Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратимые механические системы. Теоретический аппарат 16
1.1. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений в окрестности положения равновесия обратимой системы .16
1.2. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений при резонансе третьего порядка 27
1.3. Метод построения всех симметричных периодических решений обратимой системы. Исследование устойчивости 37
Глава 2. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений 41
2.1. Постановка задачи. Уравнения движения 41
2.2. Точки либрации. Поверхности нулевой скорости 47
2.3. Ляпуновские семейства симметричных периодических орбит в окрестности коллинеариых точек либрации 56
2.4. Существование ляпуновских семейств при внутреннем резонансе третьего порядка и в случаях, близких к резонансному 72
2.5. Существование ляпуновских семейств при гапкВ = 1 77
Глава 3. Фотогравитационная ограниченная задача трех тел. Исследование периодических движений 86
3.1. Редукция к системам третьего и второго порядков 86
3.2. Метод построения симметричных периодических орбит 90
3.3. Исследование симметричных периодических орбит. Случай идеитичой двойной звезды 93
3.4. Анализ результатов, полученных для идентичой двойной звезды 107
3.5. Случай, близкий к идентичной двойной звезде 114
Заключение 143
Литература 145
Приложение
- Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений при резонансе третьего порядка
- Метод построения всех симметричных периодических решений обратимой системы. Исследование устойчивости
- Ляпуновские семейства симметричных периодических орбит в окрестности коллинеариых точек либрации
- Исследование симметричных периодических орбит. Случай идеитичой двойной звезды
Введение к работе
Изучение движения материальной точки в различных силовых полях является одной из основных проблем механики, в частности, небесной механики и астродинамики. Большое значение в решении этой проблемы приобрела ограниченная задача трех тел [6, 10, 11, 48].
Как известно, при изучении небесных тел наряду с гравитационной силой часто приходится учитывать целый ряд других сил (магнитных, электрических, сил излучения и т. д.), которые в ряде случаев могут быть не только количественно соизмеримыми с первой, но и значительно превосходящими ее . Одна из них, а именно репульсивная сила светового давления [26, 40-42, 45, 46, 108], является неизменной спутницей гравитации, поскольку невозможно представить макроскопическое небесное тело, имеющее температуру, отличную от абсолютного нуля, и, вместе с тем, не отдающее излучения в окружающее его пространство.
Световым давлением называют механическое воздействие световых лучей, производимое на облучаемые ими тела и вызываемое взаимодействием между фотонами света и освещаемой поверхностью, которая отражает или поглощает свет. Заметим здесь, что звезды, в том числе и Солнце, излучают электромагнитные волны не только в видимом световом диапазоне; многообразие физических процессов, происходящих на звездах, порождает электромагнитное излучение в огромном диапазоне длин волн — от сверхдлинных радиоволн до гамма-лучей. С этой точки зрения, более точным является термин "давление звездной радиации", однако, наиболее часто в этом смысле употребляется термин "световое давление" [42].
Здесь необходимо также различать фотонную (электромагнитную) радиацию звезд и корпускулярную радиацию, т.е. совсем другое физическое явление, представляющее собою истечение звездного вещества вследствие высокой температуры звездной поверхности.
Давление электромагнитного излучения, таким образом, представляет собою природное явление. В реальных условиях на гравитационное поле всегда накладывается некоторое поле репульсивных сил, образуя так называемое фотогравитационное силовое поле [42, 45, 46, 108]. Векторы гравитационной силы Fg и силы светового давления Fp звезды лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Действие ре пульсивной силы, которая отталкивает частицу от основного тела, приводит к "уменьшению массы" этого тела и появлению "эффективной массы" [61].
Изучению движения небесных тел в таком поле было посвящено большое количество исследований. И. Кеплер (1619 г.) впервые сформулировал гипотезу о световом давлении, пытаясь объяснить причину отклонения хвостов комет. П.Н. Лебедев [25] доказал верность этой гипотезы, а также разработал строгий математический аппарат теории светового давления. Одной из наиболее тщательных разработок по фотогравитационной механике является механическая теория кометных форм, созданная Ф.А. Бредихиным [4], Н.Е. Жуковским [14] и С.В.Орловым [36]. О.Ю. Шмидт широко использовал в своей космогонической теории эффекты светового торможения [78, 79]. Агекяном [1] была разработана теория фотогравитационного взаимодействия между облаками космической пыли и звездами. Ф.А. Цандеру принадлежит первое серьезное исследование проблемы космического полета с помощью сил светового давления солнечных лучей (см. библиографию в [42]).
Для небесной механики и астродинамики наибольшее значение имеют работы В.В. Радзиевского [45, 46], в которых были впервые поставлена одна из важнейших задач динамики частицы в фотогравитационных полях - фотогравитационная задача трех тел. Фотогравитационная задача отличается от классической ограниченной задачи трех тел тем, что одно или оба основных тела являются источником световой репульсии.
В постановке с двумя излучающими телами эта задача допускает приложения в звездной динамике: на ее основе, например, можно эффективно строить промежуточные орбиты частиц газопылевых облаков в поле двойных звезд. Двойные звезды представляют собою парные звездные системы, в которых вращение происходит по кеплеровым орбитам вокруг общего центра масс под действием сил тяготения. Двойные звезды составляют примерно половину всех звездных систем [2, 15, 35].
Дадим здесь несколько примеров реальных двойных звездных систем, к которым применима рассматриваемая задача: приведем параметры этих систем в виде таблиц [2, 15]. Компоненты двойной звездной системы здесь обозначаются, как это принято в астрономии, А и В,
Заметим здесь, что во всех примерах параметры орбит основных тел вокруг центра масс весьма близки к круговым [2, 15]. Масса компонентов указана в единицах массы Солнца (MQ — 1.9891 • 1030 кг). 1. Капелла (а Возничего).
Уравнения фотогравитационной задачи хорошо описывают движение частиц в поле взаимно удаленных двойных звездных систем (в которых отсутствует обмен массами между их компонентами); эту задачу
удобно рассматривать в качестве динамической модели такого движения [108].
Основной целью настоящей диссертации является систематическое исследование симметричных периодических орбит фотогравитационной задачи. Это исследование включает доказательство существования локальных семейств симметричных периодических орбит в окрестности коллинеарных точек либрации, продолжение этих локальных семейств по параметру h (константа интеграла энергии); исследуются их эволюция и бифуркации и их свойство устойчивости.
Периодические орбиты являются очень важным классом решений ограниченной задачи трех тел, в том числе и фотогравитационной задачи. Поскольку уравнения ограниченной задачи являются неинтегри-руемыми [44, 48], то одним из путей изучения движения таких систем при і — со является исследование периодических траекторий (наряду с асимптотическими и почти периодическими движениями).
Отметим, что для периодических движений существует много возможностей классификации: например, разделение движений на симметричные (траектории в окрестности основных тел и коллинеарных точек либрации) и несимметричные (орбиты, примыкающие к треугольным точкам либрации), или разделение на локальные (ляпуновские семейства, полученные в виде рядов [27, 80, 104]) и нелокальные (например, орбиты, построенные численно в [130-132]).
На существование периодических траекторий указал еще Л. Эйлер [80]. Он получил периодические решения в окрестности коллинеарных точек либрации поставленной им ограниченной задачи трех тел. Периодические движения частицы в окрестности одного из основных тел построил Г.В. Хилл [104], рассматривая задачу о движении Луны (задача Хилла).
Огромный вклад в исследование периодических орбит внес А. Пуанкаре [43, 44]. Было показано, что так называемые решения первого сорта ограниченной задачи трех тел получаются посредством аналитического продолжения круговых решений задачи двух тел, а решения второго сорта - из эллиптических орбит соответствующей задачи двух тел.
Что касается численных исследований симметричных периодических
орбит ограниченной задачи трех тел, то наиболее полной и строгой является работа, выполненная в Копенгагенской обсерватории под руководством Э. Стрёмгрена [130-132]. Продолжение этой работы, а также ценные комментарии содержат труды Г.Х. Дарвина [91], Ф.Р, Мульто-на [115], 3. Копала [106], Дж. X. Бартлетта [83], Т.Н. Тиле и К. Барро [88] Дж. Фишера-Петерсена [95], Н.Л. Гулда [98], Е. Рабе [116-118] и др. (см. библиографию в [48]). Дана классификация периодических орбит, связанная с 7-ю точками на плоскости ограниченной задачи: пятью точками либрации и двумя основными телами2. При изменении постоянной Якоби изменяется вид периодических орбит, что позволяет объединять эти орбиты в классы. Аналогичное исследование ограниченной задачи трех тел, в которой за основные тела принимаются Земля и Луна (лунные орбиты); было проведено Р. Брукке [87]. В работах В.А. Егорова [12], Е. Рабе [116-118] рассчитаны более сложные лунные орбиты, а также движения вокруг треугольных точек либрации. Имеется также множество других работ касающихся периодических орбит ограниченной задачи трех тел в различных аспектах (см. например [89]).
В монографии А.Д. Брюно [6] дана оригинальная (более сложная) классификация решений задачи двух тел, а также ограниченной задачи трех тел в случаях, когда безразмерная масса р равна нулю или отлична от нуля. При этом параметризация проведена не по постоянной Якоби, а по кеплеровым элементам орбиты3. Для всех семейств симметричных периодических орбит дано строгое математическое описание. В качестве иллюстраций приводятся, например, численные результаты, полученные М. Хеноном [101, 102].
В последние годы, в связи с интенсивным освоением космического пространства, возрос интерес к изучению периодических орбит ограниченной задачи трех тел и ее модификаций (см. например [89]). Однако большинство исследований посвящены задачам в постановке, максимально приближенной к реальности, когда параметры системы отвечают реальным небесным телам (см. например [87, 90, 97, 99, 120, 124]). Наиболее часто встречаются работы по изучению так называемых систем "Солнце-Юпитер" и "Земля-Луна", когда параметры в ограниченной задаче трех тел берутся соответствующими данным небесным телам.
Впервые на существование локальных периодических орбит в окрестности внутренней коллинеарнои точки фотогравитационной задачи трех тел либрации указал В.В. Радзиевский [45, 46] (в задаче с одним излучающим телом). Позднее Е.П. Филянская [75] показала, что такие орбиты существуют в окрестности всех кол линеарных точек. В данной работе периодические орбиты описываются с помощью экспонент с чисто мнимыми аргументами. Р.К. Шарма [126] рассмотрел периодические орбиты в задаче с одним излучающим телом при учете его несферичности. Периодические орбиты в окрестности треугольных точек либрации были построены Р.А. Фрейтасом и Ф. Вальдсом [96]. Для случая двух излучающих тел, существование периодических орбит вокруг компланарных точек либрации доказано А.Т. Турешбаевым [56], в слабоэллиптической задаче. Более детальное исследование этих орбит выполнено О. Рагосом и К. Загорасом [119]. Построение пространственных нелокальных решений фотогравитационной задачи было проведено А. Элипе и М. Л ара [94]. В этой работе был применен численный алгоритм построения орбит, предложенный А. Депри и Ж. Энраром [93].
Наряду с периодическими орбитами, множество исследований по фотогравитационной задаче трех тел посвящено изучению точек либрации. Впервые точки либрации, аналогичные классическим, в случае как с одним, так и с двумя излучающими телами, были исследованы В.В. Радзиевским [45, 46]. Он обнаружил, что их положение напрямую зависит от коэффициентов редукции массы. Линейная устойчивость колли-неарных и треугольных точек либрации в случае одного излучающего тела впервые была исследована Ю,А. Черниковым [76]. В этой работе была доказана неустойчивость ко л линеарных точек либрации. А. А. Пережогин [37-39] используя другой, более простой метод, показал невозможность гироскопической стабилизации кол линеарных точек и как следствие (по теореме Кельвина-Четаева) их неустойчивость.
Для случая двух излучающих тел, детальные исследования существования и положения кол линеарных и треугольных точек либрации в зависимости от параметров [i,Qi,Q2i были выполнены А.Л. Куницы-ным и А.Т. Турешбаевым [21, 22, 109], а также Дж.Ф.Л. Симмонсом и др. [129]. Показано (см. например [56]), что внешние коллинеарные точки либрации всегда неустойчивы, тогда как для внутренней точки либрации существует область устойчивости. В работах ([107, 112]) была исследована линейная устойчивость треугольных точек либрации. Работы А.С. Зимовщикова [16-18] посвящены численным исследованиям устойчивости точек либрации.
Уравнения фотогравитационной задачи, так же, как и классической задачи трех тел [57], представляют собою обратимую систему дифференциальных уравнений. Свойство обратимости существенно используется в настоящем исследовании. Отметим здесь, что необходимость в исследовании обратимых динамических систем возникает не только при исследовании задачи трех тел, но также и многих других задач классической и небесной механики (см. например [57, 62-64, 72]).
Дадим определение обратимой системы. Если система дифференциальных уравнений инвариантна относительно преобразования
Существование ляпуновских семейств симметричных периодических движений при резонансе третьего порядка
Основным объектом дальнейшего изучения является система уравнений (3.1.1), в которой будем полагать у, = 0.5, Q\ — Q2 — Q- Систему основных тел, отвечающую таким значениям параметров, будем называть идентичной двойной звездой. Выше было отмечено, что уравнения фотогравитационной ограниченной задачи трех тел (3.1.1) обратимы при таких значениях параметров относительно не одного, а двух линейных преобразований с неподвижными множествами (2.1.6) и (2.1.7).
Для случая идентичной двойной звезды исследуем эволюцию локальных семейств симметричных периодических орбит, примыкающих к коллинеарным точкам либрации при изменении параметра h (константа Якоби), а также семейств симметричных периодических орбит, полученных продолжением ляпуновского семейства. Нас также будет интересовать изменение свойства устойчивости симметричных периодических орбит и вычисление периода по углу ср и времени при изменении константы Якоби.
Для численного построения симметричных периодических орбит интегрируем системы (3.1.4) и (3.1.5) (которые содержат параметр /і), а для исследования устойчивости орбиты - систему (3.2.6).
Построение траекторий путем интрегрирования систем дифферен-циальных уравнений, поиск симметричного периодического решения, а также описанный выше способ исследования устойчивости орбиты успешно реализованы в программе "ТЪеЗВоdyProblem", разработанной И.Л. Ефимовым и В.Н. Тхаем [13] и адаптированной автором для исследования фотогравитационной задачи. Пример работы программы "The3BodyProblem" дан в Приложении ПІЛ.
Предварительно скажем несколько слов о классификации семейств симметричных периодических орбит фотогравитационной задачи. Будем объединять в класс С Li {г = 1,2,3) локальноеое семейство Fb\ , примыкающее к коллинеарной точке либрации Li, а также семейства симметричных периодических орбит FLi (j 1), порождаемые при продолжении FL\ ПО параметру h. При этом выводы об орбитальной устойчивости получены только для таких орбит, на которых угол ц меняется монотонно со временем (такие орбиты отнесем к классу М+); остальные орбиты объединены в класс М .
Следует отметить, что поскольку уравнения (2.1.4) фотогравитационной ограниченой задачи трех тел для случая идентичной двойной звезды инвариантны относительно двух преобразований с неподвижными множествами (2.1.6) и (2.1.7), то симметричные периодические орбиты, принадлежащие к классам CL\ и Сі-з, будут симметричными друг другу относительно этого неподвижного множества Л/г (2.1.7). На плоскости Оху орбиты этих классов будут симметричны друг другу относительно оси Оу. Однако, легко проверить, что система (3.1,4), интегрируя которую мы строим симметричные периодические орбиты, не является обратимой с этим неподвижным множеством. На практике это означает, в частности, что мы можем строить с помощью системы (3.1.4) только орбиты, примыкающие к точке либрации L\ (орбиты класса CLi), но не можем получить симметричные им орбиты класса CL3, примыкающие к точке либрации L , которая симметрична точке L\. Будем, однако, считать, что так как решения исходной системы (2.1.4) симметричны относительно неподвижного множества М2 (2.1.7), а система (3.1.4) выводится из (2.1.4) (см. параграф 3.1), то построив орбиты класса CL\, мы уже имеем информацию по орбитам класса CL$. Картина будет симметрична относительно оси Оу то есть начальные условия орбит классов CL\ и CL$ будут иметь противоположные знаки. Орбиты класса CL% являются симметричными как относительно неподвижного множества Ы\ (2.1.6), так и относительно множества Мч (2.1.7).
Рассмотрим теперь пример эволюционной картины ляпуновских се-мейств симметричных периодических орбит, примыкающих к колли неарным точкам либрации. Для этого положим в уравнениях (3.1.4) fx = 0.5, Qi = Q2 = Q = І.13 Классы CLi, CL$. Все орбиты этих классов — попятные.
Как известно [48], класс орбит GL\ образуется из бесконечно малых эллиптических 27Г-лериодических по у? орбит вокруг точки либрации Ь\ (ляпуновское семейство FL\ ), т.е. при переходе через h — —3.4568. Далее, при возрастании h, форма орбит меняется так, как показано на рис. 3.3а. Орбиты, примыкающие очень близко к точке либрации L\, неустойчивы, а затем, при возрастании параметра ft становятся устойчивыми (определить значение константы h перехода к устойчивым орби-там не удалось). Этот вывод следует из дальнейших численных исследований - при меньшем значении Q удается построить в окрестности L\ неустойчивые орбиты. При переходе через h = —3.303 орбиты семейст-ва FL\ теряют устойчивость, а уже при h = —3.301 они принадлежат классу М .
При h = —2.3 одновременно с орбитой семейства Fb[ существует орбита с малой петлей (рис. З.ЗЬ), которая затем, при возрастании h, испытывает бифуркацию, образуя два семейства.
Орбиты, принадлежащие первому из них, Fb\ , сначала неустойчивы. При h — —2.253 они переходят в класс М . Далее, при h — —2.25 имеем орбиту столкновения, и затем (при h = —1.968) семейство FL\ сливается с семейством Fb\ и исчезает (рис. 3.3с). Пока орбиты семей ства FL\ образуют петли, движение 47г-периодическое, а при переходе через орбиту столкновения становится 2тг-периодическим.
Второе семейство FL\ 4л--периодических орбит целиком принадлежит классу М . При возрастании h (h —2.3) размер внутренней петли постепенно увеличивается, а внешней (наружной) уменьшается (рис. 3.3d,e). При h — —1.069 внутренняя и внешняя петли совпадают и образуют одноконтурную орбиту, пересекающую ось х приблизительно в точке L\. При дальнейшем возрастании h амплитуда этой одноконтурной орбиты увеличивается (рис. 3.3g).
При h = —1.94 появляются 27г-периодические орбиты семейства FL\ , размер которых уменьшается при возрастании h (рис. 3.3f). Это семей-ство также целиком принадлежит классу М ,
Метод построения всех симметричных периодических решений обратимой системы. Исследование устойчивости
В этом параграфе проведем сравнительный анализ численных результатов по построению и исследованию устойчивости симметричных периодических орбит фотогравитационной ограниченной задачи трех тел. При этом удобно будет сравнивать эволюционную картину при Q 1 с результатами, полученными для Копенгагенской задачи, приведенными в качестве примера в предыдущем параграфе. Будем рассматривать динамику изменения результатов при уменьшении параметра Q.
Класс CL\. Характер эволюции орбит, примыкающих к внешним коллинеарным точкам либрации, изменяется сравнительно медленно при уменьшении Q. При Q = 0.9,0.8 бифуркационная диаграмма x(h) сходна с зависимостью x(h) Копенгагенской задачи. Замечаем, однако, что интервал существования семейства FLj уменьшается при уменьшении Q. При Q — 0.7 это семейство пропадает: наблюдаем разрыв бифуркационной диаграммы. Семейство FL\ , являющееся продолжением ляпуновского семейства симметричных периодических орбит, не связано с семейством орбит с петлями Fb\ \ т.е. орбиты второго семейства нельзя получить, продолжая по параметру h орбиты первого. Этот разрыв кривой х(h), однако сокращается, и уже при Q = 0.5 наблюдаем смыкание семейств FL\ И FL\ в одно семейство, содержащее орбиту столкновения. В точке, отвечающей орбите столкновения, наблюдаем изгиб кривой x(h). Этот изгиб постепенно сглаживается при дальнейшем уменьшении Q.
При Q 0.4 картина эволюции семейства FL\ заметно отличается от эволюции при больших Q: орбиты перестают быть "концентрическими" и при увеличении h смещаются вправо. В связи с этим, при Q 0.4 характеристика x{h) этого семейства убывает медленнее, а при Q 0.2 начинает возрастать до появления орбиты столкновения.
При Q = 0.5 амплитуда орбит семейства FL\ уже не меняется монотонно, как при больших Q. Размеры орбит сначала увеличиваются при возрастании h, а затем уменьшаются до смыкания с одноконтурными орбитами семейства FL\ К Характеристика начальных условий x(h) этого семейства сначала убывает на малом интервале, а затем снова возрастает, и далее ведет себя аналогично случаям, рассмотренным выше, смыкаясь с одноконтурными орбитами, в которые переходят орбиты с петлями семейства FL\ . При Q 0.5 эволюционная картина аналогична случаю Q = 0.5.
При уменьшении Q бифуркационная диаграмма сдвигается вправо по оси абсцисс на плоскости х (h) в связи с тем, что координата внешней коллинеарной точки либрации уменьшается. Обратим также внимание на то, что интервал существования орбит к л аса CL\ сокращается при уменьшении Q, а бифуркационная диаграмма становится менее сложной по сравнению с Копенгагенской задачей. Если при Q = 0.8 — 1 в классе существуют четыре семейства симметричных периодических орбит, то уже при Q = 0.7 можно выделить три семейства, а при Q = 0.5 два.
Период орбит по углу tp изменяется в зависимости от h аналогично случаю Копенгагенской задачи. Семейство FL\ , получающееся непосредственно продолжением ляпуновских орбит, содержит 2 периодические орбиты, Б семействе FL\ при переходе через орбиту столкновения период по tp меняется с 4п на 27г. Орбиты семейства FL\ 47Гпериодические, а одноконтурные орбиты этого семейства и орбиты семейства FL\ являются 27гпериодическими.
Что касается периода орбит по времени, то общая динамика изменения здесь аналогична случаю Копенгагенской задачи: период растет с увеличением амплитуды орбит (и с убыванием характеристики х(h)) и уменьшается с убыванием амплитуды. В случаях Q = 0.7,0.6 можно наблюдать ситуацию, когда кривые T(h) отвечающие семействам FL\ И FL[ никак не смыкаются, так как отсутствует "связующее" семейство FL\ . Характеристика T(h) этих семейств для Q = 0,5 содержит точку излома, отвечающую орбите столкновения. Этот излом при последующем уменьшении Q все менее заметен. Все это означает, что характеристики x(h) и T(h) при Q 1 ведут себя сходным образом, как и в случае Копенгагенской задачи.
Изменение свойства устойчивости симметричных периодических орбит класса CL\ при Q 1 остается сходным со случаем Q = 1. О количественных изменениях свойства устойчивости при уменьшении Q (т.е. об интервалах существования устойчивых, неустойчивых орбит, или орбит класса М ) можно судить по материалам Приложения III.2. Отметим здесь, что уже при Q = 0.8 удается построить в малой окрестности неустойчивой точки либрации L\ неустойчивые орбиты.
Значение Q 0.05 попадает в область отрицательных Q, при которых существуют три коллинеарные точки либрации. В случае идентичной двойной звезды все три точки либрации лежат на отрезке (—/І; 1 —/л) между основными телами. Эволюционная картинав этом случае гораздо менее сложна, чем при положительных Q, и совершенно не похожа на описанные ранее изменения. Итак, класс СЬ\ начинается с бесконечно малых эллиптических орбит семейства FL\ J в окрестности точки L\ (h = 0.1972). Эти орбиты являются 27гпериодическими по ср и устойчивыми (неустойчивые орбиты этого семейства лежат в очень малой окрестности неустойчивой точки либрации Li, и их получить не удалось). Амплитуда (и период по времени T(h)) орбит этого семейства монотонно возрастает с увеличением h. Эти орбиты вытягива ются в сторону точки либрации Li при возрастании h. При переходе через h = 0.2195 орбиты начинают приближаться к орбитам семейства FL2 и не образуют уже " концентрического" семейства. При этом характеристика х(h) начинает возрастать (см. Приложение III.2). При h = 0.2408 орбиты семейств FL\ и FL2 совпадают. При дальнейшем возрастании h орбиты этого "общего" семейства расположены между двух областей невозможности движения вокруг основных тел. Они становятся вытянутыми вдоль оси Ох; его характеристика x(h) проходит по кромке области возможного движения и асимптотически приближается к положению одного из основных тел }л. Заметим, что при смыкании семейств FL\ И FL2 орбиты становятся неустойчивыми.
При Q —0.0625 в фотогравитационной задаче существует только одна внутренняя коллинеарная точка либрации; точек либрации типа Li, L$ нет. На плоскости параметров (Qi, Q2) эти значения отвечают области существования одной ко л линеарной точки либрации L2 (см. рис. 2.5).
Класс СХ2 Картина изменения эволюции орбит с уменьшением Q в классе С1 2 намного сложнее и динамичнее, чем в предыдущем классе. Семейства FL2 и FL2 существуют в этом классе для всех Q 1 (за исключением тех случаев, когда существование ляпуновского семейства невозможно). Уже при Q = 0.9 замечаем, что характеристика х(h) (2) семейства FL2 меняется немонотонно: сначала на малом интервале убывает, а затем возрастает. Отметим также, что интервал существования семейств FL2 и FL2 сокращается при уменьшении Q.
Уже при Q = 0.9 не наблюдаем связи между семействами FL2 и FL2 , как в Копенгагенской задаче. Кривые x(h), отвечающие этим семействам, не смыкаются, между ними имеется пробел. При Q = 0.9 кривая x(h), отвечающая FL2 , при появлении семейства образует крючок: амплитуда семейства сначала убывает на малом интервале, а затем возрастает. Эта немонотонность исчезает уже при Q = 0.6; при этом семейство FL2 начинается сразу с орбиты столкновения, а часть семейства, включающая орбиты с двумя изгибами, пропадает.
Ляпуновские семейства симметричных периодических орбит в окрестности коллинеариых точек либрации
При Q = 0.8 — 0.5 форма кривой x(h), отвечающей семейству FL2 , отличается от аналогичной кривой при других значениях параметра Q. При этих значениях Q начальные условия орбит семейства FL2 удобнее отыскивать с отрицательной стороны по х на конфигурационной плоскости задачи - отсюда отличия кривых.
При Q — 0.4 семейство FL\ начинается сразу с орбит с петлями; это семейство уже не содержит орбит с неравномерными изгибами и орбиты столкновения.
При Q = 0.3 семейства FL2 и FL\ начинаются до появления точек либрации L2. Это "опережение" точки либрации растет при уменьшении Q.
Что касается семейств FL2 и FL2 , то их эволюция при Q 1 аналогична случаю Копенгагенской задачи: начинаясь с одной и той же орбиты столкновения, они изменяются по сценарию, описанному в предыдущем параграфе. При Q = 0.4 орбиты этих семейств построить не удается.
Значение Q — 0.12 попадает в область существования двух локальных ляпуновских семейств симметричных периодических орбит, при-мыкающих к внутренней "промежуточной" точке либрации L2. Эти два семейства удалось получить визуально. Первое семейство аналогично FL2 : амплитуда орбит этого семейства увеличивается при увеличении h. На бифуркационной диаграмме х(h) кривая, отвечающая этому семейству, лежит справа от точки либрации. Присутствует и семейство FL2 ; кривые x(h) семейств FL2 J и FL2 J смыкаются гладко, как и во всех предыдущих случаях. Орбиты второго ляпуновского семейства FL2 , примыкающего к L2, наоборот, растут в размерах при уменьшении h. Кривая x{h), отвечающая этому семейству, проходит по кромке области возможного движения, которая образует пятно вокруг L2, стягивающееся к точке либрации при h = 0.48. Орбиты семейства FL2 окружают это пятно. Отметим, что орбиты этого семейства существуют на очень малом интервале значений параметра h. Период по времени движения частицы Р по этим орбитам намного больше, чем по орбитам nсемейства FL2 . Что касается периода орбит по углу tp, то оба семейства содержат 2тг-периодические орбиты. Отметим, что семейство FL2 начинается с орбит, устойчивых по Ляпунову, тогда как орбиты второго ляпуновского семейства неустойчивы.
Семейства FL{2} и FL{2] также присутствуют при Q = 0.12. Заметим, что еще при Q = 0.3 семейство FL2 , так же как и FL2 , начинается сразу с орбит с петлями и не содержит орбиты столкновения.
При Q = 0.1 ляпуновского семейства в окрестности точки либрации L i построить невозможно: это значение параметра Q попадает в область отсутствия ляпуновских семейств в окрестности "промежуточной" точки либрации. Однако, имеются другие семейства класса CL2, а именно, FL2 и FL2 . При этом, они также начинаются до появления точки либрации и не содержат орбиты столкновения.
Для класса GL L справедливы все те же выводы относительно перио-дов орбит по углу р и по времени, что и для орбит класса CLi. Период по р для каждого семейства при Q 1 остается таким же, как в случае Копенгагенской задачи. Характеристика T(fr) семейств симметричных периодических орбит при Q 1 (период орбит по времени) ведет себя аналогично характеристике x{h); кривые отвечающие различным се-мействам, смыкаются, либо в угловые точки, либо гладко, одинаково на каждой из диаграмм x{h) и Т{Ь). Исключение составляет случай существования двух ляпуновских семейств в окрестности точки либрации L2: кривые х(/г), отвечающие этим семействам, сходятся в угловую точку, а кривые T(h) не смыкаются. Период T{h) возрастает при увеличении амплитуды орбит.
Относительно свойства устойчивости орбит, делаем вывод, что ха-рактер его смены принципиально не меняется при уменьшении Q. Ко-личественные изменения свойства устойчивости при Q 1 содержатся в Приложении III.2. При Q = 0.12 (два ляпуновских семейства) орбиты семейства FL2 , примыкающие непосредственно к точке либрации, являются устойчивыми (в отличие от орбит аналогичного семейства при больших значениях Q); орбиты же второго локального семейства неустойчивы.
В случае отрицательных Q (Q = -0.05) эволюция симметричных пе-риодических орбит в окрестности точки Li сходна с картиной при поло жительных Q (Q 0.12). Имеются два ляпуновских семейства. Первое из них аналогично семейству FL\ ДЛЯ положительных Q: начинается с устойчивых 27г-периодическихэллиптических орбит в окрестности ti2 {h 0.2). Орбиты становятся неустойчивыми при смыкании этого семейства с семейством Fb\ J класса CL\ (см. Приложение III.2). При дальнейшем увеличении h орбиты вытягиваются вдоль оси Ох, а их начальные условия х(h) асимптотически приближаются к положению одного из основных тел —/І. Характеристика %{h) проходит вдоль кромки области возможного движения: орбиты семейства FL находятся между двумя областями невозможности движения, лежащих в окрестности основных тел.
Второе ляпуновское семейство FL2 начинается при h = 0.1972 (по-явление точек либрации Ь\} Х-з). Орбиты этого семейства огибают об-ласть невозможности движения вокруг точки либрации Ьч- Их амплитуда уменьшается с увеличением h. Характеристика x(h) этого семейства проходит вдоль края области возможного движения и приближается к точке либрации L2: орбиты семейства FL\ исчезают, замыкаясь на это положение равновесия. Орбиты этого семейства являются неустойчивыми и 27г-периодическими по ip. Их период по времени убывает с увеличением h.
При Q —0.0625 имеем единственную точку либрации L2. В ее окрестности существует единственное семейство симметричных пери-одических орбит F&i . Оно является продолжением единственного ля-пуновского семейства в окрестности этой точки либрации (см. Прило-жение I). Семейство FL2 аналогично соответствующему семейству, описанному для Q = —0.05. Однако, все орбиты этого семейства при больших по модулю отрицательных Q неустойчивы.
Заметим, что характеристики x{h) в Приложении Ш.2 построены на примерно одинаковых отрезках значений h. Из графических материалов Приложения Ш.2 видно, что характеристика x(h) убывает медленнее с уменьшением параметра Q. Период по времени орбит семейства FL2 с уменьшением Q, соответственно, медленнее возрастает. Орбиты этого семейства являются всегда 27Г-периодическими по (р.
Исследование симметричных периодических орбит. Случай идеитичой двойной звезды
Значение Q — 0.12 попадает в область существования двух локаль-ных ляпуновских семейств симметричных периодических орбит, при-мыкающих к внутренней "промежуточной" точке либрации L2. Эти два семейства удалось получить визуально. Первое семейство аналогично FL2 : амплитуда орбит этого семейства увеличивается при увеличении h. На бифуркационной диаграмме х(h) кривая, отвечающая этому семейству, лежит справа от точки либрации. Присутствует и семейство FL2 ; кривые x(h) семейств FL2 J и FL2 J смыкаются гладко, как и во всех предыдущих случаях. Орбиты второго ляпуновского семейства FL2 , примыкающего к L2, наоборот, растут в размерах при уменьшении h. Кривая x{h), отвечающая этому семейству, проходит по кромке области возможного движения, которая образует пятно вокруг L2, стя-гивающееся к точке либрации при h = 0.48. Орбиты семейства FL2 окружают это пятно. Отметим, что орбиты этого семейства существуют на очень малом интервале значений параметра h. Период по времени движения частицы Р по этим орбитам намного больше, чем по орбитам семейства FL2 . Что касается периода орбит по углу tp, то оба семейства содержат 2тг-периодические орбиты. Отметим, что семейство FL2 начинается с орбит, устойчивых по Ляпунову, тогда как орбиты второго ляпуновского семейства неустойчивы.
Семейства FL{2} и FL{2] также присутствуют при Q = 0.12. Заметим, что еще при Q = 0.3 семейство FL2 , так же как и FL2 , начинается сразу с орбит с петлями и не содержит орбиты столкновения.
При Q = 0.1 ляпуновского семейства в окрестности точки либрации L i построить невозможно: это значение параметра Q попадает в область отсутствия ляпуновских семейств в окрестности "промежуточ-ной" точки либрации. Однако, имеются другие семейства класса CL2, а именно, FL2 и FL2 . При этом, они также начинаются до появления точки либрации и не содержат орбиты столкновения.
Для класса GL L справедливы все те же выводы относительно перио-дов орбит по углу р и по времени, что и для орбит класса CLi. Период по р для каждого семейства при Q 1 остается таким же, как в случае Копенгагенской задачи. Характеристика T(fr) семейств симметричных периодических орбит при Q 1 (период орбит по времени) ведет себя аналогично характеристике x{h); кривые отвечающие различным се-мействам, смыкаются, либо в угловые точки, либо гладко, одинаково на каждой из диаграмм x{h) и Т{Ь). Исключение составляет случай существования двух ляпуновских семейств в окрестности точки либра-ции L2: кривые х(/г), отвечающие этим семействам, сходятся в угловую точку, а кривые T(h) не смыкаются. Период T{h) возрастает при уве-личении амплитуды орбит.
Относительно свойства устойчивости орбит, делаем вывод, что ха-рактер его смены принципиально не меняется при уменьшении Q. Ко-личественные изменения свойства устойчивости при Q 1 содержатся в Приложении III.2. При Q = 0.12 (два ляпуновских семейства) орбиты семейства FL2 , примыкающие непосредственно к точке либрации, являются устойчивыми (в отличие от орбит аналогичного семейства при больших значениях Q); орбиты же второго локального семейства неустойчивы.
В случае отрицательных Q (Q = -0.05) эволюция симметричных пе-риодических орбит в окрестности точки Li сходна с картиной при поло жительных Q (Q 0.12). Имеются два ляпуновских семейства. Первое из них аналогично семейству FL\ ДЛЯ положительных Q: начинается с устойчивых 27г-периодическихэллиптических орбит в окрестности ti2 {h 0.2). Орбиты становятся неустойчивыми при смыкании этого семейства с семейством Fb\ J класса CL\ (см. Приложение III.2). При дальнейшем увеличении h орбиты вытягиваются вдоль оси Ох, а их начальные условия х(h) асимптотически приближаются к положению одного из основных тел —/І. Характеристика %{h) проходит вдоль кромки области возможного движения: орбиты семейства FL находятся между двумя областями невозможности движения, лежащих в окрестности основных тел.
Второе ляпуновское семейство FL2 начинается при h = 0.1972 (по-явление точек либрации Ь\} Х-з). Орбиты этого семейства огибают об-ласть невозможности движения вокруг точки либрации Ьч- Их амплиту-да уменьшается с увеличением h. Характеристика x(h) этого семейства проходит вдоль края области возможного движения и приближается к точке либрации L2: орбиты семейства FL\ исчезают, замыкаясь на это положение равновесия. Орбиты этого семейства являются неустой-чивыми и 27г-периодическими по ip. Их период по времени убывает с увеличением h.
При Q —0.0625 имеем единственную точку либрации L2. В ее окрестности существует единственное семейство симметричных пери-одических орбит F&i . Оно является продолжением единственного ля-пуновского семейства в окрестности этой точки либрации (см. Прило-жение I). Семейство FL2 аналогично соответствующему семейству, описанному для Q = —0.05. Однако, все орбиты этого семейства при больших по модулю отрицательных Q неустойчивы.
Заметим, что характеристики x{h) в Приложении Ш.2 построены на примерно одинаковых отрезках значений h. Из графических материалов Приложения Ш.2 видно, что характеристика x(h) убывает медленнее с уменьшением параметра Q. Период по времени орбит семейства FL2 с уменьшением Q, соответственно, медленнее возрастает. Орбиты этого семейства являются всегда 27Г-периодическими по (р. 5 Случай, близкий к идентичной двойной звезде.
Наряду с идентичной звездной системой, поставим задачу об ана-логичном исследовании семейств симметричных периодических орбит, примыкающих к коллинеарным точкам либрации в фотогравитационной ограниченной задаче трех тел, параметры которой близки по значениям к параметрам идентичной двойной звезды. Такое исследование дает нам понимание общих тенденций в изменении вида симметричных периодических орбит при значениях параметров, отличных от идентич-ной двойной звезды. Для того, чтобы нарисовать ясную картину этих тенденций, будем давать малые отклонения14 по параметрам \х и Q, то есть будем полагать j/i — 0.5 0, a \Qi — $2І 0.
Замечание. Выше упоминалось, что фотогравитационная задача (2,1.4) в случае двойной звездной системы допускает два неподвижных множества М\ (2.1.6) и Mi (2.1.7). Это, в частности, означает, что классы орбит CL\ и CL должны быть симметричными друг другу относительно неподвижного множества М2 (2.1.7). Система уравнений (3.1.4), однако, не является обратимой с неподвижным множеством Л 2-Значит, движение, описываемое системой (3.1.4) в окрестности внешних коллинеарных точек либрации L\ и із будет различным (рис. 3.9). То есть, невозможно построить все те же семейства симметричных пе-риодических орбит, примыкающие к коллинеарной точке либрации L , что и орбиты, примыкающие к L\ (за исключением орбит ляпуновского семейства, которые достаточно близко примыкают к точке либрации). Но так как уравнения (3.1.4) выводятся из уравнений фотогравитацион-ной задачи (2.1.4), то этот факт является несущественным, и построив орбиты класса CL\, мы можем считать, что у нас есть вся информация 06 орбитах класса СЬ% (с точностью до знака начальных условий).
Обратимся теперь к задаче (2.1.4) с отклонениями от идентичной звездной системы по параметру // или Q. В этих случаях мы уже не можем сказать, что классы орбит, примыкающие к внешним коллине-арным точкам либрации, являются симметричными друг другу, так как система (2.1.4) утрачивает свойство обратимости с неподвижным мно-жеством М2 (2.1.7). Что же касается системы (3.1.4) в несимметричном случае, то из теоремы о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от параметров следует, в частности, что решения несимметричной системы (3.1.4), прилегающие к Ь$ не будут качественно отличаться от подобных решений в случае двойной звезды (рис. 3.9). То есть, построить все семейства симметричных периодичес-ких орбит, примыкающих к L , опять-таки невозможно. образом, ставится задача: как можно обойти эту трудность применения численного метода, реализованного в программе "The3BodyProblem" и получить все орбиты класса 7L3 Для двойной звездной системы с отклонениями?
Отыскивая решение этой проблемы, заметим, что на плоскости па-раметров задачи (Qi, 5г) можно наблюдать своего рода "симметрию" относительно параметров двойной звезды. На рис. 3.10 на этой плос-кости построены кривые (2.2.4) [26], разделяющие области существова-ния одной и трех коллинеарных точек либрации для случаев \i = 0.5, /І 0.5, ji 0.5, а также линии, на которых Q\ = Qi Q\ Q2, Q\ Qi (кривые, соответствующие симметричной задаче, выделены жирными линиями). Как видно, кривые ц 0.5 и /х 0.5 симметричны друг другу относительно биссектрисы Q\ = Q2 (при \± — 0.5 кривая (2.2.4) симметрична сама себе относительно этой прямой), а линии Q\ Q2 Qi Qi лежат по разные стороны от нее.
Из этих замечаний напрашивается вывод: надо подобрать такие зна-чения параметров /х, Q\, Q2, при которой система (2.1.4) станет эк-вивалентной системе (2.1.4) при исходных параметрах с заменой пере-менных (х, у, , у) - (—х, г/,х, у). Выбирая такие параметры, мы "по-ворачиваем на 180" конфигурационное пространство, и коллинеарная точка либрации Ь$ занимает место точки либрации Ь\. То есть, для того чтобы получить класс орбит CL при некотором наборе параметров (fi,Qi, (Э2)4"} мы должны построить класс орбит CL\ выбирая пара-метры ( , Qi, (Эг)") связанные с исходным набором, и поменять знак в начальных условиях орбит класса CL.
Итак, допустим, нам необходимо получить орбиты класса CLz при {і = 0.5 — Д// и Q\ = Qi = Q. Чтобы построить этот класс орбит, нам надо взять fi = 0.5 + А/І, оставив прежние Qi,Q2, и построить класс орбит CL\. Аналогично, чтобы получить орбиты класса CL$ в случае \i = 0.5, Q\ — Q — AQ, Q2 Q, мы должны строить класс орбит CLi, выбрав (j, = 0.5, Q\ — Q Q2 — Q AQ. Косвенное доказательство данной гипотезы получим, вычисляя ко-ординаты точек либрации при значениях параметров (р., QuQ?) и При учете равенств (3.5.8), становится очевидно, что - система (3.5.9) эквивалентна системе (3.5.12); - система (3.5.10) эквивалентна системе (3.5.11). Это значит, что процедура замены (3.5.7) в уравнениях фотогравита-ционной ограниченной задачи трех тел эквивалентна процедуре замены параметра ц\ на параметр //2- В силу замены (3.5.7), если системе (3.5.9) (а также, в силу эквивалентности, и системе (3.5.12)) удовлетворяет ре-шение {x{t),y(t),x(t),y{t)), то системе (3.5.10) удовлетворяет решение (—x(t),y(t),x(t)t—y(t)). Такое же решение допускает также и система ((3.5.11)), в силу эквивалентности (3.5.10) и (3.5.11). В частности, это означает, что класс орбит CL\ системы (2.1.4) при ц = /ii является симметричным относительно оси Оу классу орбит CLs при /І = //2} то есть начальные условия последнего противоположны по знаку начальным условиям первого. В качестве примера здесь можно представить вышеприведенное исследование координат точек либрации L\ и L$, которые являются частными решениями системы уравнений (2.1.4). Замечание. Что касается системы (3.1.4), то для нее доказать это предположение не удалось. Однако, так как система уравнений (3.1.4) выводится из системы (2.1.4), и доказана справедливость гипотезы для систем типа (2,1.4) (а именно, (3.5.9) - (3.5.12)), то она должна быть справедлива и для систем типа (3.1.4).
