Содержание к диссертации
Введение
1 Основные положения теории Эйнштейна–Картана 21
1.1 Геометрические и физические основы теории Эйнштейна–Картана 21
1.2 Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК 24
2 Однородные изотропные космологические модели с немини мально связанным скалярным полем 27
2.1 Введение 27
2.2 Пространственно-плоские модели в ТЭК 28
2.2.1 Случай s = +1 29
2.2.2 Случай s = -1 34
2.3 Неминимально связанное скалярное поле в ОТО 39
2.3.1 Случай s = +1 41
2.3.2 Случай s = -1 43
2.4 Открытые модели в ТЭК 45
2.4.1 Случай s = +1 45
2.4.2 Случай s = -1 48
2.5 Выводы 52
3 Фридмановские модели с полиномиальными потенциалами четвертого порядка 54
3.1 Введение 54
3.2 Модели в ТЭК и ОТО для 5 = 0, аа = +1 56
3.2.1 Модели в ТЭК 56
3.2.2 Модели в ОТО 64
3.3 Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0, as = — 1 71
3.3.1 Модели в ТЭК 71
3.3.2 Модели в ОТО 81
3.4 Модели в ТЭК для 6 = 1 94
3.5 Выводы 95
4 Однородные изотропные космологические модели с идеальной жидкостью и неминимально связанным скалярным полем 98
4.1 Введение 98
4.2 Пространственно-плоские модели в ТЭК и ОТО для as = +1 99
4.2.1 Модели в ТЭК 99
4.2.2 Модели в ОТО 103
4.3 Пространственно-плоские модели в ТЭК и ОТО для as = —1 107
4.3.1 Модели в ТЭК 107
4.3.2 Модели в ОТО 115
4.4 Закрытые модели в ТЭК 124
4.5 Выводы 126
5 Пространственно–плоские многокомпонентные космологические модели в ТЭК 128
5.1 Введение 128
5.2 Роль жесткой жидкости в космологии Эйнштейна-Картана с каноническим скалярным полем 128
5.2.1 Модели с У() = 0 130
5.2.2 Модели с У() = 0 135
5.3 Влияние жесткой жидкости на эволюцию космологических моделей с духовым скалярным полем в ТЭК 138
5.3.1 Точные решения для смеси скалярно–торсионного поля и жесткой жидкости 140
5.3.2 Точные решения для многокомпонентных смесей . 141
5.4 Выводы 148
6 Анизотропные космологические модели 151
6.1 Введение 151
6.2 Точно интегрируемые модели со скалярно–торсионным полем 155
6.2.1 Модели в ТЭК 155
6.2.2 Модели в ОТО 161
6.3 Многокомпонентные Бианки I модели в ТЭК 164
6.3.1 Точное космологическое решение для
скалярно–торсионного поля и жесткой жидкости . 165
6.3.2 Точные решения для многокомпонентных моделей . 169
6.4 Выводы 172
7 Модели с вращением в релятивистских теориях гравитации 175
7.1 Введение 175
7.2 Модели с вращением в ОТО и ПКТТ 176
7.3 Модели с вращением в ТЭК 178
7.3.1 Основные уравнения 179
7.3.2 Точное решение и поведение моделей 183
7.4 Выводы 188
8 Кручение, порождаемое идеальной жидкостью 189
8.1 Основные уравнения 189
8.1.1 Лагранжиан 189
8.1.2 Уравнения движения идеальной жидкости 190
8.1.3 Уравнения гравитационого поля 191
8.2 Двухжидкостные статические сферические конфигурации в ТЭК191
8.2.1 Основные уравнения 192
8.2.2 Метод генерации решений в ТЭК 194
8.2.3 Другие точные решения 200
8.3 Выводы 201
9 Двухторсионные модели 203
9.1 Введение 203
9.2 Стационарные конфигурации 205
9.2.1 Стационарные распределения в пространстве Минковского 205
9.2.2 Точные внутренние решения для статических сфер 208
9.3 Космологические модели 212
9.3.1 Двухторсионные модели с каноническим скалярным полем 215
9.3.2 Модели с учетом жесткой жидкости 217
9.4 Выводы 223
Основные результатыивыводы 225
Приложениек3.2.1 229
Литература
- Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК
- Открытые модели в ТЭК
- Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0, as =
- Влияние жесткой жидкости на эволюцию космологических моделей с духовым скалярным полем в ТЭК
Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК
Одновременный учет потенциала У(Ф) = C2(as кФ2)2 и кручения для пространственно-плоских фридмановских моделей приводит к увеличению числа моделей с отскоком, существованию моделей со степенной асимптотикой (t4 3) для масштабного фактора на поздних этапах эволюции, фантомному поведению нефантомного скалярного поля для as = +1, У(Ф) О, 0; существованию объединенных моделей темной материи и темной энергии для = — с деситтеровской асимптотикой на поздних стадиях космологической эволюции (для as = — 1 дополнительно существует асимптотика
Для пространственно-плоских однородных и изотропных космологических моделей с НССП и ультрарелятивистским газом учет кручения приводит к существованию моделей с отскоком без горизонта частиц и ускоренному расширению на поздних временах. Влияние ультрарелятивистского газа проявляется в увеличении числа моделей с отскоком и существованию ультрарелятивистской асимптотики.
Жесткая жидкость в смеси “Каноническое скалярно-торсионное поле” + “У(Ф)” приводит к существованию сингулярных моделей со степенным законом расширения a\t o tl :i в раннюю эпоху и деситтеровским в позднюю, а также к существованию несингулярных расширяющихся моделей с деситтеровской асимптотикой на поздних временах и существованию выделенного значения постоянной неминимальной связи : = 3/8. Асимметричные несингулярные модели с асимптотиками жидкости может быть подавлено для смеси “Жесткая жидкость” + “духовое скалярно-торсионное поле” + “У(Ф)” + “ультрарелятивистский газ”. В этом случае возможны несингулярные модели с асимптотиками at- -oo t и at +oo Ш. Новые типы сингулярных космологических моделей возникают для смеси “Духовое скалярно-торсионное поле” + “У(Ф)” + “ультрарелятивистский газ”, которые характеризуются линейным законом эволюции масштабного фактора в начале эволюции.
Для анизотропных космологических моделей типа I по Бьянки с НССП система уравнений в ОТО совместна лишь для конформно-инвариантного скалярного поля = 1/6 и допускает сингулярные модели без изотропиза-ции на поздних временах. Учёт кручения приводит к существованию несингулярных моделей с асимптотической изотропизацией и увеличению числа вариантов космологической эволюции для -1/6. Присутствие жёсткой жидкости в смеси с каноническим НССП для моделей типа I по Бьянки в ТЭК приводит, в частности, к изотропизации деситтеровского типа и ограничению 3/8. Дополнительный источник гравитационного поля в виде отрицательного потенциала У(Ф) = -С2(1 - к,Ф2)2 приводит к сингулярным расширяющимся моделям с деситтеровской изотропизацией и ограничению 3/2. Введение положительного потенциала У(Ф) = С2(1 - к,Ф2)2 в смесь НССП и жёсткой жидкости приводит к сингулярным расширяющимся моделям с законом изотропизации ait) b(t) c(t) 4 3. Когда ультрарелятивистский газ учитывается в смеси с НССП и жёсткой жидкостью, это обуславливает закон изотропизации a(t) b(t) c(t) і2 3 и ограничение 1/6.
ТЭК допускает несингулярные вращающиеся и расширяющиеся космологические модели с анизотропной жидкостью и каноническим НССП при учете его потенциала. Эволюция моделей содержит последовательность стадий: ультрарелятивистская, нерелятивистская и ускоренное расширение. На поздних этапах модели быстро эволюционируют к изотропному состоянию с критической плотностью вещества и плоскому типу пространства.
В ТЭК источником кручения может являться не только идеальная жидкость со спином (жидкость Вейссенхоффа-Раабе), но и бесспиновая жидкость. В рамках ТЭК возможны двухжидкостные сферически симметричные конфигурации с линейной массовой функцией. Одна из жидкостей является анизотропной, а другая жидкость генерирует кручение. Решения в ОТО для анизотропных релятивистских сфер с линейной массовой функцией могут генерировать решения в ТЭК для двухжидкостных моделей. Идеальная жидкость, генерирующая кручение, может выступать в качестве источника внешнего решения Шварцшильда.
Для пространственно-плоских фридмановских двухторсионных моделей с каноническим в отличие от фиксированного значения = —3/2 для одноторсионных моделей с НССП. Закрытые фридмановские модели с духовым НССП и жёсткой жидкостью допускают осциллирующие модели. В двухторсионных моделях, в отличие от одноторсионных с НССП, возрастает период колебаний. Для пространственно-плоских фридмановских моделей с духовым НССП и жёсткой жидкостью присутствие двух источников кручения приводит к существованию фантомных моделей с будущим большим разрывом и существованию сингулярных расширяющихся моделей со сверхжёстким уравнением состояния на ранних стадиях эволюции.
Открытые модели в ТЭК
В рамках ТЭК с неминимально связанным скалярным полем исследуем фридмановские модели при учете потенциала скалярного поля. Интерес к потенциалу скалярного поля V() в релятивистских теориях гравитации обусловлен следующими обстоятельствами: его ролью в изотропизации анизотропных космологических моделей [148, 153], в космологии с зависящей от времени космологической постоянной [207], и в квантовой космологии [128]; модели с V() естественно возникают в альтернативных теориях гравитации [177, 38] и супергравитации [188]; скалярный потенциал управляет инфляцией [183] и активно используется в теориях темной материи и темной энергии [206, 208, 229, 178]. Из ОТО хорошо известно, что период ускоренного расширения требует V() 0. В этой главе мы будем рассматривать космологические модели с V() 0 и V() 0. Заметим, что причины изучать космологию с отрицательными потенциалами подробно обсуждались в работе [101]. — 55 —
Таким образом, решение (3.2.59) описывает счетное число несингулярных космологических моделей с деситтеровской асимптотикой двух типов. В качестве примера, для случая к = 0.9, приведем асимптотики для моделей, соответствующих значениям s = 0, 1, 2 :
Модели с этими асимптотиками расширяются от начальной сингулярности при t = —to, достигают максимального расширения и затем реколлапси-руют при t = to. Для простоты, выберем момент времени t = 0, как момент, когда масштабный фактор максимилен.В этом случае мы имеем:
Анализ показал, что, в зависимости от числа точек разрыва и их типа (us = 0 или us ф 0), решение (3.3.95) описывает, строго говоря, шесть типов моделей с плавным переходом от сжатия к расширению, которые отличаются поведением a(t) и Ф(і)
Интересно отметить, что, если dj - постоянная порядка Но, тогда для этой модели с п = — 1 возможна стадия темной материи, так как закон a{t) t2/3 справедлив для t С dv . Таким образом, для этого случая модель с п = —1, при условии, что dj Но, может рассматриваться, как объединенная модель темной материи и темной энергии. Для = —3/2 различие между объединенными моделями темной материи и темной энергии (3.3.130) и (3.3.132) заключается в законе изменения масштабного фактора на поздних стадиях эволюции: деситтеровской эволюции а первом случае и степенной (t4 3) эволюции во втором случае.
Сравнивая в рамках ТЭК модели с духовым (as = — 1) и материальным (as = +1) скалярными полями мы приходим к следующему заключению: 1. Существует симметрия космологических решений для «s = +1 и «s = — 1, но полной симметрии нет. 2. Для as = — 1 число типов сингулярных моделей меньше, чем для as = +1. 3. Для аа = — 1 существуют сингулярная и симметричняя несингулярная модели со степенной (t4/3) асимптотикой на поздних стадиях эволюции, которые отсутствуют для as = +1. 4. Если для as = +1 существует только один тип объединенной модели темной материи и темной энергии, то для as = —1 - два типа.
Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0, as =
Для двухжидкостных моделей, которые содержат изотропную и анизотропную компоненты, предложен способ генерации решений в ТЭК из известных решений в ОТО. В этом случае эффективная плотность энергии и давления связаны конкретными уравнениями состояния. Показано, что метрика пространства - времени может быть такой же, как в ОТО, но с другими ограничениями на параметры решения. Показано, что некоторые решения могут быть сшиты с внешней метрикой Шварцшильда .
Приведены другие метрики, для которых эффективная плотность энергии и давления не связаны конкретными уравнениями состояния.
Интересно отметить, что для пяти метрик из семи возможны решения с постоянным кручением, для которых Pr(eff) = Pr и P(eff) = P.
Для всех вышеприведенных решений, кроме (8.2.70), выражения для , Pr, P являются монотонно убывающими функциями радиальной координаты в областях их существования.
Построим вариант ТЭК с двумя источниками кручения: идеальной жидкостью и неминимально связанным скалярным полем. Оба источника являются простейшими источниками гравитационного поля. Достаточно отметить, что идеальная жидкость наиболее часто используется в космологии для моделирования распределения материи. Интерес к скалярному полю в общерелятивистских теориях гравитации вызван рядом обстоятельств: его ролью в скалярно-тензорных теориях; его присутствием в теориях Калуцы-Клейна, в связи с механизмом Хиггса и инфляционной космологией. Характерной особенностью этих источников кручения является то, что они представляют бесспиновую среду.
Следует отметить, что в литературе рассматривались двухторсионные модели. В работе [69] исследовались космологические модели в рамках ТЭК, где источниками кручения выступали спиновая жидкость Вейссенхоффа и внешний аксиальный ток JM = (ф/у5/у ,ф). Было показано, в частности, что вклад аксиального тока, в отличие от вклада спиновой жидкости, приводит к замедленному расширению космологических моделей. В работе [136] рассматривалась теория гравитации с кручением, в которой тензор кручения допускал разложение
Рассмотрим стационарные распределения идеальной жидкости и скалярного поля. Ввиду того, что в стационарном пространстве-времени с временипо-добным вектором Киллинга г вектор 4-скорости иг определяется как иг = г(,)-1 , тогда (Quk);k = 0 и из (9.1.8) следует, что Pfi = -EJI. Таким образом, в стационарном пространстве-времени теория верна только для идеальной жидкости с вакуумным уравнением состояния.
Следует отметить, что из уравнения (9.1.3) следует, что в стационарном пространстве невозможна взаимная компенсация торсионных полей, индуцируемых неминимально связанным скалярным полем и идеальной жидкостью.
Среди возможных решений уравнения (9.2.10) выберем физически значимые. Для О = А = уравнение (9.2.10) сводится к нелинейному уравнению типа синус-Гордон, которое содержит солитоноподобные решения. Как подчеркивалось в [171] уравнение типа синус-Гордон может описать состояние начального вакуума Вселенной. В работе [4] было обнаружено, что уравнения духового неминимально связанного скалярного поля с источником в пространстве Мин-ковского в ТЭК сводится к, так называемому, двойному уравнению синус-Гордона, которое обладает решениями типа кинков.
Из (9.2.12) следует, что максимальное значение кВ скалярного поля Ф соответствует точке х = XQ. Ввиду того, что на расстоянии х - XQ = ж/а1 2 амплитуда поля уменьшается приблизительно в десять раз, расстояние L = 2тг/а1 2 может рассматриваться [8] как мера локализации скалярного поля. Решение (9.2.12) допускает переход к G = 0:
Из (9.2.14) следует, что для получения солитоноподобных решений этого типа для ( = -gB полиноме У(Ф) достаточно учесть первый и второй члены, в то время как, для Ф — \ необходимо принимать во внимание член Ф6 при условии, что v 0 ( —g) и z/ 0 (—g 0).
Для этого решения мера локализации скалярного поля есть
Ввиду того,что Фщах = В а/Ь, предыдущее заключение о влиянии G на поведение решений остается в силе. Решение с массивным скалярным полем Приведем точное решение для [3 = as = +1. Заметим, что для v = 0 солитоноподобных решений типа (9.2.12) не существует. Для т2 = 6о", v = —360(1 + 6 )дк2 2 решение имеет вид:
Влияние жесткой жидкости на эволюцию космологических моделей с духовым скалярным полем в ТЭК
Таким образом, если положительные значения А уменьшают меру локализации скалярного поля, то отрицательные значения А - увеличивают. Заметим, что зависимость амплитуды скалярного поля от А противоположная.
Точные внутренние решения для статических сфер
До сих пор наибольшее количество точных внутренних решений для статических сфер в ТЭК были получены для моделей с незаряженной идеальной жидкостью [246, 240, 242, 192] и с заряженной жидкостью [198, 239, 166, 257] при классическом описании спина тензор плотности спина, S - тензор внутреннего углового момента, ик - 4-скорость {ukUk = 1). Были получены решения как сингулярные, так и несингулярные в центре. Дополнительно для моделей с заряженной жидкостью было продемонстрировано, что возможны решения, для которых давление не является непрерывным на границе жидкой сферы.
Статические сферически-симметричные решения для среды Коссера в пространства-времени Римана-Картана [39] были получены в работе [40]. Показано, что в рамках ТЭК источником внешнего решения Шварцшиль-да может служить заполненное сплошной коссеровской средой закрученное пространство с внутренней метрикой Шварцшильда, постоянной плотностью энергии жидкости, постоянным её давлением и ненулевой плотностью спинового момента.
Точные внутренние решения для заряженных равновесных сферических конфигураций, где кручение было индуцировано векторным полем в ТЭК, были найдены в [20]. Обнаружено, в частности, что при наличии кручения не существует равновесной конфигурации заряженной идеальной жидкости для случая р/є = const и р = 0, где р, є и р - плотность заряда, плотность энергии жидкости и давление, соответственно.
В работе [27] были получены точные общие решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна - Картана для статических сфер, когда кручение порождено безмассовым неминимально связаннымо духовым скалярным полем с параметром неминимальной связи = —1/6. Показано, что в такой модели отсутствуют гравитационные радиусы.
В рамках ТЭК рассмотрим статические сферически-симметричные распределения идеальной жидкости и неминимально связанного скалярного поля с нелинейным потенциалом.
Таким образом, в одноторсионном случае получено решение, которое сингулярно в центре и допускает сшивку с внешней метрикой Шварцшильда. Следовательно, идеальная жидкость, генерирующая кручение, может выступать в качестве источника внешнего решения Шварцшильда.
Хотя в двухторсионном случае решение для массивного скалярного поля ф = +1) мало чем отличается от второго решения в одноторсионном случае, оно имеет свои характерные особенности. Во-первых, когда второй источник кручения, индуцированный неминимально связанным духовым скалярным полем, принимается во внимание, то существенно ограничивается область применимости решения ( 1). Во-вторых, если в двухторсионном случае параметр О2 изменяется согласно закона г-6, то в одноторсионном случае -по закону г 2.
В этом разделе рассмотрим одно- и двухжидкостные космологические модели, в которых источниками кручения являются идеальная жидкость и неминимально связанное скалярное поле.
Как было показано выше, в космологических моделях со скалярно-торси-онным полем возможно устранение сингулярностей и ускоренное расширение на поздних этапах эволюции. Мотивация рассматривать двухторсион-ные космологические модели вызвана возможностью построения моделей без сингулярностей и с ускоренным расширением, которое может быть обусловлено как скалярно-торсионным полем, так и идеальной жидкостью.
Двухторсионные фридмановские космологические модели рассматривались в работах [107, 106, 5, 113]. Ниже остановимся на наиболее интересных, с физической точки зрения, моделях. откуда следует ограничение на : 3/2. Заметим, что для аналогичных моделей со скалярно-торсионным полем ( 0,УФ,У(Ф) 0) объединенная модель темной материи и темной энергии возможна лишь для = 3/2 [119]. Таким образом, для двухторсионных моделей объединенные модели темной материи и темной энергии допустимы для произвольных значений 3/2.
Нетрудно показать, что асимптотику ранних этапов эволюции определяет совместный вклад скалярно-торсионного поля и идеальной жидкости, а при оо доминирует вклад идеальной жидкости. скалярное поле асимптотически стремится к постоянной величине.
