Содержание к диссертации
Введение
1. Двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка. устойчивость 15
1.1. Математическое описание двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка 15
1.2. Основные теоремы для определения устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров 18
1.3. Проверка устойчивости и стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием спектрального разложения на множители 22
1.4. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом 24
1.5. Стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом 28
1.6. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием матриц Шура-Кона 39
1.7. Сравнительный анализ табличного метода определения устойчивости и метода Шура-Кона 46
1.8. Краткие выводы 48
2. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем второго порядка 50
2.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка 50
2.1.1. Методика исследований 50
2.1.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с монотонными АЧХ 51
2.1.3. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с пульсациями в области подавления 60
2.1.4. Определение линии среза для двумерных рекурсивных фильтров верхних и нижних частот 64
2.1.5. Лопастной фильтр 66
2.1.6. Диагональный режекторный фильтр 70
2.1.7. Осевой режекторный фильтр 72
2.1.8. Диагональный полосовой фильтр 75
2.1.9. Подавление высокочастотных или низкочастотных составляющих спектра 76
2.1.10. Синтез фильтров с заданными частотными свойствами 78
2.2. Примеры обработки изображений полученными типами двумерных рекурсивных цифровых фильтров 80
2.2.1. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества 80
2.2.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот 82
2.2.3. Двумерный рекурсивный диагональный полосовой фильтр...88
2.2.4. Двумерный рекурсивный осевой режекторный фильтр 89
2.2.5. Двумерный диагональный режекторный фильтр 90
2.3. Краткие выводы 91
3. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем второго порядка с симметричными коэффициентами 92
3.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №1 92
3.1.1. Двумерные рекурсивные цифровые ФНЧ и ФВЧ второго порядка 97
3.1.2. Диагональный режекторный фильтр 105
3.1.3. Осевой режекторный фильтр 110
3.1.4. Диагональный полосовой фильтр 114
3.2. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Варианты симметрии №2 и №3 119
3.3. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №4 122
3.4. Краткие выводы 124
4. Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в пространственной области 125
4.1. Вводные замечания 125
4.2. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в общем виде 126
4.3. Предельные случаи импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка 131
4.4. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами 134
4.5. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с тремя независимыми коэффициентами 138
4.6. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного разделимого цифрового фильтра второго порядка 141
4.7. Краткие выводы 146
Заключение 147
Литература 149
Приложение
- Основные теоремы для определения устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров
- Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с пульсациями в области подавления
- Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Варианты симметрии №2 и №3
- Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в общем виде
Введение к работе
Актуальность оабоїьі. В различных областях науки и техники существуют задачи, которые предусматривают цифровую обработку многомерных массивов данных. Это, например, анализ и обработка аэрофото- и космических снимков, геофизические исследования земной коры, компьютерная томография, анализ оптических, тепловых, рентгеновских, радиографических изображений в медицине, промышленной дефектоскопии, системы технического зрения и множество других важных научно-практических задач. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флуктуаииями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре. дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д.. цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, таких как подавление эха в модемах, подавление шума и распознавание речи. Возрастающая сложность задач, увеличение объемов данных стимулирует активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов.
Для обработки двумерных сигналов можно использовать как фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), так и фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). БИХ-фнльтры обладают существенным преимуществом относительно КИХ-фильтров - для достижения тех же частотных свойств, они требуют меньшего обьема вычислений. Кроме того. БИХ-фильтры обладают более узкими переходными полосами от области пропускания до области подавления. При этом, чем ближе к нулю полином в знаменателе частотной характеристики, тем более динамично изменяется частотная характеристика. В связи с этим очень важна проблема устойчивости БИХ-фильтров.
Частотные свойства системы во многом определяют возможность се применения для решения конкретной задачи обработки сигналов и изображений. В задачах синтеза одними из основных условий являются ограничения на свойства фильтра в частотной области. В первую очередь интерес представляют такие параметры указанных фильтров, как полоса пропускания по каждой из частот, линия среза, количество и амплитуды пульсаций амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). В процессе исследования системы возникает также и обратная задача - определить влияние параметров системы на частотную избирательность. Частотные свойства одномерных рекурсивных систем второго порядка хорошо изучены. В зависимости от коэффициентов, эти системы могут быть фильтрами верхних, нижних частот, полосовыми или режскторными.
диссертационной работы внедрены также в работу ОАО «Гипроприбор-Инвест» г. Ярославль.
Апробация речультдтов работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических семинарах и конференциях: 1-й, 2-й, 3-й, 11-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения», DSPA, г. Москва, 1998 г., 1999 г., 2000 г.. 2009 г.; 2-й, 3-й, 4-й. 5-й международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации». ХТУР'Э, Харьков-Туапсе.
г.. 1997 Г., 1998 г„ 1999 г.; 3-й, 4-й, 5-й международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж..
г.. 1998 г., 1999 г.; LXIII научной сессии, носвяшенной Лию Радио. Москва, 2008 г.; 2-й, 3-й Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и -электронных систем». Чебоксары. 1997 г., 1999 г.; Международной научно-технической конференции «Современные методы цифровой обработки сигналов в системах измерений, контроля, диагностики и управления» «ОС-98», Минск, 1998 г.. 1999 г.; а также на ярославских областных конференциях молодых ученых и аспирантов.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 60 научных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 статьи в рецензируемых журналах. 5 статей в сборниках трудов и 50 докладов на научных конференциях российского и международного уровней.
Структура и обьем ряпоты
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы, включающего 120 наименований, и I приложения. Общий объем диссертации составляет 171 страницу машинописного текста. Работа содержит 65 рисунков и 4 таблицы.
Основные теоремы для определения устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров
Любой переходный процесс в выходном сигнале, вызванный изменениями во входном множестве, должен быть ограниченным по своей протяженности, и установившееся поведение фильтра (т.е. отклик при больших значениях пх и п2) должно быть предсказуемым. Проблема устойчивости рекурсивных фильтров сводится к наложению ограничений на коэффициенты фильтра bkk таким образом, чтобы при ограниченном входном сигнале \х(щ, п2 ) Р выходной сигнал удовлетворял неравенству п1,п2)\ 0, то есть его импульсный отклик h(tii,n2) описывался где Р и Q - положительные числа. Данный критерий называется критерием ограниченного входа и ограниченного выхода (ОВОВ) [1]. Иными словами, необходимым и достаточным условием устойчивости указанного фильтра является абсолютная суммируемость его импульсного отклика. Практическая применимость критерия (1.8) ограничена. При использовании его для проверки на устойчивость необходимо вычислять бесконечные суммы. Простое усечение суммы неприемлемо, поскольку усеченная сумма всегда будет ограниченной. Более того, требуется, чтобы импульсный отклик был известен. Однако алгоритмы синтеза фильтров обычно позволяют получить либо коэффициенты разностного уравнения, либо передаточную функцию фильтра.
Поэтому желательно иметь возможность определить устойчивость фильтра непосредственно по коэффициентам или по передаточной функции. Для двумерных цифровых фильтров первого порядка проблема устойчивости решается сравнительно легко, однако уже для фильтров второго порядка сложность задачи значительно возрастает. Рассмотрим основные положения и некоторые методы определения устойчивости двумерных БИХ-фильтров, делая акцент на фильтры второго порядка. Рассмотрим теорему Хуанга [37]: Пусть H(zl,z2) = l/B(z],z2) является рекурсивным фильтром первого квадранта. Этот фильтр устойчив тогда и только тогда, когда B{zl,z2) удовлетворяет двум условиям: , для любого а, где \а\ 1. (ЇЛО) То есть, если двумерная последовательность абсолютно суммируема, то ее z-преобразование аналитично на единичной поверхности 1 = 21 = 1. Обратное утверждение так же справедливо: если z-преобразование последовательности аналитично на единичной поверхности, то последовательность является абсолютно суммируемой, а фильтр -устойчивым. Для практически важного случая передаточных функций требование аналитичности Н для І- іІ = г2І= эквивалентно требованию В 0 для \z{ = z21 = 1. Это в свою очередь требует, чтобы единичная поверхность z1 = z2 = l лежала в области сходимости передаточной функции. Хотя устойчивость многомерного рекурсивного фильтра зависит от набора нулей полинома знаменателя B{zl,z2), иногда на устойчивость может влиять и полином числителя. Это происходит в том случае, когда на единичной биокружности имеются несущественные особенности второго рода, то есть на ней имеются такие точки, в которых одновременно и числитель и знаменатель равны нулю.
В этом случае нельзя сказать будет фильтр устойчив или нет. Другими словами, можно подобрать такой фильтр с несущественными особенностями второго рода, который будет устойчив, но не будет удовлетворять условиям теоремы 1.1. В настоящее время не имеется общих и прямых средств для определения того, является ли устойчивой передаточная функция, не имеющая полюсов вне единичной биокружности и обладающая несущественной особенностью второго рода на единичной биокружности. Таким образом, теорема 1.1 является просто достаточным условием устойчивости для случаев нетривиального полинома в числителе. Она является необходимым условием устойчивости только в случае отсутствия на единичной биокружности несущественных особенностей второго рода. Рассмотрим простой тест на устойчивость, который основывается на двух теоремах, представленных Бауэром в [38]. Теорема 1.2 Многомерный линейный инвариантный к сдвигу цифровой фильтр, имеющий вид: Считается, что передаточная функция фильтра не имеет несущественных особенностей второго рода. Из этой теоремы следует, что для устойчивости уравнения (1.11) все коэффициенты рекурсивной части bk к должны быть положительны, и их сумма не должна быть больше единицы. Достоинством этой теоремы является то, что она сформулирована для фильтров любой размерности и любого порядка, и такой метод может быть легко распространен на нелинейный случай. К недостаткам относится то, что все коэффициенты bkk должны быть положительными. Так же теорема 1.2 не обладает достаточностью, и можно подобрать такой устойчивый фильтр, который не будет удовлетворять условию (1.12), но являться устойчивым. Примером вышесказанного является двумерный фильтр с коэффициентами i,o = o,i =0-5, Ь2 о -b02 =bl2 =0.25, который не удовлетворяет условию (1.12), хотя в действительности является устойчивым.
Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с пульсациями в области подавления
Широкое применение СКО и ПОСШ в практических задачах обусловлено тем, что подсчет этих характеристик математически прост и не требует больших вычислительных затрат. Однако необходимо отметить и то, что величина ПОСШ не может в полной мере отразить воздействие на изображение различных видов помех [4, 112], т.е. при наличии в изображении разных видов шумов значение ПОСШ может оставаться одним и тем же, хотя качество изображения при этом может существенно различаться. Другими словами, можно сказать, что величина ПОСШ плохо согласуется с субъективными критериями качества, например, с рекомендациями ITU-R 500 [113, 114] и не является универсальной. Для оценки визуального качества обрабатываемых изображений используется модификация алгоритма на основе универсального индекса качества (УИК) [115, 116], учитывающего искажения яркости и контраста, а также степень коррелированности между эталонным и оцениваемым изображениями. Алгоритм вычисления метрики модифицированного универсального индекса качества (УИК-М) состоит в том, что к эталонному и оцениваемому изображениям применяется одноуровневое вейвлет-разложение с использованием вейвлета Добеши 9/7. В результате вейвлет-преобразования каждое изображение разбивается на 4 частотные подобласти: LL, LH, HL и НН [111]. Затем вычисляются значения УИК для каждой подобласти: yHKLL, УИКц-ь УИКНь и УИКНн соответственно.
Итоговое значение критерия УИК-М с учетом весовых коэффициентов, отражающих разную чувствительность зрения к указанным диапазонам вейвлет-коэффициентов [117], вычисляется по следующей формуле [103]: Периодическая помеха весьма типична для оцифрованных изображений. Она возникает при интерференции различных электрических и электромеханических процессов. В качестве модели периодической помехи, рассматриваемой в настоящей работе, выступает двумерная синусоида, аддитивно добавляемая в сигнал и задаваемая следующей формулой: где А — это амплитуда, со10 и со20 определяют синусоидальные частоты, соответственно по осям х и у, Ах и Ау - сдвиги фаз относительно начала отсчета, М и N - число строк и столбцов матрицы г(х,у). Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) размером MxN от г(х, у) является функция которая имеет вид пары комплексно сопряженных единичных импульсов, находящихся в точках (со10,со20) и (- со10,-со20) соответственно. Примеры исходных изображений, периодических помех, искаженных и восстановленных изображений приведены на рис. 2.13 и рис. 2.14. Помеха на рис. 2.13 представляет собой единичную синусоиду, описанную с использованием формулы (2.35). Помеха на рис. 2.14 представляет собой суперпозицию двух синусоид. Изображения, восстановленные с использованием ФНЧ с коэффициентами: b0l =bl0 =0.16, Ьп =0.14, bn =Ь21 =0.02, Ъ22 =0.01., приведены на рис. 2.13г и рис. 2.14г.
Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Варианты симметрии №2 и №3
Определим математически ограничения на коэффициенты для получения областей существования диагонального режекторного фильтра. Необходимо в окрестностях точек (ТЕ, ТС) , (0,0) и (-тг, тс) получить области пропускания, разделенные между собой областями подавления. В силу симметричности АЧХ і7(тс,тс) равно Н(-ж,тс), поэтому рассмотрим только точку с координатами (тс,тс). В окрестностях точек (тс,тс) и (0,0) необходимо, чтобы отклонение любой точки АЧХ от касательных плоскостей, проведенных к ее поверхности в этих точках, было отрицательно. При этом значения АЧХ в этих точках должны попадать в полосу пропускания, т.е. должны превышать значение 1/V2 от максимального. Возможны два различных случая: первый - наличие максимума АЧХ в точке (0,0), и второй - наличие максимума АЧХ в точке (тс, тс).
Рассмотрим последовательно оба эти случая. 1) Максимум АЧХ в точке (0,0), что равносильно выполнению условия: Условия (3.7), (3.9), (3.18), (3.19), (3.20) и (3.21) в совокупности определяют первую часть области существования диагональных режекторных фильтров. 2) Рассмотрим второй случай - максимальное значение АЧХ принимает в точке (7t,7t). Проведя рассуждения, аналогичные первому случаю получим следующую систему неравенств: Условия (3.22) определяют вторую часть области параметров, в которой существуют диагональные режекторные фильтры. Область существования диагональных режекторных фильтров представлена в графическом виде.
Ее форма в пространстве коэффициентов достаточно сложна, поэтому приведены три сечения плоскостями c=const. Рисунки 3.8, 3.9, 3.10 представляют сечения плоскостями с=0.065, с=0.12, с=0.2, соответственно. Сечения позволяют оценить форму области и местоположение в пространстве коэффициентов. Условие (3.28) определяет вторую часть области параметров, в которой существуют осевые режекторные фильтры. Область существования осевых режекторных фильтров представлена в графическом виде. Форма области в пространстве коэффициентов достаточно сложна, поэтому на рисунках 3.12, 3.13, 3.14 приведены три ее сечения плоскостями с= -0.05, с= -0.15, с= -0.25, соответственно.
Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в общем виде
Разделимые фильтры представляют собой произведение двух одномерных фильтров и обладают рядом достоинств, проявляющихся как при синтезе, так и при реализации. Реализовать такие фильтры можно с помощью набора одномерных сверток, выполняемых над строками входного сигнала, за которым следует другой набор одномерных сверток над столбцами полученного сигнала. Поэтому имеет смысл аппроксимировать произвольный двухмерный фильтр с бесконечной импульсной характеристикой набором более простых разделимых фильтров, соединенных параллельно. Это поясняет важность исследования импульсной характеристики разделимого фильтра. Условия разделимости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка можно записать следующим образом: В этом случае имеются четыре независимых коэффициента, которыми и определяется поведение импульсной характеристики исследуемого разделимого фильтра второго порядка. Рассмотрим полученное выражение подробнее. 1. Если коэффициенты фильтра удовлетворяют следующему условию: 4\d\«a2, 4\е\«Ъ2, то импульсную характеристику в нулевом приближении можно представить в форме: h(n,m) = bnam. (4.32) Импульсная характеристика экспоненциально спадает вдоль осей п и т. Полученное выражение совпадает с импульсной характеристикой разделимого двумерного фильтра первого порядка. Таким образом, динамика фильтра определяется двумя параметрами а и Ь. Отметим, что исходя из полученной формулы, поведение импульсной характеристики будет иметь знакопеременный характер в соответствующем направлении, если один из коэффициентов (а или Ь) имеет отрицательный знак. 142 Проиллюстрируем теоретические выкладки на примере (рис. 4.6), выбрав следующие параметры фильтра: а=0.7, b=0.5, е=0.07, d=0.01. 2. Гораздо более интересен вид импульсной характеристики при следующем соотношении коэффициентов: 4d -a2 , 4e -b2. В этом случае для наглядности перейдем к экспоненциальному Колебания будут происходить в двух взаимноперпендикулярных направлениях - вдоль оси пит с частотами (pi и (р2 соответственно. В качестве примера (рис. 4.7) приведем вид импульсной характеристики, когда существуют затухающие колебания вдоль направления обоих осей п и т с параметрами: а=1, Ь—1, с=-1, е=-0.67, d=-0.67,f=0.67, g=0.67, h=-0.45. 3.
Возможен случай, когда вдоль одного направления наблюдаются колебания, а вдоль другого происходит лишь экспоненциальное затухание, как, например: На коэффициенты наложены следующие условия: 4\d\«a2 , 4е -Ъ2. Последнее выражение описывает колебательный процесс, распространяющийся с частотой (рі в направлении одной оси, в то время как вдоль второй оси процесс спадает экспоненциально (рис. 4.8). В следующем примере приняты параметры фильтра: а=0.7, b=0.7, d=-0.5, е=0.01. Условия на сходимость импульсной характеристики выводятся аналогичным образом, что и в предыдущих случаях. Таким образом, в разделе рассмотрены три частных случая импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка, которые представляют особый интерес с теоретической точки зрения. В этих случаях импульсная характеристика может быть выражена через элементарные функции. Для всех трех случаев выделены области существования колебаний, а также указаны параметры, от которых зависит знакопеременность поведения двумерной импульсной характеристики. 1. Применяя дифференциальный метод вычисления, получено аналитическое выражение для импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. 2. Достоверность результатов подтверждается поведением импульсной характеристики в сечениях n=const и m=const, а также переход ИХ фильтра второго порядка с 8-ю коэффициентами в ИХ первого порядка при обнулении соответствующих коэффициентов. 3. Получены условия на коэффициенты фильтра для существования модулированных колебаний с частотой р вдоль осей пит. Частота ср явно определяется через коэффициенты фильтра. 4. Для частных случаев — симметрии коэффициентов, трех независимых коэффициентов, разделимого фильтра, выделены области, в которых импульсная характеристика имеет колебательный характер. Получены условия на коэффициенты фильтра для обеспечения сходимости ИХ. 5. Получены параметры, от которых зависит знакопеременность поведения импульсной характеристики. 6. Проведенные исследования импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка направлены на то, чтобы по возможности ближе подойти к аналитическому решению задач анализа двумерных цифровых рекурсивных фильтров или даже частично их решить в пространственной области. 7.
Полученная импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов таких фильтров при исследовании явлений, обусловленных эффектами квантования.
