Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1. Обратная задача динамики гиростатов 13
1. Условия существования интегралов движения 13
2. Стационарные движения тяжелого гиростата 18
Глава 2. Описание регулярных прецессий гиростата 24
1. Лагранжевы уравнения движения 24
2. Обратная задача регулярной прецессии гиростата 27
3. Гиростат в поле позиционных сил 30
4. Регулярные прецессии гиростата в потенциальном поле 33
Глава 3. Спутник с неконтактным ротором
на круговой орбите 46
1. Твердое тело со сферическим демпфером 46
2. Уравнения движения симметричного спутника со сферическим
ротором на круговой орбите 59
3. Эволюция стационарных движений спутника 65
Глава 4. Твердое тело с ротором при слабой диссипации 72
1. Симметричное тело с неподвижной точкой при слабой
диссипации во взаимодействии с ротором 72
2. Эволюция кинетических моментов и стационарные движения .. 75
3. Исследование устойчивости 77
Заключение 81
Литература 83
Введение к работе
Актуальность темы и содержание работы. Теория стационарных движений механических систем является интенсивно развивающейся областью теоретической механики и восходит к известному трактату Э.Дж. Рауса [40]. Именно задача устойчивости нутационных колебаний волчка Лагранжа стала отправной точкой дальнейших исследований. Среди отечественных работ необходимо отметить книги В.Г. Веретенникова [3], А.В. Карапетяна [25], Д.Р. Меркина [26], В.В. Румянцева [28].
Динамика твердого тела дает обширный материал для приложения развитых методов изучения стационарных движений и в то же время создает базу эвристического характера для получения новых результатов. Необходимо отметить, вместе с тем, что в последние десятилетия сложился такой взгляд на эту ветвь механики, что наряду с абсолютно твердым телом следует рассматривать его естественное обобщение, а именно, гиростат, уравнения движения которого лишь одним дополнительным членом отличаются от классических уравнений Эйлера-Пуассона. Наиболее весомо этот взгляд утверждается в работах донецкой школы механиков [12], которым принадлежит ряд замечательных результатов по теории стационарных движений гиростата, в частности, его перманентным вращениям и регулярным прецессиям.
Между этими движениями тела различие достаточно условно. Например, при изучении регулярных прецессий симметричного спутника отмечалось, что таковыми эти движения являются в инерциальной
системе, тогда как в орбитальной системе они являются состояниями равновесия - для стреловидного спутника, и перманентными вращениями - для симметричного тела на орбите.
Определение регулярной прецессии восходит к трудам Л. Пуансо, Ф. Клейна и А. Зоммерфельда. Движения такого типа были долгое время известны для симметричных тел, и лишь в середине прошлого века итальянским математиком Дж. Гриоли [38], был открыт новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела, который оказался регулярной прецессией несимметричного тела с осью собственного вращения, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида инерции. Позже итальянский механик Э. Бситсик [36] установил существование аналогичного движения у тела в центральном ньютоновском поле. Среди исследований, посвященных поиску других случаев регулярных прецессий, следует отметить работы Р. Граммеля [15], МЛ. Гуляева [16], Г.В. Горра [12,13], В.М. Смотрова [30], в которых тело либо помещалось в поле с силовой функцией конкретного вида, либо она полагалась произвольной, подчиненной некоторым условиям.
Наиболее общий результат был получен в работе И.А. Галиуллина [11], где было дано описание всех существующих регулярных прецессий твердого тела в потенциальном поле с силовой функцией, допускающей разложение в ряд Фурье, и как частные случаи были указаны все известные движения такого рода. Методологической основой этой работы стала теория обратных задач динамики.
Обратные задачи динамики всегда были предметом исследований классической механики. Более того, именно при решении обратной
задачи об определении силы, под действием которой планеты совершают движение по законам Кеплера, были заложены основы векторной механики Ньютона. В это же время установилось понятие обратных задач динамики как задач об определении сил, действующих на механическую систему, если известны свойства движения этой системы. В дальнейшем, в аналитической механике Лагранжа-Гамильтона понятие обратных задач обрело более широкое содержание - наряду с задачами о построении силовых функций (задача Суслова) ставились и решались задачи об определении функционалов, принимающих стационарное значение в процессе движения механической системы (задача Гельмгольца), задачи построения уравнений движения по заданным свойствам движения (задача Горячева, задача Пуанкаре-Картана). Возможность моделирования многих прикладных задач в виде обратных задач динамики привела к тому, что само понятие обратных задач заметно расширилось. Появились задачи, в которых необходимо определить не только обобщенные силы, но и параметры механической системы, а также наложенные на систему связи, при которых возможно движение механической системы с заданными свойствами.
Итак, обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы.
В настоящее время существует много работ, в которых сформулированы возможные постановки обратных задач и установлены довольно
общие методы их решения. Оказывается, что если заданные свойства движения механической системы могут быть аналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующих уравнений движения, то решение обратных задач динамики в общем случае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным их интегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов, параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемой механической системы с предварительно заданными свойствами.
Обратная задача теории дифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравнений по заданным частным интегралам была впервые сформулирована Н.П. Еругиным в работе [24], где был указан также и метод решения этой задачи.
Фундаментально обратные задачи исследовал А.С. Галиуллин. В его монографиях [6,7,8] и других работах задачи построения дифференциальных уравнений ставятся и решаются применительно к обратным задачам динамики и к различным задачам управления движениями материальных систем. Согласно разработанному им методу составляются необходимые и достаточные условия того, что заданные интегралы действительно образуют интегральное многообразие строящейся системы дифференциальных уравнений. Для осуществимости заданного движения рассматриваемой механической системы требуется также, чтобы удовлетворялись соответствующие начальные условия.
Методы решения обратных задач динамики в настоящее время широко применяются для изучения поведения материальных систем са-
мой разнообразной природы, прежде всего, механики и физики.
В представленной работе решается обратная задача определения параметров гиростата и силовых характеристик поля, при которых возможен такой вид стационарных движений гиростата, как регулярная прецессия с заданными величинами угловых скоростей и угла нутации. Этому направлению посвящены первые главы диссертации, полученные результаты изложены в работах М.И. ДжиоевоЙ [18,21].
Другое направление, представленное в диссертации и тесно связанное с первым идеологически и терминологически, продолжает исследования, объектом которых также служат твердые тела с включениями. В ряде случаев, в качестве таких включений может быть жидкость -идеальная или вязкая - заполняющая некоторую полость; соответствующий обзор подобного рода исследований содержится в книге Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева [27]. Заметим при этом, что имеется параллельное направление, изучающее вязко-упругие тела, существующие безотносительно к объемлющему твердому телу. Математический аппарат, предназначенный для их исследования, разработан В.Г. Виль-ке и изложен в его книге [4]; среди других работ в этом направлении отметим те, что посвящены движению вязко-упругого шара: работу В.Г. Вильке и Ю.Г. Маркова [5], а также (не вошедшую в диссертацию) работу автора [20].
Последние две главы настоящей работы развивают методы, разработанные благодаря взгляду на тело с полостью, заполненной вязкой жидкостью в соответствии со следующей моделью. Рассматривается твердое тело со сферической полостью, в которой находится другое
тело сферической формы, и между этим абсолютно твердым шаром и
стенками полости имеется узкий зазор, в котором содержится вязкое
смазочное вещество. Такая модель - названная твердым телом с демп
фером - была исследована в работах
Ф.Л. Черноусько [35] и В.В. Румянцева [29], затем обобщена в статье
Н.Е. Болотиной и В.Г. Вильке [2], где рассматривались два симметрич
ных тела (второе уже не предполагалось имеющим сферическую фор
му), наконец, исследования были продолжены в работах М.И. Джио-
евой и Ю.Г. Маркова; для аналогичного спутника [19,22] и для тела с
закрепленной точкой при условии слабой диссипации [23].
В них именно эволюционные процессы служат предметом изучения. Стационарные движения, являющиеся темой диссертационной работы, в первых двух главах представлены регулярными прецессиями. В двух других эти движения рассматриваются в случаях их осуществимости, когда два тела - внешнее и внутреннее - движутся как одно твердое тело. В отличие от первой части, где акцент сделан на проблеме описания всех возможных регулярных прецессий тела, во второй части проводится изучение эволюции векторов кинетического момента, а также исследуется устойчивость.
Перспективной областью исследований настоящей работы являются вопросы устойчивости прецессионных движений гиростата и обобщение постановки задачи о твердом теле, содержащем демпфер.
Целью работы является определение условий существования регулярных прецессий гиростата в потенциальном силовом поле, а также исследование эволюционных процессов твердого тела с неконтактным
ротором как для спутника такого вида, так и для твердого тела с неподвижной точкой при условии слабой диссипации в его взаимодействии с абсолютно твердым включением в полости, содержащей вязкую жидкость.
Методы исследования. В работе используются методы постое-ния уравнений программного движения, теория решений уравнений в частных производных, аналитические методы динамики твердого тела, а также методика усреднения уравнений движения по быстрым переменным и качественные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе, методы теории устойчивости.
Научная новизна. В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение: 1) получены лагранжевы уравнения движения гиростата в предположении, что углы Эйлера выбраны в качестве обобщенных координат; 2) решена обратная задача построения обобщенных сил, составляющих правые части уравнений движения гиростата и соответствующие силовому полю, в котором осуществляется регулярная прецессия гиростата; 3) в соответствии с постановкой задач восстановления определены параметры гиростата и силового потенциального поля, а также условия, наложенные на начальные значения переменных, при которых регулярная прецессия не только возможна, но и действительно имеет место; 4) осуществлен анализ формулы потенциала поля, в котором возможны регулярные прецессии гиростата, - с точки зрения различных комбинаций эйлеровых углов, входящих в эту формулу; 5) составлены уравнения движения относительно центра масс симметричного спутника с некотактным ротором на круговой орбите и найдены стационарные движения; 6) проведено усредение уравнений по быстрым переменным и исследована устойчивость стационарных движений; 7) да-
на геометрическая интерпретация эволюции системы: построена траектория конца вектора кинетического момента системы "твердое тело - ротор"; 8) изучено движение неконтактного симметричного ротора в симметричном твердом теле в случае слабой вязкости: методом усреднения в канонических переменных Андуайе получены уравнения, описывающие эволюцию движения системы "твердое тело - ротор"; 9) в случае динамического подобия проведено исследование устойчивости регулярной прецессии указанной системы.
Практическая ценность. Системы, являющиеся объектом изучения в дисссртационой работе, как правило, служат моделью, представляющей следующую ступень - после твердых тел - в приближении к реальности таких систем, как например, летательные аппараты. Ракетодинамика дает нам примеры систем, которые уже невозможно трактовать как твердые тела; другим примером являются спутники, имеющие полости с топливом, имеющим различную степень вязкости, наконец, твердотопливные двигатели следует рассматривать как составные части спутников с управлением. Применение гиростатов в теории навигации и ориентации стало технически неизбежно, а регулярные прецессии гироскопов и гиростатов - известным и используемым видом их движения.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались в Московском Государственном университете им. Ломоносова на спец. семинаре по аналитической динамике под руководством проф., лауреата Государственной премии Демина В.Г. и проф. Татаринова Я.В. в мае 1989г., на Пятом международном
симпозиуме по классической и небесной механике в Великих Луках (23-28 августа 2004г.), на XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (18-22 апреля 2005г.), на XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в РУДН (20 апреля 2006г.).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [18 -23].
