии, которые позволили по произвольным (в случае уравнения Кадомцева-Петвиашвили) римановым поверхнос-тям конечного рода строить многопериодические решения в терминах тэта-функций Римана. В свою очередь, это позволило связать теорию солитонов и теорию релятивистской струны.
В настоящей работе открыты дополнительные симметрии в теории интегрируемых уравнений, соответствующие алгебре Вирасоро и иа симметриям. (Название ии появилось позже в другом
контексте). Эти дополнительные симметрии действуют повышающими или понижающими сдвигами на интегралы движения интегрируемых систем и на модули римановых поверхностей, меняя их комплексную структуру. Часть w^ разрушает конечнозонность решения. В работе вычислено действие w^ симметрии на тау-функцию уравнения КП и на другие 'объекты теории солитонов.
Инвариантные решения новых симметрии нашли применение в так называемых матричных моделях двумерной квантовой гравитации. Это согласовано с тем, что после интегрирования по римановым поверхностям ответ не должен зависеть от дополнительных симметрии, меняющих комплексную структуру.
Совместно с А.Ю.Морозовым, А.Герасимовым, А. Маршаковым, А. Мироновым было показано, что матричные модели являются специальными решениями некоторых интегрируемых систем типа тодовских цепочек. Эти решения инвариантны относительно действия дополнительных симметрии (Virasoro constraints).
Можно изобразить связи теории солитонов с некоторыми современными моделями теории поля:
топологические теории
|и-гравитация|
/
|Chern-Simons,WZNVlh - |СОЛИТОНьГ|
матричные модели 2D квантовой гравитации
конформные теории | 1 квантовые солитоны|
Отметим, что симметрии играют роль во всех этих связях. Можно сравнить теорию солитонов с функциональным интегрированием, которое о помощью замен переменных позволяет сравнивать разные теории. Приведение статсуммы какой-нибудь модели к тау-функции и использование внутренних ;вязей в теории солитонов помогают установить связь между разными моделями. В качестве примера можно привести эквивалентность одноматричной модели и
модели Концевича (квантовой и топологической гравитации). "Заменой переменных" является преобразование Мивы. Поэтому развитие теории солитонов и изучение внутренних связей (которое инициируется соображениями полноты и красоты самой теории) способствует созданию единой и универсальной картины.
В диссертацию вошли также некоторые дополнительные вопросы, связанные с явлением волнового коллапса в интегрируемых системах, описанием поведения солитонов в сложных системах с редукциями, и гидродинамическими "переменными Лагранжа" в теории КдФ.
Цели работы:
-
Найти дополнительные симметрии 1+1 мерных интегрируемых систем и исследовать их действие на переменные действие-угол.
-
Описать инвариантные решения этих симметрии.
-
Найти дополнительные симметрии 3d мерных интегрируемых систем и описать регулярные методы их построения и исследования. Доказать, что вместе с известными абелевыми симметриями, они исчерпывают все симметрии.
-
Описать редукции и струнные уравнения.
-
Найти аналог вариационного тождества Гельфанда-Дикого для резольвент l операторов уравнений КП, Дэви-Стьюартсона, трех волн.
-
Описать действие дополнительных симметрии на объекты теории солитонов.
В том числе: на комплексную структуру римановых поверхностей и на пространство флагов, соответствующих римановым поверхностям с двумя отмеченными точками, на тау-функцию Сегала-Вилсона.
-
Построить новые иерархии интегрируемых уравнений.
-
Обобщить иерархии симметрии на суперслучай.
-
Описать матричные модели как интегрируемые системы.
10. Описать различные типы взаимодействия солитонов и исследовать коллапс солитонов.
11. Описать смысл гидродинамических переменных Лагранжа в теории КдФ.
Научная новизна.
1. Найдены и описаны конформные симметрии в теории солито-
нов. Эти дополнительные симметрии действуют сдвигами на интегралы движения.
2. Найдены . и описаны симметрии, соответствующие алгебре псевдодифференциальных операторов на окружности (позднее название wj. Предложены регулярные методы их построения для 3d интегрируемых системы в разных подходах к интегрируемым системам (каковы: Захарова-Шабата, Гельфанда-Дикого, Кричевера-Новикова,
Сато, Сегала-Вилсона, а-задачи Абловица-Захарова-Манакова. (На
языке а-задачи впервые получены новые уравнения на ядро ти,л): интегродифференциальные уравнения по спектральному параметру)). Лучше понята связь между разными подходами.
-
Тем самым предложены новые способы построения интегрируемых иерархий и их редукций к уравнениям в пространстве меньшей размерности 3d-2d-1d. Так, в частности, были получены уравнения, названные позднее "струнными".
-
Введены j-формы Бейнера-Ахиезера и пространство флагов, связанное с римановыми поверхностями с двумя отмеченными точками. Получена формула с = б}2 - 6j + і для действия алгебры Вирасоро на тау-функцию.
-
Показано, что групповые времена дополнительных симметрии задаст координаты на пространстве модулей римановых поверхностей.
6. . Предложена супериерархия КП, отличная от супер КП
. Манина-Радула, и впервые описаны супер wa симметрии.
7. Показано, что статсуммы матричных моделей являются тау-
функциями тодовских цепочек, подчиненными условиям vta связей,
тем самым найдено приложение полученным ранее "струнным уравне
ниям".
8. Показано, что во многих моделях типичным является появление сингулярных солитонов в солитонных реакциях. В отличии от неинтегрируемых систем коллапс солитонов в интегрируемых моделях не сопровождается.излучением волн.
9. Показано, что гидродинамические переменные Лагранжа в теории волн на воде КдФ являются аналогом переменных Дарбу .для третьей гамильтоновой структуры (для первой структуры таковыми являются переменные Эйлера). Эти переменные совпадают с
переменными в функциональном интеграле теории 2D квантовой гравитации.
Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы и используется для установления связей между теорией солитонов и моделями теории поля. В первую очередь, это относится к моделям, имеющим отношение к теории релятивистской струны, матричным, топологическим моделям. Так же . результаты могут быть использованы для построения новых решений интегрируемых уравнений. Представляла бы большой интерес попытка описания всех инвариантных решений Wm симметрии и соответствующего им пространства модулей "кривых", обобщающих римановы поверхности конечного рода. (Для "кривых", соответствующих струнным уравнениям Ю. И. Маниным предложено название "квантовых римановых поверхностей"). Этим кривым соответствовали бы некоторые обобщения уравнений Пенлеве, параметризуемые четырьмя числами. Эти уравнения, без сомнения, должны найти применения во многих областях физики. Укажем также на возможность применять кю симметрии к построению возмущений интегрируемых систем. Дополнительные симметрии могут быть использованы при решении задач об устойчивости и для нахождения собственных функций линеаризованной задачи.
Явление волнового коллапса играет важную роль в нелинейной физике, в частности в физике плазмы. Коллапс сопровождается излучением волн и выгоранием энергии в областях образования' каверн, что может качественно изменить физическую картину. Вблизи момента образования особенности перестают выполнятся те приближения, которые допускались при построении модельнрго уравнения, (и в этом смысле модели, допускающие образование особенности за конечное время, попадают в особый класс).
Апробация работы. Результаты работы многократно докладывались на международных и отечественных конференциях и школах (конференции по теории солитонов: Юрмала, 1986; Черноголовка, 1987; Ленинград, ЛОМИ, 1988; международные конференции: Киев, 1987, 1989; Потсдам (США), 1991; Дубна, 1990, 1992; Галлиполи (Италия), 1991, 1993; Москва, 1987; школы по теории поля: Алушта, 1989; Рахов, 1990; Киев, 1992; Кортонэ
(Италия), 1993), на семинарах и в университетах (семинар В.С.Львова и Е. А. Кузнецова (Новосибирск) 1983, 1984, 1985, 1986; семинар Серебрякова (Новосибирск) 1987; семинар В.Е.Захарова (МФТИ) 1984, 1985, 1986, 1989; семинар С.П.Новикова (МГУ) 1986, 1988; ИТФ им. Л.Д.Ландау 1989; семинар К. Вафы (Гарвардский университет), 1992; Корнельский университет, 1989, 1991, 1992; "Karcher Seminar" в университете Оклахомы 1992; Римский университет, 1991, 1993; Миланский университет, 1993 и др. ).
Публикации. Часть результатов по данной тематике опубликована в виде препринтов (5), часть в виде опубликованных докладов на конференциях, в сборниках (Springer, scientific World) (8), а такжє в . журналах (10): теоретическая и Математическая физика, Письма В ЖЭТФ, Nuclear Physics В, Physics Letters A, Letters in Mathematical Physics, Physica D, Функциональный анализ И его приложения, Modern Physics Letters
А. Написан один обзор.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Объем диссертации 101 страниц, список литературы содержит 102 наименований.
Автор благодарен С. И. Анисимову, С. В. Манакову, А. В. Михайлову, Е. А. Кузнецову и особенно В. Е. Захарову и А. С. Морозову за поддержку работы. Автору приятно выразить благодарность своим соавторам и друзьям: Е. И. Шульману, П. Г. Гриневичу, В. Рубцову, а также А. Герасимову, А. Забродину, Д. Лебедеву, А. Маршакову, А. Миронову, М. Ольшанецкому, С. Пакуляку, С. Харчову, . П. Винтернитцу, С. Войцеховскому, В. Энрикесу за то удовольствие, которое мне доставили совместная работа и многочисленные обсуждения.
