Содержание к диссертации
Введение
1. Общие вопросы реализации низкочувствительных фильтров
1.1 Обоснование низкой чувствительности волновых цифровых фильтров (ВЦФ) 9
1.2 Структуры низкочувствительных фильтров на основе сигнальных четырехполюсников 15
1.3 Алгоритм расчета низкочувствительных цифровых фильтров 20
1.3.1 Получение фазовой матрицы или вектора по исходной передаточной функции 20
1.3.2 Выбор матрицы понижения порядка 21
1.3.3 Представление исходной фазовой матрицы или вектора в виде каскадного соединения сигнальных четырехполюсников 24
1.4 Способы нахождения дополняющей функции 26
1.4.1 Прямое решение 26
1.4.2 Итерационное решение 28
1.4.3 Аналитическое решение 30
1.5 Выводы 31
2. Реализация передаточных функций на основе каскадного соединения звеньев первого порядка
2.1 Реализация ограниченного вектора передаточных функций с помощью обобщенного алгоритма Шура-Кона 32
2.2 Реализация низкочувствительных цифровых фильтров с помощью факторизации ограниченной матрицы передаточных параметров 46
2.3 Реализация секции первого порядка в виде каскадного соединения решетчатых звеньев 59
2.4 Примеры расчета 64
2.5 Выводы 75
3. Анализ шумов квантования в волновых цифровых фильтрах
3.1 Вводные замечания 76
3.2 Шумовая модель волнового цифрового фильтра 80
3.3 Сравнение шумовых свойств различных структур 85
3.4 Выводы 99
4. Оптимизация синтезированных структур
4.1 Организация конвейерной обработка в синтезированных цифровых фильтрах 101
4.2 Использование алгоритма координатных вращений для реализации волновых цифровых фильтров 110
4.3 Оптимизация чувствительности синтезированных фильтров 115
4.4 Выводы 120
Заключение 121
Литература 124
- Структуры низкочувствительных фильтров на основе сигнальных четырехполюсников
- Способы нахождения дополняющей функции
- Реализация низкочувствительных цифровых фильтров с помощью факторизации ограниченной матрицы передаточных параметров
- Сравнение шумовых свойств различных структур
Введение к работе
Развитие современной цифровой техники и ее внедрение в различных областях радиоэлектроники ставит все более сложные задачи и для цифровой обработки сигналов. Традиционным способом построения цифровых БИХ фильтров является каскадирование звеньев второго порядка. Однако стремление уменьшить стоимость, энергопотребление и одновременно обеспечить повышенные требования к избирательности и динамическому диапазону заставляют искать разработчиков новые методы реализации цифровых фильтров высокого порядка.
Одним из современных направлений развития цифровой фильтрации является область волновых цифровых фильтров (ВЦФ), имитирующих волновые уравнения пассивных LC-фильтров. ВЦФ обладают большими преимуществами в отношении требований к точности коэффициентов, динамическому диапазону и устойчивости. Кроме того, некоторые виды ВЦФ имеют модульную структуру и легко конвейеризуемы.
Свойство минимальной чувствительности резистивно-нагруженных LC фильтров было исследовано в работе /1/. Суть заключалась в том, что аналоговые схемы с реактивными элементами согласованы по входу и выходу, т.е. для этих схем выполняется режим согласованной нагрузки, когда мощность передаваемого сигнала максимальна. В работе 121 были впервые описаны волновые цифровые фильтры, которые строятся путем имитации уравнений в волновых параметрах, согласованных по входу и выходу реактивных цепей. На данном этапе расчет волнового цифрового фильтра начинался с определения аналогового LC-прототипа. Затем каждый элемент преобразовывался (по таблице замещения) в соответствующий ему элемент цепи прохождения сигнала. Переменные, фигурирующие в сигнальном графе волнового фильтра, представляют собой линейные комбинации дискретизированных токов и напряжений и являются падающими и отраженными волнами напряжения, тока или мощности. Выбор указанного способа преобразования обусловлен тем, что если оставить токи и напряжения в качестве переменных сигнального графа, то в графе появятся контуры без задержки, т.е. цифровой фильтр будет физически нереализуем.
Затем в работах /3-5/ был развит подход, согласно которому каждый элемент аналогового прототипа представлялся в виде четырехполюсника (в работе 121 аналоговый элемент заменялся двухполюсником).
Недостатком перечисленных методов является необходимость расчета аналогового прототипа, что приводит к усложнению алгоритма и, как следствие, снижению точности результата.
В настоящее время хорошо разработаны методы синтеза ВЦФ на основе понижения порядка входной передаточной функции /6-10/. Такой подход имеет существенный недостаток, так при реализации комплексно-сопряженных нулей необходимо включение согласующих звеньев. Это приводит к усложнению структуры фильтра, уменьшению пропускной способности устройства.
В диссертации предложены методы расчета волнового цифрового фильтра, позволяющие сократить количество сигнальных четырехполюсников, по сравнению с известными работами, за счет использования иной математики понижения порядка исходной передаточной функции.
Таким образом, сформулируем цель и задачи настоящей работы.
Целью работы является разработка методов синтеза волновых цифровых фильтров, состоящих из минимального количества четырехполюсных секций, а также исследование и оптимизация их характеристик.
В работе решаются следующие задачи;
Исследование общих свойств структур низкочувствительных цифровых фильтров.
Разработка методики нахождения дополняющей функции.
Разработка методов реализации цифровых фильтров, имеющих низкую чувствительность АЧХ во всем диапазоне частот.
Исследование характеристик чувствительности и шумов синтезированных фильтров.
Исследование вопросов повышения производительности синтезированных фильтров за счет использования конвейерной обработки.
Исследование вопросов минимизации чувствительности синтезированных цифровых фильтров.
Научная новизна.
Предложен метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании обобщенного критерия устойчивости Шура-Кона. Предложенный метод позволяет получить новые конфигурации низкочувствительных фильтров.
Развит метод реализации цифровых фильтров, имеющих низкую чувствительность АЧХ во всем диапазоне частот, основанный на выделении нулей сквозной передаточной функции.
Разработана методика повышения производительности синтезированных фильтров за счет использования конвейерной обработки.
Предложена методика оптимизации чувствительности синтезированных цифровых фильтров, основанная на использовании условия ограниченности матрицы параметров синтезируемого фильтра.
Практическая ценность диссертационной работы заключаются в том, что ее результаты позволяют: использовать процессор с меньшим количеством разрядов при реализации предложенной структуры по сравнению с канонической, при сохранении вида АЧХ и отношения сигнал/шум в заданных пределах; уменьшить порядок синтезируемой цепи по сравнению с ранее известными методами в 1.5 - 2 раза; при реализации на многопроцессорной базе существенно увеличить производительность устройства.
Результаты работы докладывались на научно-технических конференциях и семинарах.
IV международная научно-техническая конференция аспирантов и молодых ученых, «Современные техника и технологии», г. Томск, февраль 2000 г.
IV Всероссийская научно-техническая конференция «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, июнь 2001 г.
Межрегиональная научно-техническая конференция «Научная сессия ТУСУР», Томск, май 2002 г.
IV Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники», Красноярск, май 2002 г.
Научно-техническая конференция «День молодых ученых», организованная компанией SAMSUNG, г. Новосибирск, июнь 2002 г.
I международная конференция IEEE, «Circuits and systems for communication», С-Петербург, июнь 2002 г.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена вопросам формирования устройств со структурно обусловленной низкой чувствительностью. Рассматриваются вопросы получения фазовых матриц, удовлетворяющих условию параунитарности, а также способы их факторизации и как следствие виды соединения сигнальных четырехполюсников. Рассмотрены вопросы нахождения дополняющей функции.
Вторая глава посвящена методам реализации низкочувствительных цифровых фильтров. Предложена процедура синтеза, основанная на использовании обобщенного алгоритма Шура-Кона. Развит метод реализации, основанный на выделении нулей сквозной передаточной функции. Рассмотрены вопросы реализации полученных структур в виде каскадного соединения решетчатых звеньев.
Третья глава посвящена анализу шумовых свойств цифровых фильтров. Были получены аналитические соотношения, которые значительно упрощают анализ шумов. Проведен сравнительный анализ шумовых свойств синтезированных и традиционных структур.
Четвертая глава посвящена вопросам улучшения характеристик волновых цифровых фильтров. Разработан алгоритм увеличения производительности предложенной структуры за счет использования конвейерного способа обработки сигнала. Рассмотрены вопросы реализации матрицы нулевого порядка на основе алгоритма координатных вращений. Предложен критерий оптимизации коэффициентов умножителей.
В заключении перечисляются основные результаты работы.
Структуры низкочувствительных фильтров на основе сигнальных четырехполюсников
Таким образом, условие ограниченности можно обеспечить путем использования четырехполюсников, называемых ограниченными вещественными четырехполюсниками без потерь (ОВБП четырехполюсники), которые описываются равенством (1.7). Перемножая матрицы, получим систему уравнений: Таким образом, ,,(z) и p21(z) дополняют друг друга до единицы. Кроме того, амплитуды функций Wn(z) и W22{z), а также W2X{z) и Wn{z) равны во всех точках единичной окружности. Обобщая вышесказанное, можно вывести следующие условия низкой чувствительности фильтра. 1. Исходная передаточная функция должна быть ограничена сверху единицей. Это условие легко достижимо с помощью умножения на масштабный коэффициент. 2. Реализуемый фильтр должен обладать свойством структурной обусловленности, т.е. амплитуда не должна превышать единицы вне зависимости от значений коэффициентов умножителей. 3. Энергия выходного сигнала должна равняться энергии входного сигнала, т.е. равенство (1.7) должно выполнятся для всех со. Это условие обеспечивает абсолютную стабильность фильтра и отсутствие в нем предельных циклов. С физической точки зрения это основное условие низкой чувствительности. 4. Реализуемый фильтр представляет собой соединение: а) фазовых звеньев, как это показано в работах /40, 46-48, 59/, и более подробно будет рассматриваться в разделе 2.1; б) ограниченных вещественных или комплексных четырехполюсников без потерь /2, 21, 23, 39, 43, 67,78/; в) ОВБП-п-полюсников /14-19/. 1.2 Структуры низкочувствительных фильтров на основе сигнальных четырехполюсников Преобладающей формой цифровых фильтров высокого порядка, отвечающих требованиям современных технологий и оптимальных по чувствительности и уровню собственных шумов, являются структуры, образованные каскадным соединением сигнальных четырехполюсников. Как показано в параграфе 1.1, задача синтеза волнового цифрового фильтра является задачей одновременной реализации двух взаимодополняющих передаточных функций. Следовательно, синтезируемая цепь должна представлять четырехполюсник. В него должны быть включены как заданная, так и дополняющая передаточные функции. Это дает возможность контролировать чувствительность на выходе фильтра. Связь между сигналами на внешних зажимах четырехполюсника можно представить с помощью матричных уравнений. Рассмотрим несколько основных вариантов уравнений цепей, представленных сигнальным четырехполюсником, имеющим два входных и два выходных зажима. ) называют матрицей передаточных параметров или передаточной матрицей /79, 80, 84/. Сигнальный граф данного четырехполюсника представлен на рисунке 1.3. УгПроцедура синтеза низкочувствительного цифрового фильтра включает в себя несколько этапов. 1. Получение фазовой матрицы или вектора по исходной передаточной функции.2. Выбор соответствующей матрицы понижения порядка.3. Представление исходной фазовой матрицы или вектора в виде каскадного соединения сигнальных четырехполюсников.
Рассмотрим более подробно каждый из этих пунктов. 1.3.1 Получение фазовой матрицы или вектора по исходной передаточной функции В параграфе 1.1 было показано, что для реализации низкочувствительного фильтра необходимо ввести заданную передаточную функцию в фазовую матрицу. Примем: ) = 7 (L22 G(z) где F(z) - числитель заданной передаточной функции; G(z) - знаменатель заданной передаточной функции; Wn(z) - элемент фазовой матрицы. Следует отметить, что при подстановке исходной передаточной F(z) функции в другой элемент фазовой матрицы, например Wu(z) = — -L, мы G(z) получим такую же структуру, но по чувствительности и по шумам они будут отличаться. Подставляя равенство (1.22) в уравнение (1.14) получим: Решая систему уравнений (1.10-1.13) с учетом (1.22) и (1.23), получим: Полином H(z) называют дополняющей функцией /13, 22, 84/. В итоге получим фазовую матрицу, приведенную к каноническому виду: Это следует из свойства ограниченных четырехполюсников без потерь, поскольку при перемножении или делении двух параунитарных матриц получаем матрицу, которая также удовлетворяет условию параунитарности /62, 74, 75/. И как следствие получаем согласованные между собой четырехполюсники, а это в свою очередь обеспечивает низкую чувствительность фильтра /26, 27, 36, 49/. 2. Для структур, представленных на рисунке 1.8, необходимо отсутствие слагаемых нулевого порядка в элементах q2X(z) или qn{z) (рисунок 1.8(a)) /44, 66/ и qu(z) или q22(z) (рисунок 1.8(6)) а) б) Рисунок 1.8 - Физическая реализуемость В противном случае появятся контуры без задержки, что противоречит условию реализуемости фильтра. 3. В результате умножения исходной фазовой матрицы или вектора порядка п на матрицу [Q(Z)] порядка т, должна получиться матрица или вектор порядка п-т. В данной работе будут использоваться матрицы \Q{z)\ только первого порядка. Это обусловлено тем, что при увеличении порядка матрицы [Q(z)], резко возрастает сложность самой матрицы и расчета ее параметров. Понижение порядка осуществляется путем сокращения общих множителей в числителе и знаменателе. 1.3.3 Представление исходной фазовой матрицы или вектора в виде каскадного соединения сигнальных четырехполюсников Условно разобьем различные виды каскадного соединения звеньев на два типа. К структурам первого типа отнесем каскадное соединение звеньев, полученное путем непосредственного разбиения исходной матрицы на произведение матриц этого же вида. матриц Аналогично можно записать и для матрицы передаточных параметров. иЫ ,м 2]х...хы (1.32) В этом случае имеем структуру представленную на рисунке 1.10. Рисунок 1.10 - Соединение соответствующее произведению передаточных матриц Отметим, что какую бы структуру не взяли за основу, результат будет один и тот же, т.е. эти случаи являются аналогичными. К структурам второго типа отнесем каскадное соединение звеньев, полученное путем разбиения исходной матрицы на произведение матриц другого вида. Так, исходную матрицу передаточных параметров [г], в соответствии с таблицей 1.1, преобразуем в матрицу цепных параметров [в], которую представляем в виде произведения матриц первого порядка [б,]. Затем каждую матрицу [&,], используя таблицу 1.1, преобразуем в матрицу передаточных параметров [t.]. Описанный выше алгоритм представлен на рисунке 1.11.
Способы нахождения дополняющей функции
В правой части уравнения (1.35) мы имеем полином степень которого, в общем случае равна 2п. Приравняв полученный полином к нулю, мы найдем его корни или, что тоже самое, корни функции Z"H[Z ])H(Z).
После выделения нулей должна производится нормировка и проверка путем построения амплитудно-частотной характеристики дополняющей функции.Нормировка производится исходя из условия параунитарности. Запишем (1.33) в виде: равно единице. Исходя из этого условия нетрудно произвести нормировку.
Недостатки предложенного метода: 1. Невозможность определения дополняющей функции без взаимодействия человек-компьютер на стадии выделения нулей.2. Быстрое накопление погрешности с ростом порядка фильтра. Погрешность накапливается на двух этапах: при нахождении корней полинома и при перемножении выделенных нулей для получения коэффициентов H(z)
Вывод: предложенный метод пригоден для нахождения дополняющейфункции невысокого порядка, т.е. для л 4.Запишем уравнение (1.34) в развернутом виде.При перемножении полиномов получим:Приравнивая коэффициенты при z, получим систему нелинейных уравнений и + 1 порядка.
Систему уравнений (1.39) можно несколько упростить. Для этого в уравнении (1.37) предположим 2 = 1, тогда: Подставляя в (1.37) z = -1 получим: для четных пдля нечетных пВ левой части уравнений (1.40) - (1.42) освободимся от степени:где А1 и А2 правые части равенств (1.40) и (1.41) или (1.40) и (1.41).Произведем операции сложения и вычитания над уравнениями (1.43) и (1.44): для четных пдля нечетных п
Равенства (1.45) и (1.46) или (1.47) и (1.48) можно использовать как проверочные, а можно заменить ими последние уравнения в системе (1.39), т.к. последние равенства содержат наибольшее количество слагаемых, следовательно, вносят наибольшую погрешность.Главными достоинствами такого метода можно считать высокую точность расчета дополняющей функции и не участие человека в нахождении решения.
К недостаткам следует отнести сложность решения системы нелинейных уравнений (1.39), т.е. это целая подзадача, в рамках которой необходимо обеспечить сходимость и точность итерационного решения.
Недостатки прямого и итерационного решений очевидны. Существует целый ряд функций, например фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева-Кауэра, для которых возможно аналитическое решение, в целом более простое и не требующее участия человека при нахождении решения.
Аналитическое решение возможно лишь в том случае если дополняющая функция удовлетворяет одному из условий:1) H(z) = znH(z [) при этом H(z) называют прямосимметричной функцией /46, 48/;2) H(z) = -z"H{z x) при этом H(z) называют обратносимметричной функцией /46, 48/.
Рассмотрим решение для прямосимметричной функции. Систему уравнений (1.39) можно переписать таким образом:Таким образом, исходную систему уравнений представили в виде последовательности уравнений с одной неизвестной. Аналогичное решение и для обратносимметричной функции.
Сравнивая эти три способа нахождения дополняющей функции, можно сделать вывод, что наиболее точные данные получают при использовании аналитического решения. Если же передаточная функция фильтра не является ни прямосимметричной ни обратносимметричной, то для нахождения H{z) желательно пользоваться итерационным решением.1. Рассмотрено математическое описание низкочувствительных цифровых фильтров, опирающееся на теорию отсутствия потерь. Выведены критерии низкой чувствительности.2. Рассмотрены основные типы звеньев, а также их соединения, для которых условие низкой чувствительности является структурно обусловленным.3. Рассмотрена методика факторизации исходной фазовой матрицы.4. Предложены различные алгоритмы нахождения дополняющей функции, в зависимости от предъявляемых требований и располагаемых ресурсов.
Широкая известность фазовых звеньев, т.е. таких звеньев, АЧХ которых равна единице вне зависимости от частоты, обуславливает развитие различных алгоритмов реализации таких структур /39, 73, 82/. Низкая чувствительность фазового звена к изменению коэффициентов умножителей говорит о низкой чувствительности всего фильтра.
Традиционным способом синтеза электрических цепей является последовательное понижение порядка передаточной функции или входного сопротивления за счет выделения простейших звеньев. Для этих целей обычно используют различные критерии устойчивости. Например, для аналоговых цепей широко используют разложение на простейшие дроби /84/. В данном параграфе предложена процедура реализации низкочувствительных фильтров с помощью обобщенного критерия Шура-Кона.Согласно критерию Шура-Кона понижение порядка фазовой функции осуществляется за счет сокращения общих множителей по следующему рекуррентному соотношению /65/:
Реализация низкочувствительных цифровых фильтров с помощью факторизации ограниченной матрицы передаточных параметров
В данном разделе рассмотрим процедуру разбиения исходной матрицы на четырехполюсные секции первого порядка, в общем случае с комплексными коэффициентами /61/. Предлагаемый метод пригоден для нулей сквозной передаточной функции, лежащих на единичной окружности, а также в бесконечности и в начале координат, т.е. данный алгоритм применим для подавляющего большинства фильтров.
В /66/ предложена процедура понижения порядка, основанная на выделении максимумов входной функции. В работах /7, 45/ показано, что удобнее выделять четырехполюсники, реализующие нули передаточной функции. Запишем исходную матрицу в каноническом виде в соответствии с данными, представленными в разделе 1.1.Выделению сигнального четырехполюсника соответствует умножение исходной матрицы на матрицу понижения порядка [?(z)].
В соответствии с требованиями, выдвинутыми в разделе 1.2, матрица [Q(z)] имеет вид:end- постоянные коэффициенты, вычисляемые в процессе расчета фильтра.Параметры секций зависят от расположения выделяемого нуля. Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Выделяемый нуль находится в точке -1Умножим исходную матрицу цепных параметров [5(n)(z)J на матрицу понижения порядка Q(z):Fw{ необходимо, чтобы уравнения (2.16 - 2.19) были тождественны для случая z = -l.Условие параунитарности для случая z = -l запишется:) Таким образом, уравнения (2.16 - 2.19) при z = -\ с использованием (2.22) можно записать:
Для нахождения коэффициента d необходимо продифференцировать равенства (2.16 -2.19):где A] - A4 - некоторые полиномы от z.Подставляя (2.23) в уравнения (2.24 - 2.27) и выражая d с учетом того, что z--\, получим:Если числитель и знаменатель в уравнениях (2.30) и (2.31) умножить на ju, то получим (2.28) и (2.29) соответственно. Докажем, что уравнения (2.28) и (2.29) также тождественны между собой. Для этого продифференцируем равенство (1.33):
Домножая числитель и знаменатель на ju с учетом (2.21), получим уравнение (2.29), что говорит о тождественности равенств (2.28) и (2.29).Обобщая вышеприведенные выкладки, можно сказать, что уравнения (2.16 - 2.19) тождественны для случая z = -1. Следовательно, при умножении цепной матрицы на матрицу [Q(z)] будет происходить понижение порядка всех полиномов [B(z)].Зная значение с и d, можно вычислить коэффициенты полиномов, образующих матрицу [5("_l)(z)j: Последовательно понижая порядок, в остатке получим матрицу постоянных коэффициентов: Перепишем (2.44) следующим образом:
В итоге, мы представили исходную матрицу Б(П)(»] П-ГО порядка, как произведение п J-унитраных матриц первого порядка.Матрице цепных параметров [б,] соответствует матрица передаточныхпараметров [/,.]. Структура соединения полученных четырехполюсников представлена на рисунке 2.9.
Рассмотрим ограничения, накладываемые на предложенную матрицу понижения порядка. Запишем условие J-унитарности для [Q(z)] В развернутом виде.Это равенство верно только для вещественных а. Для случая, когда а лежит на единичной окружности, коэффициенты с и d должны быть комплексными. С учетом параунитарности получим матрицу понижения порядка для случая, когда нуль исходной функции лежит на единичной окружности:
Случай 2. Выделяемый нуль находится на единичной окружности Этот алгоритм является более общим случаем и включает в себя ранее предложенный, когда нуль находился в точке -1. Был специально выделен случай с вещественным нулем, чтобы на его примере доказать справедливость математических выкладок. Для комплексных нулей, в частности, для нулей, лежащих на единичной окружности, все выкладки сохраняют свою силу, однако доказательство усложняется. Поэтому в данном разделе будет приведена только последовательность расчета.
По исходной передаточной функции W(z) составляется параунитарная матрица [T(z)], которая преобразуется в матрицу цепных параметров [B(z)]. Далее последовательно понижаем порядок исходной матрицы [B(z)] С помощью домножения на [Q(z)]. Для і-го шага можем записать:Выразим коэффициенты с и d.
Зная end, можно найти полиномы G("_M) И Я(" М). Сделаем оговорку, полиномы G(" M) и н{п Х) находить не обязательно, для получения коэффициентов с и d достаточно знать значения этих полиномов и их производных на частоте нуля ai. Такой способ решения позволяетсущественно уменьшить погрешность вычислении, которая быстро накапливается при увеличении порядка фильтра /84/. Отметим, что с этой проблемой сталкиваются проектировщики как аналоговых, так и цифровых волновых фильтров.
Случай 3. Нуль исходной передаточной функции лежит в начале координатКорню функции F(z) в начале координат соответствует корень в бесконечности функции F(z). Следовательно, для понижения порядка необходимо, чтобы в знаменателе матрицы Q(z) присутствовал элемент z. Этому условию соответствует матрица (2.14) при а = 0 и с = 0. Для сохранения длины вектора необходимо домножить на масштабный коэффициент. В результате получим матрицу понижения порядка:
Сравнение шумовых свойств различных структур
При анализе работы фильтра с фиксированной запятой следует уделить внимание масштабированию сигнала. Если амплитуда сигнала окажется достаточной для превышения заданного динамического диапазона, то произойдет переполнение и выходной сигнал сильно исказится. С другой стороны, если амплитуды всех сигналов, проходящих через фильтр, окажутся чрезвычайно малыми, то фильтр будет работать неэффективно, и отношение сигнал-шум будет не велико.
Для предотвращения переполнения следует в определенных точках фильтра масштабировать сигналы так, чтобы при сложении не возникало переполнения. Метод масштабирования применимый, к построению фильтров с использованием обратного и дополнительного кодов, был предложен Джексоном. Этот метод довольно сложный, но позволяет непосредственно выбрать как разрядность в фильтре, обеспечивающую заданное отношение сигнала к шуму округления, так и наилучшую схему построения фильтра. Мы не будем рассматривать этот метод, а воспользуемся лишь необходимыми выкладками /63, 81/. Величину сигнала в любой точке схемы можно определить по формуле: где D. \eico) - передаточная функция от входа схемы до і-го узла; Х\е а) - преобразование Фурье входного сигнала. Если максимум спектра входного сигнала конечен, то уравнение (3.10) можно переписать таким образом: Для обеспечения наибольшего отношения сигнал-шум на выходе фильтра знак неравенства в уравнении (3.11) заменяется равенством. Отметим, что данная методика не гарантирует отсутствие переполнений, но делает их маловероятными. В качестве примера рассмотрим реализацию эллиптического фильтра шестого порядка (см. пример 4, раздел 2.4) в виде канонической, биквадратной и волновой структур. Каноническая структура. Передаточная функция фильтра шестого порядка в общем случае имеет вид: Коэффициенты канонической структуры для эллиптического фильтра сведем в таблицу 3.2. Структурная схема канонического фильтра без масштабирования представлена на рисунке 3.11. Рисунок 3.11 - Каноническая структура без масштабирования Максимальная величина сигнала будет в точке отмеченной на рисунке 3.11 звездочкой. Передаточная функция от входа до этой точки будет иметь вид: Амплитудно-частотная характеристика и ее среднее значение по амплитуде представлены на рисунке 3.12. Коэффициенты полученной структуры сведены в таблицу 3.2. Таким образом, в первоначальной структурной схеме добавляется умножитель на входе фильтра.
Биквадратная структураТак как исследуемый фильтр имеет комплексно-сопряженные нули, то его структура будет представлять последовательное соединение трех секций второго порядка (рисунок 3.13). Коэффициенты умножителей передаточной функции сведем в таблицу.
Масштабирующие множители находятся итерационным способом. Сначала находится коэффициент кх для первого звена. Затем, зная кх, т.е. мы знаем передаточную функцию от входа схемы до любой точки второго звена, можно найти масштабирующий множитель для второго звена. Аналогично, по изложенному выше алгоритму, найдем кг.В итоге получим структуру представленную на рисунке 3.14.
При проектировании волновых цифровых фильтров основное внимание уделяется условию отсутствия потерь. Как следствие этого условия получаем, что любая передаточная функция в ОКБП-четырехполюснике ограничена сверху единицей. Это означает, что энергия выходного сигнала не может превышать энергии входного сигнала. Причем это условие выполняется как для отдельного четырехполюсника, так и для всего фильтра в целом.
Из вышесказанного можно сделать следующий вывод: в использовании масштабирующих умножителей в волновых цифровых фильтрах нет необходимости. Для примера рассмотрим шумовые свойства различных структур, реализующих эллиптический фильтр шестого порядка (см. пример 4, раздел 2.4). Рисунок 3.15- Шумовая модель канонической структуры Шумовые модели, в соответствии с принципами изложенными в разделе 3.1, для канонической и биквадратной структур представлены на рисунках 3.15 и 3.16. Рисунок 3.16 - Шумовая модель биквадратной структуры Коэффициент усиления шума (см. рисунок 3.17): а) для канонической структуры (сплошная линия) рассчитаем по формуле: б) для биквадратной структуры (пунктирная линия) рассчитаем по формуле: с) для волновой структуры (сплошная жирная линия) коэффициент усиления шума рассчитаем с помощью методики предложенной в разделе 3.2. Из рисунка 3.17 видно, что низкими шумовыми свойствами обладают волновая и биквадратная структуры, по сравнению с канонической. Проанализируем влияние ширины полосы пропускания на величину шума в различных структурах. Для этого рассмотрим реализацию полосно-пропускающего фильтра Чебышева 6-го порядка. со л Случай 1: полоса пропускания лежит в пределах [0.225 0.275] / Передаточная функция данного фильтра: Коэффициенты умножителей канонической, биквадратной и волновой структур сведем в таблицы.
