Содержание к диссертации
Введение
1 Низкоэнергетические разложения в задаче двух частиц 20
1.1 Введение 20
1.2 Формулировки задачи рассеяния двух частиц 23
1.3 Теория возмущений 31
1.4 Низкоэнергетические разложения 42
1.4.1 Понятие длины рассеяния и способы ее вычисления 42
1.4.2 Выводы низкоэнергетических разложений и асимптотик 49
1.5 Некоторые особенности сечений рассеяния 63
1.6 Низкоэнергетические столкновения нуклонов 68
1.6.1 Столкновение протонов в триплетном состоянии 69
1.6.2 Столкновение нейтронов в триплетном состоянии 83
1.6.3 Столкновение протонов в синглетном состоянии 92
2 Кинематическое преобразование 103
2.1 Введение 103
2.2 Координаты трех частиц 104
2.3 Операторы 109
2.4 Угловые базисы 113
2.5 Теоремы сложения 119
2.6 Бисферические ряды 122
2.7 Гиперсферические ряды 129
2.8 Ряды по ^-функциям 139
2.9 Уравнения Шредингера и Фаддеева 139
2.9.1 Свободный гамильтониан 139
2.9.2 Операторы взаимодействий 142
2.9.3 Строение и редукция уравнения Шредингера 144
2.9.4 Строение и редукция уравнений Фаддеева 147
3 Ложные слагаемые, точные и коллапсирующие решения 164
3.1 Введение 164
3.2 Ложные слагаемые как проекционные образы 166
3.3 Физические и ложные слагаемые взаимодействий 172
3.4 Ложные решения уравнений Фаддеева 181
3.4.1 Ложные решения класса Ає 183
3.4.2 Ложные решения класса Аы 188
3.5 Физические и ложные слагаемые фаддеевских компонент 191
3.6 Случай взаимодействий центробежного типа 198
3.6.1 Критерий существования точных решений 198
3.6.2 Случай S'-волновых взаимодействий и ^ = О 206
3.6.3 Эталонные решения 211
3.7 Примеры коллапсирующих решений 221
3.7.1 Спектр радиальной задачи 224
3.7.2 Спектр вспомогательной угловой задачи 228
3.7.3 Спектр основной угловой задачи 241
3.7.4 Спектр и коллапс трех тождественных бозонов 251
4 Разложения вблизи точек парного и тройного ударов 257
4.1 Введение 257
4.2 Разложения вблизи точки парного удара 260
4.2.1 Разложения парных и полного взаимодействий 262
4.2.2 Разложения решений уравнения Шредингера 263
4.2.3 Разложения решений уравнений Фаддеева 279
4.3 Разложения вблизи точки тройного удара 287
4.3.1 Случай 5-волновых взаимодействий 290
4.3.2 Случай центральных взаимодействий 300
5 Сплайны и дискретные аналоги уравнений Фаддеева 311
5.1 Введение 311
5.2 Основные сведения о сплайнах 312
5.2.1 Определения сеток и сплайнов 312
5.2.2 Задачи интерполяции и численного дифференцирования 323
5.3 Дискретные аналоги двухмерных уравнений Фаддеева 327
5.3.1 Постановка самых простых фаддеевских краевых задач 329
5.3.2 Алгоритм 1: конечно-разностная аппроксимация по г \ир 331
5.3.3 Алгоритм 2: сплайн-аппроксимация по переменной <р 333
5.3.4 Алгоритм 3: аппроксимация сплайнами -S3311 336
5.3.5 Алгоритм 4: приближение сплайном 5ззіь разложенным по 5-сплайнам 339
5.3.6 Алгоритм 5: приближение сплайном S3322, разложенным по эрмитовым сплайнам sn и sm 345
5.3.7 Сравнение и численный анализ алгоритмов 346
5.4 Сплайн-аналоги одномерных уравнений Фаддеева 353
5.5 Сплайн-аналоги трехмерных уравнений Фаддеева 357
5.6 Заключение 364
Заключение 365
- Формулировки задачи рассеяния двух частиц
- Низкоэнергетические столкновения нуклонов
- Координаты трех частиц
- Уравнения Шредингера и Фаддеева
Введение к работе
Актуальность темы. Функциональным разложением обычно называется представление функции в виде суммы двух или более слагаемых (компонент). Функциональные разложения широко используются во многих разделах математики [1]—[17] и теоретической физики [18]—[46].
Все процитированные в настоящей работе подходы [47]-[203] и представляемые авторские методы [204]-[244] к решению актуальных проблем теории рассеяния для систем нескольких квантовых частиц [30, 31] не случайно основаны на тех или иных функциональных разложениях. Дело в том, что универсальным ключом для решения многих проблем этой теории является удачно выбранное функциональное разложение исследуемой функции и последующая оптимальная (наиболее удобная для квантовомехани-ческого и математического анализа и для расчета) формулировка задачи для искомых компонент выбранного разложения. Три данных ниже примера - убедительное доказательство этого утверждения.
Пример 1. Представление радиальной регулярной волновой функции рассеяния двух частиц в виде функционального разложения, содержащего искомые фазовую и амплитудную функции, и последующий вывод нелинейного уравнения Риккати для фазовой функции является основой всех нелинейных версий исключительно мощного, а самое главное, физически прозрачного метода фазовых функций [28, 29] в квантовой механике [18]. Отправная точка оригинальной линейной версии [47] этого метода - тоже функциональное разложение регулярной волновой функции, но уже по двум известным функциям свободного двухчастичного гамильтониана и двум искомым амплитудным функциям, которые в теории дифференциальных уравнений [3] называются "постоянными" коэффициентами и подчиняются системе двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с довольно простыми граничными условиями.
Пример 2. Функциональное разложение Т = Ті + 7 + Т3 трехчастичной Т-матрицы в импульсном пространстве системы трех частиц с парными центральными и короткодействующими потенциалами V\, V2 и V-j оказалось ключевым для впервые предложенной Л.Д. Фаддеевым в [48, 49] математически корректной формулировки задачи трех квантовых частиц в виде системы однозначно разрешимых интегральных уравнений для искомых компонент Ті, Т2 и Т3. Последовавшее обобщение этого подхода для систем из четырех частиц впервые дано О.Я. Якубовским в [50] и также основано на функциональных разложениях в импульсном пространстве. Исследования Фаддеева [48, 49] и Якубовского [50] оказались фундаментом для становления математически коррект- ной теории рассеяния для систем нескольких частиц [30, 31], подчиняющихся законам квантовой механики [18]. Две проблемы теории интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского, заметно сужающие область ее приложения, остались неразрешимыми: до сих пор неизвестно исчерпывающее и удобное для практических расчетов расширение этой теории для систем, содержащих заряженные частицы, и в общем случае представляется принципиально невозможной редукция интегральных уравнений к их оптимальным для численного анализа дискретным аналогам, которыми являются системы линейных уравнений с разреженными матрицами небольшой размерности и легко вычисляемыми элементами.
Пример 3. Началом следующего этапа развития теории рассеяния для систем трех частиц оказалось использование функционального разложения Ф = Фі + Ф2 + Фз трех-частичной волновой функции Ф и вывод дифференциальных уравнений Фаддеева [31] для трех искомых фаддеевских компонент Фі, Фг и Фз в координатном шестимерном пространстве TL6 трех частиц: (Яо-)Ф< = -^Ф = -КФ*.
Принципиальная проблема этого этапа заключалась в выводе физических граничных условий для искомых фаддеевских компонент при больших расстояниях между частицами, гарантирующих существование и единственность решений фаддеевских дифференциальных уравнений и их эквивалентность исходному трехчастичному уравнению
Шредингера: (Я0 + У)Ф = ЕФ, V = Y,Vk-
Основной вклад в полное решение этой сложнейшей проблемы как для систем из нейтральных, так и заряженных частиц дан СП. Меркурьевым. Полный список исследований Меркурьева, приведенный в монографии [31], дополняют не менее известные фундаментальные работы [51]—[54]. Существенным был и вклад Меркурьева в становление и развитие основанных на конечноразностной аппроксимации [14] методов [51], [55]—[59] численного анализа дифференциальных уравнений Фаддеева.
В отличие от фаддеевской интегральной формулировки задачи трех частиц, ее дифференциальная формулировка в виде дифференциальных уравнений Фаддеева с найденными Меркурьевым граничными условиями при больших расстояниях между частицами имеет по крайней мере три существенные преимущества: модификация дифференциальных уравнений Фаддеева на все случаи систем трех частиц, содержащих заряженные частицы, известна; дифференциальные уравнения Фаддеева удобныдля анализа строения их искомых решений; для таких уравнений не сложно вывести оптимальные для численного анализа дискретные аналоги.
Теория дифференциальных уравнений Фаддеева и методика их приложения для расчетов реальных физических систем, благодаря перечисленным выше преимуществам, была существенно развита в исследованиях, выполненных коллегами и учениками СП. Меркурьева или при их участии. Такими исследованиями являются: определение кулон-ядерной длины рассеяния протона на дейтроне [60, 61], анализ асимптотик фад-деевских компонент в полном и обрезанном бисферическом базисах [62], формулировка уравнений Фаддеева в модели граничных условий [63, 64], метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева [65], метод кластерной редукции [66]-[68], анализ особых спектральных свойств оператора Фаддеева [69, 70], комплексный скейлинг уравнений Фаддеева [71], алгоритмы [72]-[76] численного анализа уравнений Фаддеева, использующие конечноразностную аппроксимацию [14] и алгоритмы [77]-[84], основанные на разложениях искомых решений по базисным квинтетным сплайнам [16, 17].
Упомянутых выше достижений вполне достаточно, чтобы утверждать, что теория дифференциальных уравнений Фаддеева исключительно плодотворна и перспективна и поэтому ее дальнейшее развитие - актуальная задача современной теории рассеяния для систем нескольких частиц.
Применение дифференциальных уравнений Фаддеева для достоверного расчета столкновений в системе трех частиц в пределе низких энергий, расчета слабосвязанных состояний, для вычисления астрофизических ^-факторов, сечений трехчастичных ядерных, атомных и молекулярных реакций прежде всего требует детального анализа структуры этих уравнений, их особых решений, исследования различных функциональных разложений искомых решений, формулировки граничных условий в пределе малых расстояний между частицами не только для искомых решений, но и для их частных производных и, наконец, разработки экономичных способов вычисления, включающих такие условия. Поэтому следующий этап развития теории рассеяния для нескольких квантовых частиц - решение семи актуальных и взаимосвязанных проблем 1-7.
Проблема 1 - проблема низкоэнергетических разложений. Эта проблема - одна из наиболее значимых и сложных проблем теоретической физики низких энергий и включает в себя вывод и анализ низкоэнергетических разложений регулярных и нерегулярных волновых функций, фаз, амплитуд и сечений рассеяния всех возможных процессов упругого и неупругого столкновения в системах из двух-, трех- и более частиц и определение фундаментальных характеристик низкоэнергетического рассеяния: длины рассеяния, эффективного радиуса и параметра формы.
Анализ проблемы НЭР дан в обзорах [204, 209]. Ее оригинальное и довольно полное решение для систем двух нейтральных или одноименно заряженных частиц с эффективным (полным) центральным или нецентральным взаимодействием, содержащим коротко- и (или) дальне-действующие компоненты предложено в цикле статей [204]—[212] и представлено в главе 1. Изложенный в ней подход к анализу двухчастичного низкоэ- нергетического рассеяния назван для краткости методом НЭР и является решением актуальной теоретической задачи, а именно первого и неизбежного этапа создания метода НЭР для систем трех частиц. Возможная для этого схема и особенности ее реализации обсуждались автором в [209].
Проблема 2 - проблема оптимальной редукции. Анализ исходных уравнений Шре-дингера и Фаддеева для системы трех частиц в конфигурационном пространстве представляется невозможным из-за сравнительно большого числа независимых переменных, равного шести. Поэтому актуальными представляются новые решения проблемы оптимальной редукции таких уравнений к системам уравнений с меньшим числом аргументов: к системам трех-, двух- и одномерных уравнений в виде одновременно наиболее удобном и для анализа строения искомых решений и для их вычисления. Проблема оптимальной редукции включает в себя анализ кинематического преобразования в задаче трех частиц, выделение полного набора всех сохраняющихся для данного класса парных взаимодействий квантовых чисел трехчастичной системы, учет физических особенностей системы, анализ всех возникающих при редукции матричных элементов и вывод наиболее удобных для их вычисления представлений. Такими матричными элементами в двумерных уравнениях Фаддеева являются ядра интегральных операторов, а в одномерных - коэффициенты Рейнала-Реваи.
Анализ проблемы оптимальной редукции дан автором в обзоре [217], а ее оригинальное решение, предложенное в [213]-[217], представлено в главе 2.
Проблема 3 - проблема ложных слагаемых. Для систем нескольких квантовых частиц, содержащих тождественные, факт существования ложных (духовых, запрещенных принципом Паули) парных взаимодействий и компонент многочастичной Т-матрицы отмечался многими авторами [30, 39]. Анализ ложных слагаемых в задаче трех частиц в дифференциальных формулировках Шредингера и Фаддеева дан автором в работах [218]-[220].
В этих работах обсуждались два факта. Во-первых, если парные взаимодействия, восстановленные по двухчастичным экспериментальным данным имеют ложные слагаемые, то эти слагаемые могут проявиться лишь при использовании таких реалистических парных взаимодействий в задаче трех и более частиц. Во-вторых, в силу определения физических слагаемых парных взаимодействий трехчастичное уравнение Шредингера содержит только физические слагаемые, следовательно, именно они, а не сами парные взаимодействия определяют и динамику трехчастичной системы и тип разрешенной симметрии волновых функций и особенности строения их фаддеевских компонент. Уже поэтому и в особенности с квантовомеханической точки зрения представляются актуальными три задачи: обобщение и анализ понятия ложных слагаемых парных взаимодействий и фаддеевских компонент на случай трех разных частиц, доказательство критериев существования физических слагаемых, выделение их в явном виде.
Оригинальное решение этих задач впервые дано автором в [219, 220] и обсуждается в разделах 3.2, 3.3 и 3.5 главы 3.
Проблема 4 - проблема точных решений уравнений Фаддеева. Ее полное решение состоит из доказательства критериев существования классов точных решений, анализа строения и описания простых способов вычисления всех элементов этих классов. Такое решение несомненно актуально как с теоретической, так и с прикладной точек зрения, потому что область применения точных решений довольно широка: их можно использовать как модельные для квантовомеханического анализа спектров реальных физических систем, как базисные для расчета таких спектров и как эталонные для отработки и тестирования численных алгоритмов.
Известны три класса точных решений трехчастичных дифференциальных уравнений Фаддеева: класс точных решений в случае осцилляторных парных взаимодействий [88, 89], класс ложных решений, впервые наиболее полно исследованный автором в [217, 218, 227] и открытый им же в [221]-[223] класс точных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа. Итоги известных исследований ложных решений уравнений Фаддеева суммировались автором в обзорах [217, 227]. Предложенный им в [217, 218, 227] анализ ложных решений дан в разделе 3.4 главы 3. Раздел З.б исчерпывает результаты исследований [221]-[223] класса точных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа.
Проблема 5 - проблема коллапса. Ее особую сложность доказывает хотя бы следующий факт. Эффект Томаса [86]) (коллапс) известен с 1935 года, но его объяснение было найдено значительно позже, а именно через 26 лет в работе [90] Р.А. Минлоса и Л.Д. Фаддеева, доказавших, что этот эффект - следствие неограниченности снизу энергетического спектра уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна [91] для системы трех тождественных бозонов с нулевым полным угловым моментом в случае парных S-волновых взаимодействий нулевого радиуса действия.
Уже для такой системы, но в случае парных 5-волновых взаимодействий центробежного типа, впервые данный автором в [224, 227] и представленный в разделе 3.7 главы 3 анализ достаточного условия коллапса и строения физически приемлемого класса решений дифференциальных уравнений Шредингера и Фаддеева актуален по следующим причинам.
Такой анализ является существенным этапом расширения теории дифференциальных уравнений Фаддеева на случай взаимодействий центробежного типа и тем самым открывает возможность физически и математически корректного моделирования эффектов Томаса и Ефимова [87].
В настоящее время эффект Ефимова интенсивно обсуждается в связи с проблемами устойчивости конденсата Бозе-Энштейна [92, 93] и достоверного расчета [72]-[74], [82]-[84], [94]-[97] связанных состояний трех атомов гелия-4 (тримера 4Нез гелия 4Не).
Проблема 6 - проблема асимптотических разложений вблизи точек парного и тройного ударов. Включение таких разложений или извлеченной из них информации в численные схемы интегрирования трехчастичных уравнений Шредингера или Фаддеева -наиболее простой способ обеспечить достоверность и прецизионную точность расчета волновой функции и сечений слияния двух или всех трех частиц, например, сечения eft-реакции, катализируемой /z-мезоном и сечения реакции 34Не—»12С. Поэтому решение проблемы - несомненно актуальная задача. Его можно найти, следуя известному в теории дифференциальных уравнений подходу в два этапа: первый из них - вывод формальных асимптотических разложений (ФАР), второй -доказательство их хотя бы асимптотической сходимости и дифференцируемости. В случае чисто кулоновских парных потенциалов известны многочисленные реализации первого этапа (см. обзор [220]), основанные на классических схемах Т. Като [98] и В.А. Фока [99], предложенных ими для уравнения Шредингера в точках парного и тройного ударов соответственно. Реализации второго этапа в общем случае неизвестны.
Вывод и анализ ФАР для волновой функции и ее фаддеевских компонент - довольно сложная проблема: ее оптимальное и полное решение состоит из редукции уравнений Шредингера и Фаддеева к наиболее простым для исследования и расчета ключевым рекуррентным цепочкам уравнений минимально возможной размерности, доказательстве однозначной разрешимости таких цепочек и анализе их строения от функционального вида парных взаимодействий при малых значениях их аргументов.
Анализ проблемы ФАР дан автором в обзоре [220]. Ее оптимальное и полное решение предложено в работах [220, 225, 226] и представлено в главе 4. Созданные в этих работах методы называются оптимальными методами ФАР для анализа строения решений трех- и двумерных уравнений Шредингера и Фаддеева вблизи точек парного и тройного ударов.
Проблема 7 - проблема численного интегрирования уравнений Фаддеева. Ее полное решение, основанное на дискретных сеточных аналогах редуцированных уравнений Фаддеева и поставленных граничных условий, подразумевает разработку простых и экономичных алгоритмов численного анализа, доказательство методами вычислительной математики поточечной сходимости таких алгоритмов при измельчении используемой сетки, а при отсутствии такого доказательства - разработку методики тестирования алгоритмов, включающей в себя способы использования точных решений уравнений Фаддеева в качестве эталонных и способы численного определения порядков поточечной сходимости.
Полное решение обсуждаемой проблемы - несомненно актуальная прикладная задача, потому что, как пояснялось выше, дифференциальные уравнения Фаддеева удобны для численного исследования широкого круга трехчастичных явлений в ядерной, атомной и молекулярной физике.
Особо значимым и интересным решением этой задачи представляется создание оптимальных алгоритмов, основанных на дискретных аналогах. Оптимальным считается алгоритм, включающий в себя наиболее полно всю известную информацию о строении искомого решения, в частности - связи в точках парного и тройного ударов; позволяющий аппроксимировать и искомое решение, и все его необходимые частные производные, не только в узлах сетки, но и во всей области изменения аргументов; и наконец, оперирующий с системой линейных уравнений, матрица которой максимально разрежена имеет небольшую размерность и легко вычисляемые элементы.
Как отмечалось в [227], для всех известных дискретных аналогов уравнений Фад-деева до сих пор не установлены ни критерий, ни достаточные условия какой-либо сходимости вычисляемого на заданной сетке узлов решения к искомому. До тех пор пока теоремы сходимости не доказаны представляется актуальным и необходимым численное тестирование дискретных аналогов на поточечную сходимость и развитие методов определения порядков приближений искомого решения и его производных на всем множестве изменения аргументов и особенно в физически важных подмножествах.
Анализ современного состояния проблемы численного интегрирования уравнений Фаддеева дан автором в обзоре [227]. Ее оригинальное решение, включающее в себя и оптимальные сплайн-алгоритмы и методику их тестирования, предложено в [227, 228], представлено в главе 5 и для краткости названо методом сплайн-разложений для численного анализа двух-, трех- и одномерных уравнений Фаддеева.
Задача развития и объединения нескольких методов. Метод фазовых функций в квантовой механике [28, 29] - один из наиболее физически прозрачных и простых способов решения задачи двух частиц. Дифференциальные трехчастичные уравнения Фаддеева с физическими граничными условиями СП. Меркурьева [31] - безмодельная, если не считать задания парных взаимодействий, математически корректная и удобная для качественного и численного анализа постановка задачи трех квантовых частиц, среди которых могут быть и заряженные частицы. Метод гипергармоник [33]-[35] - довольно простой подход для квантовомеханического анализа свойств и расчета связанных состояний системы нескольких частиц в рамках уравнения Шредингера. Методы сплайн-функций [16, 17], использующие разложения по базисным сплайнам, - основа гибких, экономичных и простых алгоритмов численного интегрирования дифференциальных уравнений Шредингера и Фаддеева.
В силу указанных несомненных преимуществ перечисленных методов их дальнейшее развитие, объединение и построение на их основе новых методов функциональных разложений для совокупного качественного и численного анализа проблемы нескольких квантовых частиц представляется перспективным и плодотворным, и поэтому является актуальной задачей современной теоретической физики. Решению этой довольно сложной задачи посвящена настоящая диссертация. В ней исследуются проблемы 1-7.
Цель диссертации - создание, развитие и применение методов функциональных разложений для совокупного квантовомехаиического и математического (качественного и численного) анализа характеристик низкоэнергетического столкновения двух частиц, трехчастичных дифференциальных уравнений Шредингера и Фаддеева и их регулярных решений.
Цель диссертации включает в себя, в частности, решение семи задач, входящих в соответствующие проблемы 1-7. Такими задачами являются: создание простого метода построения низкоэнергетических разложений волновых функций, функций эффективного радиуса и сечений рассеяния двух частиц, анализ этим методом роли дальнодействующих компонент iVW-взаимодействия в низкоэнергетическом рр- и rm-рассеянии; анализ кинематического преобразования в задаче трех частиц, вывод удобных трех-, двух- и одномерных уравнений Фаддеева и представлений для содержащихся в таких уравнениях матричных элементов; исследование ложных и физических слагаемых парных взаимодействий и выявление физических следствий существования таких слагаемых; выделение и анализ двух классов точных решений уравнений Фаддеева: класса ложных решений и класса факторизованных решений в случае парных взаимодействий центробежного типа; анализ спектра и коллапса квантовой частицы в поле, пропорциональном квадрату секанса расстояния, и анализ коллапса трех тождественных бозонов в случае нулевого углового момента и б'-волновых взаимодействий центробежного типа; построение и анализ разложений трехчастичной волновой функции и ее фаддеев-ских компонент вблизи точек парного и тройного ударов; разработка экономичных сплайн-алгоритмов для численного решения трех-, двух-и одномерных уравнений Фаддеева и описание методики тестирования таких алгоритмов.
Основное содержание диссертации. В диссертации дано исчерпывающее описание предложенных методов функциональных разложений и полученных этими методами новых результатов в проблеме нескольких квантовых частиц. При описании особое внимание уделено экстраполяции в область низких энергий фаз и сечений рассеяния двух частиц в случае суперпозиции коротко- и дальнодействующих взаимодействий; ложным и физическим слагаемым парных взаимодействий в задаче трех частиц и ее точным решениям; расширению теории Фаддеева на случай взаимодействий запирающего или центробежного типа; коллапсу одной, двух и трех частиц; анализу строения регулярных фаддеевских компонент вблизи точек парного и тройного ударов; экономичным сплайн-алгоритмам для численного исследования трех-, двух и одномерных уравнений Фаддеева и использованию точных решений как эталонных.
Введение к каждой главе содержит основные определения и краткое описание исследуемых объектов. Каждый параграф начинается с постановки исследуемой проблемы, пояснениями ее значимости и актуальности и сравнительного схематического описания предложенных автором и других известных подходов к ее решению. Далее, в общем случае описывается авторский метод решения, затем анализируются наиболее интересные частные случаи, а для иллюстрации приводятся самые простые и яркие примеры. Наиболее значимые оригинальные утверждения до или сразу после их доказательства формулируются в виде теорем, а основные результаты всех представленных в главе исследований суммируются и обсуждаются в завершающем ее разделе.
При анализе каждой задачи для полноты воспроизводятся основные результаты исследований других авторов, если таковые имеются, особое внимание уделяется наиболее удобной для численного исследования формулировке, геометрической и физической интерпретации, обсуждению особых случаев, физических следствий и прикладной значимости. Анализ задачи при необходимости сопровождается довольно подробным описанием оригинальных и наиболее экономичных алгоритмов ее численного решения.
Содержание диссертации подробно описано в ее автореферате. Поэтому здесь вполне достаточно привести анонсы и главные результаты глав.
Формулировки задачи рассеяния двух частиц
Опишем основные обозначения и предположения. В трехмерном координатном пространстве V? фиксируем правую декартову систему координат S% с направляющими кова-риантными ортами ei, ег и ез = Єї xe2 и начальной точкой Оз, совпадающей с центром масс исследуемой системы {рі,рг} двух частиц р\ и р2 с массами mi и тг и ненулевыми или же нулевыми электрическими зарядами z\e и z2e, где е - заряд электрона. Пусть в этой системе координат г - вектор, направленный от частицы р\ к частице Р2, г = (9T,ipr) - его сферические углы, к = ке3 и Е = k2k2/(2fi) - импульс и энергия упругого рассеяния частиц, /л = т\ГПіІ(т,\ 4- т2) - их приведенная масса, к = (к, 9, ф) - относительный импульс после столкновения, 0 и (р - углы рассеяния, и, наконец 1 - оператор углового момента: 1 = —г г х Vr = \ Єї + 2 2 + h Є3. Остальные обозначения зависят от того заряжены обе частицы или же только одна из них. Случай двух заряженных частиц - наиболее общий. В этом случае боровский радиус R = Д2/(2/хе2 z\z2) системы {рьРг} конечен, поэтому наряду с размерными параметром к аргументом г используем безразмерные параметры q = k\R\, r\ = l/2kR — (sign R)/2q и безразмерные аргументы x = r/\R\ и p = kr = xq, и предполагаем, что полное взаимодействие между частицами - суперпозиция VeH = Vе + V кулоновского потенциала Vc(r) = ziz2e2/r и более быстро убывающего при г — оо центрального потенциала V, подчиненного только условию V(r) г\ Є Х(ІР ])- Если хотя бы одна из частиц незаря-жена, то кулоновское взаимодействие отсутствует (Vе = 0). В этом случае используем размерные параметр к и аргумент г, считаем, что взаимодействие между частицами - центральное и описывается потенциалом Vе = V, подчиненным тому же условию. Для краткости записи произведения 2p(R/h)2V(\R\x) и (2fi/h2)V(r) всюду заменены функциями V(x) и V(r), поэтому Vc(x) = signi?/x. Одномерная задача рассеяния Шредингера. Напомним стандартную формулировку задачи рассеяния двух заряженных частиц [18,19, 24]. Исходным уравнением для волновой функции ф(т) двух частиц является уравнение Шредингера в V? и в представлении Так как Vе = Vc+V - центральный потенциал, то полный гамильтониан h = ho+Ve коммутирует с операторами I2 и 3.
Поэтому полный набор є сохраняющихся квантовых чисел состоит из собственных чисел этих операторов: є = {, 3}, а регулярная и нерегулярная при г = 0 волновые функции фє+ и ф , обладающие таким набором, -произведения Заменой ф — фе± в (1.2.1) выводится уравнение Шредингера на полуоси 1Zf = {г : 0 г оо} для радиальных регулярной и нерегулярной волновых функции uf и uj: Так как К(г)г Є [0,71-/2)), то его решения uf всегда имеют асимптотики но описывают упругое рассеяние только, если где 5%(к) = argr(l + + irj) - кулоновская фаза рассеяния [25], а 6е(к) - фаза рассеяния, порожденная потенциалом V в кулоновском поле. Альтернативная стандартной постановке (1.2.2)-(1.2.5) задачи рассеяния двух заряженных частиц предложена в [210] и корректна с математической точки зрения, потому что в ней используется безразмерные представление (х и параметр q. В этом представлении вместо (1.2.2) полагается а затем заменами ф — фе± иг— х, к —» g в (1.2.1) выводятся одномерные и, в отличие от (1.2.3), безразмерные уравнения Шредингера: с соответствующими граничными условиями: Для полноты формулировки задачи рассеяния двух частиц с центральным взаимодействием рассмотрим частные, но важные случаи и напомним определения амплитуд, сечений и борновского приближения. Если Vе, V = 0, то 5%, 5е = 0 и задаче (1.2.3)-(1.2.3) удовлетворяют только функции Риккати-Бесселя [11]: u}(r;k) = je(p), а щ(г;к) = —щ(р). Если V = 0, но Vе ф 0, то 8е = 0, а решения uf задачи (1.2.6)-(1.2.8) - известные функции Кулона [11]: ь%{х; q) = Fi(p,v), uj{x;q) = Ge(p,ij). Как известно [24], полная амплитуда рассеяния центральным потенциалом не зависит от угла (р, но зависит от угла в и представляется бесконечным рядом по парциальным амплитудам рассеяния и полиномам Лежандра P (cos0). Например, кулоновские (V = 0, Vе ф 0) парциальные и полная амплитуда рассеяния ff и /с задаются явными выражениями [25]: Разбиениям 51 + 5g всех фаз рассеяния суперпозицией Vе + V отвечают представления парциальных и полных амплитуд ff + fe и /с + /. Вклады ft и / потенциала V в эти амплитуды и его вклады da, at, и а в дифференциальное, парциальные, и полное сечения рассеяния определяются формулами где, как и всюду далее, da - сокращенное обозначение отношения da/{d9sin в). В случае двух тождественных частиц [18, 24] амплитуда / и сечения da и а заменяются симметризованным (+) или аптисимметризованное (—) амплитудами / и сечениями da± и а±ш. Борцовские приближения всех других характеристик рассеяния всюду далее помечаются значком "тильда" и определяются как правые части формул (1.2.10) и (1.2.11), в которых положено 5і = ЬІ. Например, борновское приближение ft парциальной амплитуды ft в случае 5 1 имеет вид Предел \R\ —» со называется некулоновским. В нем Vе = 0 и 5$, //, /с = 0, a Ft(p, rj) = jt(p), Gc(p, rj) = —щ(р) и p = кг, во всех формулах (1.2.10)-(1.2.14), а определенные ими величины 5е(к), fe(k), f(9;k), da, at, а становятся характеристиками рассеяния только потенциалом V. Например, формулы (1.2.10) принимают вид Причины, из-за которых формулировки (1.2.3)-(1.2.5) и (1.2.6)-(1.2.8) Шредингера задачи рассеяния двух частиц неудобны в пределе низких энергий и для численного анализа для исследования аналитической зависимости решений uf и фазы 5t от импульса к или q, в частности для вывода их НЭР типа (1.1.1), хорошо известны и подробно обсуждались в [204, 209].
Главные из этих причин порождены тем, что аппроксимация (1.2.5) искомых функций uf старшими слагаемыми их асимптотик при р = qx — сю законна в области х Хтах, нижняя граница хтах = 0(q 1) которой увеличивается с уменьшением энергии, кроме того эти асимптотики содержат заранее неизвестную и убывающую в пределе q — 0 фазу 5е. Поэтому в этом пределе приходится интегрировать уравнение (1.2.6) на отрезке [0,хтаа;], длина которого хтах растет, а необходимая для определения фазы 8І относительная точность х± = №) вычисления решений uf на всем этом отрезке уменьшается. Ясно, что для вывода и вычисления НЭР задачу (1.2.3)-(1.2.5) или (1.2.6)-(1.2.8) следует переформулировать так, чтобы фаза 5 и оба ее решения uf выражались бы через ключевые функции, подчиненные наиболее простым краевым задачам. Эта идея наиболее удачно и физически прозрачно реализуется в методе фазовых функций [28, 29]. Все за исключением одной версии этого метода - нелинейные. Нелинейные версии метода фазовых функций. Во всех нелинейных версиях метода фазовых функций [28, 29] задача Шредингера (1.2.3)-(1.2.5) переформулируется по одной и той же схеме. Сначала для выбранной вспомогательной и как правило элементарной функции te(r;k), зависящей от фазовой функции 8е(г; к) как от аргумента, выводится нелинейное дифференциальное по аргументу г уравнение первого порядка, а фаза 5е(к) рассеяния определяется равенством 5((к) = 8i(r — оо;к). Затем амплитудная функция Nf(r;k) представляется одномерным интегралом, содержащим функцию U. Только потом и лишь регулярное решение uf вычисляется как произведение функций Nf(r;k) и сомножителя //(r;fc), выраженного через функцию U(r;k) и известные (см. [11]) функции Риккати-Бесселя ji и щ или же функции Кулона Ft и Ge- Как пример, представим для случая заряженных частиц (Vе Ф 0) одну из известных нелинейных версий метода фазовых функций [29] в переменных х и q. В этой версии решение uf задачи (1.2.6)-(1.2.8) - произведение Общие для всех нелинейных версий недостатки очевидны. Действительно, уравнение для ключевой функции ti - нелинейное, а решение uf выражается через интеграл Nf ОТ t(, что существенно затрудняет и вычисление с прецизионной относительной точностью фазы Si и функции uf и анализ их явной зависимости от малого параметра q. Эти трудности удается преодолеть, используя описываемую ниже формулировку задачи рассеяния.
Низкоэнергетические столкновения нуклонов
В настоящее время непосредственное экспериментальное исследование нуклон-нуклонных (NN) столкновений в области энергий ниже нескольких МэВ технически невозможно, поэтому теоретическое изучение роли электромагнитных добавок к ядерному iViV-взаимодействию в этой области остается интересным и актуальным. В системе двух нуклонов к таким добавкам относятся следующие дальне-действующие взаимодействия (1.1.4): тензорное взаимодействие магнитных моментов нуклонов [122] спин-орбитальное взаимодействие магнитного момента нейтрона п или протона р с ку-лоновским полем другого протона [122] и поляризационное взаимодействие протонов [127] Представления (1.6.1)-(1.6.3) верны при достаточно большом расстоянии г между нуклонами. В этих представлениях ае - электрическая поляризуемость протона, R - боров-ский радиус рр-системы, 1, s = Si +s2 и j = 1 + s - операторы углового момента, полного спина и полного момента {N, і\Г}-системьі, Si и s2 - операторы спинов нуклонов, b(s и bt - разные для систем {п,п}, {п,р} и {р,р} константы. Известно, что в случае нецентральных взаимодействий с тензорными слагаемыми вместо одного уравнения Шредингера получается система двух уравнений [29]. Обобщение и анализ линейной версии метода фазовых функций на случай системы из нескольких зацепляющихся уравнений шредингеровского типа дано автором в [209]. Такое обобщение возможно и для эффективно-двухчастичной задачи с взаимодействием, содержащим спин-орбитальные и тензорные слагаемые, но приводит при каждом j ф к четырем уравнениям для амплитудных функций. Если волновые функции не нужны, а требуется только анализ фаз и сечений такими нецентральными взаимодействиями, то с вычислительной точки зрения выгоднее развивать метод НЭР в рамках известной нелинейной версии метода фазовых функций [29], в которой при каждом j Ф" фазовые функции подчинены не четырем, а трем уравнениям. Именно такой альтернативный подход реализуется настоящем разделе на примере задачи JViV-рассеяния. Выбор такой задачи не случаен. Дело в том, что ядерное ІУіУ-взаимодействие хорошо изучено, добавки (1.6.1)-(1.6.3) к нему и предположение о точечности нуклонов теоретически обоснованы. Поэтому в отличие от любой другой задачи эффективно-двухчастичного столкновения кластеров в iVW-задаче модельные предположения о взаимодействиях минимальны, что позволяет надеяться на достоверность всех обсуждаемых далее теоретических предсказаний об особенностях iVJV-рассеяния.
В настоящем разделе метод НЭР расширяется на случай, когда эффективное взаимодействие содержит в качестве слагаемых спин-орбитальные и тензорные взаимодействия. Эффективность расширенного метода НЭР демонстрируется расчетами характеристик iViV-столкіювений и попутно доказывается насколько важен учет дально-действующих добавок для корректной экстраполяции таких характеристик в экспериментально неисследованную область предельно низких в ядерном масштабе энергий. С этой целью обсуждается анализ [211, 212] вкладов взаимодействий V 3 и Vті в фазы и сечения упругого триплетного рр-рассеяния, анализ [206, 207, 236] вклада взаимодействия Vmt в триплетное nn-рассеяние и, наконец, анализ [204, 205] вкладов поляризационного потенциала Vp в фазу синглетного рр-рассеянии и в "-фактора рр-реакции (рр — de+ue). Главным объектом многочисленных исследований (см.[123]) роли взаимодействия ymis в уПруГОМ рр-рассеянии оказалась анализирующая способность Аут. Общим для всех известных способов учета этого взаимодействия является использование борцовского приближения. Например, в [124] добавочная к кулон-ядерной амплитуде fc,s амплитуда /с т, порожденная взаимодействием Vті3, вычислялась в плосковолновом бор-новском приближении (fm « fg) и было показано, что такой способ учета взаимодействия V 3 при энергии Eiab 150 МэВ не существенно улучшает согласие теоретического описания анализирующей способности Аут с экспериментальными данными. В [125] для вычисления fc m использовалось искаженное кулоновским взаимодействием плосковолновое борновское приближение (fm « /вс) и было установлено, что модули амплитуд /в и /дС примерно равны, но фазы существенно отличаются, и поэтому функция AytPP(e) имеет пикообразное поведение в области небольших углов в. Как отмечалось в [123], при энергии Еіаь = 9.75 МэВ учет взаимодействия Vті3 улучшает согласие теоретически вычисленных значений функции АУгРР(в) с ее экспериментально измеренными в области небольших углов в 30, а при Еіаь = 5.5 МэВ -уже в более широкой области в 90. Следовательно, можно предположить, что при дальнейшем уменьшении энергии вклад взаимодействия Vті3 в наблюдаемую характеристику AytPP(9) будет возрастать и при больших углах. Так как Ау%рр выражается известным образом [123, 126] через фазы рр-рассеяния, то первый этап исследования этого вклада в пределе низких энергий состоит в анализе особенностей низкоэнергети- ческого поведения фаз рр-рассеяния, обусловленных взаимодействиями Vті3 и Vті и их суммой Vm. Не менее интересным представляется исследование особенностей поведения этих фаз и дифференциальных сечений, порожденных взаимным воздействием ядерного и магнитного взаимодействий Vs и Vm. Несмотря на то, что роль взаимодействия Vm в рр-рассеянии изучается уже давно, вопрос о теоретическом существовании упомянутых выше особенностей до работ [211, 212] автора оставался открытым. Обсудим эти работы.
Модель протон-протонного рассеяния. Пусть система {р,р} описывается нерелятивистским уравнением Шредингера [18]: где Ф - волновая функция протонов, к и Е - их относительный импульс и энергия, г - вектор направленный от одного протона к другому, а тр - масса протона. Считаем, что полное взаимодействие Уе - сумма Ve = Vе + Vа, причем взаимодействие Vа убывает с ростом г быстрее кулоновского потенциала где е - заряд электрона, a R - боровский радиус до-системы. Поляризационное взаимодействие Vp убывает при г — со быстрее, чем оба магнитных взаимодействия Vmt и V"" s, а экспериментальное значение [127] поляризуемости протона ае невелико: ахр = (1.07 ±0.11) 10-3Фм3. Поэтому поляризационное взаимодействие далее не учитывается, а теоретически возможными остаются три случая a = s,m, ms: в первом случае a = s и Vа = Vs - короткодействующее ядерное взаимодействие, во втором случае а = т и Vа = Vти - магнитное взаимодействие, наконец, в третьем и наиболее реалистическом случае а — ms и Vа = Vms — Vm + Vs - суперпозиция магнитного и ядерных взаимодействий. Следуя работе [122], полагаем, что Vm - суперпозиция Vm = Vmt+Vmi3, компоненты которой определены формулами где //p - магнитный момент протона в ядерных магнетонах /io = eh/(2mpc). Для вычислений в качестве ядерного взаимодействия Vs используем взаимодействие Рида с мягким кором [36] и известные константы [128] при которых согласно формулам (1.6.4)-(1.6.6) Физически ясно, что оба магнитных взаимодействия на расстояниях меньших по порядку величины, чем размер нуклона (и 1 Фм) должны описываться иными несингулярными при г —» 0 формулами. Так как такие формулы в настоящее время неизвестны, то при г 1.0 Фм можно положить Vmt = 0 и V1 = 0. Есть и еще одна причина не учитывать оба этих взаимодействия в области расстояний г г3, где г3 - радиус действия ядерного взаимодействия. Поясним ее и покажем, что выбор взаимодействия Рида с мягким кором не ограничивает общности нашего исследования. Как известно из квантовой механики [18] и из метода фазовых функций [29], при больших энергиях столкновения картина рассеяния двух частиц зависит в основном от строения их взаимодействия в области малых расстояний, а основные особенности рассеяния при низких энергиях определяются поведением взаимодействия в области больших расстояний, т.е. поведением хвоста взаимодействия.
Координаты трех частиц
В трехмерном координатном пространстве И3 фиксируем правую декартову систему координат 5з с направляющими ковариантными ортами еь е2 и е3 = ех х е2 и начальной точкой О, совпадающей с центром масс исследуемой системы {ръРг.Рз} трех частиц РьРг и рз с массами mi,m2 и тз. Пусть в этой системе координат а - -разность радиусов-векторов а, и а_,- частиц pi и р , а х и у - приведенные векторы Якоби [31]: где индексы i,j, А; образуют циклическую перестановку триады индексов {1,2,3}: индекс і переходит в к, j - в г, а к - в j. Поэтому {i,j, к} = {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2}. Векторы Xj и уі объединим в двухкомпонентные столбцы (ХІ,УІ)Т и шестимерные векторы ТІ = (xj,yj). Выберем из трех таких векторов два вектора г и г и обозначим По определению вектор г с трехмерными компонентами х и у принадлежит шестимерному координатному пространству 76 = Т ф-/ , которое является прямой суммой трехмерных пространств 7 и Лу векторов х и у. Декартову систему координат S6 в TZ6 выберем так, чтобы проекции г„ вектора г на направляющие орты пи этой системы были бы связаны с координатами х = х ер и у = у е , ц — 1,2,3, векторов х и у в системе 5з следующим образом: г„ — xv, если v = 1,2,3, и rv = у„_з при v = 4,5,6. При таком определении системы ,% гиперсферические углы 1 = (х, у, р) вектора г в И6 допускают наглядную геометрическую интерпретацию в трехмерных терминах: пара q = (9q, ipq) сферических углов вектора q определяет направление вектора q = х,у в 5 з, а величина гиперугла р = arctg(y/a;) Є [0,7г/2] фиксирует отношение трехмерных длин х п у векторов х и у. Поэтому в отличие от углов х и у угол (р не изменяется при произвольном трехмерном повороте векторов х и у или координатной системы S3. Взаимное расположение трех частиц в системе их центра масс характеризуется шестью числами. В качестве совокупности таких чисел, обозначаемой далее дираковским кет-символом г), будем одновременно использовать декартовы координаты хй, у трехмерных компонент х и у вектора г в системе S$, его декартовы координаты г„ в системе 5б и отвечающие им гиперсферические координаты (г, Q): гиперрадиус г = (х2 + у2)1 2 и набор углов Q. Ту же самую трехчастичную конфигурацию г), можно описать в координатах х ц, у ; r v или (г , О. ), О, = (x ,y ,ip ) вектора г , потому что между векторами гиг имеется взаимно однозначное соответствие.
Действительно, из определения (2.2.1) следует, что столбцы (х,у)г и (х ,у )т выбранных векторов Якоби, отвечающие векторам г и г , связаны линейным ортогональным и однопараметрическим преобразованием: Абсолютное значение его параметра 7 для исследуемой трехчастичной системы фиксируется только отношениями масс частиц, а знак определяется четностью перестановки триады {k,i,j} индексов, нумерующих частицы, к триаде {1,2,3}. В нашем случае х = х,-, у = у,-, ах = хЛ, у = ук и Здесь и далее gkt = —дік = 1, а {к, г} — {1,2}, {3,1}, {2,3}. Так как параметр 7 имеет смысл угла, определяемого только кинематическими характеристиками трехчастичной системы, то его принято называть кинематическим углом, а соотношение (2.2.3) - кинематическим преобразованием пар векторов Якоби и сопоставленных им шестимерных векторов. Опишем область допустимых и множество особых значений кинематических углов. Если 0 ті оо, то по определению (2.2.4) Точки 0, ±7г/4 и ±7г/2 - предельные: для системы {рі,Р2,Рз} из одной легкой и двух тяжелых частиц, сравнимых по массам, значения 7fct близки к 0 и ±7г/2, если же одна частица тяжелая, а остальные легкие и имеют равные массы, то 7fci близки к ±7г/4 и ±7г/2. Например, из (2.2.4) и (2.2.5) следует, что 712 — 0 и 7зъ723 — тг/2, если гпз/mi — 0 и гп\ = 0(т2), а если тзДпі — оо и гп\ = тг, то 712 — тт/2 и 7зъ 7гз — 7г/4. Кинематическое преобразование (2.2.3) имеет следующие свойства: при V7 сохраняется длина (г = г) вектора г, неколлинеарные векторы х и у и их линейные комбинации х и у всегда лежат в плоскости V, проходящей через три частицы, нормаль N = х х у к V сохраняется: N = х х у . Опишем кинематическое преобразование Q — Г2 . Используя (2.2.3), можно выразить проекции х р и у ц векторов х и у на орты е системы 5з и векторы х и у через г и f2, а затем найти зависимость О, = Q (Cl; 7) углов Q от углов Q, и параметра 7- Формулы ГУ = Г2 (Г2; 7) будут компактными, если ввести комбинацию и тригонометрических функций углов х и у, равную косинусу угла 9 = 9ху между векторами х и у: Например, угол ip1 и инвариантные по отношению к трехмерным поворотам системы координат 5з косинусы иаь углов 0аь между разными (а ф Ь) векторами a, b = х, у, х , у представятся как функции ip = ( / , и; 7) и иаь = uab(tp,u;j) аргументов tp, и и параметра 7- Более того в представлении (х,у длины х ,у векторов х , у окажутся функциями переменных и, х, у или х, у, 9 и параметра 7- а в представлении (г, Г2 длины х ,у будут функциями аргументов г,(р,и: Рассмотрим особый случай. Пусть плоскость V векторов х и у совпала с плоскостью Т\з ортов Єї и Єз, причем N Є2 = N, а х е3 = х. Тогда вектор у расположен между ортами eL и е3, а в Наборы О. и Г2 таких гиперсферических углов, описывающие кинематическое преобразование в плоскости Різ, пометим индексом р, т. е. положим Qp = (0,0,0,0, ) и Г2р = (9ХХ , (рх , 9ху , Следующий особый случай: все три частицы лежат на прямой 3) параллельной орту е3, причем х е3 = х и у ез = у. Теперь и = 1и при всех (р и 7 функции (2.2.10) достигают своих экстремальных значений, например, из (2.2.9) следуют простые алгебраические соотношения: Наборы 2 и ГУ углов (2.2.15) и (2.2.16), описывающие кинематическое преобразование на прямой 3 пометим индексом /: положим 2 = (0,0,0,0, ф) и Q[ = (9ХХ , рх , вху/, 0, ф).
Согласно (2.2.3) и (2.2.15) такое преобразование можно геометрически интерпретировать как последовательность отражения q — —q и поворота на угол —у вектора q = (1,) с координатами qi = г cosy? и д2 = г sin і/? в некоторой декартовой системе координат ,%, введенной во вспомогательном двумерном пространстве V}q. Предположим, что и ф ±1. Введем в V? две (t = х,у) правые, декартовы и "подвижные" системы координат S$ с ортами е е е . Пусть начальные точки 0х, Оу и О систем Sx, S% ш 5"з совпадают и Тогда орты ех и е направлены вдоль нормали N к плоскости V и эта плоскость совпадает с плоскостями V{3 ортов е и el, t = х,у. Система Sx ориентирована так же, как и система SR в [178, 179], а система 53 получается поворотом системы Sx вокруг орта ех = е на угол в между векторами х и у. Так как в 5з ориентация этих векторов задана углами х = (вх, /рх) и у = (9У, іру), а в 5 - углами Xі и у1: В 5з, = хі Уі кинематическое преобразование О. — О! происходит в плоскости 7 = V ортов е\ и Є3. Гиперуглы векторов г = (х,у) и г = (х ,у ) в системе SI обозначим символами Of и Q t. Углы Clt — {%1,Уг,Ф) определены равенствами (2.2.17), а углы Cl[ = ((х У, (у1)1, ip ) - равенствами (2.2.9) и (2.2.18). Компоненты любого вектора q Є 72-3 в 5 и . связаны [32]: Опишем кинематическое преобразование (2.2.3) на языке операторов. Введем операторы РХ,РУ и Тху отражения и перестановки компонент х и у вектора г и операторы Рг и Rrvil) отражения и поворота этого вектора в гиперплоскостях ортов п и п +з на угол 7 вокруг векторов-нормалей и вспомогательные соотношения Как видно из (2.2.23), при 7 = 0,7г/2 кинематическое преобразование сводится к отражению и перестановке трехмерных компонент вектора г. В силу (2.2.24) в общем случае кинематическое преобразование - отражение вектора г и последующий поворот получившегося вектора —г в гиперплоскости V 6 TZ6. Отражение и поворот - коммутативные операции. Поворот описывается оператором Рц.(—7) и реализуется как произвольная последовательность трех коммутирующих поворотов вокруг нормалей Ni, N2 и N3 на один и тот же угол —7. Преобразование функций, зависящих от нескольких или всех шестимерных компонент вектора г, при кинематическом преобразовании их аргументов назовем кинематическим. Далее рассматривается только кинематическое преобразование скалярных функций, заданных, вообще говоря, в 1Z6. Множество всех таких функций обозначим символом А. При необходимости дополнительными ограничениями на гладкость функций будем выделять из этого множества подмножества и указывать на каком подмножестве справедливо обсуждаемое соотношение.
Уравнения Шредингера и Фаддеева
Обсудим традиционные и предложенные выше автором способы вычисления коэффициентов Рейнала-Реваи [143] и способы контроля точности вычислений. Явные выражения таких коэффициентов при L, = 0,1,2,3 выведены впервые Богословским и Клепиковым в [145], а в общем случае - получены позже Рейналом и Реваи в [143] в виде шестикратных сумм (2.7.27), содержащих 3j- и 9]-символы и тригонометрические функции кинематического угла у. Столь сложное представление оказалось крайне неудобным с вычислительной точки зрения. Поэтому впоследствии для коэффициентов Рейнала-Реваи были выведены разнообразные рекуррентные соотношения [33], [142, 146, 147, 148]. Однако рекуррентные соотношения слишком сложны для исследования аналитических свойств коэффициентов Рейнала-Реваи как функций кинематического угла 7- Знание таких свойств необходимо не только для ускорения вычислений различных матричных элементов в базисе гипергармоник [33] и построения функций с наперед заданной симметрией [146]—[149], но и для суммирования в явном виде различных рядов, содержащих коэффициенты Рейнала-Реваи. Вместо многократной суммы (2.7.27) и рекуррентных соотношений для анализа коэффициентов Рейнала-Реваи как функций кинематического угла и их вычисления гораздо удобнее использовать систему дифференциальных уравнений (2.7.19) с граничным условием (2.7.6), эквивалентную ей матричную задачу (2.7.28), (2.7.29), представление в виде одномерных интегралов (2.7.31), (2.7.32) или же совокупность конечных систем линейных уравнений (2.7.37)-(2.7.41). Размерность матрицы Y системы (2.7.35) возрастает при L — оо, как 0(L4). Поэтому при больших L вместо представления (2.7.36) разумнее использовать представление (2.7.42), размерности матриц 0 и W которого растут гораздо медленнее. Действительно, для вычисления по формулам (2.7.37)-(2.7.41), (2.7.42) всех коэффициентов Рейнала-Реваи {ajb K a b )и с данными индексами L, І. и а , Ь необходимо один раз обратить матрицу 0 размерности N L, построить N обратных матриц W-1 размерности М L и, наконец, вычислить суммы (2.7.42) для всех j = 1,...,N и t = 1,...,М. Существенно сократить объем математических операций необходимых для вычисления коэффициентов Рейнала-Реваи любым из перечисленных выше способов позволяют соотношения симметрии (2.7.16) и формула сложения (2.7.18). Используя ее, можно вычислить коэффициенты Рейнала-Реваи при кинематическом угле 7 = 7i + 7г по известным значениям этих коэффициентов для 7 = 7i и 7 = 72- В предельных случаях (2.2.6) и (2.2.7) коэффициенты Рейнала-Реваи удобно аппроксимировать конечными суммами соответствующих рядов (2.7.44).
Контроль точности вычисления коэффициентов Рейнала-Реваи любым из упомянутых способов можно осуществить, подставив результаты вычислений в левые части равенств (2.7.9), (2.7.10), (2.7.17), (2.7.21), (2.7.24), (2.7.25) и (2.7.45), и сравнив затем полученные значения со значениями соответствующих правых частей этих равенств. Пусть правые декартовые и "подвижные" системы координат S% и 5 получены поворотами системы .% на углы Эйлера шх = ( рх ,9х ,1х ) и соответственно углы шу = или же как последовательности двух поворотов S3 — S% — Sf и 5з — S3 — S% вторые из которых - повороты систем 5 3 и 5з, соответственно на углы вхх и 9УУ вокруг коллинеарпых ортов е и е%. Поэтому для функций Ю ,(и 1), t = х , у , описывающих результирующий поворот, имеет место разложение типа (2.4.24) по D-функциям, описывающим первый и второй повороты. Используя определение (2.3.2) оператора if (7)) а затем применяя такое разложение, получаем кинематический образ D -ряда (2.4.41): Основная цель этого раздела - описать, используя понятие и свойства кинематического преобразования, прямую и последовательную редукцию исходных шестимерных уравнений Шредингера и Фаддеева к системам двух- одно- и трехмерным уравнений соответственно в В квантовой механике [18] свободным уравнением Шредингера для системы {рі,Р2,Рз} трех частиц называется уравнение где число Е - полная энергия системы, а Ф - отвечающая ее собственная функция свободного гамильтониана HQ. В представлении (г = (х,у Я0(х,у) = -Ах-Ау= (2.9.2) а в представлении (г = (г, Г2 где Л9 = Vg- Vq - оператор Лапласа, а І2,12 и L2 - операторы (2.3.12) и (2.3.13). Поэтому операторы #о и L2 имеют общий набор коммутирующих с ними операторов: а в следствие свойств (2.4.19) функций У(Х и Щ и свойства (2.4.43) оператора L2 при всех L,, т,а,Ьп для любой функции Q — Q(x, у), Q(r, (р), Q(r) верны равенства Доказательство в случае t = х, когда Sx - подвижная система, детально описано в обзоре [85] и основано на соотношениях (2.4.20), (2.9.2), (2.9.4 ) и представлении \х = 1—1У.
В случае t = у, когда Sy - подвижная система, доказательство дается аналогичным способом, но используется представление 1у = 1 — 1х. В обоих случаях (t = х,у) операторы Нотт содержат операторы В координатах х, у и и = cos в операторы Н т,, т = т, т ± 1, действуют на любую функцию (xysmd) lQ по правилам а координатах r, /? и w - по правилам Ограниченное всюду в 1Z6 решение Ф уравнения (2.9.1) называют регулярным, а тождественно равное нулю - тривиальным. Вследствие (2.9.7) любая гипергармоника Y[b является собственной функцией оператора Но- Поэтому фундаментальное решение ф = ф уравнения (2.9.1) Zu, v = L + 2, уравнения Бесселя Следовательно, при Е 0 не существует никакого регулярного решения Ф, отличного от тривиального, а при Е 0 фундаментальное регулярное решение дается формулой (2.9.12), в которой ZL+2 регулярная функция Бесселя JL+2- Любое регулярное решение уравнения (2.9.1) представимо линейной комбинацией функций (2.9.12) и некоторых коэффициентов В%ъ. Например, решение Ф = Щ с квантовыми числами є = {L, , т, г} - сумма обозначений х = х , у = Уг и х = Xfc, у = ук, и, и придется использовать полные обозначения с индексами. Для t = x,rj положим ш\ = (у 4, # , 7І) — и1 и и\к = cos6jk, поэтому ufk — ихх , а и\к = иуу . Для любых операторов Qt и функций Ф координатные представления (rj и (г , к ф г, и угловые базисы аргументов ft и Qk обычно называются собственным и несобственным. В квантовой теории рассеяния [31] считается, что для каждой (г = 1,2,3) пары {pj,Pk} частиц pj и рк оператор взаимодействия Vi изначально задан, причем в его собственном декартовом представлении (г$. Оператор Vi, не действующий на координату yi? но зависящий от координаты Xj, называется парным. Из-за такой общепринятой постановки задачи трех частиц с парными взаимодействиями в любом координатном представлении (г полное взаимодействие V = V\ + Vz + V3 всегда содержит оператор V , зависящий от трех координат вектора х и два кинематических образа K(-jkiWk, зависящие в общем случае от всех шести координат вектора Если 6 = 0,1,...,d = со, то If - сумма всех проекторов П-" на состояния частиц Pj и Рк с угловыми моментами b - единичный оператор: if = І, а Ц, - центральное взаимодействие (Vi(xj) = УІ(ХІ)), действующее как оператор умножения на потенциал Vi(xi). В любом другом случае взаимодействие V (XJ) - нецентральное и называется взаимодействием, включенным в конечном числе волн. Например, при b — d = 0 такое взаимодействие б -волновое, в случае b = d = 1 - Р-волновое. При любом d взаимодействия Vi и их сумма V обладают следующими свойствами. Так как Vi(xj) = Vi(-Xi), то [Р, Vj]_ = 0, значит, [РК]_ = 0. В собственных угловых базисах (2.4.6) и (2.4.7) матрицы операторов V диагональны по индексам , т и а, Ь, и имеют ненулевые элементы
