Содержание к диссертации
Введение
1. Связь между уравнениями цепей в однородном координатном базисе и уравнениями щпей в гибридном координатном базисе 15
1.1. Многополюсный компонент цепи 15
1.1.1. Математическое описание многополюсников 15
1.1.2. Многополюсники, обладающие идеализированными свойствами 18
1.2. Уравнения электрической цепи в гибридной системе координат 23
1.2.1. Формирование уравнений гибридной схемы 24
1.2.2. Расширение гибридного метода анализа цепей 29
1.2.3. Моделирование подсхем в гибридном координатном базисе 36
1.3. Основы обобщенного принципа дуальности 39
1.4. Обоснование связи между уравнениями цепей в однородном и гибридном координатных базисах 44
1.5. Заключение 57
2. Разработка топологического и матричного методов анализа цепей с идеальными преобразователями в гибридном коорди натном базисе 59
2.1. Отыскание членов разложения определителя гибридной матрицы с помощью полных остовов 59
2.2. Топологический способ определения знака полного остова 63
2.3. Особенности построения графов %& и 4sr яри наличии в схеме нуллаторов и нораторов 70
2.4. Метод записи расчетных уравнении цепей с идеальными преобразователями в гибридном координатном базисе 71
2.5. Заключение 84
3. Топологическая формула для отыскания выражения определителя матрицу цепи без нахождения сокращающихся членов 86
3.1. Анализ структурных свойств графов токов и напряжений однородных JL -схем, содержащих гираторы с одинаковой проводимостью гирации 86
3.2. Вычисление определителя гибридной матрицы цепи без нахождения взаимно уничтожающихся членов 97
3.3. Машинный алгоритм для определения схемных функций радиоэлектронных цепей в символьном виде 109
3.4. Заключение 115
Заключение 116
Список литературы
- Многополюсники, обладающие идеализированными свойствами
- Расширение гибридного метода анализа цепей
- Топологический способ определения знака полного остова
- Вычисление определителя гибридной матрицы цепи без нахождения взаимно уничтожающихся членов
Введение к работе
Развитие общества, научный и технический прогресс на современном этапе неразрывно связаны с широким использованием электронной техники, вычислительных машин и требуют непрерывного совершенствования средств передачи информации, в том числе совершенствования методов проектирования таких линейных радиотехнических устройств, как фильтры, корректоры, фазовращатели, линии задержки и др. С внедрением в практику проектирования электронных вычислительных машин непрерывно улучшается перспектива получения оптимальных вариантов схем радиотехнических устройств. Анализ на ЭЦВМ математических моделей радиотехнических устройств предотвращает огромные затраты времени и средств необходимых на экспериментальное исследование большого количества макетов схем с различными комбинациями элементов.
Процесс проектирования в общем случае включает в себя процесс синтеза системы с заданными свойствами из элементов с известными свойствами. Однако в процессе инженерного проектирования радиоэлектронных цепей этот синтез довольно часто реализуется при помощи методов анализа. Подобные косвенные методы синтеза предусматривают ориентировочный выбор схемы проектируемой цепи, сравнение ее функций, определяемых методами анализа, с заданными и внесение таких изменений в схему, которые обеспечивают совпадение ее функций с заданными, выраженными в символьном (буквенном) виде. Поэтому необходимо иметь ориентированные на применение ЭЦВМ методы получения уравнений функций цепей в символьном виде.
Символьная форма представления полиноминальных коэффициентов позволяет также исследовать свойства схемы в общем виде ; так, при анализе чувствительности характеристик схемы к изменению параметров и анализе допустимых отклонений можно, исходя из полученной схемной функции, вычислять частные производные в буквенном виде. При этом выявляются наиболее критические параметры в полученных выражениях, устанавливается связь каждого элемента схемы с заданным качественным показателем и т.д.
При анализе полученных схемных функций с буквенными полиномиальными коэффициентами можно ряд элементов схемы заменить числовыми величинами, сохранив на основном этапе вычислений в символьном виде лишь те элементы, номиналы которых наиболее различаются. Подставляя их численные значения на заключительном этапе расчета, можно уменьшить результирующую ошибку вычислений и т.д.
Развитию методов анализа электрических цепей посвящено много работ Г1-7, 9-24, 28-32, 43-125, 127-135, 137-148, I50-I55J. Для получения схемных функций линейных электрических цепей в буквенном виде с помощью ЭЦВМ используются топологические, теоретико-множественные и матричные методы анализа. Перейдем к краткому сравнительному анализу этих методов.
Одними из первых в теории цепей были предложены топологические методы анализа ТІ, 3, 7, 10, 14, 16-19, 22, 23, 45, 47, 52, 57, 63, 66, 70, 71, 76-79, 101, 106, 107, ІІ2-ІІ7, 119, 120, 122, 127, 128, 134, 135, 137, 138, 140, 141, 143, 144, 147, 148, 150, 151, 1543. К топологическим методам анализа электрических цепей относятся методы, позволяющие получать искомый результат на основании рассмотрения свойств некоторых топологических структур. В зависимости от характера этих структур все топологические методы делятся на две подгруппы.
К первой подгруппе относятся методы, исходной топологической структурой которых являются графы токов и напряжений цепи (в частном случае эти графы могут совпадать).
Ко второй подгруппе относятся методы, исходной топологической структурой которых является граф, отображающий систему уравнений,
-6 описывающих схему.
Уже на первых этапах развития теории электрических цепей Кирхгофом и Максвеллом были предложены топологические методы, исходной топологической структурой которых является полюсный граф цепи. Эти методы позволяют задачу общего анализа цепи решать с меньшими затратами труда, чем традиционные методы, основанные на составлении системы уравнений цепи и последующем ее решении с использованием аппарата линейной алгебры. Указанные методы приспособлены для анализа линейных цепей, состоящих исключительно из двухполюсных элементов, и обеспечивают получение результата без предварительного составления уравнений и, что самое главное, без дубликаций, то есть без нахождения каких-либо лишних, в дальнейшем взаимно уничтожающихся членов (известно, что количество взаимно сокращающихся слагаемых в общем случае может значительно превышать число слагаемых, остающихся в выражениях после сокращения подобных ; так, при анализе в однородном базисе узловых напряжений пассивной схемы, имеющей вид полного пятиугольника, у которого каждая пара узлов связана двухполюсным элементом, получается определитель матрицы узловых проводимостей, который содержит 393 слагаемых, среди них 268 взаимно сокращаемых и только 125 сохраняется в окончательном результате).
Эффективность топологических методов побудила к поиску возможностей их приспособления к анализу появившихся в ходе развития электротехники цепей, содержащих многополюсные и необратимые элементы, схемы замещения которых содержат зависимые источники (идеальные преобразователи). Такие методы предложены в работах Коутса, Маеда и Мэзона [бб, 79, 119, 135].
Метод, предложенный Мэзоном, основывается на введении в цепь двухполюсных элементов: унистора и тиристора, что позволяет проводить анализ цепей, содержащих активные невзаимные элементы, имею -7 щие Y -матрицу. Однако такое обобщение приводит к появлению сокращающихся членов.
Метод Коутаа и Маеда заключается в видоизменении цепи и ее графа способом, допускающим диагонализацию компонентного уравнения цепи. Данный метод позволяет избежать появления сокращающихся членов для некоторого класса цепей.
В дальнейшем в литературе появилось много работ, посвященных развитию топологических методов с целью применения их к анализу цепей с активными и многополюсными элементами и устранению сокращающихся членов. Почти все эти методы в той или иной степени имеют ограничения на элементный состав цепи, то есть непосредственно приспособлены для анализа цепей с идеальными преобразователями и многополюсными элементами, уравнения которых представлены в У -форме для методов, основывающихся на ./ -описании элементов цепи, и ІГ-форме для методов, основывающихся на описании. Некоторые из описанных в литературе топологических методов позволяют анализировать цепи с 2х2-полюсными идеальными преобразователями, не имеющими однородного описания, однако при этом даже для учета одного такого идеального преобразователя требуются довольно сложные операции. Трудности значительно возрастают при наличии в цепи нескольких таких элементов.
Отдельно следует остановиться на методах, описанных в работах Г 16, 17, 144] , где предложены топологические формулы, базирующиеся на гибридном описании элементов цепи. Эти формулы получены на основе разложения определителя матрицы уравнений цепи, состоящей из первой и второй матриц инциденций и компонентной матрицы, по теореме Лапласа. При этом ограничения на элементный состав цепи практически отсутствуют, исключение составляют лишь цепи с идеальными операционными усилителями, которые непосредственно не поддаются анализу указанными методами. Однако топологические фор -8 мулы, описанные в работах [16, 17, I9J не приводят непосредственно к конечному результату вычисления определителя или схемной функции цепи в виде суммы произведений параметров двухполюсных и многополюсных элементов цепи, а требуют дополнительного вычисления миноров более низкой размерности по сравнению с размерностью определителя исходной системы уравнений. В топологических формулах, описанных в [I44J указанные миноры более низкого порядка вычисляются по определению.
Таким образом, упомянутые выше топологические формулы с точки зрения отсутствия ограничений на элементный состав являются наиболее общими. Однако эти методы, кроме анализа топологических структур требуют дополнительного вычисления миноров более низкого порядка методами линейной алгебры, что является недостатком указанных методов.
Выше приведена краткая характеристика топологических методов первой подгруппы. Отличительной особенностью указанных методов является отсутствие необходимости формирования системы расчетных уравнений для решения задачи анализа.
Перейдем теперь к краткой характеристике топологических методов второй подгруппы.
Отличительной особенностью методов этой подгруппы является их большая универсальность, которая проявляется в возможности анализа с их помощью линейных систем любой физической природы. Исторически первыми методами анализа линейных систем с помощью графов, построенных на базе математической модели системы, являются метод сигнальных графов Мэзона 66, 134] и метод потоковых графов Коутса Г1201 . Отличия между этими методами заключаются в способах представления системы уравнений математической модели линейной системы, в правилах построения самого графа и в записи
формул передачи графа.
Методы сигнальных и потоковых графов обладают некоторыми ценными свойствами, такими, как возможность упрощения графа путем исключения отдельных его вершин, наглядность, использование в полной мере разреженности матрицы математической модели линейной системы и т.д. Данные топологические методы изоморфны матричному методу, базирующемся на прямом разложении определителя матрицы линейной системы, сущность которого заключается в комбинаторном переборе индексов элементов матрицы системы, и поэтому эти методы не могут предотвратить появления взаимно уничтожающихся выражений. На основе прямого разложения определителя матрицы построены также теоретико-множественные методы (методы структурных и обобщенных чисел ПО, II, 911) ; в данном случае алгебраическая операция по нахождению допустимых перестановок индексов заменена эквивалентной ей теоретико-множественной операцией, основанной на алгебре модуля 2. Основными преимуществами теоретико-множественных методов является высокая степень формализации процесса составления расчетных формул, что облегчает програмирование процесса. Для сокращения подобных членов в данном случае применяются операции над полем модуля 2, которые осуществляются в процессе построения обобщенного или структурного числа.
Топологические методы Мэзона и Коутса развиты в работе C3J, где предложена методика выбора координатного базиса для устранения избыточности (взаимно уничтожающихся членов). Однако систематизированный способ устранения избыточности разработан только для ограниченного класса цепей.
В работах [140, 141] даны топологические формулы, которые не приводят к появлению сокращающихся членов. Однако эти формулы справедливы только для систем гибридных уравнений, соответствую щих линейным активным или пассивным цепям, для всех элементов которых должна существовать матрица проводимости, приводящаяся к диагональному виду. Это делает данные формулы мало пригодными для анализа цепей, содержащих многополюсники и совсем не пригодными для анализа цепей с идеальными преобразователями, которые нельзя преобразовать к идеальным преобразователям, имеющим X -или Z -матрицу.
Следует особо отметить метод анализа линейных систем, предложенный BOTTOM и Мейбери для раскрытия определителя симметричной матрицы, и развитии в работах ГІ4, 18] для раскрытия определителя матрицы с нарушенной симметрией. Указанный подход обладает рядом положительных качеств, таких, как универсальность, возможность проводить анализ сложных систем по частям методом наращивания и т.д. Если в качестве математической модели системы взята матрица, составленная методом узловых напряжений, то указанный метод переходит в метод адмитансных графов С14, 191. Однако данный метод анализа линейных систем в общем случае является оптимальным в смысле отсутствия сокращающихся членов по отношению к матрице линейной системы, но не по отношению к самой системе. Так, например, для анализа цепей, содержащих многополюсники со смешанным описанием, необходимо вычислить определитель матрицы, записанной в смешанном базисе. Такая матрица в общем случае обязательно содержит единичные элементы, что приведет к появлению взаимно уничтожающихся членов.
Таким образом, в известной литературе отсутствует описание метода анализа радиоэлектронных цепей в символьном виде, который удовлетворяет следующим требованиям: не требует формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения цепи, позволяет анализировать линейные цепи, содержащие любые элементы, обеспечи -// вает получение результата анализа без нахождения каких-либо лишних, в дальнейшем взаимно уничтожающихся членов, появляющихся при раскрытии определителя матрицы неавтономных параметров. Поэтому разработка ориентированного на применение ЭЦВМ метода анализа цепей, обладающего перечисленными выше свойствами, является актуальной задачей.
Исходя из сказанного, целью данной работы является разработка ориентированного на применение ЭЦВМ топологического метода анализа цепей, который обладает нижеперечисленными свойствами:
- не требует предварительного формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения цепи ;
- позволяет анализировать линейные цепи, содержащие любые элементы ;
- обеспечивает получение результата анализа без нахождения взаимно уничтожающихся членов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- установить связь между уравнениями цепей, сформированными на основе методов анализа в однородном и гибридном координатных базисах;
- пользуясь установленной связью, разработать топологический метод анализа цепей, основанный на раскрытии определителя гибридной матрицы цепи без взаимно уничтожающихся членов ;
- на основе топологического метода анализа цепей получить машинный алгоритм, позволяющий вычислять схемные функции цепей в символьном виде.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений.
Во введении дан краткий обзор и сравнительный анализ методов,
-/2 используемых для получения схемных функций радиоэлектронных цепей
в символьном виде. С учетом этого сформулированы цель работы и задачи исследования.
В первой главе приведены основы теории многополюсника, основы анализа цепей контурно-узловым методом и основы обобщенного принципа дуальности. С учетом этого на основе обобщенного принципа дуальности установлена связь мвжду уравнениями цепей, сформированными по правилам метода сечений, и уравнениями цепей, сформированными по правилам контурно-узлового метода. Такая взаимосоответ-ствувдая связь позволяет по свойствам однородной матрицы неавтономных параметров У метода сечений судить о свойствах гибридной матрицы неавтономных параметров W контурно-узлового метода; по правилам анализа цепей с идеальными преобразователями в однородном координатном базисе получать правила анализа цепей с идеальными преобразователями в гибридном координатном базисе.
Кроме этого, дано расширение контурно-узлового метода применительно к анализу линейных подсхем, а также на случай наличия в цепи аномальных элементов и многополюсников, описываемых произвольной системой независимых переменных.
Во второй главе с помощью взаимосоответствующей связи на основе метода Маеда получен топологический метод для вычисления определителя гибридной матрицы цепи, сформированной по правилам контурно-узлового метода. Так же как и метод Маеда, полученный метод не требует формирования расчетных уравнений электрической цепи. Кроме того, с помощью взаимосоответствующей связи получен метод формирования уравнений цепей с идеальными преобразователями в гибридном координатном базисе, позволяющий сократить число независимых переменных этих уравнений. При этом ни на одном из этапов формирования уравнений не используется операция обращения
-/5-матрицы или другие эквивалентные ей операции.
Третья глава работы посвящена устранению такого недостатка полученного во второй главе топологического метода, как наличие взаимно уничтожающихся выражений в разложении определителя гибридной матрицы цепи. Для этой цели произведен анализ структурных свойств графов токов и напряжений однородной схемы, содержащей гираторы с одинаковой проводимостью тирании; сформулирован специальный алгоритм развязки гальванических связей между у - и Z - ветвями гибридной схемы, который исключает появление взаимно уничтожающихся выражений при вычислении определителя гибридной матрицы с помощью полученной топологической формулы. На основе этой формулы разработан простой и универсальный машинный алгоритм, позволяющий получать схемные функции любых линейных радиоэлектронных цепей в символьном виде.
В заключении излагаются основные результаты, полученные автором, с указанием их научной и практической значимости.
В приложения вынесены некоторые иллюстрационные примеры и программа, реализующая алгоритм анализа радиоэлектронных цепей в символьном виде.
Многополюсники, обладающие идеализированными свойствами
Из многополюсных инверторов, конверторов и МП-в выделены частные случаи МИЛ: многополюсный преобразователь напряжения в ток (МПНТ), многополюсный преобразователь тока в напряжение (МПТН), многополюсный преобразователь напряжения в напряжение (МІШН) и многополюсный преобразователь тока в ток (МПТТ). В таблице 1.2 приведены уравнения этих преобразователей.
В случае, если перечисленные выше однонаправленные преобразователи являются 2x2 - полюсными, то их обозначают соответственно ПНТ, ПТН, ПНН и ШТ. Эти преобразователи имеют схемы замещения в виде зависимых источников типа ИГУН, ИНУТ, ИНУН и ШУТ. /їмпит Если число входных полюсов однонаправленных ИП равно числу выходных полюсов, то МПНТ, МПТН, МПНН и МПТТ имеют матрицу А следующего вида:
Отметим, что любой МИЛ первого класса всегда может быть заменен схемой замещения из зависимых источников типа ШУИ, ИНУТ, ИНУН и ИГУТ, а любой многополюсник, описываемый системой независимых переменных, обладающей свойством А , всегда можно заменить схемой замещения из зависимых источников и двухполюсников.
Рассмотрим МИЛ, имеющий матрицу А вида:
Это типичный представитель ИП второго класса. Такой ИП называется многополюсным нуллором. Число входов многополюсного нуллора всегда равно числу его выходов. Этот ИП может быть представлен схемой замещения из (72-О нуллаторов, образующих произвольное дерево, вершины которого соответствуют /2 входным полюсам,и из (?2-)нораторов, образующих произвольное дерево, вершины которого соответствуют П выходным полюсам нуллора.
Из сравнения А -матрицы многополюсного нуллора с л-матрицами МПНТ, МПТН, МПНН и МПТТ можно сделать вывод, что все эти МЙП стремятся к многополюсному нуллору при стремлении их обратных блок-матриц J2f} Z , , / к нулевой матрице.
Уравнения электрической цепи в гибридной системе координат
Прежде чем перейти к изложению материала раздела, приведем некоторые определения и обозначения, которые будут использованы в дальнейшем.
У- ветвями называются ветви, в компонентных уравнениях которых второстепенными независимыми переменными являются токи; г - ветвями называются ветви, в компонентных уравнениях которых второстепенными независимыми переменными являются напряжения.
Схемы (цепи), содержащие у- и Z- ветви, называются гибридными, а схемы, состоящие только из - или Я"- ветвей,- однородными, і - или Z- схемами соответственно [IOQJ.
Взаимно определенные ветви схемы - это ветви, которые можно -09-представить как /-, так и Z - ветвями [87]; ветви, допускающие представление только как J/- либо только как 2"- ветвями, будем называть необратимыми. Є- полюсный граф цепи; rant ft- ранг графа ft ; tlUbfft - цикломатическое число графа ft ; гибридный ранг графа /Г [131] ; - граф, полученный из графа ft удалением ребер множества {AJ путем обрыва, и ребер множества {3J путем закорачивания; матрица независимых сечений графа; і - матрица независимых контуров графа; І У ft} - множество всех у- ветвей графа ft ; {Zftj- множество всех Z- ветвей графа ft ; {У} - множество необратимых - ветвей графа [Zj - множество необратимых в- ветвей графа ft .
Формирование уравнений гибридной схемы
Гибридная схема может быть описана гибридными уравнениями, моделирующими цепь в пространстве гибридных координат, в роли которых выступают часть контуров и сечений (узлов) полюсного графа схемы. Поэтому такие гибридные уравнения часто называют уравнениями контурно-узлового метода анализа цепей [95], который по сути является комбинацией методов контурных токов и сечений [20, 145].
Указанные гибридные уравнения можно получить следующим образом. Рассмотрим гибридную схему и произведем выбор системы независимых переменных гибридных уравнений схемы, роль которых выполняют часть независимых напряжений узловых пар и часть независимых контурных токов. Указанными независимыми переменными могут
Заслужить напряжения ветвей дерева 7? и токи хорд дерева 7% ; где 7J - любое дерево графа ftCZff)], а % - любое дерево графа Дерево / полюсного графа Р гибридной схемы получается в результате объединения деревьев и /J . Цри таком выборе дерева в графе F в общем случае содержится ряд глав- ных контуров, которым инцидентны ребра, соответствущие только у - ветвям, и ряд главных сечений, которым инцидентны ребра, соответствущие только Z - ветвям. В этом случае уравнения первого закона Кирхгофа СПЗК) и второго закона Кирхгофа СВЗЮ можно записать в виде:
Расширение гибридного метода анализа цепей
Для достижения /2/пг/і необходимо с помощью алгоритмов главного разделения графа цепи [131, 146] произвести оптимальное разбиение всех взаимно определенных ветвей графа на - и Н"-ветви.
Кроме оптимального разбиения, для каждой конкретной цепи существует много вариантов разбиения взаимно определенных ветвей на - и «іГ- ветви, число которых еще больше возрастает при введении параллельно с Ж - ветвями вспомогательных ветвей холостого хода, и последовательно с /- ветвями вспомогательных короткозамкнутых ветвей. Указанный прием используется, например, для получения уравнений в расширенной системе координат [87J .
Уравнения контурно-узлового метода относятся к уравнениям наиболее общего вида среди различных уравнений используемых для моделирования цепей. Так, уравнения МС и МКТ получаются как частный случай уравнений контурно-узлового метода при отсутствии в схеме 2 - и - ветвей соответственно.
Уравнения в расширенном однородном координатном базисе (РОКБ) [722 являются частным случаем уравнений (I.I5). Действительно, независимыми переменными расширенной системы узловых уравнений служат все напряжения ветвей дерева /полюсного графа схемы и токи всех Z. - ветвей схемы [72] Для того, чтобы урав нение (I.15) имело в качестве независимых переменных перечисленные выше величины, достаточно в анализируемой схеме параллельно каждой Z - ветви присоединить вспомогательную у - ветвь холостого хода. Для получения расширенной системы контурных уравнений достаточно последовательно с каждой t/ - ветвью присоединить вспомогательную короткозамкнутую z - ветвь.
Таким образом, можно сделать вывод, что уравнения РОКБ являются частным случаем уравнений контурно-узлового метода, а матрица неавтономных параметров уравнений РОКБ обладает общими свойствами матрицы неавтономных параметров уравнений контурно-узлового метода.
Развитию контурно-узлового метода анализа цепей посвящено много работ советских и зарубежных авторов [4-6, 20, 53, 55, 56, 65, 68, 72, 83, 87, 93, 95, 96, 100, 101, 145] . Однако вопросы, связанные с анализом схем при наличии в них нуллаторов и норато-ров, недостаточно освещены в литературе (хотя в работах [65, 93] рассмотрен анализ схем, содержащих операционные усилители, в гибридном базисе, этот подход не дает дополнительного снижения числа уравнений). Также отсутствуют алгоритмы записи гибридных уравнений при наличии в схеме многополюсных элементов, которые описываются произвольной системой параметров (в общем случае графы токов и напряжений многополюсного элемента могут не совпадать). Поэтому представляет интерес задача расширения гибридного контурно-узлового метода анализа цепей на случай наличия в схеме многополюсных элементов, описываемых произвольной системой независимых величин, а также на случай наличия нуллаторов и нораторов.
Поставленную задачу удобно решать, выделяя из цепи граф токов и граф напряжений. Такой подход для цепей с многополюсными элементами использован в [14, 19], а для произвольных цепей с многополюсными идеальными преобразователями в [32], где дано определение простой пары графов. Однако для наших целей необходимо обобщить понятие простой пары графов для учета многополюсных элементов, описываемых произвольной системой параметров, нуллаторов и нораторов, а также независимых источников.
Все множество ребер каждого из графов (графа напряжений и графа токов) разобьем на три подмножества: )/, {В] и {Cj . К подмножеству[Aj в каждом графе отнесем все ребра, связанные с переменными, входящими в компонентное уравнение цепи. К подмножеству {Bj отнесем ребра, связанные с переменными, не входящими в КУ цепи, значения которых заранее известны (токи источников тока, напряжения источников напряжения, токи и напряжения нуллаторов). К подмножеству iCJ отнесем все ребра, связанные с переменными, не входящими в КУ и принимающими произвольные значения (токи источников напряжения, напряжения источников тока, токи и напряжения нораторов). С учетом приведенного выше разбиения ребер, вектор-столбец напряжений графа напряжений / и вектор-столбец токов графа токов frj можно записать в виде: где векторы-столбцы напряжений (токов) подмножеств ребер {Aj ,fSj vifff соответственно.
Топологический способ определения знака полного остова
Для отыскания членов разложения определителя гибридной матрицы CCtet И/) будем пользоваться понятием полного остова, тождественно дуальным понятию полного дерева, введенному Маеда. Поэтому прежде чем дать определение полного остова, изложим основы топологического метода Маеда применительно к однородной Y- схеме вида рис.1.6.
Напомним, что множество ребер графов токов и напряжений образует полное дерево, если указанные ребра образуют дерево как в графе токов, так и в графе напряжений.
Если 2 JJ есть множество всех деревьев графа токов (6%) , fTp} - множество всех деревьев графа напряжений 60 , a {7j -множество полных деревьев этих графов, то:
Дуализировав подсхему ig , переходим к гибридной схеме вида рис. 1.5. При этом графу -j однородной схемы рис. 1.6 соответствует граф Gxz/ гибридной схемы рис. 1.5, а графу - схемы рис. 1.6 соответствует граф uyj схемы рис. 1.5. Графы &п/ и frpj- -разделимые и поэтому каждый из графов может быть разложен на два подграфа, каждый из которых соответствует подсхеме J/ и - . Таким образом, граф frjir состоит из графа токов подсхемы J/ (&хг) и графа напряжений подсхемы Zg С vzzrs . а граф наоборот - из графа напряжений подсхемы XfCfyp) и графа токов подсхемы - ( ZlJ Для того, чтобы построить графы 4h/ и "Ьт любой гибридной схемы, необходимо предварительно преобразовать ее к эквивалентной схеме вида рис.1.5, а затем, исходя из структуры этой схемы, получить указанные графы.
В качестве примера построим графы и . для схемы, изображенной на рис.2.1, полагая, что транзистор 5/ задан А - параметрами. На рис.2.2 изображена эквивалентная схема, а на рис.2.3 соответствующие ей графы иу? и (здесь и далее графы %г и vzr показаны сплошными линиями, а графы fryy и - штриховыми).
Информация о структуре графов г 7 и &&? гибридной схемы может быть выражена с помощью матриц Uj-p и Су , тождественно дуальных матрицам независимых узлов Aj- и А& , соответствующих графам токов и напряжений однородной Y - схемы. Для построения матрицы Cjy выбираем систему независимых узлов подграфа tryj и систему независимых ячеек подграфа , а для построения матрицы Cgf - систему независимых узлов подграфа и систему не зависимых ячеек подграфа crZjr . Строки матрицы jz/ zrr) соот ветствуют независимым узлам и ячейкам, а столбцы - ребрам графа.
Элемент 2vv есть (+1), если I -тое ребро инцидентно 6 тому узлу (ячейке) ; в противном случае элемент Cbss равен нулю.
Для удобства дальнейшего изложения введем несколько обозна чений: /# ( fyff-J - дерево графа "ХГ Уї/) » і у С 7 -) - дополнение дерева графа (гд/ (&zrJ
Множество ребер , где образует остов графа Sjzr » аналогично множество ребер l&isj} где образует остов графа /rpj . При этом множеству деревьев графа г-соответствует множество остовов графа , а множеству деревьев графа fiy соответствует множество остовов графа fi&r
Множество ребер графов 4 и г образует полный остов, если указанные ребра образуют остов как в графе , так и в графе Рю- . Например, множество ребер с весами hf&jh&fjpt /j # графов frjz/ и / , изображенных на рис.2.3, образует полный остов. Любой полный остов содержит п ребер, число /2 может быть найдено по следующей формуле: П = rant 6ут +/шPZy -ran fycr VIU&PZJ: . (2Л)
Множество ребер, не входящих в полный остов, будем называть дополнением полного остова. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств матриц С р и Cyj- . Так как эти матрицы получены путем тождественно дуального преобразования матриц узлов, то для этих матриц справедливы следующие свойства.
Свойство I. Ранг матрицы y CQ/r равен /ь , где число /ь может быть найдено по формуле (2.1).
Свойство 2. Квадратная блок-матрица порядка ҐІ матрицы уи/СС является неособенной тогда и только тогда, когда столбцы этой блок-матрицы соответствуют ребрам остова графа 6jft/(6fe) Очевидно, что множеству полных деревьев f/J графов 6 и &У соответствует множество полных остовов {А] , которое может быть определено как пересечение множества всех остовов Їf xvJ графа S}i; и множества всех остовов Z n&j-J графа :
В соответствии с методом Маеда, узловой определитель Сcfe У) однородной / - схемы рис.1.6 можно найти по следующей формуле: / \у , \ 7 /? /произведение весов ребер ,\ Gtet I / Ъг \образующих полное дерево j9(2.2) все полные деревья где = / - знак полного дерева.
Формуле (2.2) для вычисления det У однородной У - схемы рис.1.6 соответствует следующая формула для нахождения определителя гибридной матрицы Cte и/ контурно-узлового метода для гибридной схемы вида рис.1.5:
Вычисление определителя гибридной матрицы цепи без нахождения взаимно уничтожающихся членов
Итак, в главе получен топологический метод анализа радиоэлектронных цепей, базирующийся на гибридном описании ее компонентов. Этот метод позволяет получать результат анализа без нахождения взаимно уничтожающихся членов.
В соответствии с полученным топологическим методсм разработан машинный алгоритм, отличительными особенностями которого являются его универсальность, обусловленная возможностью получения результата для линейных цепей, содержащих любые компоненты; отсутствие необходимости формировать систему расчетных уравнений схемы. Кроме того, полиномиальный характер коэффициентов определителя гибридной матрицы даже в случае наличия в схеме сложных компонентов позволяет все вычислительные операции, связанные с ее анализом, свести к действиям над полиномами вместо действий над дробно-рациональными функциями, что неизбежно в таком случае при использовании методов анализа в однородном базисе. Ввиду отсутствия сокращающихся олагаемых отпадает необходимость в запоминании промежуточных результатов вычислений, что приводит к значительной экономии оперативной памяти ЭЦВМ.
Сказанное позволяет сделать вывод, что полученный алгоритм целесообразно использовать в САПР, когда требуется экономия памяти ЭЦВМ, например,для параллельного анализа на мультипроцессорных ЭЦВМ нескольких схем, или для анализа нескольких подсхем одной более сложной схемы в случае использования методов диакоп-тики.
Основным результатом диссертационной работы является разработанный топологический метод, который обеспечивает получение результата анализа радиоэлектронных цепей, содержащих любые элементы, без предварительного формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения и без нахождения взаимно уничтожающихся членов, появляющихся при раскрытии определителя. Указанный метод позволяет построить эффективные алгоритмы и программы моделирования и анализа радиоэлектронных цепей в символьном виде, которые могут успешно использоваться при проектировании таких линейных радиотехнических устройств, как фильтры, корректоры, фазовращатели, линии задержки.
Топологический метод анализа и построенный в соответствии с ним алгоритм использован при разработке прикладных программ синтеза активных RC-фильтров. Указанные программы применяются в ис- , следовательских разработках предприятия Министерства промышлен- л ности средств связи.
Другие результаты, полученные в процессе решения главной задачи, заключаются в следующем:
- Показано, что между уравнениями цепей, сформированными в однородном координатном базисе, и уравнениями цепей, сформированными в гибридном координатном базисе, существует взаимосвязь, порожденная обобщенным принципом дуальности. Такая взаимосвязь позволяет более систематизированно излагать известные и получать новые результаты, касающиеся анализа и синтеза цепей в гибридном координатном базисе по матрице . Данный подход к обоснованию контурно-узлового метода анализа цепей изложен в методическом пособии "Анализ электрических цепей контурно-узловым методом", написанным автором совместно с А.М.Иваницким, и внедрен в учебный ) процесс некоторых вузов.
- Дано расширение контурно-узлового метода применительно к анализу цепей, содержащих аномальные элементы и многополюсники, описываемые произвольной системой независимых переменных, а также применительно к анализу линейных подсхем.
- Предложен метод формирования расчетных уравнений радиоэлею тронных цепей с идеальными преобразователями в гибридном координатном базисе, базирующийся на уравнениях контурно-узлового метода анализа цепей. Указанный метод приводит к системе уравнений меньшей размерности по сравнению с известными, при этом ни на одном из этапов формирования уравнений не используется операция обращения матрицы.
