Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ФОТОГРАВИТАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С ДВУМЯ ИЗЛУЧАЮЩИМИ ТЕЛАМИ
§1.1 Уравнения движения. Точки либрации 22
§1.2 Свойство обратимости задачи.
Метод вычисления характеристических показателей линейной обратимой системы 30
§1.3 Параметрический резонанс в обратимых системах 34
ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
§2.1 Условия существования коллинеарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел. Случай /і = 1/2 37
§2.2 Общий случай \і ф 1/2 47
§2.3 Параметрический резонанс для коллинеарных точек либрации 60
§2.4 Характеристики скопления частиц в устойчивых точках либрации 69
§2.5 Устойчивость коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче 84
§2.6 Случай, когда доминирует световая репульсия 93
§2.7 Диаграммы устойчивости 99
§2.8 Оценка протяженности облаков и устойчивости КТЛ в реальных двойных звездных системах 103
ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ §3.1 Условия существования треугольных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел 111
§3.2 Треугольные точки либрации двойной звезды Альфа Центавра 127
§3.3 Устойчивость треугольных точек либрации в слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче трех тел 129
§3.4 Параметрический резонанс 134
§3.5 Рождение и эволюция зон неустойчивости 146
§3.6 Устойчивость треугольные точки либрации в эллиптической задаче 156
§3.7 Устойчивость треугольных точек либрации в конкретной двойной системе 160
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 164
ЛИТЕРАТУРА 170
Введение к работе
В задачах небесной механики часто возникает необходимость учитывать репульсивную силу светового давления, которая в некоторых случаях не только количественно соизмерима с силой тяготения, но и может быть на много превосходящей.
Пондеромоторное1 действие солнечного света на микроскопические тела впервые обнаружил и измерил Лебедев П.Н. в 1899 году. Полученные Лебедевым и более поздними исследователями экспериментальные результаты полностью согласуются с теорией давления света, которую выдвинул в рамках классической электродинамики Дж. Максвелл (1873 год). В этой теории давление света тесно связано с рассеянием и поглощением электромагнитной волны частицами вещества. Максвелл указывал, что световые лучи должны оказывать давление на все тела, на которые они падают.
В астрономических явлениях световое давление играет важную роль. В астрофизике оно вместе с давлением газа обеспечивает стабильность звезд, противодействуя гравитационному сжатию. Пондеромоторным воздействием света объясняют некоторые формы кометных хвостов. Например, из истории астрономии известно, что Иоган Кеплер, наблюдая за движением комет, установил, что их хвосты постоянно направлены в противоположную сторону от Солнца. В своем трактате "О кометах", опубликованном в 1619 году, он впервые высказал гипотезу, которая объясняет явление отклонения хвостов комет отталкивающим действием солнечного излучения.
На движение малых частиц в межпланетном пространстве оказывают влияние силы различной не гравитационной природы, среди которых наиболее значительной является сила светового давления, исходящая от звезд, например, Солнца. Результаты наблюдений в Солнечной системе [51] показали, что функция распределения по размерам малых частиц в межпланетном пространстве убывает с увеличением их радиуса. Уменьшение размера частиц влечет за собой возрастание парусности (А), которая определяется отношением площади сечения частицы (S) к ее массе (m): А = щ [51]. Последнее приводит к возрастанию влияния на движение частиц солнечного излучения. Данный факт имеет большое значение при изучении состояния и эволюции микрометеорной материи в развитии Солнечной системы [51, 62].
Совокупность репульсивных и гравитационных сил образуют, так называемое, фотогравитационное поле. Изучению движения небесных тел в таких полях посвящено много исследований. К ним относятся, например, работы [6, 47], посвященные механике движения кометных образований; О.Ю.Шмидт [90, 91] использовал в космогонической теории эффекты светового давления; Т.А.Агекян [2] разработал теорию фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами.
Основополагающими для небесной механики являются работы В.В.Радзиевского [57-62], в которых впервые поставлены и решены некоторые задачи динамики частицы в фотогравитационных полях. В основу построения "фотогравитационной небесной механики" Радзиевский положил одновременное действие на частицу двух противоположных составляющих - силу тяготения Ньютона и отталкивающую силу светового давления Лебедева. При этом сила света не вызывает ответного действия со стороны частицы. Такой подход привел к нарушению привычных представлений и аксиом классической механики (тяжелая масса не равна инертной, действие не равно противодействию, изолированное тело не находится в состоянии покоя или равномерного движения) [60].
Основное отличие фотогравитационной проблемы трех тел от классической задачи трех тел, заключается в том, что одно или сразу оба тела являются источником световой репульсии. Данная постановка задачи применима для исследования движения частиц в фотогравитационных полях, создаваемых, например, удаленными друг от друга визуально-двойными звездными системами или в системе "Звезда-Планета". Здесь в качестве динамической модели рассматривается фотогравитационная ограниченная задача трех тел (ФГОЗТТ), в которой, как и в классической задаче, третье тело - частица Р имеет пренебрежимо малую массу и поэтому не оказывает влияние на движение двух других основных тел;2 последние обращаются относительно друг друга по кеплеровским орбитам. Дифференциальные уравнения движения частицы Р в фотогравитационной ограниченной задаче трех, также как и в классическом варианте, можно записать в форме уравнений Нехвила [10, 44].
Запись уравнений движения в фотогравитационной (с двумя излучающими телами) и в классической задачах отличается тем, что в первом случае силовая функция включает в себя коэффициенты редукции Qi и Qi массы частицы, которые характеризуют суммарное действие силы гравитации и светового давления на частицу. Если основные тела не излучают световую энергию (Q\ = Q2 = 1), тогда имеем классическую ограниченную задачу трех тел. Следовательно, полученные результаты для классической задачи надо рассматривать с математической точки зрения как частный случай фотогравитационной задачи.
Основные тела могут двигаться по различным орбитам. В зависимости от значений эксцентриситета фотогравитационная ограниченная задача трех тел подразделяется на: 1) круговую, если основные тела обращаются вокруг центра масс по окружности (е = 0); 2) эллиптическую - движение происходит по орбите с эксцентриситетом из интервала 0 е 1; 3) параболическую (е = 1); 4) гиперболическую (е 1).
Частица во вращающейся системе может занимать различные положения. Она может двигаться вместе с основными телами в одной плоскости; в этом случае исследуется плоская задача. Если частица выходит из плоскости орбит основных тел, то имеет место пространственная фотогравитационная ограниченная задача.
Уравнения движения фотогравитациошюй задачи трех тел допускают точные решения - периодические движения, которым в переменных Нехвила отвечают постоянные решения - коллинеарные и треугольные точки либрации.
Впервые точки либрации в фотогравитационной задаче трех тел изучал В.В.Радзиевский. Он нашел, что на положение точек либрации сильно влияет коэффициент редукции [57, 59, 60], и в плоском случае установил связь точек либрации с эволюцией поверхности нулевой скорости. Например, точки L\ и L2 могут существовать одновременно или точка 1,2 предшествует появлению точки L\. Позже, в 1966 году Colombo G. [97] с помощью построенной детальной геометрической картины сечения поверхности нулевой скорости точки либрации Ьч в системе "Солнце - Земля - Пылевая частица", доказал, что Li появляется прежде чем L\.
Если в классической задаче точки Ь и L$ образуют с основными телами равносторонний треугольник, то в фотогравитационной задаче с одним излучающим телом они формируют равнобедренный треугольник. Если оба основных тела излучают световую энергию, то треугольные точки либрации уже не составляют равнобедренный треугольник, а лежат в области ограниченной двумя окружностями с центрами, совпадающими с положением одного из основных тел [31, 34, 39, 67, 108]. Исключение составляет случай, когда коэффициенты редукции основных тел равны по своей величине.
Позже Радзиевский рассмотрел пространственный случай [58] и обнаружил новые точки либрации, получившие название компланарных точек (LQ И LI). ЭТИ ТОЧКИ находятся в плоскости xz симметрично оси х вдоль кривой, которая начинается в одном из основных тел и асимптотически подходит к оси z. Примечательно, что аналогов компланарным точкам либрации в классическом варианте задачи не существует.
Уравнение движения ограниченной фотогравитационной задачи трех тел с одним излучающим центром во вращающейся барицентрической системе координат впервые получено Colombo G. [97] в порядке исследования околоземных гипотетических пылевых облаков в системе "Солнце - Планета - Частица". Вслед за ним, подобные уравнения были получены Черниковым [86] для вращающейся гелиоцентрической системы.
В решении ряда космологических вопросов, например, в исследованиях проблемы образования и эволюции Солнечной системы, точки либрации имеют большое значение. Так, установлено, что в точках либрации могут накапливаться малые тела.
В 1956 году астроном краковской обсерватории Казимир Кордылевский в окрестности треугольной точки либрации L$ системы "Земля - Луна" [104] открыл "облако подобные спутники", представляющие собой очень разрежённые скопления частиц межпланетной пыли и льда. Позже в 1961 году он сообщил об открытии аналогичного облака вблизи L4- В 1964 году его открытие было подтверждено наблюдениями американских астрономов. Эти образования в последствие были названы именем их первооткрывателя.
Обнаруженные Кордылевским точки Лагранжа в системы "Земля - Луна", также как и открытые в 1907 году астероиды Троянцы, образующие вместе с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник, явились практическим подтверждением аналитически найденных Лагранжем точных решений ограниченной задачи трех тел.
Открытие Кордылевского вызвало появление гипотезы, прогнозирующей постепенное сгущение этих облаков и превращение их в достаточно плотные космические тела с растущей массой. Предполагалось, что образование подобных плотных масс должно способствовать возникновению систем, например, "Земля - сгусток" и "Луна - сгусток" со своими точками Лагранжа, в которых опять же должны образовываться новые скопления вещества. Но визуальные наблюдения пока не подтвердили наличие в этих точках пылевых облаков постоянного состава и присутствие в них отдельных притягивающих тел с размерами порядка нескольких метров.
Многочисленные сообщения о попытках наблюдения "облаков Кордылевского" чередуются с удачными и безрезультатными экспериментами. Причем удачные эксперименты попадают на периоды времени, когда солнечная активность минимальна. Этот факт может свидетельствовать о том, что концентрация пыли в лагранжевых точках, коррелирует с изменениями интенсивности солнечного излучения. До появления "фотогравитационной небесной механики" исследования "облаков Кордылевского" проводились в рамках классической ограниченной треугольной задачи трех тел. Изучение "облаков Кордылевского "представляет наибольший интерес в рамках фотогравитационной ограниченной задачи трех тел.
Большое внимание к точкам либрации также вызвано и практическими потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы. Например, обсуждаются проекты размещения во внутренней коллинеарной точке либрации L\ системы "Солнце - Земля" защитных зеркальных экранов, слегка затеняющих Солнце с целью предохранения Земли от перегрева вследствие прогнозируемого глобального парникового эффекта [55].
Любой защитный экран обладает высокой парусностью по отношению к световому давлению от Солнца. Поэтому его положение равновесия будет находиться не строго в точке L\, находящейся на расстоянии, равным примерно 1.5 миллиона километров от Земли, а в ее фотогравитационном аналоге. В этой точке сумма центробежных сил, силы светового давления, сил притяжения Земли и Солнца равна нулю, а ее расстояние от Земли будет определяться свойствами самого экрана. Предполагается, что защитный экран (искусственное пылевое облако, плоский зеркальный диск, сферический баллон) будет обращаться вокруг точки L\ по периодической орбите.
Естественно возникает вопрос: как будут вести себя подобный защитный экран, космический аппарат или частица, оказавшиеся в малой окрестности точки либрации - останутся ли они "вечно" вблизи этой точки или за конечное время покинут ее окрестность? Поэтому важное место в решении фотогравитационной задачи занимает вопрос об устойчивости положений относительного равновесия.
Впервые исследование устойчивости в линейном приближении пяти точек либрации в круговой задачи было проведено Colombo G. [96], который независимо от Радзиевского В.В. [57, 60], определил их положения. Для случая, когда излучает только одно из основных тел, Черников Ю.А. [86] получил необходимые условия устойчивости семейства треугольных точек либрации для круговой задачи. Неустойчивость коллинеарных точек либрации была установлена им по аналогии с классическим случаем задачи. Детальное аналитическое исследование, доказывающее неустойчивость коллинеарных точек либрации для системы "Солнце-Земля-Частица", было получено Филянской Е.П. [85]. Анализ устойчивости осуществлялся на основе рассмотрения линеаризованных уравнений и вычисления корней характеристического уравнения. Более простой метод, доказывающий неустойчивость коллинеарных точек либрации, при одном излучающем теле, был использован Пережогиным А.А. [49, 50]. Он показал невозможность их гироскопической устойчивости, откуда следует неустойчивость в соответствии с теоремой Кельвина-Четаева.
Schuerman D.W. [117, 118] первым провел исследование точек либрации для круговой ограниченной фотогравитационной задачи с двумя излучающими телами. Им были получены условия устойчивости в первом приближении для треугольных точек либрации и сделаны утверждения относительно неустойчивости коллинеарных точек либрации. Вывод Шуермана об неустойчивости коллинеарных точек либрации был опровергнут Куницыным А.Л. и Турешбаевым А.Т. [30, 108], которые доказали, что в круговой задаче, при равных массах основных тел и для определенных значений коэффициентов редукции Q\ и () в первом приближении существуют области устойчивости внутренних точек либрации. Установлено, что внешние коллинеарные точки либрации (L2, Ьз) всегда неустойчивы. Показано, что при отрицательных значениях Qi и Qi все точки либрации неустойчивы. Последний факт опровергается Лукьяновым Л.Г. [38], который показал, что для плоского случая возможна устойчивость прямолинейных точек либрации, когда оба коэффициента редукции (Q\ и () принимают отрицательные значения.
Практически одновременно Куницыным А.Л. и Турешбаевым А.Т. [30] и английскими учеными Simmons J.F.L., McDonald A.J.С, Brown J.С. [119] была исследована устойчивость треугольных точек либрации при двух излучающих телах для круговой задачи. Куницын А.Л. и Турешбаев А.Т. за счет введения новых переменных получили наглядное представление необходимых условий устойчивости треугольных точек либрации.
С разных позиций проблемы устойчивости точек либрации в плоской круговой задаче рассматривались так же в работах [29, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 41, 106, 111].
Полученные этими авторами результаты об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации для ограниченной фотогравитационной круговой задачи трех тел позволяют подойти к постановке задачи об устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче.
В работе [111] затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации. Лукьянов Л.Г. и Кочеткова А.Ю. [41] при малых значениях эксцентриситета первыми получили области УСТОЙЧИВОСТИ В ЛИНеЙНОМ Приближении ДЛЯ ТреуГОЛЬНЫХ Z/4, 1/5 и коллинеарных L\, L2, L3 точек либрации в эллиптической фотогравитационной задаче трех тел. Области устойчивости представлены диаграммой, аналогичной диаграмме устойчивости Дэнби. Для внешних коллинеарных точек либрации L\ и L3 устойчивость не была обнаружена3.
Установлена [41] устойчивость внутренних точек либрации Li при одинаковых значениях коэффициентов редукции Q\ = Qi = Q. Для Q — 0.1 получена область устойчивости, которая ограничена кривой, подобной "кривой Дэнби", для треугольных точек либрации. Оказалось, что при уменьшении величины Q область устойчивости сокращается, стягиваясь к началу координат. Возрастание значения Q приводит к тому, что область устойчивости увеличивается и сдвигается вправо (в сторону роста относительной массы у). Для треугольных точек либрации обнаружено [41], что при фиксированном Q\ = const с уменьшением Q2 область устойчивости уменьшается, сдвигаясь влево. Когда ( = 1, a Q\ уменьшается, область устойчивости, относительно области Дэнби, сдвигается влево. Авторы установили, что при одинаковых значениях параметров коллинеарные и треугольные точки либрации одновременно устойчивыми быть не могут. Показано, что треугольные точки либрации или обе устойчивы или обе неустойчивы.
В работах [37, 106] также затрагивался вопрос о влиянии эксцентриситета е орбит основных тел на существование и условие устойчивости точек либрации, однако соответствующий анализ там отсутствует.
Для определенных значений относительной массы \х и эксцентриситета е проведены численные исследования устойчивости коллинеарных [17] и треугольных точек либрации [18] в фотогравитационной эллиптической ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими телами. Дано графическое представление областей необходимых условий устойчивости. Установлено, что увеличение значений \i и е приводит к сокращению количества устойчивых коллинеарных и треугольных точек либрации.
Куницыным А.Л. [34] с помощью перехода в конфигурационное пространство получена простая и физически ясная картина влияния эксцентриситета орбиты основных тел на положение и устойчивость треугольных точек либрации. Показана возможность появления при сколь угодно малых значениях эксцентриситета новых зон неустойчивости, которые отсутствовали в круговой задаче. Эти зоны неустойчивости вызваны параметрическим резонансом; показано, что возможен только один тип такого резонанса. Заметим, что компьтерные исследования, проведенные в данной диссертационной работе позволили установить, что для достаточно малых, но не равных нулю значениях эксцентриситета неустойчивость возникает лишь при значениях ji из промежутка /і /І 0.5, где // = 0.0212865....
Переход из пространства параметров системы в конфигурационное пространство в [34] позволил упростить и сделать физически более ясным анализ устойчивости коллинеарных точек либрации ограниченной круговой фотогравитационной задачи трех тел.
В работе [74] обнаружена возможность параметрического резонанса для коллинеарной точки либрации L\ при Q\ 0, Q2 0, показано, что этот резонанс единственный и он приводит к неустойчивости в слабо-эллиптической задаче.
Изложенные выше факты привели к актуальной задаче по систематическому исследованию устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации в эллиптической задаче. Результаты такого исследования отражены в [14 - 20]. В ходе анализа уравнений движения в вариациях построена картина, вполне отражающая эволюцию областей необходимых условий устойчивости коллинеарных и треугольных точек либрации при различных значениях эксцентриситета е, коэффициентов редукции Qi, Qi и относительной массы /І. Детально прослежено возникновение зон неустойчивости, показано, как параметрический резонанс приводит к неустойчивости коллинеарные и треугольные точки либрации. Найдено максимальное числовое значение эксцентриситета, при котором еще может существовать устойчивая точка либрации. Найдены условия существования коллинеарных и треугольных точек либрации. Результаты нашли отражение в обобщающих диаграммах устойчивости.
Динамические уравнения фотогравитационной задачи трех тел обладают свойством обратимости [70, 72, 75, 79].
Теория обратимых механических систем создана в последние 15 лет проф. В.Н.Тхай и широко используется при анализе многих задач классической и небесной механики [70 - 82].
Теория параметрического резонанса для обратимых систем [71], а также метод вычисления характеристических показателей для обратимых систем [73] используется в данной работе.
Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и списка цитируемой литературы.
В Главе / дана постановка задачи и кратко изложен необходимый теоретический материал, на основе которого в работе проводится исследование задачи об устойчивости точек либрации.
В §1.1 записана система уравнений движения частицы Р пренебрежимо малой массы в ограниченной эллиптической задаче трех тел с двумя излучающими телами. Указано, что эта система допускает семь частных решений, три из которых соответствуют коллинеарным точкам либрации (Ь\, L2, L3) и два положения равновесия относятся к треугольным точкам либрации (L4, L j.
Исследуемая динамическая система принадлежит к классу обратимых механических систем с двумя неподвижными множествами. В §1.2 кратко излагается необходимый теоретический аппарат из теории линейных обратимых систем. Изложен метод вычисления характеристических показателей линейных обратимых периодических системем.
Одной из основных причин, приводящих к неустойчивости периодические движения в механических системах, в частности в обратимых, является параметрический резонанс. В §1.3 даны теоретические сведения о параметрическом резонансе в обратимых системах. В исследуемой задаче возможен параметрический резонанс с одной частотой, поэтому изложены результаты только для этого резонанса. Содержание §§1.2, 1.3 основано на работе В.Н.Тхай [71].
Глава II посвящена изучению устойчивости коллинеарных точек либрации в ограниченной фотогравитационной задаче трех тел.
В §2.1 получены условия существования коллинеарных точек либрации. Записаны алгебраические уравнения, позволяющие находить положения L\, Li и L на оси абсцисс в зависимости от значений относительной массы [І и коэффициентов редукции Q1} Qi.
Для случая, когда основные тела обладают равными массами исследованы положения внутренних (Li) и внешних (1,2, з) коллинеарных точек либрации в зависимости от изменения величины коэффициента редукции Qi первого тела.
Общий случай, когда основные тела обладают неравными массами, рассмотрен в §2.2. Здесь установлен характер изменения положений точек либрации Li, hi и L . Показано, что существование коллинеарных точек либрации в системе двойной звезды полностью зависит от того, какой физический фактор оказывается доминирующим. Определены условия существования коллинеарных точек либрации в зависимости от знака коэффициентов редукции. Введен в рассмотрение фотогравитационный параметр К, определяющий физические свойства двойной звезды. Этот параметр позволяет определять местоположения как коллинеарных, так и треугольных точек либрации, исследовать их на устойчивость для любой конкретно заданной двойной звезды.
В §2.3 изучено влияние параметрического резонанса на устойчивость коллинеарных точек либрации. Получена система уравнений в вариациях, которая является периодической по истинной аномалии эллиптической орбиты возмущающих тел. Используется введенный проф. В.Н.Тхай в [74] обобщенный параметр а&, который дает возможность исследовать задачу только при одном фиксированном значении а&. Применена теория параметрического резонанса, разработанная для обратимых систем [71].
Для внутренних коллинеарных точек либрации определены два интервала изменения значений параметра а\, в которых корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми. Один интервал относится к случаю преобладающей гравитации (точка Li), другой - к случаю, когда превалирует сила светового давления (L\2). В интервале а\ 0 определено единственное значение параметра а\, соответствующее параметрическому резонансу Лі = —к. Интервалу значений при а і 0 параметрическому резонансу соответствуют два значения параметра а\. Первое значение этого параметра соответствует параметрическому резонансу Лі = —к, другое - резонансу Лі = — • Найденные резонансы приводят к неустойчивости. Резонанс при а\ 0 впервые был исследован в [74], в данном параграфе аналогично исследован резонанс при отрицательных значениях а\.
В §2.4 для разных значений коэффициента отражения є исследована устойчивость частицы Р, находящейся в системе двойной звезды, компоненты которой имеют одинаковую массу и мощность излучения. Устойчивыми считаются частицы, для которых параметр а\ находится в интервале устойчивости. Дан алгоритма исследования.
Выведено алгебраическое уравнение седьмого порядка, исходными данными для численного решения которого являются параметры а\, С, /І, а после нахождения его корней pi определяются х\, Qi, Q2. Предложенный подход к исследованию устойчивости внутренних точек либрации в круговой и слабоэллиптической задачах позволяет напрямую, без численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения и нахождения корней характеристического уравнения ответить на вопрос об устойчивости коллинеарных точек либрации в любой системе двойных звезд, для которых известны значения относительной массы и коэффициента характеризующего отношение мощности излучения основных тел.
Впервые обнаружено, что в двойной звезде при фиксированных значениях относительной массы /І И параметра С могут появляться от одного до четырех устойчивых скоплений микрочастиц, причем в одном случае оказывается доминирующей гравитация, а в другом -отталкивающая сила светового давления.
Изучению устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче посвящен §2.5.
Исследуемые уравнений движения представляют собой линейную обратимую периодическую систему, поэтому для вычисления характеристических показателей достаточно построить только два решения задачи Коши. Последнее позволяет существенно сократить время вычислений на компьютере.
Рассмотрены два примера двойных звезд, где в первом случае компоненты обладают равными массами [ц — А), во втором -масса одной компоненты значительно превосходит массу другой. Предполагается, что в обоих звездных системах над световой репульсией преобладает гравитация.
Получен и изучен большой массив расчетных данных, в зависимости от трех параметров Q\, Q2 и е, построены диаграммы устойчивости, прослежена эволюция изменения областей устойчивости.
Установлено, что с ростом значений эксцентриситета е количество устойчивых коллинеарных точек либрации уменьшается и при е 0.9... оно стремится к нулю.
Проведен сравнительный анализ зависимости устойчивости точек либрации от величины массового параметра /і. Представленные результаты показывают, что существует прямая связь между устойчивостью точек либрации и массой одной из компонент двойной звезды.
В заключении данного параметра дан численный пример, который показывает, что исключенное из рассмотрения уравнение для координаты z системы уравнений движения не влияет на результаты исследования устойчивости коллинеарных точек либрации.
В §2.6 исследован случай, когда доминирует световая репульсия от обоих компонент двойной звезды, обладающих равными массами. Для заданных значений эксцентриситета на плоскости параметров Qi, Q2 построены диграммы устойчивости коллинеарных точек либрации Lit2, наглядно отражающие эволюцию изменения области устойчивости при различных значения е. Показано, что из кривых параметрического резонанса при е = 0 рождаются зоны неустойчивости в эллиптической задаче.
В §2.7 получены диаграммы устойчивости коллинеарных точек либрации на плоскости параметров (а\,е) для двух случаев: а) доминирующей гравитации, б) световой репульсии. Эти диаграммы подтверждают теоретические результаты, полученные в §2.3 и позволяют наглядно проследить процесс изменения свойства устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче.
Найдены максимально возможные значения эксцентриситета (е), при которых могут существовать устойчивые коллинеарные точки либрации L\ и Ь\2 Исследованию устойчивости коллинеарных точек либрации в двойных звездных системах, обладающих характеристиками, близкими к двойным звездам, подобным Сириусу и Альфа Центавра, посвящен §2.8. Показано, что в этих звездных системах могут существовать скопления устойчивых коллинеарных точек либрации, как в случае доминирующей гравитации, так и в случае преобладающей световой репульсии.
С помощью диаграмм устойчивости дана приближенная оценка протяженности облаков космической пыли и размеров скоплений микрочастиц, которые гипотетически могли бы образоваться в указанных двойных звездах.
Глава III посвящена рассмотрению вопроса об устойчивости треугольных точек либрации.
В §3.1 исследуются условия существования треугольных точек либрации. Выписаны уравнения относительного равновесия, определяющие положение треугольных точек либрации на плоскости координат (х, у). Показано, что треугольные точки либрации могут существовать только при положительных значениях коэффициента редукции. Получены соотношения, определяющие координаты х, у точек Z/4 и Ьь в зависимости от параметров Q\, Q2. Приведена область существования треугольных точек либрации на плоскости (х, у) и поверхность существования этих точек в зависимости от физических параметров для отдельно взятой пары основных тел. Выведено алгебраическое уравнение двенадцатого порядка, численное решение которого при заданных значениях параметров р,Си координаты у, позволяет находить положения треугольных точек либрации по оси абсцисс.
В §3.2 предложен способ нахождения условий существования и местоположения треугольных точек либрации в отдельно взятой системе двойной звезды в зависимости от значений массового параметра /І И коэффициента С, характеризующего отношение мощности излучения компонент двойной звезды.
Вопросу устойчивости треугольных точек либрации в слабоэллиптической ограниченной фотогравитационной задаче посвящен §3.3.
Для плоской эллиптической задачи записана система уравнений возмущенного движения. При е = 0 составлено характеристическое уравнение. Введен параметр ад и определен интервал его значений, в котором корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми, найдено числовое значение, соответствующее параметрическому резонансу.
В §3.4 рассмотрен вопрос о существовании параметрического резонанса для треугольных точек либрации в ограниченной задаче трех тел.
Определено числовое значение относительной массы //, при котором в области устойчивости треугольных точек либрации появляется кривая параметрического резонанса. Установлено, что внутри области устойчивости при значениях относительной массы из интервала 0.02128644612... \і 0.02859479... существуют две кривые, соответствующие параметрическому резонансу. Показано, что при значениях ц 0.02859479... остается только одна кривая. Приведены диаграммы, которые позволяют проследить эволюцию изменения областей устойчивости точек либрации L L$ в круговой задаче.
В §3.5 исследовано зарождение и развитие зон неустойчивости в слабоэллиптической задаче. Описан алгоритм, на основе которого разработана программа численного решения задачи исследования устойчивости треугольных точек либрации. На основании проведенных на ЭВМ расчетов показано, что зоны неустойчивости при малых значениях эксцентриситета е появляются из кривых параметрического резонанса, которые существовали в области устойчивости в круговой задаче. Определен интервал изменения значений е в котором рождаются зоны неустойчивости.
Установлено, что для каждого значении относительной массы /л существует единственное значение эксцентриситета орбит основных тел, при котором зарождается зона неустойчивости. Результаты этого исследования сведены в таблицу и приведены графические иллюстрации.
§3.6 посвящен устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче.
В соответствие с алгоритмом и по программе, описанными в §3.5, проведено численное исследование устойчивости треугольных точек либрации. Полученные результаты представлены в виде диаграмм, которые позволяют проследить эволюцию изменения областей устойчивости при изменении значений относительной массы /І И эксцентриситета е. Показано, что с ростом величин /І и е в области устойчивости появляются и расширяются зоны неустойчивости. Установлено, что чем большим значением обладают параметры /і и е, тем меньше количество устойчивых треугольных точек либрации вдоль оси ординат. Определено, что максимальное числовое значение эксцентриситета, при котором области устойчивости не распадаются на части, близко к 0.9... и при значениях е 0.9... устойчивыми могут быть только треугольные точки либрации, находящиеся близ оси абсцисс. При значении е = 0.99537414..., при котором может существовать устойчивая коллинеарная точка либрации L\, треугольные точки либрации L и L$ вырождаются в коллинеарную точку либрации L\.
В §3.7 проводится исследование возможности существования устойчивых треугольных точек либрации и дается приблизительная оценка протяженности гипотетических облаков в двойных звездах, обладающих характеристиками, близкими к характеристикам реально существующих объектов.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Результаты по существованию семейств коллинеарных и треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел в системах "Звезда-планета-частица"и "Двойная звезда-частица", включая результаты по скоплениям (облакам) микрочастиц. В частности, впервые обнаружено, что на прямой между основными телами могут находится одновременно одно или два устойчивых облака микрочастиц, а вне этой прямой только одно такое облако.
2. Результаты по исследованию параметрического резонанса в фотогравитационной задаче трех тел. В случае преобладающей гравитации в коллинеарных точках либрации существует один резонанс, и он приводит неустойчивости в слабоэллиптической задаче. В случае преобладающей световой репульсии для этих точек установлено существование двух резонансов. На диаграмме устойчивости резонансы дают клины неустойчивости. Треугольные точки либрации существуют только в задаче с преобладающей гравитацией, здесь существует только один резонанс; он не ведет к неустойчивости в слабоэллиптической задаче, но сказывается при конечных значениях е. Таким образом, параметрический резонанс в двух случаях из четырех не приводит автоматически к развитию зоны неустойчивости, как это ожидалось вначале.
3. Результаты и выводы об устойчивости коллинеарных точек либрации в эллиптической задаче в системах "Звезда- планета-частица"и "Двойная звезда-частица для двух случаев: преобладающей гравитации и преобладающей световой репульсии. Диаграммы устойчивости на плоскости (аі, е); а\ - обобщенный параметр, функция относительной массы, коэффицентов редукции и координат точек либрации.
4. Результаты и выводы об устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче в системах "Звезда-планета- частица" и "Двойная звезда-частица". Эволюция областей устойчивости в зависимости от значений относительной массы и эксцентриситета.
5. Результаты моделирования устойчивых скоплений микрочастиц и межзвездной пыли в двойных звездных системах Альфа Центавр и Сириус: число облаков, протяженность облака, расстояние от границы облака до одной из звезд, расстояние между облаками (для облака, которое находится на прямой, соединящей звезды).
Основные результаты исследования опубликованы в статьях [15, 17, 18, 20, 23, 24, 120, 121].
Результаты, отражающие основные результаты диссертационной работы докладывались на — "Втором симпозиуме по классической и небесной механике", Август 1996 г., Великие Луки;
— "Четвертом международном симпозиум по классической и небесной механике", 15-20 августа 2001 г., Великие Луки;
— VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 28-31 мая 2002 г., Казань, КАИ;
— "Международной конференции "Небесная механика - 2002: Результаты и перспективы", 10-14 сентября 2002 г., С.-Петербург, ИПА РАН;
— "Пятом международном симпозиуме по классической и небесной механике", 23-28 августа 2004 г. , Великие Луки;
— XL Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, 19-23 апреля 2004г., Москва, РУДН;
— VIII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 2-4 июня 2004 г., Москва;
— "Пятом симпозиуме по классической и небесной механике", 23-28 августа 2004 г., Великие Луки;
— Международной научной конференции по механике "Четвертые поляховские чтения", 7-Ю февраля 2006 г., С.-Петербург;
— IX международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", 31 мая-2 июня 2006 г., Москва.
