Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор методов анализа нелинейных радиотехнических устройств 15
1.1. Особенности моделирования нелинейных РТУ 15
1.2. Методы численного интегрирования во временной области 19
1.3. Поисковые методы определения установившегося режима 23
1.4. Спектральные методы 28
1.5. Методы, использующие аппарат функциональных рядов Вольтерра 31
1.6. Выводы 43
ГЛАВА 2. Метод анализа нртц при сложных воздействиях 46
2.1. Метод определения ядер Вольтерра многовходовых НРТЦ при полигармонических воздействиях 46
2.2. Метод анализа НРТЦ во временной области при сложных воздействиях 56
2.3. Анализ установившегося режима частотно-селективных НРТЦ при многочастотных воздействиях 70
2.4. Оценка сходимости и погрешности метода анализа 77
2.5. Выводы 83
ГЛАВА 3. Алгоритмы моделирования нртц при сложных воздействиях 85
3.1. Алгоритмы формирования математической модели НРТЦ 85
3.2. Алгоритм анализа установившегося режима НРТЦ при многочастотных воздействиях 92
3.3. Алгоритм анализа НРТЦ во временной области при сложных воздействиях 97
3.4 Алгоритм оценки сходимости и погрешности метода анализа НРТЦ 102
3.5 Выводы 105
ГЛАВА 4. Моделирование нелинейных устройств приемно-усилительных трактов 108
4.1. Моделирование устройств преобразования частоты 108
4.2. Моделирование нелинейной схемы во временной области 121
4.3. Моделирование усилительных устройств СВЧ диапазона 134
4.4. Моделирование высокодобротных устройств радиоприемных трактов 140
4.5. Выводы 144
Заключение 147
Библиографический список 151
- Поисковые методы определения установившегося режима
- Анализ установившегося режима частотно-селективных НРТЦ при многочастотных воздействиях
- Алгоритм анализа установившегося режима НРТЦ при многочастотных воздействиях
- Моделирование усилительных устройств СВЧ диапазона
Введение к работе
Развитие и совершенствование радиотехнических устройств,
снижение сроков их проектирования требует разработки эффективных
методов математического моделирования анализа и оптимизации
характеристик этих устройств. В настоящее время при схемотехническом
проектировании РТУ широкое распространение получили методы анализа
линейных цепей и нелинейных низкодобротных аналоговых и цифровых
устройств. Так, наиболее полно разработаны программы моделирования
линейных РТУ с сосредоточенными параметрами в частотной
области, которые позволяют рассчитать амплитудно-частотные и фазо-
частотные характеристики, входные и выходные импедансы,
устойчивость в малосигнальном режиме. Также достаточно хорошо
разработаны программы моделирования нелинейных аналоговых и
цифровых схем, позволяющие определять параметры переходных
процессов в низкодобротных цепях при воздействии одиночных
импульсов и гармонических, как правило, немодулированных сигналов.
Однако, методы анализа нелинейных радиотехнических цепей, таких как
преобразователи частоты, модуляторы, детекторы, усилители ВЧ и СВЧ
диапазона и т. д. имеют значительное отставание в развитии. Основные
трудности анализа подобных частотно-селективных и высокодобротных
НРТЦ заключаются в том, что расчет во временной области требует
непомерно больших затрат машинного времени и, зачастую, дает
неустойчивые результаты. Частотные методы, как правило,
обеспечивают расчет весьма ограниченного числа гармоник выходного спектра, что не позволяет оценить форму отклика и его искажения. Кроме того, возникают проблемы в оценке сходимости методов и погрешности анализа при многочастотном воздействии. Моделирование НРТЦ существенно усложняется при воздействиях сигналов с амплитудной,
частотной или фазовой модуляцией, когда возникают проблемы как
выделения соответствующей амплитудной, частотной или фазовой
огибающей сигнала, так и анализа цепей при сильно различающихся
частотах несущего и модулирующего колебания. Также весьма сложным
оказывается анализ прохождения слабых сигналов через нелинейные цепи на
фоне сильных помех. А расчет переходных процессов и установившихся
режимов в высокодобротных нелинейных РТУ при сложных импульсно-
модулированных воздействиях с помощью известных численных методов
анализа, реализованных в существующих пакетах прикладных программ,
является крайне неэффективным. Отсюда вытекает актуальность задачи
разработки методов анализа частотно-селективных и, в том числе,
высокодобротных нелинейных цепей при сложных воздействиях,
предназначенных для автоматизированного проектирования РТУ. Среди
сложных многочастотных воздействий, будем рассматривать как
периодические полигармонические сигналы, так и квазипериодические полигармонические сигналы, т.е. сигналы, образованные суммированием независимых периодических процессов. Частотный спектр последних из названных сигналов является дискретным, хотя сами сигналы в общем случае являются непериодическими. Во временной области представляет интерес моделирование прохождения произвольных, в т.ч. и непериодических сигналов через НРТЦ.
Целью диссертационной работы является разработка метода
анализа частотно-селективных нелинейных радиотехнических цепей при
воздействии сложных входных сигналов, построение алгоритмов анализа
и применение их при математическом моделировании многовходовых
устройств приемно-усилительных трактов на схемотехническом этапе
проектирования. При этом необходимо, чтобы данный метод
моделирования обладал достаточной универсальностью, т.е. на основе единого математического аппарата позволял выполнять как анализ основных нелинейных эффектов устройств приемно-усилительных трактов в
7 частотной области, так и расчет отклика этих устройств во временной области для исследования его формы. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
исследованы существующие методы анализа НРТЦ с применением ЭВМ и выбран наиболее оптимальный для моделирования частотно-селективных цепей;
выполнено обобщение метода математического моделирования, использующего функциональные ряды Вольтерра (ФРВ), на случай анализа многовходовых цепей;
получены выражения для анализа частотно-селективных НРТЦ на основе ФРВ во временной области для исследования переходных процессов и установившихся режимов в нелинейных цепях при сложных воздействиях;
разработаны алгоритмы анализа установившихся режимов в частотно-селективных НРТЦ, позволяющие в едином цикле моделирования получить основные нелинейные эффекты этих цепей в частотной области и отклик во временной;
разработаны алгоритмы оценки сходимости метода ММ на основе ФРВ и погрешности анализа во временной и частотной областях при сложных воздействиях;
выполннена проверка достоверности предлагаемого метода.
В качестве методов исследования при выполнении работы использованы аппарат функциональных рядов, методы теории нелинейных цепей, методы теории радиотехнических цепей и сигналов, методы функций комплексного переменного, теории графов и матриц, решения систем уравнений, многомерных и одномерных преобразований Лапласа и Фурье, методы математического моделирования.
Научная новизна работы
1. Разработан новый метод определения ядер функционалов Вольтерра высокого порядка многовходовых НРТЦ в частотной области
8 при полигармонических воздействиях, что позволило решить задачу математического моделирования нелинейных устройств приемно-усилительных трактов с произвольным числом входов.
Предложен метод анализа многовходовых частотно-селективных НРТЦ во временной области при произвольных воздействиях с использованием процедуры ассоциирования ядер ФРВ или составляющих отклика в области изображений, что обеспечило возможность применения одномерного преобразования Лапласа вместо многомерного, существенно упростив получение оригинала отклика при переходных процессах и установившихся режимах в моделируемых нелинейных цепях.
Получены выражения для расчета установившейся реакции многовходовых НРТЦ в виде ФРВ при воздействии квазипериодических сигналов, позволяющие совместить в едином цикле моделирования расчет отклика схемы во временной области с расчетом основных нелинейных эффектов в частотной.
Разработаны новая методика и алгоритм контроля сходимости моделирования методом ФРВ и расчета погрешности усечения рядов при сложных воздействиях, обеспечивающие получение результатов анализа НРТЦ с заданной точностью или оперативное завершение вычислительного процесса при расходимости метода.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Метод определения ядер ФРВ нелинейных цепей с произвольным
числом входов при многочастотных воздействиях, получаемых из системы
уравнений гармонического баланса, описывающей НРТЦ в частотной
области.
2. Метод анализа многовходовых НРТЦ во временной области при
сложных воздействиях, использующий аппарат ФРВ для получения
аналитической зависимости отклика от времени, параметров цепи и
воздействий.
Выражения для моделирования частотно-селективных НРТЦ в установившемся режиме, позволяющие получить отклик цепей как функцию времени, а также основные нелинейные эффекты в них.
Алгоритмы моделирования многовходовых НТРЦ, реализующие предложенный метод анализа в частотной и временной областях при сложных воздействиях.
Алгоритм оперативной оценки сходимости и погрешности метода анализа многовходовых НРТЦ с применением ФРВ.
Практическая ценность диссертационной работы определяется нижеизложенным. Предложенный метод анализа частотно-селективных НРТЦ с высокой добротностью при многочастотных воздействиях оказывается более эффективным как по точности, так и по вычислительным затратам, чем анализ методом численного интегрирования системы дифференциальных уравнений. Кроме того, данный метод в некоторых случаях служит единственно возможным способом расчета этих схем. Метод анализа, разработанный в работе, реализован в виде алгоритмов и компьютерных программ в подсистеме моделирования аналоговых радиотехнических схем (МАРС), отлажен на большом количестве тестовых примеров и используется при автоматизированном проектировании приемно-усилительных устройств. Разработанный метод анализа НРТЦ использован в НИИ комплексной автоматизации (г. Донецк) при разработке радиотехнических устройств специального назначения, в Ростовском филиале ВНИИАС (г. Москва) и Центре цифровой обработки сигналов (г. Ростов-на-Дону) при проектировании устройств железнодорожной автоматики и связи, а также в учебном процессе на каф. «Связь на ж.-д. транспорте» РГУПС. Результаты компьютерного моделирования устройств приемно-усилительных трактов и рассчитанные зависимости нелинейных эффектов и искажения формы выходных сигналов от параметров схемы и воздействий применены при схемотехническом проектировании этих устройств. С использованием предложенного
10 метода анализа в подсистеме МАРС выполнялась параметрическая оптимизация нелинейных РТУ, в результате которой были получены схемные решения требуемыми характеристиками. Практическое внедрение результатов диссертационной работы на предприятиях, в учебном процессе и подтверждено соответствующими актами о внедрении с указанием достигнутого положительного экономического эффекта.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на научно-техническом совещании-семинаре «Проблемы автоматизации функционального проектирования РЭА» (г. Таганрог, 1989г.), научно-техническом семинаре «Методы исследования и обеспечения надежности сложных технических систем» (г. Ростов-на-Дону, 1989 г.), 11 Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития цифровой звуковой техники» (г. Ленинград, 1990г.), XLVI Всесоюзной научной сессии, посвященной Дню радио (г. Москва, 1991г.), отраслевой научно- технической конференции «Автоматизация инженерного труда разработчиков СВЧ аппаратуры» (г. Таганрог, 1991г.), Первой и Второй межведомственных научно-практических конференциях "ТелекомТранс-2003" и "ТелекомТранс-2004" (г.Сочи), на Третьей Международной научно-практической конференции "Телеком-Транс-2005" (г. Сочи), научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава Ростовского государственного университета путей сообщения и научных семинарах кафедры «Связь на ж.- д. транспорте» названного университета в 1989-2005 г.г.
По материалам диссертации опубликованы 27 печатных работ и отчет по х/д НИР, из которых 18 - в центральной печати (12 статей, 4 доклада, 2 тезисов доклада).
Личный вклад соискателя заключается в том, в работах выполненных в соавторстве им получены все результаты, связанные с методами определения ядер Вольтерра многовходовых НРТЦ, процедурой ассоциирования переменных в области изображений, алгоритмами анализа во временной
области и оценки погрешности анализа НРТЦ с использованием ФРВ, концепцией построения системы моделирования аналоговых схем МАРС и моделей компонентов схем, компьютерного моделирования приведенных схем нелинейных РТУ.
Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, занимающих 150 страниц основного текста, а также 22 рисунка, списка литературы, содержащего 158 наименований, 30 страниц приложений.
Во введении к диссертации обоснована актуальность работы, сформулированы цель, задачи и методы исследования, кратко излагается содержание работы и основные результаты.
В первой главе рассмотрены существующие методы анализа НРТЦ,
применяемые при компьютерном моделировании. Выявлены особенности
анализа нелинейных РТУ, сформулированы основные требования к
создаваемому методу. Далее рассмотрены методы численного
интегрирования во временной области, поисковые, спектральные методы анализа и методы, основанные на аппарате функциональных рядов Вольтерра. В результате сравнительного анализа сделан вывод о том, что методы ФРВ являются наиболее эффективными для моделирования частотно-селективных НРТЦ при сложных воздействиях малой амплитуды. Однако отмечено, что существующие методы анализа на основе ФРВ не удовлетворяют ряду сформулированных в главе требований. После чего перечисляются задачи, которые необходимо решить в диссертации.
Вторая глава посвящена разработке метода анализа НРТЦ при сложных воздействиях. В этой главе предложен метод определения ядер Вольтерра в частотной области для нелинейных цепей с произвольным числом входов. Показано, что НПФ таких цепей высокого (до нескольких десятков) порядка, можно найти как коэффициенты многомерного ряда Маклорена, определяемые из уравнений стационарного режима НРТЦ при аппроксимации характеристик нелинейных элементов произвольной функцией.
В главе 2 также разработан метод анализа НРТЦ во временной области на основе ФРВ, ядра которого получены путем ассоциирования переменных в области изображений и последующего одномерного преобразования Лапласа. Процедура ассоциирования переменных в области изображений, позволяющая перейти от изображений многомерных функций к одномерным, была применена и к изображению отклика НРТЦ, представленного в виде ФРВ. Это обеспечило возможность получения его оригинала без использования многомерного преобразования Лапласа. При этом в качестве воздействий могут использоваться произвольные детерменированные сигналы (в т.ч. импульсные, импульсно-модулированные, непериодические), заданные во временной области или в области изображений.
В данной главе также получено выражение для расчета установившегося значения отклика во временной области многовходовых нелинейных РТУ при многочастотных воздействиях и рассмотрены особенности его использования для анализа прохождения сложных сигналов через эти устройства. При этом отмечено, что упрощение расчета достигается на основе использования квазистационарного подхода к моделированию. Показано, что в едином цикле моделирования можно рассчитать как отклик НРТЦ во временной области, так и нелинейные эффекты РТУ в частотной области. Для усилителя, преобразователя частоты, детектора приведены выражения в виде ФРВ для гармонических составляющих отклика и различных нелинейных эффектов.
Кроме того, в главе 2 предложены выражения для оценки сходимости ФРВ и погрешности анализа НРТЦ во временной и частотной областях. Показано, что данные выражения позволяют определить радиусы сходимости ФРВ, проверить сходимость рядов при заданных амплитудах воздействий и вычислить погрешность усечения ФРВ при учете конечного числа членов в этих рядах.
В третьей главе настоящей работы автором предложены алгоритмы,
реализующие разработанный метод анализа. В этой главе рассмотрен
алгоритм формирования математических моделей схемных компонентов, а
также ММ схемы нелинейного РТУ с использованием интерактивного
графического редактора. Далее описывается алгоритм анализа
установившегося режима НРТЦ при сложных воздействиях, центральной
частью которого является алгоритм определения изображений ядер
Вольтерра многовходовых цепей. По полученным изображениям ядер
рассчитываются ФРВ в частотной области для определения искомых
гармоник, которые необходимы для вычисления нелинейных эффектов или
отклика НРТЦ. В данной главе также представлен алгоритм, реализующий
метод анализа во временной области при сложных воздействиях, который
обеспечивает возможность компьютерного расчета переходных
процессов и установившихся режимов в нелинейных радиотехнических цепях. Данный алгоритм использует универсальную математическую модель схемы, сформированную для анализа установившегося режима НРТЦ при сложных воздействиях и процедуру ассоциирования переменных в области изображений. Он позволяет получить аналитическую функцию отклика от времени, параметров воздействий и компонентов схемы. В заключительной части третьей главы представлен алгоритм оценки сходимости ФРВ и погрешности анализа, предназначенный для оперативного контроля условий сходимости и прекращения вычислений при расходимости рядов, а также расчета погрешности усечения ФР непосредственно в процессе моделирования нелинейных радиотехнических цепей.
Четвертая глава диссертации посвящена проверке достоверности
предлагаемого метода путем расчета тестовых примеров и сравнения
результатов этих расчетов с натурным экспериментом или анализом
методом численного интегрирования. В данной главе выполнено
моделирование транзисторных преобразователей частоты в аналитическом и
численном виде, схемы усилителя СВЧ диапазона, фрагмента
14 высокодобротной схемы радиоприемного тракта, демонстрирующее возможности анализа установившегося режима НРТЦ при сложных воздействиях. Возможности применения метода анализа во временной области показаны на примере расчета в аналитическом виде схемы смесителя на двух диодах, где были получены временные зависимости отклика в переходном и в установившемся режимах. В завершающей части главы обсуждаются вопросы использования полученных результатов моделирования РТУ при схемотехническом проектировании.
В заключении сформулированы основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе, показаны направления дальнейших исследований.
В приложении приводится описание схемы электрической принципиальной, подготовленной для анализа по результатам работы алгоритма формирования модели НРТЦ, файлы с описанием нелинейных моделей биполярного транзистора для базы данных моделей компонентов схем, а также основные модули программной реализации на языке Паскаль, метода анализа установившегося режима НРТЦ на основе ФРВ. Там же приведены акты о внедрении результатов диссертационной работы на предприятиях и в учебном процессе.
Поисковые методы определения установившегося режима
Основные вычислительные трудности в приведенном алгоритме связаны с вычислением матрицы Якоби системы (1.12). Так как аналитической зависимости F(Xo) нет, то все способы вычисления F (Хо) основаны на численных методах. В работах [90,99,131,136] F (Хо) определяется из решения матричного вариационного уравнения или с использованием методов расчета уравнений чувствительности.
Таким образом, для схемы с п переменными, (и с п начальными условиями), с учетом сходимости метода Ньютона за 3...5 интераций получим, что для вычисления оптимальных начальных условий, обеспечивающих получение установившегося режима, необходимо интегрировать систему (1.8) на интервале (0,Т) N= (З...5)х (п+1) раз. Это эквивалентно по затратам времени прямому интегрированию N периодов подряд, не считая затрат на решение (1.12). Следовательно, данный способ расчета Хо выгодно применять только для небольших схем, когда количество вычислений N еще мало по сравнению с количеством периодов колебания за время переходного процесса [1]. Главным преимуществом поисковых методов является сокращение времени при расчете высокодобротных схем, их применимость к расчету как неавтономных, так и автономных РТУ. Основным же недостатком этих методов является невозможность их применения при многочастотном воздействии, когда отклик становится квазипериодическим, т.к. в этом случае возникают сложности в определении начала установившегося режима и в применении преобразования Фурье. К тому же, недостатками этих методов являются большие вычислительные затраты как при близости частот входных воздействий [113], так и при их существенном отличии [69].
Принципиально иной способ установления стационарного режима предложен в работе [140], который сочетает в себе черты временного и частотного методов. Данный подход справедлив при квазипериодическом отклике, однако применим при весьма ограниченном числе учитываемых гармоник [113]. Кроме того, в случае модулированных воздействий, когда частота огибающей намного ниже несущей, матрицы, используемые при расчете, становятся плохо обусловленными, что затрудняет проведение анализа.
При многочастотном входном воздействии, когда решение является периодическим, может быть использован алгоритм определения низкочастотной огибающей. Этот алгоритм основан на идее пропуска нескольких периодов несущей частоты за время малого изменения огибающей [90,99]. Алгоритм основан на использовании итерационной формулы Ньютона для определения вектора состояния при нескольких пропущенных периодах несущей частоты. Данный алгоритм является обобщением алгоритма определения установившегося состояния схемы [136], он позволяет определить динамику изменения огибающей модулированного сигнала. Применение для расчета огибающей неявных методов интегрирования в сочетании с итерационной формулой Ньютона позволяет сохранить устойчивость и существенно повысить эффективность анализа при сильно различающихся периодах колебаний. Однако решение должно оставаться при этом периодическим.
В последнее время для анализа переходных процессов в многопериодных схемах стали применяться методы, основанные на сочетании внутреннего и внешнего интегрирования ОДУ [56,150], которые получили название методов вложенного интегрирования многопериодных систем. В этих методах внешнее интегрирование выполняется по огибающей с шагом Н, а внутреннее - внутри периода колебаний огибающей с шагом h « Н. Шаг h выбирается обычными для анализа РТУ прямыми методами и используется для вычисления шагов внешнего интегрирования. Шаг Н внешнего интегрирования может составлять несколько десятков - сотен периодов шага h, что и обуславливает соответствующее ускорение вычислений. Существенным недостатком этих методов является их применимость лишь для случая одной базисной частоты, что порождает значительные проблемы анализа при многочастотном входном воздействии [89].
Для ускоренного расчета линейных РТУ при модулированных сигналах, когда решение является периодическим, в работе [ПО] предлагается использовать наряду с алгоритмами Эйприла-Трикка [136] и Чуа [140], также и квазистационарный метод, справедливый для медленных изменений модулирующего колебания. Это позволяет заменить поиск стационарного режима на отрезке периода огибающей поиском семейства периодических режимов с гораздо меньшим периодом. Ограничением квазистационарного подхода, кроме периодического решения, является невозможность учета скорости изменения модулирующего воздействия во времени. Это не позволяет, например, исследовать влияние частоты огибающей на характер процессов в нелинейных РТУ. Однако общим недостатком поисковых методов остается невозможность анализа нелинейных РТУ при многочастотном воздействии с несоизмеримыми частотами во временной области и, как следствие, невозможность получения частотного спектра выходного сигнала с помощью преобразования Фурье для расчета требуемых нелинейных эффектов. При этом остальные вышеназванные недостатки, присущие методам численного интегрирования сохраняются и для поисковых методов определения установившегося режима в НРТЦ.
Анализ установившегося режима частотно-селективных НРТЦ при многочастотных воздействиях
Метод МРМ позволяет устранить некоторые недостатки, присущие традиционным методам ФРВ, в частности, позволяет выполнять анализ цепей с произвольным числом входов, а также эффективно получать коэффициенты МРМ высших порядков через низшие [31]. Но использование коэффициентов МРМ во временной области неудобно, в то же время ядра Вольтерра, являющиеся нелинейными импульсными характеристиками РТУ [2,9,23], позволяют обобщить известный и широко используемый метод интеграла свертки на многомерный случай, когда отклик НРТЦ представляется ФРВ в виде (1.15) или (1.18). При использовании выражения (1.15) для получения отклика необходимо перейти к ядрам ФРВ hn(Ti,...,Tn) от НПФ соответствующего порядка Hn((Di,...,G)n), рассчитанных либо традиционными методами испытательных сигналов или нелинейного тока, либо определенных как коэффициенты МРМ. Для перехода к ядрам ФРВ используется многомерное обратное преобразование Фурье [22]: При этом весь анализ выполняется в частотной области, где определяются комплексные амплитуды гармонических составляющих, а применение многомерного ОПФ к Yn((0i,...,Cun) дает y(ti, t2,...,tn)-Полагая ti = ,.tn = t, получается одномерная временная функция отклика.
Для периодических и квазипериодических сигналов отклик формируется в виде ряда Вольтерра, аналогично (1.18). Детальное исследование вопросов теории многомерного преобразования Лапласа или Фурье и их применение для анализа нелинейных цепей с использованием ФРВ приведено в работе [126].
Еще одним обстоятельством, затрудняющим исследование формы отклика НРТЦ методами ФРВ, является громоздкость многомерного преобразования Лапласа или Фурье, как в аналитическом, так и в численном виде, что делает сложным переход из области изображений или частотной во временную область даже при использовании ЭВМ [13]. Это не позволяет практически выполнять анализ НРТЦ во временной области с использованием ФРВ, а также производить расчет переходных процессов в этих цепях и определять отклик на непериодические воздействия. Алгоритмы расчета переходных процессов и установившихся реакций нелинейных цепей без применения многомерных преобразований, выполненные на основе использования рядов Вольтерра - Пикара приведены в работах [51,52]. Однако эти алгоритмы нельзя использовать для аппарата ФРВ. В работах [23,126] приводится теорема о переходе к одной переменной в области изображений, позволяющая свести операцию многомерного преобразования Лапласа к одномерному. Но в указанных работах эта теорема применена лишь к простейшим одноконтурным цепям, ядра Вольтерра которых определяются методом прямого разложения, непригодным для компьютерного моделирования в силу неформализуемости. Для исключения многомерных преобразований Лапласа или Фурье необходимо разработать метод получения одномерных изображений ядер Вольтерра или составляющих отклика НРТЦ Yn , полученных в виде ФРВ, выполняя ассоциирование переменных [23,126] для их изображений. После чего, применяя одномерные ОПЛ или ОПФ, можно будет рассчитать отклик цепи во временной области. При этом метод анализа НРТЦ во временной области на основе одномерных ядер Вольтерра должен обеспечить возможность расчета переходных процессов и установившихся режимов в высокодобротных цепях с произвольным числом входов, а также должен быть хорошо формализован для программирования на компьютере.
Отметим также, что при практическом моделировании нелинейных РТУ весьма актуальной задачей является определение сходимости ФРВ. Оценке сходимости функциональных рядов посвящено множество публикаций, обзор которых приведен в [87]. Однако, алгоритмов оценки сходимости, пригодных при практическом моделировании РТУ на компьютере значительно меньше. В работе [51] представлены выражения для оценки погрешности и сходимости метода анализа для цепей общего вида, описываемых отрезками рядов Вольтерра - Пикара. В [87] приведены формулы для определения областей сходимости ФРВ, используемые при одночастотном воздействии для анализа усилителей. Отсутствие алгоритмов оценки сходимости ФРВ при многочастотном входном воздействии является серьезным препятствием для моделирования устройств приемно-усилительных трактов. Алгоритмы оценки сходимости отсутствуют даже в современных версиях коммерческих пакетов программ, использующих аппарат ФРВ, например, в наиболее известном пакете - Microwave Office [143,144]. В [144] предлагается использовать опыт разработчика для вывода о сходимости ФРВ, и, следовательно, о корректности результата. Там отмечается, что тот, кто занимался измерением параметров малосигнальных усилителей, приблизительно знает значения сигналов, при которых уровни интермодуляционных составляющих начнут насыщаться, а значит, надо вести расчет несколько ниже этих значений. Такие, весьма нестрогие оценки сходимости предлагают при использовании пакета Microwave Office, который является фактически стандартом при моделировании на основе ФРВ (как пакет PSPICE [120,148] является эталоном при моделировании традиционными численными методами). Отсюда вытекает необходимость разработки надежного алгоритма оценки сходимости ФРВ и погрешности анализа при сложном многочастотном воздействии, применяемого при практическом моделировании РТУ.
Алгоритм анализа установившегося режима НРТЦ при многочастотных воздействиях
Как видно из выражений (2.37)-(2.41), процедура ассоциирования переменных для изображений отклика во многом аналогична процедуре ассоциирования переменных для изображений ядер Вольтерра. Это позволяет использовать единое математическое обеспечение как для получения ядер Вольтерра, так и оригиналов отклика НРТЦ во временной области, сочетая два выше названных подхода к моделированию нелинейных РТУ с применением ФРВ. При этом переход к отклику во временной области с помощью выражения (2.42) от одномерных составляющих отклика (2.41) целесообразно выполнять во всех случаях, когда можно просто получить изображение воздействия, т.е. вектора X(S). Если же изображение входного сигнала получить затруднительно или нецелесообразно, то необходимо найти ядра Вольтерра по (2.34), а отклик НРТЦ y(t) рассчитать согласно выражению (2.1), куда подставляется выражение воздействия во временной области. Как видно из выражений (2.33), (2.34) и (2.41), (2.42), предложенный метод анализа во временной области путем ассоциирования переменных для изображений ядер Вольтерра позволил получить ядра ФРВ или оригинал отклика трехвходовой НРТЦ произвольного порядка m+n+q. При этом последовательно использовались операции одномерных преобразований Лапласа вместо многомерного преобразования порядка m+n+q. Отметим, что разработано достаточно много эффективных алгоритмов одномерных преобразований Лапласа или Фурье входящих в математическое обеспечение современных компьютеров [62,103,126], что упрощает реализацию данного метода. Кроме того, сравнивая выражения для многомерных и одномерных изображений ядер Вольтерра или составляющих отклика, уже начиная с третьего и четвертого порядков (см. формулы (2.23) и (2.24), (2.25) и (2.26), (2.39) и (2.40)) видно, что эти выражения существенно проще для одномерного случая по сравнению с многомерным. Это говорит об эффективности использования процедуры ассоциирования переменных, применительно к предложенному методу анализа на основе рядов Вольтерра, что позволяет сократить вычислительные затраты не только за счет исключения многомерных преобразований Лапласа или Фурье, но и за счет использования более простых выражений для ядер высших порядков.
Данный метод анализа обеспечивает расчет переходных и установившихся режимов в многовходовых НРТЦ при произвольных воздействиях. Установившаяся реакция нелинейной цепи может быть получена как функция, к которой асимптотически стремится значение отрезка сходящегося ФРВ, полученного по формулам (2.1) или (2.42) при [51,52]. При этом, так как расчет установившегося режима ведется не через переходной процесс, то можно наблюдать процесс установления стационарного режима в высокодобротных НРТЦ без увеличения вычислительных затрат. Пример расчета переходных и установившихся режимов в аналитическом виде с использованием выражений (2.41) и (2.42), а также проверка полученных результатов для схемы диодного смесителя представлены в 4 главе работы.
Отметим, что выражения (2.41) и (2.42) для отклика НРТЦ предпочтительно получать в аналитическом виде, что позволяет эффективно строить процесс многовариантного анализа и оптимизации нелинейных РТУ. Однако, ассоциирование переменных, применяемое в предложенном методе, дает выигрыш и при его численной реализации, т.к. позволяет оказаться от многомерной аппроксимации изображений ядер Вольтерра или составляющих отклика, поскольку расчет ведется по их одномерным изображениям. Алгоритмы реализации предложенного метода анализа НРТЦ в системе компьютерной алгебры Maple [24] будут описаны в 3 главе диссертационной работы.
В отличие от рассмотренных в главе 1 методов анализа РТУ во временной области, данный метод не зависит от добротности цепи, справедлив при произвольных воздействиях и позволяет исследовать отклик частотно-селективных НРТЦ как на любом отдельно взятом интервале времени, так и наблюдать весь процесс при t Є [0,оо] без существенных вычислительных затрат. Кроме того, в отличие от методов, использующих аппарат ФР для частотного анализа НРТЦ [2,9,14-17,22,27-31], предложенный в данной работе метод позволяет выполнять анализ переходных процессов, а также рассчитывать отклик многовходовых НРТЦ на непериодические воздействия.
Моделирование усилительных устройств СВЧ диапазона
Использование выражения (2.43) для анализа установившихся режимов в частотно-селективных НРТЦ оказывается весьма эффективным, так как оно предполагает получение НПФ при ограниченном числе входных воздействий, определяемых полосой пропускания этой цепи. Это становится возможным благодаря избирательным свойствам НРТЦ, которые позволяют учитывать при анализе компоненты основной частоты и некоторые ее гармоники.
Если реальное РТУ узкополосно по отношению к несущей частоте [7,18,47], то как показано в работе [65], в большинстве случаев четные члены ряда Вольтерра, характеризующие внеполосные отклики, могут вообще не учитываться. При этом в области сходимости ФРВ для слабонелинейных устройств число учитываемых комбинационных гармоник может быть существенно ограничено без потери точности. Кроме того, поскольку ряды Вольтерра различных гармоник, входящие в (2.43) часто вычисляются на основе использования повторяющихся НПФ, рассчитанных ранее для рядов других гармоник, при анализе можно эффективно организовать библиотеку НПФ для занесения хранения и извлечения требуемых передаточных функций, экономя время на их вычисление. И, наконец, расчет выходного спектра НРТЦ для получения отклика по (2.43) дает возможность вычислить целый ряд нелинейных эффектов в частотной области [14,22,29] на основе использования найденных гармонических составляющих рассчитанного спектра.
Таким образом, может быть выполнено важное требование к методам анализа, сформированное в главе 1: обеспечение возможности получения в едином цикле анализа как отклика частотно- селективных НРТЦ во временной области, так и расчета спектра отклика этих цепей для вычисления нелинейных эффектов в частотной области. Выражение (2.43) удобно использовать как при аналитическом исследовании нелинейных цепей (с использованием систем аналитических преобразований Maple [24] и др.), так и при расчете отклика в численном виде, когда он представлен дискретным многомерным рядом Фурье с рассчитанными в конкретных частотных точках коэффициентами. Однако следует учесть, что подобный вполне точный метод анализа прохождения многочастотных сигналов пригоден лишь при ограниченном числе входных воздействий, например, при частотной модуляции с малыми индексами, т.е. если состав спектра ЧМ колебания мало отличается от состава спектра AM колебания. Это объясняется тем, что сложность анализа с использованием аппарата функциональных рядов существенно возрастает по мере увеличения числа входных воздействий [87]. В практике же часто приходится встречаться с модуляцией, характеризующейся столь большим числом спектральных составляющих в используемой полосе частот, что представление этого сигнала многочастотным колебанием и расчет выходного спектра сопряжен с большими, иногда непреодолимыми трудностями [47]. В подобных случаях, упрощение может быть достигнуто если ширина спектра сигнала AF значительно меньше рабочей полосы частот нелинейного устройства Af и меньше средней частоты спектра входного сигнала fo т.е. когда AF« Af« fo. При этом НПФ безинерционны к огибающей входного сигнала и не зависят от частоты в пределах полосы частот этого сигнала. Тогда процессы в исследуемом устройстве квазистационарны [22,112,123]. Поэтому выходной спектр НРТЦ при воздействии на вход многочастотных узкополосных сигналов может быть рассчитан в полосе первого порядка (т.е. в области центральной частоты [112,123]) на основе использования НПФ, полученных при анализе цепи в одночастотном режиме, или по результатам измерения амплитудной и фазоамплитудной характеристик этой цепи. Доказательство справедливости квазистационарного метода приведено в работах [73,74], там же сформулированы условия его корректного применения при анализе РТУ: отношение частоты модулирующего сигнала к частоте несущей должно быть не более 0,05 , что приводит к погрешности вычисления спектральных составляющих в пределах 4...5 %. Рассмотрим процедуру моделирования частотно-селективных нелинейных устройств приемно-усилительного тракта с ФРВ при воздействии суммы узкополосных сигналов [97]. Если воздействия модулированы, то каждый сигнал занимает некоторую полосу частот, центрированную относительно несущей частоты. Пусть на входы усилительного устройства (для общности рассуждений рассмотрим двухвходовой случай) действуют модулированные полезный и мешающий сигналы, представляющие квазигармонические колебания с "медленно" меняющимися амплитудой и фазой. К входу 1 приложен полезный сигнал.
