Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Классификация типов движений 18
1. Введение 18
2. Типы движений в общей задаче трех тел 19
3. Классы состояний тройных систем 20
4. Критерии тройного сближения и выброса 22
5. Критерии выброса и ухода 25
6. Заключение 27
ГЛАВА II. Статистический анализ процесса распада 28
1. Введение 28
2. Распределение времени жизни тройных систем 29
3. Параметры финальных состояний 38
4. Теория распада и ее сравнение с численными экспериментами 45
5. Начальные условия и распад 51
6. Заключение 56
ГЛАВА III. Тройные сближения 59
1. Введение 59
2. Характеристики тройных сближений 60
3. Корреляция "сближение-выброс" 61
4. Тройные сближения и уходы 62
5. Заключение 69
ГЛАВА IV. Устойчивость тройных систем и периодические орбиты 71
1. Введение 71
2. Критерии устойчивости и сценарии нарушения устойчивости 73
3. Устойчивые периодические орбиты 75
4. Метастабильные состояния 84
5. Заключение 92
ГЛАВА V. Частные случаи общей задачи трех тел 94
1. Введение 94
2. Тройные сближения типа "пролет" в плоской равнобедренной задаче трех тел 96
3. Классификация орбит в равнобедренной задаче 102
4. Тройные сближения типа "обмен" в прямолинейной задаче трех тел 110
5. Заключение 126
ГЛАВА VI. Динамика кратных звезд 129
1. Введение 129
2. Характер внутренних движений в тройных звездах 132
3. Динамическая устойчивость тройных звезд 134
4. Динамика избранных кратных звезд 150
5. Заключение 153
Заключение 155
Литература 158
- Критерии тройного сближения и выброса
- Теория распада и ее сравнение с численными экспериментами
- Корреляция "сближение-выброс"
- Тройные сближения типа "пролет" в плоской равнобедренной задаче трех тел
Введение к работе
Проблема трех тел является одной из классических задач аналитической механики, небесной механики и звездной динамики (см., например, монографии Голубева и Гребеникова 1985; Маршаля 1990; Боккалетти и Пукакко 1996, 1997). На протяжении более чем трехсотлетней истории исследований задачи трех тел был получен целый ряд фундаментальных результатов.
В частности, удалось найти решение системы дифференциальных уравнений в виде сходящихся рядов (Сундман 1912). Однако ряды Сунд-мана не нашли применения по нескольким причинам. Во-первых, в них принципиально неразличимы основное решение и его аналитическое продолжение после двойного соударения. Во-вторых, решение не является глобальным — оно неприменимо для тройных систем с нулевым моментом вращения. В-третьих, ряды обладают крайне медленной сходимостью, что делает их неприменимыми для практических вычислений координат и скоростей тел.
Более перспективными являются качественный анализ и численное моделирование. Результаты качественного анализа подробно изложены, например, в монографии Маршаля (1990). Среди важных достижений аналитических исследований следует отметить разработку критериев различных типов финальных движений, обнаружение отдельных семейств периодических орбит и исследование их устойчивости, анализ движений в окрестности тройных соударений, применение КАМ-теории.
В то же время многие вопросы пока не удается решить аналитически. Здесь на помощь может прийти компьютерное моделирование, основанное на численном решении дифференциальных уравнений движения при определенных начальных условиях и обобщении полученных результатов. Настоящая работа основывается на результатах численных экспериментов.
Основные цели исследования следующие.
1. Классификация типов движения и состояний в общей задаче трех тел.
Статистический анализ процесса распада неустойчивых тройных систем.
Анализ свойств тройных сближений, приводящих и не приводящих к распаду.
Изучение поведения тройных систем вблизи границы устойчивости.
Исследование периодических орбит и близких к ним траекторий.
Классификация орбит в двух частных случаях (плоская равнобедренная и прямолинейная задачи трех тел).
Изучение характера движений в наблюдаемых тройных звездах.
Актуальность работы определяется большим количеством пробелов, имеющихся в представлениях о динамической эволюции тройных систем, несмотря на большое число публикаций по данной тематике. В настоящей работе предпринята попытка восполнить некоторые из имеющихся пробелов, согласно определенным выше целям исследования. Результаты, полученные при изучении задачи трех тел, могут представлять интерес для исследования других динамических задач, возникающих как в астрономии, так и в смежных областях науки.
Рассмотрим кратко содержание диссертации.
В первой главе представлена классификация типов финальных движений в тройных системах с положительной и отрицательной полной энергией. В первом случае выделяются четыре основных типа движений: пролет, обмен, захват и распад двойной ("ионизация"). При пролете не меняется состояние системы (например, в результате сближения одиночного тела с двойной двойная сохраняется). В случае обмена после сближения двойную образует новая пара тел. В результате захвата при сближении трех одиночных тел формируется двойная система. Захват переходит в распад двойной, если изменить знак времени.
Для тройных систем с отрицательной полной энергией множество типов движений более разнообразно. Наряду с пролетом одиночного тела мимо двойной и обмена компонентами двойной можно выделить еще несколько типов движений: 1) распад физически связанной тройной системы и родственное ему явление резонансного рассеяния; 2) устойчивые по Лагранжу тройные системы с ограниченными движениями тел в прошлом и будущем (иерархические и неиерархические системы). Резонансное рассеяние имеет место в результате сближения одиночного тела с тесной двойной системой, когда происходит захват этого тела и формируется временная тройная система, которая впоследствии распадается (нередко после длительной эволюции). В неиерархической устойчивой системе фазовая траектория может располагаться в окрестности устойчивой периодической орбиты.
Кроме перечисленных выше типов движений следует выделить несколько особых случаев: тройные соударения, периодические орбиты (устойчивые и неустойчивые), осциллирующие движения, равновесные конфигурации.
Наряду с классификацией финальных движений в первой главе рассмотрены классы состояний, реализующихся в ходе эволюции неустойчивых тройных систем. Выделены следующие классы состояний: тройное сближение, простое взаимодействие, выброс с возвратом и уход. Первые три состояния сменяют друг друга в ходе динамической эволюции тройной системы, последнее состояние является финальным. Агекян и Мартынова (1973) предложили критерии тройного сближения и выброса в тройных системах с нулевым угловым моментом. В настоящей работе проведено обобщение этих критериев для вращающихся систем как в плоском, так и в трехмерном случаях.
Для разделения состояний выброса и ухода в литературе имеется ряд критериев. Мы проводим критический обзор этих критериев и выбираем среди них оптимальный критерий, обеспечивающий минимальный зазор между фиксируемыми уходами и выбросами с возвратом. Таким критерием оказался критерий Маршаля и др. (1984), в котором в качестве условия ухода используется гиперболичность орбиты внешней двойной, образованной удаляющимся телом и центром масс остающей пары, при условии надлежащей изолированности этого тела от двойной. Остальные рассмотренные критерии, кроме критерия Биркхоффа (1927), асимптотически приближаются к критерию Маршаля и др. (1984), когда расстояние от удаляющегося тела до центра масс двойной стремится к бесконечности.
Вторая глава посвящена статистическому исследованию процесса распада физически связанных неустойчивых тройных систем. Для этого используется метод Монте-Карло. Результаты статистического моделирования сопоставляются с предсказаниями статистической теории распада тройных систем (Монахан 197ба,б; Нэш и Монахан 1978) и модификации этой теории (Валтонен и Картунен 2004).
Вначале рассматриваются изолированные неустойчивые тройные системы и определяется среднее время жизни таких систем. Показано, что эта величина бесконечно велика, поскольку в тройных системах возможны сколь угодно далекие выбросы. В то же время для изолированных систем можно определить время полураспада — медиану распределения времени жизни тройных систем — при том или ином способе задания начальных условий. В действительности тройная система звезд или галактик не является изолированной, и выброшенный на значительное (превышающее приливный радиус) расстояние компонент, скорее всего, будет оторван от остающейся двойной внешними полями Галактики или соседних массивных объектов (например, газовых облаков). Поэтому для оценки времени жизни тройной системы целесообразно ввести понятие радиуса условного распада. Среднее время жизни будет зависеть от принятого значения этого радиуса. Кроме того, оно зависит от различия масс компонентов и момента вращения тройной системы. Тройные системы с телами различных масс распадаются в среднем быстрее, чем системы с компонентами равных масс. Вращение системы в среднем замедляет ее эволюцию.
Далее во второй главе строятся распределения параметров, характеризующих финальное состояние распада: время жизни тройной системы; число тройных сближений, предшествующих уходу; относительная энергия, уносимая уходящим телом; минимум периметра конфигурационного треугольника в тройном сближении, предшествующем уходу; большая полуось и эксцентриситет финальной двойной; угол между векторами орбитальных моментов уходящего тела и финальной двойной; угол между вектором скорости уходящего тела и вектором полного углового момента тройной системы.
Исследованы зависимости средних значений параметров и вида функций распределения от начального вириального коэффициента ко и отношения масс компонентов при изотропном распределении скоростей. Показано, что время жизни и число тройных сближений, предшествующих уходу, в среднем уменьшаются с ростом различия масс тел и растут с увеличением момента вращения тройной системы. Тройные сближения, приводящие к уходам, в среднем становятся шире как с ростом дисперсии масс, так и с увеличением углового момента тройной системы. Финальные двойные также становятся шире, а доля энергии, уносимой уходящим телом, в среднем уменьшается. Среди финальных двойных преобладают системы с сильно вытянутыми орбитами. Если тройные системы обладают быстрым вращением, то уходы происходят преимущественно в направлении вращения финальной двойной ("прямые" движения); в системах с медленным вращением уходы, как правило, происходят в направлении, противоположном вращению финальной двойной ("обратные" движения). Как правило, вектор скорости уходящего тела приблизительно ортогонален вектору углового момента тройной системы.
Проведено сопоставление результатов численного моделирования со статистическими теориями динамического распада (Монахан 1976а,б; Нэш и Монахан 1978; Валтонен и Картунен 2004). Показано, что на качественном уровне достигается согласие результатов теории и численного моделирования. Однако количественно в ряде случаев результаты значимо различаются, что может свидетельствовать о приближенности теорий, основанных на предположении о квазиэргодичности траекторий в состоянии тройного сближения.
Далее во второй главе рассматривается зависимость времени жизни тройных систем от начальных условий. Показано, что области непрерывного изменения времени жизни перемежаются с областями стохастического поведения, где сколь угодно малые вариации начальных условий могут приводить к значительным изменениям времени жизни и числа тройных сближений, предшествующих распаду. Области регулярности соответствуют небольшому числу тройных сближений в сочетании с короткими выбросами. Зоны стохастичности нередко обрамляют области быстрых уходов, поскольку вблизи границ этих областей имеют место далекие выбросы тел, приводящие к практической непредсказуемости дальнейшей эволюции тройных систем.
В третьей главе рассмотрены тройные сближения, как приводящие, так и не приводящие к уходам тел. Предлагается ряд параметров, характеризующих тесноту тройного сближения, а также конфигурацию системы и характер движений тел в момент наиболее тесного сближения. Изучается корреляция между этими параметрами и длиной выброса, который испытывает одно из тел после тройного сближения. Отмечена статистически значимая корреляция между теснотой сближения и длиной последующего выброса — более тесные тройные сближения приводят к более далеким выбросам.
Далее в третьей главе рассмотрена выборка тройных сближений, приводящих к уходам, в тройных системах с компонентами равных масс и нулевым угловым моментом. Показано, что в большинстве случаев уходы происходят после прохождений одного из тел вблизи центра масс тройной системы. При этом, как правило, два других тела отдаляются друг от друга.
В четвертой главе рассматривается устойчивость тройных систем с иерархической и неирархической структурой. На примере плоских иерархических систем с первоначально круговыми орбитами внутренней и внешней двойных выделено несколько сценариев потери устойчивости: уход удаленного компонента (как правило, наиболее легкого) после серии сближений с двойной без нарушения иерархии; формирование тройной системы с новой иерархией после одного или нескольких обменов компонентами и уход нового удаленного тела после длительной эволюции (такое поведение характерно для случаев, когда вначале удаленное тело имеет максимальную массу); уход одного из тел после длительной эволюции с большим числом обменов компонентами (этот сценарий типичен для тройных систем с телами сравнимых масс);
4. уход одного из тел (обычно наименьшей массы) после одного или нескольких обменов.
Затем в четвертой главе рассмотрено несколько устойчивых периодических орбит в общей задаче трех тел равных масс. В окрестности орбиты "восьмерка" (Мур 1993, Шансинье и Монтгомери 2000) выделена область ограниченных движений, в которой фазовая траектория длительное время остается вблизи исходного решения. Построен ряд сечений этой области. Получены оценки фрактальных размерностей множеств точек, соответствующих ограниченным движениям, в этих сечениях.
Далее описан новый класс движений, которые были названы метаста-бильными, в тройных системах с компонентами равных масс и нулевыми начальными скоростями. Фазовые траектории в этих системах попадают в окрестности устойчивых периодических орбит и "прилипают" там на длительное время. Выделены три устойчивые периодические орбиты (Шубарт 1956, Брук 1979, Шансинье и Монтгомери 2000), которые выступают в роли "аттракторов", притягивающих фазовые траектории в метастабильных системах. Метастабильные режимы эволюции могут наступать в тройных системах с различными начальными условиями. Исключение составляют лишь системы с коротким временем жизни, в которых уход одного из тел происходит после небольшого числа тройных сближений.
В пятой главе рассмотрены два частных случая общей задачи трех тел: плоская равнобедренная задача и прямолинейная задача. В первом случае тела все время находятся в вершинах равнобедренных треугольников, лежащих в одной и той же плоскости. Во втором случае тела движутся вдоль одной и той же неподвижной прямой. В обеих задачах рассмотрены тройные сближения компонентов и выполнена классификация орбит по числу прохождений центрального тела через центр масс тройной системы, предшествующих уходу одного из тел. Также выделены области начальных условий, соответствующих траекториям с ограниченными движениями в окрестностях устойчивых периодических орбит. Найдены характеристики тройных сближений типа "пролет" (равнобед- ренная задача) и типа "обмен" (прямолинейная задача), приводящих к уходам компонентов. Исследована корреляция между параметрами прохождения (вириальный коэффициент и ориентация векторов относительных скоростей тел) и длиной последующего выброса.
Показано, что области начальных условий, соответствующих уходам тел после небольшого числа п прохождений, являются двумерными многообразиями. С ростом п появляются вытянутые цепочкообразные структуры и области "разбросанных точек", что может быть признаком стохастизации движений: малые вариации начальных условий приводят к сильно различающимся результатам эволюции. При п > 10 области регулярных движений практически исчезают, остаются лишь зоны "разбросанных точек".
В шестой главе рассмотрена динамика реальных наблюдаемых тройных звезд. Для выборки тройных звезд с надежно измеренными собственными движениями компонентов построено распределение ориентации векторов собственного движения удаленного компонента по отношению к близкой паре. Исследована динамическая устойчивость иерархических тройных звезд с известными элементами орбит внутренней и внешней двойных подсистем. Обсуждаются возможные сценарии динамической эволюции нескольких избранных тройных систем.
На защиту выносятся следующие результаты:
Нахождение распределений параметров распада тройных систем.
Определение характеристик тройных сближений, приводящих к выбросам с возвратом, а также к уходам в общей задаче трех тел равных масс с нулевым моментом вращения.
Выделение нового класса состояний в динамической эволюции неустойчивых тройных систем — метастабильных движений в окрестности устойчивых периодических орбит.
Разработка классификаций тройных сближений и орбит в плоской равнобедренной и прямолинейной задачах трех тел.
Оценка параметров динамической устойчивости 38 иерархических тройных звезд.
Основные результаты диссертации изложены в следующих статьях:
Агекян Т.А., Аносова Ж.П., Орлов В.В. Время распада тройных систем. // Астрофизика. 1983. Т. 19. С. 111-117.
Аносова Ж.П., Орлов В.В. Влияние дисперсии масс компонентов на эволюцию тройных систем. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1983. Т. 38. С. 142-164.
Аносова Ж.П., Орлов В.В. Начальная конфигурация и распад тройных систем с компонентами различных масс. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1984. Т. 39. С. 101-111.
Аносова Ж.П., Бертов Д.И., Орлов В.В. Влияние эффекта вращения на эволюцию тройных систем. // Астрофизика. 1984. Т. 20. С. 327-339.
Аносова Ж.П., Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1985. Т. 40. С. 66-144.
Аносова Ж.П., Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем в трехмерном пространстве. Случайный выбор масс и начальных скоростей. // Астрон. и геодезия. 1986. Вып. 14. С. 40-46.
Аносова Ж.П., Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем в трехмерном пространстве. Системы с компонетами равных масс. // Астрон. журн. 1986. Т. 63. С. 643-658.
Орлов В.В. Сравнение критериев распада тройных систем. // Вестник Ленингр. ун-та. 1986. Сер. 1. Вып. 2. С. 82-87. Anosova J.P., Klioner S.A., Orlov V.V. Statistical study of kinematics of triple stars from the program of the Leningrad State University Astronomical Observatory. // Bull. Obs. Astron. Belgrade. 1989. N. 140. P. 15-29.
10. Аносова Ж.П., Орлов В.В., Чернышев М.В. Динамика близких кратных звездных систем. Система Кастора (ADS 6175). // Письма в Астрон. журн. 1989. Т. 15. С. 554-561. Anosova J.P., Orlov V.V. The dynamical evolution of the nearby multiple stellar systems ADS 48, ADS 6175 (a Geminorum), a Centauri, and ADS 9909 (f Scorpii). // Astron. and Astrophys. 1991. V. 252. P. 123-126. Anosova J.P., Orlov V.V. The types of motion in hierarchical and non-hierarchical triple systems: numerical experiments. // Astron. and Astrophys. 1992. V. 260. P. 473-484. Aarseth S.J., Anosova J.P., Orlov V.V., Szebehely V.G. Global chaotic-ity in the Pythagorean three-body problem. // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 58. P. 1-16. Anosova J.P., Orlov V.V. Main features of dynamical escape from three-dimensional triple systems. II Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 59. P. 327-343. Aarseth S.J., Anosova J.P., Orlov V.V., Szebehely V.G. Close triple approaches and escape in the three-body problem. // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 60. P. 131-137. Anosova J.P., Orlov V.V., Aarseth S.J. Initial conditions and dynamics of triple systems. II Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 60. P. 365-372. Kiseleva L.G., Eggleton P.P., Orlov V.V. Instability of close triple systems with initial doubly-circular motion. // Monthly Notic. Roy. Astron. Soc. 1994. V. 270. P. 936-946. Anosova J.P., Orlov V.V., Pavlova N.A. Dynamics of nearby multiple stars. The a Centauri system. // Astron. and Astrophys. 1994. V. 292. P. 115-118.
Орлов В.В., Петрова А.В. Динамическая устойчивость тройных звезд. // Письма в Астрон. журн. 2000. Т. 26. С. 301-312.
Мартынова А.И., Орлов В.В. Критерии тройного сближения и выброса в общей задаче трех тел. // Вестник СПбГУ. 2000. Сер. 1. Вып. 2. С. 132-135.
Орлов В.В., Петрова А.В., Мартынова А.И. Корреляция "сближение-выброс" в общей задаче трех тел. // Письма в Астрон. жури. 2001. Т. 27. С. 549-553.
Орлов В.В., Петрова А.В., Мартынова А.И. Тройные сближения в плоской равнобедренной задаче трех тел равных масс. // Письма в Астрон. журн. 2001. Т. 27. С. 877-880. Orlov V.V., Petrova A.V., Martynova A.I. Classification of orbits in the plane isosceles three-body problem. Monthly Notic. Roy. Astron. Soc. 2002. V. 333. P. 495-500.
Орлов В.В., Петрова А.В., Мартынова А.И. Тройные сближения в прямолинейной задаче трех тел равных масс. // Астрон. журн. 2002. Т. 79. С. 1034-1043.
Орлов В.В., Петрова А.В., Мартынова А.И. Типы движений в прямолинейной задаче трех тел разных масс. // Астрон. журн. 2003. Т. 80. С. 280-288.
Валтонен М., Мюлляри А.А., Орлов В.В., Рубинов А.В. Динамика вращающихся тройных систем. // Письма в Астрон. журн. 2003. Т. 29. С. 50-59.
Орлов В.В., Рубинов А.В., Чернин А.Д. Область устойчивых движений вокруг периодической орбиты "восьмерка" в общей задаче трех тел. // Письма в Астрон. журн. 2003. Т. 29. С. 148-155. Martynova A.I., Orlov V.V., Rubinov A.V. Metastability in the evolution of triple systems. Monthly Notic. Roy. Astron. Soc. 2003. V. 344. P. 1091-1096.
В совместных публикациях вклад соавторов следующий. В работе [1] постановка задачи принадлежит Т.А. Агекяну, вычисления выполнены диссертантом, интерпретация результатов проведена совместно всеми тремя авторами. В работах [2, 3, 6, 7, 12,14] постановка задачи принадлежит обоим авторам, вычисления выполнены диссертантом по программе, составленной Ж.П. Аносовой; обработка результатов проведена диссертантом; интерпретация результатов сделана совместно. В работе [4] постановка задачи принадлежит Ж.П. Аносовой и диссертанту, вычисления выполнены Д.И. Вертовым и диссертантом, обсуждение результатов проведено совместно. В работе [9] постановка задачи проведена диссертантом и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены С.А. Клионе-ром, интерпретация результатов выполнена совместно всеми тремя авторами. В работе [10] постановка задачи принадлежит диссертанту и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены М.В. Чернышевым, интерпретация результатов выполнена совместно всеми тремя авторами. В работе [11] постановка задачи принадлежит диссертанту и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены диссертантом, интерпретация результатов проведена совместно. В работах [13, 15] постановка задачи принадлежит В. Себехею; вычисления выполнены Ж.П. Аносовой и диссертантом по программе, составленной С. Арсетом; обработка результатов проведена совместно С. Арсетом, Ж.П. Аносовой и диссертантом; интерпретация результатов выполнена всеми авторами. В работе [16] задача поставлена Ж.П. Аносовой и диссертантом; вычисления выполнены ими же по программе С. Арсета; обработка и интерпретация результатов проведены совместно всеми авторами. В работе [17] постановка задачи принадлежит П. Игглтону; вычисления выполнены совместно диссертантом и Л.Г. Киселевой; интерпретация результатов проведена совместно всеми авторами. В работе [18] постановка задачи принадлежит диссертанту и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены Н.А. Павловой, интерпретация результатов проведена совместно всеми тремя авторами. В работе [19] постановка задачи проведена совместно, вычисления выполнены диссертантом, интерпретация результатов проведена совместно. В работе [20] постановка задачи и все выкладки выполнены совместно. В работах [21-25] постановка задачи принадлежит диссертанту; вычисления проведены совместно диссертантом и А.И. Мартыновой; интерпретация результатов проведена совместно всеми авторами. В работе [26] идея принадлежит М. Валтонену; постановочная часть разработана А.А. Мюлляри и диссертантом; вычисления и их обработка выполнены А.А. Мюлляри, А.В. Рубиновым и диссертантом; интерпретация результатов и их сравнение с теорией выполнены совместно всеми авторами. В работе [27] идея принадлежит А.Д. Чернину; постановка задачи и вычисления выполнены совместно А.В. Рубиновым и диссертантом; обсуждение результатов проведено совместно всеми авторами. В работе [28] постановка задачи и вычисления проведены совместно А.И. Мартыновой и диссертантом; анимация движений проведена А.В. Рубиновым; интерпретация результатов выполнена совместно всеми авторами. Апробация результатов проходила на семинарах по звездной астрономии, звездной динамике и небесной механике в Санкт-Петербургском государственном университете (1979-2004 гг.); на семинаре обсерватории университета Турку (2001 г.); на семинаре по звездной астрономии ГАИШ МГУ (2002 г.). Результаты работы также докладывались на конференциях: "Проблема нескольких тел" (Турку, Финляндия, 1987 г.); "Проблемы физики и динамики звездных систем" (Ташкент, 1989 "Вопросы небесной механики и звездной динамики" (Алма-Ата, 1990 г.); "Неустойчивость, хаос и предсказуемость в небесной механике и звездной динамике" (Дели, Индия, 1990 г.); "От Ньютона к хаосу. Современные методы понимания и обращения с хаосом в динамических системах N тел" (Кортина д'Ампеццо, Италия, 1993 г.); "Звездные населения" (Симпозиум MAC N 164, Гаага, Нидерланды, 1994 г.); "Нерешенные проблемы Млечного Пути" (Симпозиум MAC N 169, Гаага, Нидерланды, 1994 г.); "Структура и эволюция звездных систем" (Петрозаводск, 1995 г.); "Звездная динамика: от классической к современной" (Санкт-Петербург, 2000 г.);
Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, 2001 г.); "Порядок и хаос в звездных и планетных системах" (Санкт-Петербург, 2003 г.);
Всероссийская астрономическая конференция (Москва, 2004 г.).
Работа по диссертации была частично поддержана грантами программы "Ведущие научные школы" 00-15-96775 и НШ-1078.2003.02; РФФИ 02-02-17516 и программы "Университеты России" Минобразования РФ УР.02.01.027.
Автор глубоко благодарен Т.А. Агекяну, Ж.П. Аносовой, В.А. Антонову, С. Арсету, Д.И. Вертову, М. Валтонену, Р.Я. Жучкову, П. Иг-глтону, А.А. Киселеву, Л.Г. Киселевой, С.А. Клионеру, А.В. Кривову, С.А. Кутузову, А.И. Мартыновой, К. Маршалю, А.А. Мюлляри, И.И. Никифорову, С.Н. Нуритдинову, Л.П. Осипкову, Н.А. Петрову, А.В. Петровой, Н.П. Питьеву, Е.Н. Поляховой, А.С. Расторгуеву, Л.Г. Романенко, А.В. Рубинову, В.В. Сидоренко, Л.Л. Соколову, В.Г. Сурдину, Н.А. Сушко, П.А. Тараканову, В.Б. Титову, А.А. Токовинину, К.В. Холшевникову, А.Д. Чернину, М.В. Чернышеву, И.И. Шевченко и многим другим за полезные советы, ценные замечания и общую поддержку.
Критерии тройного сближения и выброса
Все эти критерии являются достаточными условиями ухода, но в некоторых случаях уход может произойти, хотя критерий не выполнен. Поэтому представляет интерес найти критерий ухода, который обеспечивает максимальное число выявленных уходов.
Величина а минимальна в критерии Юшиды-Маршаля. Этот критерий можно применять на меньших расстояниях ро по сравнению с другими рассматриваемыми здесь критериями. Для сравнения величин Ь удобно ввести следующую систему единиц 2GM = 1 и D = 1, а также ввести безразмерные параметры а = М\ и (3 = D/po. Все значения 6, приведенные выше, можно записать через а и (3, а затем составить все возможные разности. Оптимальному критерию при фиксированных а и j3 соответствует минимальное значение Ь.
Сравнение величин b показало, что для всех (5 Є (0,1) и а Є [0,0.5] значение b минимально для критерия Юшиды-Маршаля. Различие с критерием Гриффита и Норта незначительно. Остальные критерии значительно хуже при ft 0.5. При /3 — 0 (ро - +оо) все попарные разности величин 6 стремятся к нулю. Все критерии, кроме критерия Биркхоффа, при этом асимптотически стремятся к условию гиперболичности орбиты внешней двойной
В работе Маршаля и др. (1984) показано, что условие гиперболичности (8) можно использовать в качестве критерия ухода при ро 2D.
Таким образом, для того, чтобы решить, какое из состояний (выброс с возвратом или уход) имеет место в тройной системе, при малых M iD ро 2.D можно использовать критерий Юшиды-Маршаля, а при ро 2D — критерий гиперболичности орбиты внешней двойной.
Таким образом, сочетание качественных методов и численного моделирования позволяет провести классификацию типов финальных движений в общей задаче трех тел, а также классификацию состояний для неустойчивых тройных систем, эволюция которых завершается уходом одного из тел.
В работе Агекяна и Мартыновой (1973) предложены критерии тройного сближения, простого взаимодействия и выброса (или ухода) для плоских тройных систем с нулевым моментом вращения. В настоящей диссертационной работе эти критерии обобщаются на случаи вращающихся систем как в плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Кроме того, в диссертации проводится сопоставление нескольких взятых из литературы критериев ухода. Выделен критерий Юшиды-Маршаля, который обеспечивает минимальное число не зарегистрированных уходов. Этот критерий можно применять на меньших расстояниях от остающейся двойной, чем другие известные условия ухода. При большей изолированности удаляющегося тела указателем ухода может служить гиперболичность орбиты этого тела относительно центра масс остающейся двойной (Маршаль и др. 1984). Все рассмотренные критерии ухода (кроме критерия Биркхоффа) асимптотически приближаются к критерию гиперболичности при увеличении изолированности уходящего тела от двойной.
Перейдем к исследованию динамической эволюции тройных систем с отрицательной полной энергией Е 0. Общие черты эволюции таких систем описаны в обзорах Аносовой и Орлова (1985), Аносовой (19866), Валтонена (1988), Валтонена и Микколы (1991), а также в монографии Валтонена и Картунена (2004). При изучении динамики тройных систем с помощью численного моделирования часто используется один из двух способов выбора начальных условий: 1. сближение одиночного тела с тесной двойной системой по гиперболической орбите (резонансное рассеяние); 2. тела формируют гравитационно связанную тройную систему. Первый способ задания начальных условий соответствует сближению звезды поля с уже сформировавшейся двойной системой, а второй способ — совместному формированию звезд — компонентов тройной системы. Вероятно, в природе реализуются оба сценария, поэтому представляют интерес оба подхода. Первый способ используется в цикле работ Валтонена с соавторами (см., например, обзорные статьи Валтонена 1988, Валтонена и Микколы 1991, а также книгу Валтонена и Картунена 2004). В настоящей диссертационной работе применяется второй подход, когда изначально не предполагается иерархическая структура тройной системы. Наряду с численным моделированием имеется и теоретический статистический способ изучения явления распада тройных систем (см. работы Монахана 1976а,б; Нэша и Монахана 1978; книгу Валтонена и Картунена 2004). Этот подход основан на предположении, что фазовая траектория тройной системы в состоянии сильного взаимодействия (тройного сближения), предшествующего распаду, является квазиэргодиче-ской. Тогда вероятность финального состояния с определенными характеристиками будет пропорциональна соответствующему объему фазового пространства с учетом ограничений, накладываемых интегралами движения. В диссертационной работе проводится сопоставление результатов численного моделирования и предсказаний статистической теории распада тройных систем.
Результат эволюции тройной системы может быть сильно чувствителен к малым вариациям начальных условий (см., например, работы Агекяна и Аносовой 1977, Микколы 1994). В фазовом пространстве начальных условий имеются области регулярного поведения (см., например, статьи Аносовой и Завалова 1989, Таникавы и Умехары 1998), для которых результат эволюции тройной системы является непрерывной функцией начальных условий, и области стохастического поведения, где результат эволюции (например, время жизни тройной системы) обладает очень сильной чуствительностыо к малым вариациям начальных условий. Миккола (1994) показал, что статистическое описание траекторий в тройных системах практически одинаково для системы точек, случайным образом разбросанных в фазовом пространстве начальных условий, и выборки точек, случайно распределенных в пределах короткого отрезка дуги в области стохастичности.
В работах Хейнямяки и др. (1998, 1999) изучается поведение ансамблей траекторий с близкими начальными условиями. Разбегание соседних траекторий описывается с помощью показателей Ляпунова и энтропии Колмогорова-Синая. Авторы отмечают перемежаемость областей регулярного и стохастического поведения.
В настоящей диссертационной работе рассмотрены еще некоторые примеры зависимостей результата эволюции от начальных условий, а также изучено влияние способа задания начальных условий на статистику финальных состояний распадающихся тройных систем.
Теория распада и ее сравнение с численными экспериментами
Рассмотрим медианы больших полуосей а\/2 финальных двойных, полученные из формулы (20) и по результатам численного моделирования (см. табл. 7). Наблюдается качественное согласие теории и численных экспериментов. Хотя по теории двойные несколько шире, чем в моделях. Исключение составляет только случай w = 6 (быстрое вращение), для которого наблюдается уменьшение медианы аі/2, в то время как теория предсказывает ее возрастание. Это расхождение может быть связано с тем фактом, что при w = 6 значительная доля систем распадается практически сразу после начала эволюции. Большие полуоси финальных двойных в этих системах могут определяться не только динамической эволюцией, но и способом задания начальных условий.
Распределение скоростей vs уходящих звезд связано с распределением больших полуосей, поскольку существует связь между а и vs: чем теснее финальная двойная, тем больше скорость ухода. Медианы величин г 3і/2 также приводятся в табл. 7. Общая тенденция к уменьшению скорости ухода с ростом w имеет место как в теории распада, так и в численных экспериментах. Однако численные значения в среднем выше, чем теоретические, что также согласуется с поведением больших полуосей. Вероятно, в действительности имеет место дополнительная фокусировка тройных сближений, которая не учитывается в теории распада.
Рассмотрим распределения направлений ухода выброшенных при распаде тел. Теоретическое распределение определяется формулой (22). В табл. 7 приведены медианы распределений углов в, полученные из формулы (22) и из численных экспериментов. Отмечается тенденция к ортогональности направления ухода и вектора углового момента тройной системы с ростом момента вращения. В то же время, в численных экспериментах этот рост не такой сильный, как предсказывается теорией.
Таким образом, мы можем сказать, что статистическая теория распада тройных систем (Валтонен и Картунен 2004) в целом предсказывает качественное поведение ансамблей распадающихся тройных систем. В то же время имеются значительные количественные расхождения теоретических предсказаний и результатов численного моделирования. Из этого мы можем сделать вывод, что движения тел в состоянии тройного сближения не вполне эргодичны. В частности, может иметь место эффект дополнительной фокусировки, приводящий к формированию более тесных двойных и к выносу большей энергии, чем предсказывается теорией распада. В отличие от теоретических предсказаний, не наблюдается зависимости эксцентриситетов финальных двойных от момента вращения тройной системы. Распределения эксцентриситетов близки к закону /(e) = 2е.
Характеристики финальных состояний распадающихся тройных систем должны зависеть от способа задания начальных условий — масс, координат и скоростей тел. Возникает проблема устойчивости ("робаст-ности") результатов численного моделирования по отношению к процедуре выбора начальных условий. Зависимость статистических результатов от отношения масс тел и момента вращения рассматривалась нами ранее (см. 3). В этом параграфе мы будем фиксировать отношение масс ті : т : тз и начальный вириальный коэффициент / или момент вращения L.
Рассмотрим вначале первый вопрос на примере тройных систем с компонентами равных масс и нулевыми начальными скоростями (ко = 0). В этом случае движения происходят на плоскости и эволюция определяется только начальными координатами тел и проходит симметрично по времени при г — ±оо. Множеством всех возможных начальных конфигураций является область D (рис. 1). Но функцию распределения конфигураций можно задавать по-разному. Рассмотрим два способа задания начальных положений тел: 1) равномерное случайное распределение координат третьего тела (х, у) в области D; 2) равномерное случайное распределение координат всех трех тел внутри круга.
Для каждой области рассмотрим 2500 вариантов начальных условий. Контроль вычислений осуществляется двумя способами: 1) по сохранению интегралов движения; 2) по сравнению результатов "обратного пересчета" и начальных условий. Второй критерий оказался более чувствительным к накоплению ошибок, поэтому мы принимаем его в качестве главного контроля. В результате все варианты разделяются на "прогнозируемые" и "непрогнозируемые". К первым были отнесены те случаи, в которых расхождения всех компонент начальных координат и скоростей тел и результатов "обратного пересчета" не превосходят 0.001.
Статистический анализ результатов проводится отдельно для "прогнозируемых" и "непрогнозируемых"вариантов. Результаты представлены в табл. 8 и 9. Здесь приведены средние оценки времени жизни Т в единицах г при радиусе условного распада р = 10d, где d — средний размер тройной системы, определяемый по формуле (13).
Из таблиц видно, что результаты (средние значения), как правило, согласуются в пределах ошибок. Таким образом, статистические характеристики ансамблей моделированных тройных систем слабо зависят от выбора начальных условий. Причем этот вывод относится как к траекториям с небольшим временем распада (табл. 8), так и к системам со значительным временем жизни (табл. 9). Это может означать, что тройная система сравнительно быстро (за времена 10 г) "забывает" начальные условия.
Однако, следует отметить, что при некоторых специфических способах задания начальных конфигураций статистические результаты могут существенно отличаться. Например, с ростом плотности вероятности к правому нижнему углу области D среднее время жизни может быть значимо больше, поскольку первому тройному сближению в этих случаях предшествует большое число двойных сближений — в начале эволюции тройная система находится в состоянии выброса, возврат из которого может занимать большое время.
Характеристики финальных движений для систем с телами разных масс могут зависеть от перестановки масс при одной и той же конфигурации в области D (рис. 1). Всего возможно шесть перестановок масс. Рассмотрим для примера отношение масс т\ : тпч : тз = 1 : 0.5 : 0.1. В этом случае максимальная и минимальная массы различаются на порядок.
Для каждой из 6 перестановок масс рассмотрим эволюцию 500 тройных систем с нулевыми начальными скоростями компонентов. Начальные положения тела тз при фиксированной перестановке масс выбирались равномерно случайно в пределах области D. Численное интегрирование уравнений движения проводилось вплоть до ухода одного из тел или до условного ухода при радиусе условного ухода, равном 30 1 В табл. 10 представлены средние значения Т, DE, ё для каждой из перестановок.
Корреляция "сближение-выброс"
Среди тройных систем можно выделить подмножество систем, устойчивых по Лагранжу. В таких системах движения тел ограничены при t — ±00. Как уже обсуждалось в Главе I, устойчивые тройные системы, в свою очередь, разделяются на иерархические и неиерархические.
В иерархических системах движения компонентов можно рассматривать как суперпозицию двух возмущенных кеплеровых орбит — внутренней и внешней двойных. Внешнюю двойную образуют удаленный компонент и тело с массой, равной сумме масс компонентов близкой пары, помещенное в центр масс этой пары. Неиерархические устойчивые системы концентрируются в окрестностях устойчивых периодических орбит.
Для общей задачи трех тел можно ввести понятие областей Хилла по аналогии с тем, как это делается в ограниченной задаче (см., например, работы Голубева 1967, 1968; книги Голубева и Гребеникова 1985; Маршаля 1990). Если рассматривать тройную систему как суперпозицию внутренней и внешней двойных подсистем, то можно ввести две области, аналогичные полостям Роша в ограниченной задаче трех тел.
В принципе возможны четыре случая относительного расположения этих областей: полости замкнуты и не пересекаются; полости разомкнуты и не пересекаются; полости замкнуты и пересекаются; полости разомкнуты и пересекаются. Первые два случая соответствуют системам, устойчивым по Хиллу (см., например, Маршаль 1990). В этих системах бесконечно долго сохраняется динамическая иерархия и невозможен обмен удаленного тела с одним из компонентов внутренней двойной. Первый случай соответствует тройным системам, устойчивым по Лаграпжу, в которых движения тел ограничены и все время сохраняется одна и та же иерархия. Во втором случае иерархическая структура также сохраняется, однако возможен уход удаленного тела. Третий случай соответствует устойчивым по Лаграпжу, но неустойчивым по Хиллу системам. Здесь возможны обмены компонентами, однако ухода не происходит. В четвертом случае могут быть как обмены компонентами, так и уходы. Для определения устойчивости по Хиллу был предложен ряд критериев (см., например, Голубев 1967, 1968; Голубев и Гребеников 1985; Себехей и Заре 1977; Рой и др. 1984; Маршаль 1990; Валтонен и Карту-нен 2004 и ссылки в этих работах). По сути дела, для устойчивости по Хиллу необходимо выполнение условия где L и Е — момент вращения и полная энергия тройной системы, m — средняя масса тел, sCT — критическое значение параметра устойчивости. Величина Scr зависит только от отношения масс компонентов, она соответствует коллинеарному решению Эйлера. Для систем с телами равных масс So- = 25/4. При s So- вопрос об устойчивости тройной системы остается открытым. При s So- невозможен обмен компонентами.
Изучение поведения динамических систем в окрестности резонансов представляет собой сложную математическую задачу. Ряд интересных результатов в этом направлении был получен в работах Чирикова (1979, 1991 и другие). Он отметил явление "прилипания" в ряде динамических систем, когда фазовая траектория длительное время проводит в окрестности сепаратрисы.
Для динамических систем, близких к интегрируемым, поведение системы в окрестности инвариантного тора рассматривалось Морбиделли и Джорджилли (1995). Они показали, что скорость диффузии очень медленная — она пропорциональна ехр[ехр(—1/р)], где р — расстояние от инвариантного тора.
Можно ожидать, что явления "прилипания" и диффузии фазовой траектории в окрестностях резонансов имеют место и в динамических системах, далеких от интегрируемых, например в общей задаче трех тел. Эта проблема также затрагивается в диссертации (см. ниже).
В диссертационной работе рассматривается следующий частный случай общей задачи трех тел. В начальный момент времени система имеет иерархическую структуру. Орбиты внутренней и внешней двойных лежат в одной плоскости. Эксцентриситеты обеих двойных равны нулю. Орбитальные фазы отличаются на 90, причем внутренняя двойная опережает внешнюю. Движения происходят в одном направлении.
При таких ограничениях эволюция тройной системы определяется отношением масс компонентов и степенью начальной иерархии. Отношение масс тел будем задавать с помощью двух параметров где ті гп2 — массы компонентов внутренней пары, тз — масса удаленного тела. Иерархию системы определим с помощью начального отношения XQ периодов невозмущенных орбит внешней и внутренней двойных. Рассмотрим сетку значений параметров а и /?
Для каждой пары значений (а, /?) находим критическое значение отношения периодов Хгп такое, что при XQ Хгп тройная система остается устойчивой по Хиллу (нет обмена компонентами) и по Лагранжу (не происходит ухода удаленного тела без обмена) в течение, по меньшей мере, 10000 начальных периодов внешней двойной. Значения Хгп были определены с точностью до 0.01. При XQ Х14 происходило нарушение устойчивости — либо обмен компонентами, либо уход удаленного тела.
Для определения величины Хгп(а, /3) проводилось сканирование в окрестности границы устойчивости при помощи численного интегрирования регуляризованных уравнений движения (Арсет и Заре 1974). Интегрирование проводилось методом Булирша и Штера (1966). Контроль точности осуществлялся по сохранению интеграла энергии. Относительная ошибка интеграла энергии в конце вычислений не превышала 10 10. Тестовые вычисления, проведенные с несколькими значениями входного параметра точности в методе Булирша -Штера показали согласие координат и скоростей тел в конце вычислений с точностью до четырех значащих цифр или лучше.
Тройные сближения типа "пролет" в плоской равнобедренной задаче трех тел
Множества точек, соответствующих устойчивым системам, можно описывать с помощью фрактальной размерности Dp. Для оценки величины DF ПО трехмерным сканам поступим следующим образом. Вокруг каждой точки, соответствующей устойчивой системе и не слишком быстро примыкающей к границе сканируемой области, построим прямоугольный параллелепипед, содержащий одинаковое число п точек сетки вдоль каждого из ребер. Находим среднее число N устойчивых систем по всем возможным параллелепипедам. Наклон зависимости lgiV(lgn) и даст искомую оценку фрактальной размерности Dp. Построенные области устойчивости проявляют признаки фрактальности, причем величины Dp варьируются в пределах от 2 до 3. Конкретные значения Dp зависят от шага сканирования. Заметим, что фрактальная размерность, немного превышающая 2, была оценена в работе Хейнямяки и др. (1998) из анализа временных рядов, описывающих динамику тройных систем. Столь низкая размерность характерна для динамических систем, обнаруживающих свойство перемежаемости областей регулярных и стохастических движений (Чернин и Валтонен 1998). Заметим, что орбита "восьмерка" является представителем целого класса периодических орбит, называемых "хореографиями", в задаче N тел. В работе Симо (2002) был отмечен ряд неустойчивых периодических орбит, порождаемых "восьмеркой". Для "хореографий" характерно то, что тела движутся друг за другом вдоль одной и той же замкнутой кривой, не испытывая при этом тесных двойных и кратных сближений.
Представляет интерес вопрос о возможных сценариях формирования устойчивых неиерархических тройных систем в звездных системах. Один из примеров образования "восьмерки" в результате сближения двух двойных был приведен Хегги (2000). В принципе нельзя исключать возможность образования таких систем при распаде малых неиерархических звездных групп. В дальнейшем было бы интересно оценить вероятность такого исхода с помощью численного моделирования динамической эволюции неустойчивых систем большей кратности.
Таким образом, как было показано в предыдущем параграфе, устойчивые периодические орбиты окружены областями регулярных финитных движений. Рассмотрим влияние этих "островов" регулярности на общую структуру семейства фазовых траекторий, описывающих динамическую эволюцию тройных систем.
В работе Дворака и др. (1998) было обнаружено "прилипание" фазовых траекторий к областям регулярных движений в задаче Ситникова (1960) — ограниченной задаче трех тел, когда тело нулевой массы движется вдоль прямой, ортогональной плоскости орбиты двух других тел равных масс и проходящей через центр масс этой пары. Можно предположить, что явление "прилипания" является общим для тройных систем, в которых имеются устойчивые периодические орбиты. В частности, оно может иметь место и в общей задаче трех тел с компонентами равных масс и нулевыми начальными скоростями. В этом случае тройная система имеет нулевой момент вращения и движения тел происходят в одной плоскости.
При изучении корреляции "тройное сближение - выброс" (см. 3 в Главе III) нами была обнаружена одна траектория с начальными условиями (х, у) = (0.42, 0.33), в которой длительное время ( 200 г) не происходило тесных тройных сближений и далеких выбросов тел. Движения тел имели место в пределах небольшой области, приблизительно ограниченной радиусом выброса (3). Затем в системе появились более далекие выбросы и ее эволюция завершилась уходом одного из тел. Начальная конфигурация этой системы находится в окрестности границы области D — тела образуют треугольник, близкий к равнобедреннному.
Вероятно, переход в такой метастабильный режим имеет ту же природу, что и явление "прилипания", отмеченное Двораком и др. (1998) для задачи Ситникова. С целью поиска траекторий в метастабильном режиме выполним сканирование окрестностей границ области D (рис. 1): D\ — части окружности единичного радиуса с центром в точке (—0.5, 0); 2 " оси абсцисс; D$ — оси ординат.
При изучении окрестности границы D\ рассмотрим три дуги концентрических окружностей с центрами в точке (—0.5, 0) и радиусами R = {0.9, 0.99, 0.999}. На каждой дуге координаты третьего тела определялись по формулам х = Rcostp, у = Rs mip . (31)
При фиксированном значении R полярный угол (р меняется с шагом А р = 1 . В окрстности границы 1 фиксировались три значения координаты у = {0.1, 0.01, 0.001}, а величины х менялись с шагом Ах = 0.001. Аналогичная процедура применялась для границы D$: здесь фиксировались три значения х = {0.1, 0.01, 0.001}, а координата у варьировалась с шагом Ду = 0.001.
Для отбора кандидатов в метастабильные системы будем использовать следующий алгоритм. Фиксируем последовательность минимумов максимального удаления Rmax тел от центра масс тройной системы. Определим число п таких минимумов, время t жизни тройной системы и отношение n/t. Для детального изучения траекторий выберем тройные системы, в которых достигается большое число минимумов Rmax (п 100) и отношение n/t 1. Предварительный анализ траекторий и анимации движений показывает, что такие системы могут попадать в метастабильный режим.
Численное решение уравнений движения задачи трех тел проводилось по программе TRIPLE. Вычисления проводились с тремя значениями параметра толерантности є = 1.0 10 13, є = 1.2 10 13, є = 1.5 10 13. Всего было рассмотрено около 15000 вариантов начальных условий.
Число выделенных тройных систем с п 100 и n/t 1 практически не зависит от величины є — оно равно соответственно 165, 170 и 169. То есть примерно для 1% рассмотренных систем в течение эволюции происходил вход в метастабильное состояние на длительное время. В то же время начальные положения (х, у) для таких систем могут различаться в зависимости от параметра точности е. Только для 47 систем (около 30% случаев) длительный вход в метастабильный режим имел место при всех трех рассмотренных значениях е. Как правило, это происходило на начальных стадиях эволюции тройной системы (в течение нескольких времен пересечения). Распределение этих 47 точек (х, у) в области D показано на рис. 13.
Изучим характер движения тел в метастабильном режиме. Несколько типичных фрагментов траекторий показаны на рис. 14-16. Фрагмент на рис. 14 напоминает траектории в тройной системе типа "цепочка" (рис. 6). Эти орбиты связаны с периодической орбитой, обнаруженной Шубартом (1956) в прямолинейной задаче трех тел (см. более подробное обсуждение в Главе V). Траектории движения тел на рис. 15 сходны с орбитой "восьмерка" (см. рис. 8 и 9). Наконец, фрагмент траекторий на рис. 16 напоминает периодическую орбиту, обнаруженную Бруком (1979) в равнобедренной задаче трех тел (см. дискуссию в Главе V).
