Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Объединение электромагнитного и слабого взаимодействий, которое привело к созданию стандартной электрослабой теории и развитие теории Великого Объединения всех негравитационных взаимодействий явились значительным успехом в понимании и описании фундаментальных сил в природе. При этом были продемонстрированы ведущая роль и возможности калибровочного подхода, лежащего в основе всех объединенных теорий. Однако, попытки построить последовательную квантовую гравитацию путем квантования стандартной классической гравитационной теории - эйнштейновской общей теории относительности и объединив ее с остальными фундаментальными негравитационными силами на квантовом уровне, сталкиваются со значительными трудностями.
Как хорошо известно, эйнштейновская общая теория относительности содержит размерную константу связи и, значит, ведет к пертурбативно неперепормируемой квантовой теории. Попытки развить непертурбатив-ные подходы пока не привели к заметным результатам. В этой ситуации, единственный путь продвижения в понимании квантовых аспектов гравитации связан с построением моделей, направленных на исследование отдельных свойств гравитации на квантовом уровне и не претендующих на роль общей теории. Можно однако надеяться, что построение моделей квантовой гравитации и их изучение будет способствовать продвижению к последовательной квантовой теории гравитации.
Одной из основных моделей квантовой гравитации, привлекающих значительное внимание и остающихся актуальными в течение ряда лет, является так называемая теория гравитации с высшими производными. Лагранжиан этой модели содержит, по - мимо эйнштейновского вклада, геометрические инварианты, квадратичные по кривизне. Установлено, что гакая модель является перенормируемой и асимптотически свободной, котя и обладает известным дефектом, связанным с тахионами и духами э спектре. В рамках данной модели оказывается возможным проведение зоследовательного анализа многих квантово - полевых аспектов, связанных со структурой перенормировок, асимптотическим поведением эффек-гивных констант связи, индуцированием эйнштейновской гравитации в іизкознергитическом пределе.
Дальнейшим развитием теории гравитации с высшими производными івнлась идея четырехмерной дилатонной теории гравитации. Эта идея шла инспирирована успехами теории струн, в которой предсказывалось :уществование специфического скалярного поля, ответственного за гра-штационное взаимодействие вместе с метрикой пространства - времени. Развитие модели дилатонной гравитации во - многом еще не завершено,
однако в ряде своих вариантов она описывается лагранжианами с высшими производными. Среди моделей гравитации с высшими производными, как с дилатоном так и без него, определенное внимание привлекают модели, обладающие, по - мимо общекоординатной инвариантностью, еще и вейлевской инвариантностью. Простейшей моделью подобного вида является вейлевская теория гравитации, лагранжиан которой представляет собой квадрат тензора Вейля. При построении квантовой теории в моделях, обладающих вейлевской инвариантностью на классическом уровне, возникает известная проблема конформных аномалий, ведущая к тому, что подобные модели внутренне противоречивы на квантовом уровне. Как нам представляется, проблема конформных аномалий в гравитационных теориях недостаточно исследована.
Как известно, центральным объектом квантовой теории поля является эффективное действие. Значительная часть работ, посвященных моделям квантовой гравитации непосредственно связана именно с изучением структуры эффективного действия. Поскольку любая модель квантовой гравитации является калибровочной теорией, то соответствующее эффективное действие зависит от выбора калибровочных условий или, в конкретных примерах, от параметров, с помощью которых формулируются калибровочные условия. Очевидно, что проблема нахождения явной зависимости эффективного действия от калибровочных параметров имеет принципиальное значение, по-существу определяющее структуру эффективного действия в целом. Решение этой проблемы, особенно в теории гравитации с высшими производными и в гравитации, обладающей вейлевской инвариантностью, требует развитие адекватной вычислительной техники.
Предлагаемая диссертация посвящена исследованию актуальных проблем современной квантовой теории гравитации, связанных с построением техники вычисления однопетлевых контрчленов в моделях теории гравитации с высшими производными в калибровках зависящих от параметров, исследованием общих аспектов конформной аномалии, построением новых моделей дилатонной гравитации и изучением их структуры на квантовом уровне.
Цель работы
Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:
- Развитие техники вычисления однопетлевого эффективного действия в моделях теории гравитации с высшими производными, где калибровочные условия зависят от параметров и соответствующий дифференциальный оператор, функциональный детерминант которого определяет одно-петлевое эффективное действие, имеет так называемый неминемальный
вид.
Нахождение однопетлевых контрчленов в модели квантовой гравитации с высшими производными, связанной со скалярным полем в калибровках, зависящих от параметров. Вычисление 7 - функции скалярного поля, /3 - функции константы скалярной связи и однопетлевого эффективного потенциала скалярного поля с учетом зависимости от калибровочных параметров.
Исследование влияния формы калибровочного условия на возможность нарушения конформной симметрии в вейлевской теории гравитации. Изучение зависимости однопетлевого эффективного действия в модели индуцированной четырехмерной конформной квантовой гравитации от выбора калибровочных параметров.
Построение наиболее общей модели дилатонной гравитации с четвертыми производными. Вычисление однопетлевых контрчленов в этой модели, нахождение уравнений ренормализационной группы и исследование их решений. Изучение возможностей построения конечных в однопет-левом приближении, конформных и неконформных моделей дилатонной гравитации.
Научная новизна и практическая ценность работы
В рассмотренной теории квантовой гравитации с высшими производными со скалярным полем исследована проблема вычислений у и /3 - функций скалярного поля в однопетлевом приближении с учетом зависимости от калибровочных параметров. Получены соотношения необходимые для приведения неминимального оператора к минимальному. Найдены выражения для однопетлевых расходимостей эффективного действия, содержащие зависимость от калибровочных параметров. С учетом этой зависимости найден явный вид и проведен анализ у и (3 - функций для скалярного поля. Получена явная зависимость однопетлевого эффективного потенциала скалярного поля от калибровки.
В формализме функционального интеграла рассмотрена вейлевская теория гравитации, действие которой представляется квадратом тензора Вейля. Проведен общий анализ возможных причин возникновения конформной аномалии, одна из которых нарушение конформной инвариантности в однопетлевом эффективном действии, связанное с возникновением конформно нековариантного оператора при вычислении однопетлевых расходимостей. В рамках метода универсальных следов получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух произвольных параметров в калибровочном условии и весовом операторе. Этот результат позволяет найти изменение однопетлевого эффективного действия при изменении калибровочных параметров. Отсюда следует, что если известно эффективное действие при одних фиксированных зна-
чениях этих параметров, то можно найти эффективное действие при других значениях в явном виде. Из полученного соотношения вытекает, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия. Исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимос-тей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Показано, что изменение калибровочного условия соответствует изменению однопетлевого эффективного действия на некоторый конформно инвариантный функционал. Показано, что невозможно исключение неконформных однопетлевых расходимостей выбором определенной калибровки.
Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа безразмерного скалярного поля в четырехмерном пространстве времени с кривизной. Показано, что данная теория является перенормируемой. В предложенной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены с использованием метода фонового поля и обобщенной техники Швингера - Де Витта. Проведен анализ структуры перенормировки констант связи. Показано, что эффективные константы связи можно разделить на три группы, отражающие структуру перенормировки. Получены ренормгрупповые уравнения для констант связи. Рассмотрена наиболее общая перенормируемая конформно инвариантная версия дилатонной теории, в которой найдены однопетлевые расходимости. В результате решения уравнений для эффективных констант связи получены три конформные и три неконформные версии общей модели дилатонной гравитации, конечные в однопетлевом приближении.
Публикации
Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 6 работах.
Структура и объем работы
