Содержание к диссертации
Введение
1. Исследование статистической модели эффектов квантования 13
1.1. Исходные положения 13
1.2. Квантование результатов сложения 15
1.3. Квантование результатов умножения 21
1.4. Краткие выводы 25
2. Исследование нелинейных свойств автономных фильтров 26
2.1. Исходные положения 26
2.2. Бинарное квантование 31
2.3. Трехуровневое квантование в прямом коде 39
2.3.1. Округление 39
2.3.2. Усечение 53
2.4. Четырехуровневое квантование в дополнительном коде 56
2.4.1. Округление 56
2.4.2, Усечение 64
2.5. Пятиуровневое квантование в прямом коде 71
2.5.1. Округление 71
2.5.2. Усечение 75
2.6. Случай произвольного числа уровней квантования 80
2.6.1. Округление в прямом коде 80
2.6.2. Усечение в прямом коде 82
2.6.3. Округление в дополнительном коде 84
2.6.4. Усечение в дополнительном коде 86
2.7. Краткие выводы 89
3. Исследование нелинейных эффектов в неавтономных фильтрах 90
3.1. Исходные положения 90
3.2. Бинарное квантование 92
3.3. Трехуровневое квантование в прямом коде 103
3.3.1. Округление 103
3,3.2. Усечение 116
3.4. Четырехуровневое квантование в дополнительном коде с единичным внешним воздействием и округлением 118
3.5. Пятиуровневое квантование в прямом коде 125
3.5.1. Округление 125
3.5.2. Усечение 128
3.6. Случай произвольного числа уровней квантования 132
3.6.1. Округление в прямом коде 132
3.6.2. Усечение в прямом коде 133
3.6.3. Округление в дополнительном коде 135
3.6.4. Усечение в дополнительном коде 137
3.7. Краткие выводы 139
Заключение 140
Список литературы 142
Введение к работе
В связи с бурным развитием науки и техники большую значимость приобретают методы цифровой обработки сигналов. Их развитие обусловлено несколькими причинами: цифровые методы позволяют более эффективно обрабатывать и анализировать сигналы; при ее применении появляется большая гибкость и, наконец, имеется возможность использовать все более совершенные ЭВМ.
Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Найквист X., Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р., Джури Э. и др. [1-5]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: Котельникова В.А., Цыпкина ЯЗ., Трахтмана A.M., Ланнэ А.А., Карташева В.Г., Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [6-35].
Цифровые вычислительные машины и цифровые процессоры стали составной частью систем цифровой обработки сигналов. Процесс проектирования и отладки устройств цифровой обработки сигналов может быть проведен на универсальной ЭВМ с последующей реализацией данного устройства в виде специализированной интегральной микросхемы или спецпроцессора с соответствующим программным обеспечением. Стоимость спецпроцессоров цифровой обработки сигналов постоянно снижается, а быстродействие растет, что способствует внедрению цифровой обработки сигналов в те области, где еще недавно это считалось нецелесообразным. Хорошим примером в данном случае может служить бытовая техника.
Цифровые методы приобрели также первостепенное значение в обработке изображений, которые можно рассматривать как частный случай многомерных сигналов. Планируемый во многих странах переход на цифровое телевидение, широкое использование компьютерных сетей и мультимедиа технологий также способствуют развитию данного направления обработки сигналов. В различных областях науки и техники имеется множество задач, связанных с обработкой изображений. Это, например, анализ и интерпретация аэрофотоснимков и космических снимков в науках о Земле, в метеорологии, астрономии, исследовании природных ресурсов; анализ оптических, рентгеновских, тепловых, радиографических и других изображений в медицинской диагностике, промышленной дефектоскопии, научных исследованиях; анализ изображений и полей, зарегистрированных методами оптической, радио- и акустической голографии и т.д. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [36-40].
Из всех методов, используемых в цифровой обработке сигналов, одним из важнейших является цифровая фильтрация. Этот факт объясняется следующими причинами: наличием эффективных и относительно простых методов построения фильтров; прогрессом в области технологии микросхем с высокой и сверхвысокой степенью интеграции; успехами в части разработки технических средств и программного обеспечения.
Несмотря на указанные достоинства, в цифровых системах при обработке сигналов возникает ряд ошибок, связанных с представлением чисел конечным числом разрядов. Цифровые фильтры оперируют с цифровыми сигналами, которые отличаются от дискретных наличием квантования мгновенных значений, т.е. значения сигнала представляются конечным числом двоичных разрядов. Естественно, это обуславливает необходимость введения некоторого ограничения по точности представления выборок сигнала. Коэффициенты цифрового фильтра также представляются конечным числом двоичных разрядов, что тоже влияет на точность выходного сигнала. Такого рода эффекты называются эффектами конечной разрядности. Эти ошибки помимо погрешностей в выходном сигнале могут приводить к потере устойчивости системы, появлению паразитных сигналов на выходе цифровой системы при отсутствии входного сигнала и другим негативным явлениям [1-4].
Исследовать эффекты конечной разрядности можно двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования и детерминированной модели ошибки квантования. Выбор подхода зависит от цели исследований. С помощью статистического подхода можно определить средний уровень шума квантования на выходе системы и его мощность. Его недостатком является определенная жесткость исходных требований для применения, что не всегда выполняется на практике. Детерминированный подход используется в тех случаях, когда неприменима статистическая модель.
В области цифровой фильтрации следует отметить работы зарубежных и отечественных авторов: Кайзера Д., Каппелини В,, Константинидиса А., Эмилиани П., Хэмминга Р., Антонью А., Ланнэ А.А., Гольденберга Л.М., Левчука Ю.П., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А., Мингазина А.Т., Тяжева А.И. и др. [1, 4, 10-11, 13-35, 41-57].
В настоящее время быстро развивается теория многомерных цифровых сигналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация. С её помощью обрабатываются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например массивов, полученных после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Разработка этой теории стимулируется важными практическими задачами, к которым относятся, например, обработка радио- и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, обработка изображений и сигналов в телекоммуникационных системах и т.д.
Значительный вклад в развитие многомерных цифровых сигналов и систем внесли зарубежные ученые Хуанг Т., Шэнкс Д., Даджион Д., Мерсеро Р., Боуз Т., Фахми М., Митра С, Мария Г. и многие другие [58-81]. Вместе с тем определенный вклад сделан и отечественными авторами, среди которых можно вьщелить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В.Г., Чобану М.К. и их школы [82-87]. Некоторый вклад в развитие двумерных цифровых систем внесен и сотрудниками Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова (ЯрГУ) [88-90].
В двумерных фильтрах [92-113] недостаточно изученными являются нелинейные эффекты и эффекты квантования арифметических операций, обусловленные нелинейностью квантователя [62-65, 114-115].
Объектом исследования в диссертационной работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого порядка. Указанные фильтры, в смысле вычислительных затрат на их реализацию, наиболее эффективны, что делает их особенно привлекательными при работе систем в реальном или близком к реальному масштабах времени. Вместе с тем, двумерные фильтры первого порядка исследованы недостаточно. В основном это касается эффектов квантования и переполнения, поэтому тема диссертационной работы представляется актуальной.
Цель исследования:
Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.
Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи: исследование статистической модели фильтра; разработка методики исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров; нахождение областей в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующих различным типам выходных сигналов, для различного числа уровней квантования; анализ процессов в автономном и неавтономном рекурсивных цифровых фильтрах с нелинейным сумматором.
Достоверность полученных научных результатов
Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сопоставлением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.
Научная новизна
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: определен явный вид выражений для дисперсии и математического ожидания шума на выходе линейной статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка; предложена методика исследования нелинейных свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров, с учетом характеристики квантователя; проанализированы возможные типы выходных сигналов автономных и неавтономных фильтров; для различного числа уровней квантования получены разбиения пространства коэффициентов фильтров на области, соответствующие всем возможным типам выходных сигналов.
Практическая ценность
Знание рассмотренных в диссертационной работе статистических свойств двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка, позволяет оценить мощность шума квантования на выходе системы и выбрать параметры системы в соответствии с желаемыми результатами.
Предлагаемая методика позволяет исследовать эффекты квантования в автономных и неавтономных двумерных фильтрах с произвольным числом уровней квантования. Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации.
Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, областей существования предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы как для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая эффектов переполнения, так и в качестве двумерных автогенераторов.
Исследование эффектов квантования особенно важно при технической реализации двумерных цифровых фильтров, предназначенных для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени.
Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту
Статистические характеристики шума на выходе фильтра для случаев квантования результатов сложения и умножения при использовании различных способов квантования и представления чисел.
Методика исследования эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка.
Условия возникновения двумерных предельных циклов на выходе автономного фильтра для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.
Типы и характеристики выходных колебаний в неавтономном двумерном фильтре для случаев двух, трех, четырех и пяти уровней квантования.
Условия возникновения предельных циклов на выходе автономного фильтра и выходные колебания в неавтономном фильтре в случае произвольного числа уровней квантования. Границы областей, соответствующих циклам большого уровня.
Апробация
Результаты работы были апробированы на следующих научных и научно-технических семинарах и конференциях:
IV всероссийская научная конференция «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2001. VII международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2001.
IV международная научно-техническая конференция «Перспективные технологии в средствах передачи информации», Владимир-Суздаль, 2001.
Четвертая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2002, VIII международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2002. LVII научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 2002.
IV всероссийская научно-техническая конференция «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике», Чебоксары, 2002. LVIII научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 2003. V всероссийская научно-техническая конференция «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003.
Пятая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2003. The 11-th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Scuol/Schuls Switzerland, 2003.
Шестая международная конференция и выставка "Цифровая обработка сигналов и ее применения", Москва, 2004.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них 6 статей и 14 докладов в материалах конференций.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Она содержит 155 страниц текста и 60 рисунков. Список литературы включает в себя 119 наименований.
Квантование результатов сложения
В общем случае двумерные рекурсивные цифровые фильтры являются нелинейными устройствами. Процессы в таких устройствах описываются двумерными нелинейными разностными уравнениями. Вместе с тем, в случае достаточно большого количества разрядов в представлении чисел, их можно считать линейными устройствами и описывать линейными разностными уравнениями.
Поведение двумерных цифровых фильтров в пространственной области может быть описано двумя характеристиками. Первая из них -импульсная, которая в цифровой обработке изображений называется также функцией рассеяния точки и характеризует степень и тип воздействия фильтра на исходное изображение. По определению импульсная характеристика есть реакция фильтра на двумерный единичный цифровой импульс. Кроме импульсной характеристики для описания двумерных цифровых фильтров в пространственной области используется также переходная характеристика. По определению, переходная характеристика есть реакция фильтра на двумерный единичный цифровой скачок. В случае двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка она определяется согласно выражению [117]
Аналогично одномерным фильтрам [2], знание выражений импульсной и переходной характеристик позволяет найти статистические характеристики шума на выходе двумерного цифрового фильтра.
Исследовать эффекты конечной разрядности в двумерных фильтрах можно двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования и нелинейной детерминированной модели. По сравнению с детерминированным подходом, статистический подход более изучен и используется в большинстве работ [118, 119]. С его помощью можно определить средний уровень шума квантования на выходе фильтра и его мощность. Основы статистического подхода в изучении эффектов конечной разрядности рассмотрены в научной и учебной литературе [2-4, 15, 36,42, 118]. В [118, 119], предложена методика оценки и минимизации шума квантования для двумерных фильтров. В связи с вышеуказанным, в первом разделе решаются следующие задачи:
1) Нахождение математического ожидания и дисперсии при использовании различных способов квантования (округления или усечения в прямом или дополнительном кодах) результатов сложения.
2) Нахождение математического ожидания и дисперсии при использовании различных способов квантования (округления или усечения в прямом или дополнительном кодах) результатов умножения.
3) Сравнение статистических характеристик для случаев квантования результатов сложения и умножения.
Трехуровневое квантование в прямом коде
Решение задач, связанных с исследованием нелинейных фильтров с квантователями, для двумерных фильтров, в отличие от фильтров одномерных, находится в начальной стадии. Исследовать эффекты конечной разрядности в фильтрах с линейным сумматором можно двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования [4] и нелинейной детерминированной модели [62-65]. Статистический подход гораздо проще детерминированного, поэтому он используется в большинстве работ по данной тематике. С его помощью можно определить средний уровень шума квантования на выходе нелинейного фильтра и его мощность.
Недостатком статистического подхода является известная жесткость исходных требований для его применения, что не всегда выполняется на практике. В частности, данный подход не применим при малом числе уровней квантования. В тоже время цифровые системы с малым числом уровней квантования, и в частности с двухуровневым и трехуровневым квантованием, применяются в радиоастрономии при построении систем, измеряющих автокорреляцию сигнала с одиночной антенны, как функцию сдвига во времени [120-124], а также, в системах телекоммуникаций при передаче двоичной информации в канале с множественным доступом при кодовом разделении абонентов [114].
Рассматривая рекурсивные фильтры, особое внимание следует уделять вопросам устойчивости, поскольку рекурсивный фильтр устойчив не при всех значениях его коэффициентов. Область устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка определяется следующими соотношениями [59-60].
Бинарное квантование
Исследование неавтономных фильтров значительно сложнее, чем автономных. Для них, в отличие от автономных фильтров, работающих только в режимах генерации или затухания, следует рассматривать еще и режим фильтрации.
Линейная система при различных сочетаниях параметров может работать как ФНЧ, ФВЧ и лопастной фильтр. Области коэффициентов, соответствующие устойчивым фильтрам верхних и нижних частот с монотонными АЧХ, показаны на рис. 3.1.
Частными видами внешнего воздействия являются постоянное и периодическое воздействия. Наиболее простым для рассмотрения является случай постоянного внешнего воздействия [96, 113]. Например, /(т,я) = 1.
Некоторые закономерности, полученные для этого случая можно обобщить и на случай произвольного внешнего воздействия.
В неавтономном фильтре также как и в автономном возможно существование двумерных предельных циклов на выходе. В связи с вышесказанным в третьем разделе диссертации решаются следующие задачи
1) Находится область фильтрации двумерного фильтра при различном числе уровней квантования и способах квантования.
2) Находятся области существования двумерных предельных циклов на выходе фильтра при различном числе уровней квантования и способах квантования.
3) Проводится обобщение на случай произвольного числа уровней квантования. 3.2 Бинарное квантование
Характеристика сумматора фильтра с бинарным квантованием описывается функцией (2.2). Для исследования неавтономных фильтров возможно применение методики, предложенной во втором разделе диссертации.
Рассмотрим это более подробно на примере нахождения области в пространстве коэффициентов, соответствующей одному из типов выходных сигналов. Пусть сигнал на выходе фильтра формируется согласно правилам, содержащимся в таблице 3.1.
