Введение к работе
Аісгуальность. Диссертационная работа посвящена приложениям
теории колец. Как известно, математические модели физических процессов
охватывают определенные классы математических объемов и отношения
между этими объектами. К наиболее общеупотребительным моделям тако
го рода относятся группы, кольца, поля, векторные пространства и ли
нейные алгебры. Группа - это множество G с одной бинарной операцией
(умножение) а b = с, a, b, ceG, подчиняющейся определенным услови
ям. Группы отображают свойства симметрии физігческих объектов. Кольцо
представляет собой множество элементов R, где определены уже две би
нарные операции сложение и умножение. Причем по сложности это множе
ство группа, а умножение связано со сложением законами
дистрибутивности: a (b+c) = ab+ac, (Ь+с) а = ba+са, где а,Ь,с є R. Кольца
отображают структурные свойства множества R. В отличие от групповых
моделей, модели, связанные с кольцами не получили сколько-нибудь 'значи
тельного распространения, хотя в физике широко используются алгебра
матриц, алгебра гиперкомплексных чисел, алгебра Грассмана, Клиффорда и
др. Как известно, из определения групп, выделяющего широкий класс ма
тематических объектов, следует целый ряд фундаментальных следствий.
Свойства же объектов, связанных с кольцами, пока еще мало изучены.
В настоящей работе развивается новый подход, позволяющий получать и систематизировать результаты, вытекающие из общего определения колец. В качестве исходного пункта используется функциональная запись бинарных операций с учетом свойств коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и сформулироваїпіьіе в работе свойства симметрии. На этой основе ищутся решения нелинейных функциональных уравнений типа F (хь х2,..., Хп) = 0, где Xj - кольцевые элементы. В результате использования
отмеченных свойств уравнения линеаризуются - сводятся к системе линейных. Характерный пример - уравнение Дирака, полученное на основе линеаризации уравнения Клейна-Гордона.
Подробно рассмотреть методика линеаризации, системы уравнений, сохраняющих определенные инвариантные формы, их матричная запись, обсуждается связь развиваемого подхода с теоретико-групповым. Значительное внимание уделено приложениям. При линеаризации дифференциальных форм автоматически возникают уравнения Паули, Дирака, Максвелла, поля тяготения. Метод линеаризации также используется при решении нелинейных уравнений, применяемых в теории солитонов, и для решения диофантовых уравнений. В целом, развиваемый кольцевой подход носит достаточно общий характер и открывает новые нетривиальные области исследования. Все это говорит об актуальности данного направления.
Цель работы. Разработка методики линеаризации, использующей общие свойства теории колец, и реализация ее приложений в различных областях физики математики.
Научная новизна. Методика линеаризации на основе теории колец является новой. Ранее общие свойства колец в физике последовательно не использовались.
Метод применяется к большой совокупности нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Построены соответствующие им системы линейных уравнений, которые представлены в матричном виде, в частности через матрицы Клиффорда. Предложено их обобщение.
Для дифференциальных форм использования метода линеаризации дает известные уравнения Паули, Дирака, Максвелла, гравитационного поля, а также не использовавшиеся ранее в физике уравнения, содержащие прямоугольные матрицы.
Установлена взаимосвязь с групповым подходом и дана методика построения инвариантных уравнений.
Показана возможность использования предложенного метода линеаризации для исследования и классификации нелинейных уравнений, возникающих в теории солитонов.
Представлено решение целой совокупности диофантовых уравнений.
Практическая значимость. Создан метод линеаризации нелинейных уравнений на основе теории колец, который носит общий характер и может быть использован в целом ряде областей физики и математики. Показано его эффективность для алгебраических и дифференциальных форм. Исследован ряд уравнений, широко используемых в физике. Предложены новые инвариантные уравнения.
Достоверность результатов диссертации определяется использованием современного математического аппарата, взаимозависимостью ряда получаемых соотношений, сопоставление с известными результатами других авторов.
На защиту выносятся. Научные предложения, сформулированные в виде выводов по работе в разделе "Заключение".
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6] и докладывались на 8-ой международной конференции по методам симметрии в физике (Дубна, 1997 год) [7], а также на семинарах ФИАН и МГУ.
Личный вклад автора. Метод линеаризации создан автором, в большинстве работ им сформулирована постановка задачи.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем 116 страниц. Список литературы содержит 49 наименований.
