Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исторический обзор 9
1.1. Численное моделирование в задаче тел 12
1.2. Численный эксперимент и динамический хаос 16
1.3. Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии 19
1.4. Выводы к первой главе 20
Глава 2. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова 23
2.1. Введение 23
2.2. Основные определения и алгоритмы 24
2.3. Аналитическое оценивание МХПЛ 26
2.4. Численные методы определения полных ляпуновских спектров и МХПЛ 30
2.5. ХПЛ хаотического вращения спутников планет 33
2.6. Сравнение случаев плоского и пространственного вращения . 53
2.7. Выводы ко второй главе 59
Глава 3. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и константа Якоби 62
3.1. Введение 62
3.2. Вычисление ляпуновских спектров 64
3.3. Орбитальное движение и ХПЛ вращения 66
3.4. Аналитическое оценивание ХПЛ: границы применимости . 71
3.5. Зависимость ХПЛ от значения константы Якоби 73
3.6. Точность вычисления компонент ляпуновского спектра 81
3.7. Выводы к третьей главе 88
Глава 4. Вращательная динамика спутников планет: обзор регулярного и хаотического поведения 90
4.1. Введение 90
4.2. Постановка численного эксперимента 91
4.3. Угловые скорости и ляпуновские времена 94
4.4. Устойчивость движения в синхронном резонансе 100
4.5. Приливное замедление вращения 105
4.6. Выводы к четвертой главе 107
Заключение 112
Список литературы 116
- Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии
- Численные методы определения полных ляпуновских спектров и МХПЛ
- Зависимость ХПЛ от значения константы Якоби
- Устойчивость движения в синхронном резонансе
Введение к работе
Актуальность работы
К настоящему времени в Солнечной системе открыто уже более 170 спутников планет []. Значительный материал об их орбитальных и физических характеристиках накоплен в результате как наземных наблюдений, так и космических миссий («Вояджер-1», «Вояджер-2», «Галилео», «Кассини»). Задачи динамики спутников и спутниковых систем, формирования их современных динамических состояний являются одними из актуальнейших в современной небесной механике и космогонии Солнечной системы. Орбитальная и вращательная динамика спутников связана с их физическими свойствами — массой, размерами, формой, составом и внутренним строением — и, таким образом, имеет важное значение в планетологии.
В результате исследований, выполненных в последние три десятилетия, стало ясно, насколько существенную роль в динамике Солнечной системы — и, в частности, в динамике спутниковых систем — играют резонансные явления (см. напр. книгу Мюррея и Дермотта []). Во многих случаях резонансы определяют пространственную конфигурацию орбит спутников и структуру колец планет. Многие из известных естественных спутников находятся в настоящее время в состоянии синхронного спин-орбитального резонанса, процесс захвата в который является важным событием в динамической истории спутника. Детали этого процесса, так же как и многих других эффектов, связанных с резонансами, все еще остаются мало изученными.
Взаимодействие резонансов порождает фундаментальный динамический эффект — хаотическое поведение. Уиздом и др. [] в 1984 г. на основе анализа возможности существования основных резонансных спин-орбитальных состояний и их устойчивости у известных спутников планет сделали вывод, что вращение 7-го спутника Сатурна Гипериона должно быть хаотическим.
Позднее этот вывод был подтвержден в наблюдениях Клаветтером [8], Бл-эком и др. [], А. В. Девяткиным и др. [] и — строгим образом — путем моделирования кривых блеска А. В. Мельниковым []. Недавно обработка наблюдений с КА «Кассини» позволила Харбисон и др. [] сделать вывод о неоднородности распределения вещества внутри Гипериона и несовпадении геометрических осей его фигуры с осями инерции.
Для полного качественного понимания вращательной динамики спутников планет необходимо развитие полноценной аналитической теории. Построение такой теории, однако, сопряжено с большими трудностями, и в настоящее время основным инструментом исследования в данной области, позволяющим решать задачу выявления тонких динамических эффектов в максимально реалистичной постановке, служит численное моделирование. В этом контексте настоящая диссертационная работа, в которой численными методами исследуются прежде всего резонансные и хаотические режимы вращения спутников планет, затрагивает тему, которая будет сохранять и приобретать новую актуальность по мере появления новых и более точных данных о вращательной динамике спутников.
Цель диссертационной работы. В работе были поставлены и решены следующие задачи:
-
Численно-экспериментальное исследование резонансных и хаотических режимов вращательной динамики спутников планет и анализ наблюдательных проявлений этих режимов.
-
Развитие методов и программных средств для исследования вращательной динамики спутников, основанное на массовом вычислении значений характеристических показателей Ляпунова путем численного интегрирования уравнений движения.
3. Построение диаграмм устойчивости вращательных режимов спутников планет, сравнение результатов численного моделирования с аналитической теорией; выявление качественных закономерностей в хаотическом вращении с целью определения границ применимости теории.
Научная новизна. В процессе выполнения работы был получен ряд новых результатов:
-
Создан новый программный комплекс для численного интегрирования и вычисления ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем, ориентированный на анализ вращательной динамики спутников планет.
-
Впервые численно-экспериментально подтверждены выводы теории се-паратрисных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.
-
Впервые выявлены наиболее вероятные кандидатуры (помимо Гипериона) — спутники Сатурна Прометей и Пандора — для наблюдательного поиска проявлений хаоса во вращательной динамике спутников планет.
Научная и практическая значимость работы
Созданные в рамках данной диссертационной работы методика и программный комплекс для расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем могут быть использованы как инструмент моделирования для выявления различных качественных закономерностей во вращательной динамике спутников планет. Универсальность методов и их программной реализации позволяет распространить их использование также на более широкий круг задач динамики тел Солнечной системы — как вращательной, так и орбитальной.
Полученные в работе численные оценки ляпуновских времен и эмпирические зависимости их от орбитальных и инерционных параметров, выводы о возможных значениях динамических параметров и о физических характеристиках спутников могут быть использованы при планировании наземных наблюдательных программ и космических миссий к спутникам планет.
Следует отметить, что с использованием развитых в настоящей диссертационной работе программных средств и методик был получен результат о режимах вращения Гипериона и Фебы, вошедший в перечень НСА РАН важнейших достижений астрономических исследований в России в 2008 г.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
-
Программная реализация алгоритмов расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем. Создание программного комплекса, ориентированного на анализ вращательной динамики спутников планет.
-
Численно-экспериментальное подтверждение выводов теории сепаратрис-ных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.
-
Эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных параметров в задаче о пространственном вращении спутника.
-
Выявление наиболее вероятных кандидатур планетных спутников (помимо Гипериона), которые могут находиться в хаотическом вращении, — а именно, 16-го и 17-го спутников Сатурна Прометея и Пандоры.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах научных подразделений ГАО РАН и на следующих конференциях:
-
Всероссийская астрономическая конференция «ВАК–2001», С.-Петербург, АИ СПбГУ, 6–11 августа 2001 г.;
-
«Небесная механика — 2002. Результаты и перспективы», С.-Петербург, ИПА РАН, 10–14 сентября 2002 г.;
-
Всероссийская астрономическая конференция «ВАК–2004», Москва, ГАИШ МГУ, 2004 г.;
-
«Астрономия–2005 — современное состояние и перспективы», Москва, ГАИШ МГУ, 1–6 июня 2005 г.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, и 3 статьи в других изданиях.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В опубликованных по теме диссертации работах подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был равнозначным с соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 148 страниц c Приложением, включая 26 рисунков и 8 таблиц. Библиография включает 71 наименование.
Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии
Как было уже отмечено, аналитические выкладки в небесной механике, связанные с использованием разложений возмущающей функции, крайне длинны и трудоемки. Однако сами по себе они достаточно рутинны, сводятся к набору хорошо формализуемых правил и легко поддаются алгоритмизации. По этой причине представляется вполне естественным поручить эту задачу компьютерным программам. Первые такие программы, обеспечивающие автоматизацию символьных вычислений, — системы компьютерной алгебры — начали создаваться с 60-х годов XX века. Наиболее известны среди них пакеты MAO, TRIGMAN, CAMAL и некоторые другие. Они предназначались, как правило, для узкоспециализированных задач. Наиболее заметным успехом таких систем явилась отмеченная выше проверка теории Луны Делоне. Первые универсальные системы компьютерной алгебры, предназначенные для работы на персональных компьютерах, — такие, как REDUCE, MACSYMA, Maple, DERIVE, — стали появляться с конца 70-х годов. Однако первоначально их возможностей было недостаточно для серьезного применения в небесной механике.
Во второй половине 80-х годов XX века Ласкар предложил комбинированный подход, сочетающий численное интегрирование с аналитическими разложениями и позволяющий эффективно моделировать движение планет на интервалах времени, сравнимых с возрастом Солнечной системы. В этом подходе алгоритмы компьютерной алгебры используются для вывода усредненных уравнений (усредняются короткопериодические эффекты, не влияющие на долговременную эволюцию),4 а интегрирование этих уравнений про-4 Ласкар разработал для вывода усредненных уравнений собственные специализированные процедуры на языке FORTRAN. водится численно с гораздо большим, чем при прямом численном интегрировании исходных уравнений движения, шагом по времени. Применив такой подход, Ласкар в 1988 году показал, что движение внутренних планет является хаотическим, а характерное время экспоненциальной расходимости траекторий (то есть характерное время предсказуемости движения) составляет порядка 5 млн лет. Близкие результаты были получены и в других исследованиях, причем было показано, что орбиты всех четырех планет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) также являются хаотическими.
В настоящее время рост мощности персональных компьютеров и развитие универсальных систем компьютерной алгебры способствуют применению таких систем в широком классе небесномеханических задач. Они используются, в частности, для расчета эфемерид тел Солнечной системы с учетом возмущений от планет и крупных астероидов и релятивистских эффектов. Например, точность определения положения Луны достигает при этом нескольких сантиметров. Использование компьютерных средств для символьных вычислений помогает также, например, получить аналитические выражения для разложения в ряд планетной возмущающей функции до высоких порядков, вычислить нормальные формы различных гамильтоновых систем, решить аналитически обобщенное уравнение Кеплера и некоторые другие уравнения классической небесной механики, разработать эффективные теории движения искусственных спутников Земли и многое другое.
Использование компьютерных методов в современной динамике Солнечной системы связано с двумя основными группами задач. В первой из них численное интегрирование уравнений движения реальных или модельных систем используется для выявления качественных закономерностей регулярной и хаотической динамики различных групп тел, составляющих Солнечную систему — планет, их спутников, астероидов, комет, транснептуновых объектов. Тема настоящей диссертационной работы принадлежит именно к этой группе задач. Во второй группе компьютеры используются для все более точного предсказания положений небесных тел методами теории возмущений; используемые при этом ряды в настоящее время содержат уже сотни тысяч членов и, разумеется, не выписываются на бумаге, а хранятся в компьютерных файлах.
Поскольку пока не существует аналитического решения проблемы устойчивости Солнечной системы, большой интерес представляют исследования этого вопроса численными методами. Численное интегрирование уравнений, моделирующих Солнечную систему, на больших временных масштабах позволило выявить хаотический характер орбитального движения планет. Однако, несмотря на это, нет никаких указаний на то, что Солнечная система неустойчива и распадется в будущем: результаты всех проведенных до сих пор численных экспериментов говорят о том, что все планеты (кроме, возможно, Меркурия) сохраняют орбиты, близкие к существующим сейчас, на временах в миллиарды лет. Наличие же хаоса означает ограниченность того срока, на который мы можем предсказать положение планет.
Помимо «классических» приложений компьютерного моделирования систем частиц в динамике Солнечной системы и в звездной динамике, сейчас оно широко применяется и в «новых» областях астрономии — в таких, например, как динамика экзопланетных систем, динамика аккреционных дисков звезд и черных дыр, эволюция крупномасштабной структуры Вселенной.
Таким образом, компьютерные методы прочно вошли в практику исследований во всех областях современной астрономии, изучающих движение космических объектов — и в качестве вспомогательного средства, облегчающего выполнение трудоемких и рутинных задач, и в качестве полноправного инструмента аналитических и численно-экспериментальных исследований.
Численные методы определения полных ляпуновских спектров и МХПЛ
Для вычисления ХПЛ в данной главе используется два метода. Традиционный метод «теневой траектории» (иначе «двухчастичный» метод) непосредственно следует из определения LM (2.1); он эффективен и прост в реализации. Однако, как было отмечено выше, он позволяет получить только МХПЛ, но не весь спектр.
К тому же, метод теневой траектории может давать ошибочные оценки ХПЛ, если начальная теневая траектория выбрана неправильно (см. напр. [61]). А именно, оценки ХПЛ, полученные этим методом, могут зависеть от величины начального сдвига теневой траектории жо. Если этот сдвиг слишком велик, векторы смещения в фазовом пространстве могут перестать быть аппроксимацией касательных векторов. С другой стороны, нельзя сделать этот сдвиг произвольно малым из-за определяющего влияния ошибок округления при приближении к машинной точности представления чисел. В обоих случаях ошибки накапливаются в точках ренормировки, что может привести к ошибочным оценкам ХПЛ. Танкреди и др. [61] рекомендуют проверять, нет ли зависимости оценок ХПЛ от жо. Для вычислений, приведенных ниже, был выполнен такой тест, и было найдено, что значение сдвига жо = 10-7 удовлетворяет целям данной главы. Как отмечено в [61], необходимо также правильно выбрать интервал времени ренормировки. Слишком малое его значение может привести к быстрому накоплению ошибок округления при ренормировке, а слишком большое — к арифметическому переполнению. В описанных ниже экспериментах использовались различные значения шага ренормировки; показано, что во всех случаях подходит величина, равная шагу итерации.
Значительно более эффективный метод вычисления ХПЛ предложен фон Бременом и др. [66]. Он основан на QR-разложении матрицы касательного отображения (2.3) с использованием преобразований Хаусхолдера и известен поэтому как метод HQRB (Householder QR-based). Суть метода состоит в вычислении рефлекторов Хаусхолдера — набора из N - 1 (N — размерность динамической системы) матриц H s (s = 1, 2,..., TV-1), с помощью которых можно явным образом осуществить факторизацию (2.5):
Матрицы-рефлекторы имеют следующую структуру: где / — единичная матрица, и первые (s - 1) элементов TV-векторов nrs равны нулю. В выражение (2.4) для расчета ХПЛ входят только диагональные элементы матриц R , а матрицы Q используются там только в виде произведения J Q -l . Это позволило фон Бремену и др. [66] оптимизировать алгоритм расчета ХПЛ на основе вычисления рефлекторов Хаусхолдера, а также показать, что метод HQRB обладает более высокой численной устойчивостью, чем метод QR-разложения, основанный на ортогонали-зация Грама-Шмидта (последний использовался, в частности, Бенеттином и др. [25]). Метод HQRB также менее чувствителен к величине шага итерации, чем другие алгоритмы факторизации, поскольку не использует ренормировки. Далее все вычисления полных ляпуновских спектров выполнены с помощью программного комплекса HQRB, описанного в Приложении и основанного на методе фон Бремена и др. [66].
В случае, когда матрица касательного отображения J не задана явным образом, существует три возможности для ее вычисления. Во-первых, можно заменить касательные векторы 6 Х.І в (2.3) малыми векторами смещения: AXJ = x — Xj, где X; и x - ведущая и теневая фазовые точки, соответственно, на шаге і. Тогда обе точки интегрируются независимо, согласно (2.2). Это приводит к Ах +1 = х +1 — Xj__i. Повторив эту процедуру для 2N линейно независимых векторов AXJ, можно решить уравнение относительно матрицы касательного отображения J . Этот метод требует знания только исходного отображения (2.2). Зависимость результата от начального сдвига теневой траектории здесь не так критична, как в методе Бенеттина и др. [25]. Причина в том, что нет накопления ошибок округления при ренормировке. Этот алгоритм используется практически во всех вычислениях в данной главе.
На производительности данного метода, однако, негативно сказывается необходимость выполнять 2N дополнительных итераций исходного отображения на каждом шаге. Тем не менее, существует еще один путь вычисления матрицы касательного отображения. Он применим, когда отображение (2.2) порождается непосредственно исходной динамической системой
Тогда матрица касательного отображения может быть приближенно выражена как где VxF(ti) — матрица Якоби системы при t = ti = і At, а I — единичная матрица. Это приближение, однако, выполняется только для достаточно малых величин шага итерации At. По этой причине данный метод используется в этой главе только с целью тестирования.
Матрицу касательного отображения можно также вычислить непосредственно с более высокой точностью, хотя и ценой несколько больших вычис лительных затрат, путем одновременного интегрирования исходной и линеаризованной систем. Такой подход не требует введения дополнительного малого параметра — смещения XQ. Сопоставление его с первым методом будет проведено в следующей главе.
Как один из необходимых этапов исследования точности и надежности численного метода, в ходе подготовки к вычислениям были выполнены тесты с целью определить оптимальное значение t. Использовались значения t = 0.01 2-7Г, t = 0.1 2-7Г и t = 1. Было показано, что величина шага практически не отражается на результате вычислений; при этом меньшие значения оказываются чуть более предпочтительными.
Еще одним тестом надежности вычисления полного ляпуновского спек-тра служит контроль суммы всех ХПЛ X =i L . В данной главе N = 3, и указанную сумму можно для краткости обозначить как / L. Эта сумма должна равняться нулю (см. раздел 2.2), что позволяет контролировать внутреннюю точность метода. На фактическом значении / L может сказаться как выбор начального сдвига теневой точки или величина шага итерации, так и точность используемого интегратора.
Значительная часть естественных спутников диаметром менее 500 километров имеет явно асимметричную форму (см. напр. таблицы в Ephemerides Astronomiques [32]). В настоящее время львиная доля информации о форме спутников получается из снимков с различных межпланетных космических аппаратов.
Многие известные спутники планет вращаются в синхронном резонансе с их орбитальным движением. Плоское вращение (в плоскости орбиты) в синхронном резонансе, как следует из теории приливных спин-орбитальных взаимодействий (см. напр. [24, 69]), является естественной конечной стадией долговременной динамической эволюции спутника. На этой стадии ось вращения совпадает с осью наибольшего момента инерции.
Однако когда фазовая траектория в ходе долговременной динамической эволюции сближается с сепаратрисами синхронного резонанса и входит в хаотический слой, образованный сепаратрисами, спутник начинает хаотически кувыркаться, поскольку плоское вращение в этой области фазового пространства неустойчиво по отношению к наклону оси вращения [9, 10, 69, 70]. Поэтому спутник вращается хаотически по всем углам Эйлера. Чем больше динамическая асимметрия и эксцентриситет орбиты спутника, тем больше размер области хаотического движения в фазовом пространстве; правда, роли этих двух параметров совершенно различны.
Зависимость ХПЛ от значения константы Якоби
В данном разделе исследуется вопрос влияния начальных условий на значения ХПЛ автономной гамильтоновой системы. Гамильтониан вращательного движения твердого тела, представляющего собой трехосный эллипсоид на круговой орбите (интеграл или константа Якоби), согласно [69], имеет вид углу Эйлера . Остальные величины уже определены ранее. Этот интеграл дает закон сохранения энергии [4] как суммы кинетической энергии относительного движения и потенциальной энергии ньютоновых сил и сил инерции. Разделим для удобства величину (3.7) на и выразим направляющие косинусы и компоненты вектора угловой скорости через углы Эйлера и их производные. Окончательно имеем выражение в которое можно подставить начальные условия и значения параметров для непосредственного вычисления константы Якоби. Здесь используются первоначальные переменные; гамильтониан (3.8) можно выразить в автономном виде простой канонической подстановкой. Здесь и далее для вычисления константы Якоби используется выражение (3.8).
Положим , вычислим ХПЛ и определим зависимость ХПЛ от значения константы Якоби . Для того, чтобы обеспечить хаотический режим, примем следующие начальные условия: о. Значение константы Якоби меняется варьированием значения о в диапазоне с шагом До = 0.05. Остальные начальные условия в точности те же, что использовались в разделе 3.3. Имеются точки, которые для некоторого значения о оказываются лежащими в регулярной области фазового пространства, что приводит к -1 = 0. Такие точки исключены из графиков, приведенных ниже.
На рис. 3.3 представлены зависимости l для трехосного спутника от значения константы Якоби для различных значений инерционных параметров. Зависимости для вытянутого ( = ) и сплюснутого ( = ) осе-симметричных спутников показаны на рис. 3.4. Всюду используется одна и та же сетка значений /.
Графики 2 как функции приведены на рис. 3.5. Компонента в случае = 0 равна нулю. Для осесимметричного спутника на круговой орбите нулю равны и Можно видеть, что в большинстве случаев зависимость и от константы Якоби линейна, если значения последней сравнительно малы. Когда это возможно, эта зависимость на начальном участке аппроксимирована прямыми, как показано на рис. 3.3, 3.4 и 3.5. Коэффициенты линейной регрессии для каждого случая приведены в табл. 3.2 и 3.3. Диапазоны значений константы Якоби, поддающиеся линейной аппроксимации, были определены визуально по графикам; они указаны в последнем столбце табл. 3.2. Отметим, что аппроксимирующая прямая не проведена на рис. 3.4б; вместо нее для сравнения воспроизведена прямая с рис. 3.4а.
Рассмотрев зависимость для вытянутого осесимметричного спутника на рис. 3.4, можно сделать важный вывод: зависимость l от константы Якоби одна и та же для всех значений /, небольшое отклонение имеется только для / = 0.5. Выраженное в периодах обращения огь ляпуновское время, то есть величина, обратная МХПЛ, в диапазоне Є [1.0,1.24] (и, предположительно, / 0.5) определяется соотношением
Из этого же графика мы видим, что верхняя граница -1 не превышает 0.24, так что наименьшее ляпуновское время 0.66 периода обращения.
Из графиков, приведенных на рис. 3.3 и 3.4, можно заключить, что верхняя граница 1 для данных / и / явным образом зависит от горизонтального положения максимума кривой, которое мы обозначим как о. А именно, чем больше о, тем ниже верхняя граница. Это соотношение можно выразить в терминах сдвига линейной части графика -l\): -1\Q) = max примерно пропорционально . Значения этого коэффициента приведены в табл. 3.2. Регрессионный анализ дает следующий результат:
Зависимость верхней границы L 1 от величины сдвига 6; заштрихованные кружки — асимметричный случай, заштрихованные квадратики — В = С, белые кружки — А = В
Возникает важный вопрос: как теория сепаратрисных отображений и подход, основанный на зависимости от значения константы Якоби и выраженный эмпирической формулой (3.9), стыкуются друг с другом? На самом деле, некоторые из спутников в табл. 3.1 близки к вытянутому осесимметрич-ному случаю и находятся на практически круговых орбитах. Лучше всего удовлетворяет обоим этим условиям Протей. Полагая формально е = 0 и вычисляя Н с теми же начальными условиями, что и в разделе 3.3, находим, что результирующие значения Н для большинства спутников слишком малы, чтобы выражение (3.9) было к ним применимо.2 Только Протей может быть использован для сравнения двух подходов: в дополнение к подходящим инерционным и орбитальным параметрам, он обладает наибольшим в нашей выборке значением Н, а именно Н = 0.9524. Можно видеть, что значение D-1 = 0.043, полученное в результате численного интегрирования (см. табл. 3.1), находится в хорошем согласии с тем, которое дается форму 2 Получающиеся значения t- отрицательны, то есть (3.9) неприменимо при таких значениях константы Якоби. лой (3.9): (1) = 0.054. Последнее даже гораздо лучше, чем оценка по теории сепаратрисных отображений (1) = 0.026 [19]. Следовательно, в случае Протея два аналитических подхода и результат численного моделирования находятся в хорошем согласии.
Устойчивость движения в синхронном резонансе
Устойчивость вращательного движения несферического спутника в синхронном спин-орбитальном состоянии на эллиптической орбите изучалась ранее в работе А. В. Мельникова и И. И. Шевченко [10]. В синхронном состоянии ось вращения спутника совпадает с осью его наибольшего главного момента инерции и ортогональна плоскости орбиты. Посредством вычисления мультипликаторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения на плоскости (/, /) ( — главные центральные моменты инерции) были локализованы области устойчивости и неустойчивости по отношению к изменению ориентации спутника. Высокое разрешение, достигнутое авторами [10] в локализации границ этих областей, позволило им наложить дополнительные ограничения на возможные значения инерционных параметров Гипериона (S7), а для Амальтеи (J5) — сделать вывод о неустойчивости вращательного движения относительно изменения ориентации в одной из двух возможных синхронных спин-орбитальных мод — а именно, в так называемой альфа-моде.
Понятия альфа- и бета-мод синхронного резонанса, согласно [10] (см. также [47, 48]), определены следующим образом. Для спутника, находящегося на вытянутой орбите, при определенных значениях инерционных параметров синхронный резонанс может обладать двумя центрами в фазовом пространстве вращательного движения; иными словами, может существовать два различных синхронных резонанса, устойчивых в задаче плоского вращения. В применении к естественным спутникам планет это явление было изучено в работе [70]. В исследованиях динамики искусственных спутников существование аналогичных устойчивых периодических решений уравнения Белецкого, описывающего плоские либрации спутника на эллиптической орбите, было обнаружено еще в начале 60-х годов XX века ([13], см. также книгу [4] и приведенный в ней список литературы).
Рассмотрим заданное в перицентре орбиты сечение фазового пространства вращательного движения. При Q = 0 существует единственный центр синхронного резонанса с координатами = 0 mod , / = 1. Если эксцентриситет ненулевой, с ростом значения о центр резонанса смещается вниз вдоль оси /, и при определенном значении Q (напр. для = 0.1 это значение 1.26) появляется еще один синхронный резонанс. Согласно [10], первый синхронный резонанс, возникающий при нулевом значении о, называется альфа-модой, а второй — бета-модой синхронного резонанса.
При увеличении параметра о альфа- и бета-моды могут существовать одновременно в некотором ограниченном диапазоне о, зависящем от величины эксцентриситета. В таком случае на сечении фазового пространства имеются два различных центра резонанса при одном и том же значении угла ориентации спутника. Такое явление имеет место для Амальтеи [10]. С дальнейшим ростом параметра о, при некотором его значении (напр. о 1.37 для = 0.1) альфа-резонанс исчезает, то есть он становится неустойчивым в плоской задаче, и остается только бета-резонанс.
Диаграммы устойчивости, представленные на рис. 5-8 работы [10], охватывают необходимый диапазон значений эксцентриситета, так что можно сделать вывод, что для почти всех спутников, приведенных в табл. 4.1, значения инерционных параметров таковы, что синхронный резонанс устойчив; исключениями являются только уже известный Гиперион, а также два новых кандидата — Прометей и Пандора. Этот вывод можно сделать визуально, по расположению спутника, согласно значениям его инерционных параметров из табл. 4.1, на диаграмме (см. рис. 5-8 в [10]) при подходящем значении эксцентриситета. Мы приводим здесь диаграммы только для двух этих кандидатур на хаотическое вращение (рис. 4.3 и 4.4), поскольку остальные спутники (кроме, конечно, Гипериона) оказываются на них далеко от областей неустойчивости. Данные для этих диаграмм вычислены по нашей просьбе заново А. В. Мельниковым с помощью методики, развитой и описанной в работе [10]. Автор благодарен А. В. Мельникову за проведение этих расчетов.
Метод построения диаграммы следующий. Для начальных условий, соответствующих центру синхронного резонанса, на сетке значений (/, /) с малым шагом вычисляются мультипликаторы линеаризованных гамильто новых уравнений движения. Анализ распределения модулей мультипликаторов, построенного для ансамбля траекторий, позволяет отделить орбиты, устойчивые по отношению к наклону оси вращения, от неустойчивых. Непосредственно из анализа модальной структуры распределения следует численный критерий отличия модулей мультипликаторов от единицы.
На рис. 4.3 и 4.4 область максимальной (две степени свободы) неустойчивости показана черным; область минимальной (одна степень свободы) неустойчивости показана темно-серым. Для наглядности показаны линии постоянного значения параметра динамической асимметрии (или, что эквивалентно, частоты малых либраций, см. выше) 0 = 3( - )/.
Из диаграмм устойчивости (рис. 4.3 и 4.4) очевидно, что и альфа-, и бета-моды синхронного резонанса неустойчивы или близки к неустойчивым в случае Прометея. В случае Пандоры существует только альфа-мода, и она близка к неустойчивости. Для того, чтобы неустойчивость имела место в действительности, необязательно, чтобы спутник находился точно в зоне неустойчивости; близости к ней может оказаться достаточно. В самом деле, как показано Кейном [41] для спутника на круговой орбите, зоны неустойчивости расширяются в пространстве параметров, если спутник находится не точно в синхронном состоянии, а испытывает либрации около него; с ростом амплитуды либраций размер зон неустойчивости возрастает. Ясно, что такой же эффект имеет место и для спутника на эксцентрической орбите, то есть следует ожидать большего размера зон неустойчивости для либрирующего спутника.
