Содержание к диссертации
Введение
1 Пылевой тор в невозмущенном случае 17
1.1 Семейство траекторий 17
1.1.1 Сфера параметров 19
1.2 Элементы орбиты частицы 19
1.3 Область D2: плоский случай 26
1.4 Область D3: пространственный случай 30
1.5 Свойства поверхности S 39
1.5.1 Симметрия 39
1.5.2 Ограниченность 39
1.5.3 Окрестность конической точки 42
1.5.4 Окрестность перетяжки 44
1.6 Форма и динамика облака частиц как функция времени 46
1.6.1 Низкоорбитальные искусственные спутники Земли 49
1.6.2 Фобос и Деймос 50
2 Пылевой тор с учетом вековых возмущений; случай нулевого наклона 54
2.1 Постановка задачи 54
2.2 Поведение частот Uk 55
2.2.1 Плоский случай 55
2.2.2 Пространственный случай; экваториальный спутник Oi 55
2.2.3 Пространственный случай; произвольный наклон орбиты спутника Ох 58
2.3 Плоский случай 60
2.4 Пространственный случай 63
2.5 Построение области D2 '. 64
2.6 Свойства кривых Ьп 72
2.6.1 Исследование кривой Sj 72
2.6.2 Взаимное расположение кривых 76
2.6.3 Исследование множества . 78
2.6.4 Основной результат 81
2.6.5 Свойство вложенности 83
2.7 Случай малого с 84
2.7.1 Кривая S7 84
2.7.2 Кривая Ss 85
2.8 Размеры пылевого тора 86
2.8.1 Линейные размеры 86
2.8.2 Размеры сечения 89
2.8.3 Объем тора D3 - 92
3 Пылевой тор с учетом вековых возмущений; случай произвольного наклона 94
3.1 Основное отображение 95
3.2 Определение S 97
3.3 Исследование кривых 108
4 Численные эксперименты и примеры 113
4.1 Орбита и положение частицы на орбите в произвольный момент времени 113
4.2 Интегратор 115
4.3 Ящики орбит 115
4.4 Касание кривых орбитами 116
4.5 Численная модель выброса 119
4.5.1 Метод гауссовой сетки 119
4.5.2 Метод отталкивающихся зарядов 120
4.6 Профиль концентрации частиц 122
4.7 Примеры 125
Заключение 131
- Область D2: плоский случай
- Форма и динамика облака частиц как функция времени
- Пространственный случай; произвольный наклон орбиты спутника Ох
- Касание кривых орбитами
Введение к работе
Актуальность проблемы
Проблема космического мусора как естественного, так и техногенного происхождения занимает важное место в научных исследованиях и уже длительное время время привлекает пристальное внимание специалистов. В результате различных процессов в окрестности планеты образуются кольца (или более сложные структуры), состоящие из твердых обломков, двигающихся вокруг планеты с большими скоростями.
Существует, как минимум, две причины появления таких образований: природная (например, в случае бомбардировки метеоритами естественного маломассивного спутника) и техногенная (в случае распада искусственного спутника Земли). Природные пылевые комплексы давно известны в системе Сатурна, а в космическую эру они открыты в системах всех планет-гигантов. Есть веские основания считать, что метеорные рои присутствуют и в системе Марса, обладающего двумя маломассивными спутниками. В 1960-е гг. обнаружилось, что взрыв ИСЗ, а также столкновение двух ИСЗ ведут к образованию роя осколков, напоминающего пылевой рой вокруг орбит естественных спутников. Со времени начала освоения околоземного пространства произошло множество событий, ведущих к появлению обломков космических аппаратов. Из последних крупных таких событий стоит отметить намеренное уничтожение китайского спутника Feng Yun-lC („Фэн юнь" — „Ветер и облако") 11 января 2007 г., а также столкновение и разрушение российского и американского спутников („Космос" — „Iridium") 10 февраля 2009 г.
Исследуемая проблема имеет пересечения и с другими родственными задачами, как например, образование связанных с кометами метеорных роев [4, 5, 30, 31], определение области достижимости в астродинамике [20] и др.
Опишем кратко предложенный впервые С.Сотером [45] механизм образования роя метеорной материи в окрестности спутника типа Фобоса. Время от времени на спутник
падают метеориты с характерными скоростями порядка 10 км/с. Образование кратера сопровождается выбросом вещества, по массе на несколько порядков превосходящего массу ударника [2]. Поэтому характерные скорости выброса частиц значительно меньше скорости ударника, но из-за малости массы спутника большинство частиц приобретает скорости, превышающие параболическую. Таким образом, вещество поступает в космос и остается на орбитах, близких к орбите спутника. Множественность ударов в совокупности с действием возмущающих сил приводит к образованию эллипсоидального тора с осевой линией вдоль орбиты спутника.
Вторая космическая скорость на Фобосе составляет порядка 10 м/с, так что практически все вещество выбрасывается в космос и остается на ареоцентрической орбите, близкой к орбите Фобоса. После каждого удара выброшенные частицы зачерчивают семейство эллипсов с общей линией узлов, образующее топологический тор переменного сечения с точечной перетяжкой в месте выброса и перетяжкой в виде отрезка с обратной от Марса стороны. Возмущения от сжатия Марса и от Солнца ведут к исчезновению перетяжек и превращению роя метеороидов за год-два в тор приблизительно эллипсоидального сечения с осевой линией вдоль орбиты Фобоса. Поскольку бомбардировка Фобоса происходит постоянно, в различных его точках, образование усредненного полнотория происходит еще быстрее.
По мере накопления вещества в рое вступает в действие механизм вычерпывания. Частицы снова падают на спутник, но уже с малыми скоростями, и вторичные выбросы практически отсутствуют. В результате одновременного протекания двух процессов в рое устанавливается динамическое равновесие. Очевидно, плотность равновесного роя выше межпланетной [22].
Опубликовано много работ по указанной теме, в которых исследуются различные возмущения, вызванные сжатием центрального тела, притяжением Солнца, других планет и спутников, световым давлением, магнитным полем и т.д. Подавляющее большинство этих работ ограничивается либо качественным подходом [40, 41], либо численным, давая приближенное решение на ограниченном временном интервале [12, 13, 14, 27, 38].
Мы рассматриваем относительно крупные частицы с массами более Ю-7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием с фотонным и корпускулярным солнечным излучением. Как показано в работах [22, 45], механизм выметания крупных частиц световым давлением с учетом эффекта Пойнтинга-Робертсона, а также механизм взаимных соударений, приводящий к упло-
щению тора и образованию кольца, не играют роли на временах порядка сотни лет, которыми мы здесь ограничимся. Орбиту спутника — источника частиц считаем круговой, что допустимо в большинстве приложений.
Цели работы
Рассматривалось три типа задач: случай невозмущенного движения; случай возмущенного движения, при котором спутник находится в плоскости экватора планеты; случай возмущенного движения, при котором орбита спутника имеет ненулевой наклон к плоскости экватора планеты.
В данной работе были определены следующие основные цели:
Определение точной границы области возможных движений частиц и ее исследование.
Исследование формы облака частиц на начальном этапе формирования и в процессе эволюции.
Получение профиля плотности роя частиц внутри границы их возможных движений.
Научная новизна
Представляемая здесь работа призвана восполнить недостающие знания о возникновении пылевых комплексов, об их формировании и эволюции. Основным объектом поиска и исследования является граница пылевого образования. Метод получения решения в данной работе является аналитическим. Новый подход заключается в применении методов дифференциальной геометрии для поиска границы пылевого комплекса, с учетом законов движения тел в небесной механике.
Предлагается следующая постановка задачи: Спутник Oi движется но круговой кеплеровой орбите вокруг планеты О со скоростью w. В некоторый момент to из Oi происходит изотропный выброс частиц бесконечно-малой массы с одинаковой относительно Oi скоростью Ь. Орбита родительского спутника Ог либо расположена в плоскости экватора планеты (случай нулевого наклона), либо повернута относительно этой плоскости на некоторый угол (случай ненулевого наклона).
Новым является:
разработка аналитического метода поиска границы пылевого комплекса как огибающей семейства траекторий его частиц;
успешное применение метода для нахождения границы пылевого комплекса в трех классах задач (невозмущенный случай, возмущенный случай с нулевым наклоном и возмущенный случай с произвольным наклоном) и исследование топологических и геометрических свойств границы;
исследование аналитическими методами поведения частиц в момент рождения пылевого комплекса и в процессе его дальнейшей эволюции.
Практическая значимость работы
Проведенная работа позволила определить искомую границу, детально рассмотреть ее структуру и строение, а также выявить интересные научные факты, как например, то, что невозмущенные орбиты экстремального наклона расположены целиком на границе области невозмущенного движения. Впервые разработана методика получения точной границы области возможных движений частиц. Она успешно апробирована на трех типах задач и может быть применена и в более сложных случаях, чем те, которые рассмотрены в диссертации.
Фиксирование скорости выброса влечет появление общего для всех частиц параметра выброса с, равного отношению спутникоцентрической скорости частиц к планетоцен-трической скорости спутника, а также еще двух сферических координат направления выброса — долготы Л и дополнения до широты в. Эти параметры составляют минимально необходимый и при этом достаточный набор величин, с помощью которых можно описать семейства орбит. Элементы орбит частиц явно выражаются через три указанные величины.
Аналитические результаты сравнивались с численными, проведенными в этой же работе, а также и с работами других авторов. Сравнение показало впечатляющее сходство результатов, по крайней мере на качественном уровне.
Стоит отметить, например, работу [43], в которой объектом исследования является метеорный поток Геминиды. Схема образования потока, предложенная автором данной статьи, более сложная, но все же подходит под наше исследование. В этой работе проводится процесс численного моделирования движения фрагментов распада астероида 3200 Фаэтон и строится область их возможных движений. Предполагается, что распад
произошел на короткой дуге вблизи перицентра орбиты. Форма и размеры образовавшегося потока весьма напоминают описанные в главе 1 диссертации. Интересен следующий факт: время жизни невозмущенного тора частиц как единого объекта невелико. Если за характерный размер данного пылевого образования принять радиус орбиты астероида, то это время оценивается в десятки или сотни оборотов. Кроме того, факт одномоментного распада конкретного естественного объекта маловероятен, однако с учетом огромного числа известных малых тел Солнечной системы подобные события отнюдь не редки. Согласно [26] в настоящее время известно 208 тысяч нумерованных и 233 тысячи ненумерованных астероидов, 214 нумерованных короткопериодических и 4000 долгопериодических комет, 162 спутника планет и 45 наблюдаемых метеорных потоков. В отличие от спутниковых роев метеорный поток (точнее, его построенная модель) является удачным примером наглядной демонстрации результатов главы 1. Он продолжительное время может сохранять свою форму, вследствие того, что все возмущающие факторы (сжатие Солнца и притяжение других планет), влияющие на ее изменение, малы и проявляются лишь в течение длительного времени воздействия.
В работе [14] численно и приближенно-аналитически исследуется образование пылевого облака. Постановка задачи и модель выброса в одной из подзадач точно соответствуют нашей работе. Однако, авторы проводят исследование путем приближенного решения дифференциальных уравнений движения частиц. При таком подходе, по признанию самих авторов, возникшие расхождения с результатами численного интегрирования не позволяют доверять точности их аналитического исследования на время более чем одного оборота спутника. Между тем, на качественном уровне аналитические результаты нашей работы хорошо подтверждают выводы авторов. В настоящей работе удалось не только подтвердить, но и дополнить некоторые выводы работы [14], например, установить время замыкания пылевого роя (формирования топологического полнотория) при малой скорости разлета частиц.
В работе [13] рассматривается выброс частиц из геостационарного спутника и их эволюция. В качестве одного из результатов приводятся экстремальные значения большой полуоси, наклона и эксцентриситета по всем частицам в пяти реализациях выбросов при различном значении с. Мы воспользовались этими значениями для того, чтобы получить недостающую информацию об орбитальном комплексе. Воспользовавшись нашей теорией, можно установить значение с и размеры пылевого комплекса, а точнее минимальное гтгп и максимальное гтах расстояние от границы комплекса до
центра планеты. На основании этих выражений можно приблизительно восстановить неизвестные параметры в работе [13]. Восстановленные значения imax,^maxi а также вычисленные с, гтгп, гтах приведены в табл. 1. Расхождения между восстановленными значениями в [13] и в данной работе неустранимы. Это связано с тем, что в [13] приведены экстремальные значения большой полуоси по имеющимся дискретным наборам частиц, а, следовательно, эти значения не являются истинно экстремальными. Кроме того, параметр выброса с в работе [13] предполагался не постоянным, а случайным в некотором узком диапазоне. Отсутствие величины R радиуса орбиты геостационарного спутника, используемой в [13], затрудняет сравнительный анализ. Очевидно, что оно для всех рассмотренных случаев было одинаковым. Нам пришлось воспользоваться своим значением R. Автором работы [13] приведены значения гтгп минимального наклона. Однако, его минимальное значение, очевидно, равно максимальному, взятому с обратным знаком. Возможно, приведенные значения являются минимальными по модулю, так как в нашей теории |emj„| и |гшш| равны нулю и достигаются лишь в конкретных точках. Даже несмотря на вышеперечисленные различия видно, что етах и imax хорошо согласуются друг с другом. Сравнение отражено в последнем столбце, отвечающем относительной погрешности значения етах, взятому из обеих работ. Принятое здесь значение радиуса геостационарной орбиты
R = 42164 км.
Табл. 1 Слева приведены экстремальные орбитальные параметры из работы [13] в пяти
реализациях выбросов. Справа — вычисленные по ним с применением пашей теории значения
параметра выброса с, контрольные значения етах, ітах (в градусах), восстановленные гтах, гтгп (в
радиусах геостационарной орбиты) и относительное расхождение двух величин етах (в процентах).
В работе [22], где речь идет о выбросах из Фобоса и формировании тороидальной пылевой области, размеры сечения тора оцениваются и составляют 0.3 х 1.5 Мм. Т.е. отношение полуосей составляет 1:5. Перейдя к безразмерным величинам, выразив размеры в радиусах орбиты Фобоса ( 9.3 Мм) получим отношение 0.161 : 0.032. Пользуясь выводами, сделанными в нашей работе, получим, что характерное значение параметра выброса при формировании пылевого комплекса Фобоса равно 0.02. При этом параметре, согласно нашей теории, отношение полуосей должно составлять 0.16 : 0.04. Небольшое различие в этих результатах свидетельствует, скорее всего, о гравитационном влиянии Солнца и негравитационных эффектах, не учитываемых в нашей работе.
Сравнение с некоторыми другими работами показало, что и результаты, которые совпадают лишь на качественном уровне, представляют значительный интерес. Так например, во второй главе линейные размеры области распространения частиц, такие как ее внешний и внутренний радиусы, а также размеры сечения получены точно, в рамках модели. В то же время, авторы многих работ, которые проводят похожие исследования с применением численных методов, подразумевающих богатый набор возмущающих факторов, получают пылевые образования, имеющие некоторые отличия от приведенных в работе (изменение размеров, нарушение симметрии). Эти расхождения позволяют оценить вклад неучтенных возмущений в общую эволюцию пылевых комплексов.
Апробация работы
Результаты представляемой работы докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, семинаре РІПА РАН и семинаре ГАО РАН. Кроме того, они были представлены на следующих научных конференциях:
30-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2001.
Всероссийская астрономическая конференция, г. Санкт-Петербург, Петергоф, 2001.
31-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2002.
Fifth US-Russian Space Surveillance Workshop, 2003, Pulkovo, Russia.
33-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2004.
34-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2005.
Sixth US-Russian Space Surveillance Workshop, 2005, Pulkovo, Russia.
35-я международная конференция „Физика Космоса'-, г. Екатеринбург, 2006.
Астрономия-2006: традиции, настоящее и будущее, г. Санкт-Петербург, Петергоф, 2006.
37-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2008.
Международная конференция „Динамика тел Солнечной системы", г. Томск, 2008.
Положения, выносимые на защиту
создан и апробирован метод поиска границы области возможных движений частиц пылевого комплекса как огибающей семейства их траекторий;
найдена граница пылевого комплекса в трех классах задач и исследованы ее топологические и геометрические свойства;
установлена форма и динамика пылевого комплекса на начальном этапе разлета и в процессе эволюции.
По результатам исследования, приведенного в диссертации, опубликовано 5 научных работ. Диссертация изложена на 176 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых литературных источников (45 наименований), 2 приложений, содержит 47 рисунков и 5 таблиц.
Содержание работы
Во введении приводится обоснование актуальности работы, сформулированы цели, новизна, научная и практическая ценность полученных результатов. Проведен сравнительный анализ с некоторыми ключевыми работами других авторов. Приведены выносимые на защиту результаты, список публикаций и апробация работы.
В первой главе постулируется общая постановка задачи. Вводится обозначаемый через с параметр выброса частиц, равный отношению спутникоцентрической скорости частиц к планетоцентрической скорости спутника, а также сферические координаты в, А, определяющие направление выброса частицы.
Аналитическое исследование оказалось возможным, как обычно, при наложении некоторых упрощающих условий. Предполагается отсутствие негравитационных эффектов, отсутствие влияния частиц на движение других небесных тел, включая другие пылевые частицы. Модель выброса изотропна, орбита спутника, порождающего частицы, считается круговой. Частицы предполагаются движущимися по невозмущенным орбитам. При перечисленных ограничениях задача о поиске границы решается аналитически, что и показано в диссертации.
Проводится поиск элементов орбит частиц как функций от (с, в, Л), а затем границы области возможных движений в простейшем плоском случае, а также в пространственном невозмущенном случае. Граница области — двумерная замкнутая поверхность — представлена в параметрической форме. Описывающие ее функции двух пробегающих сферу переменных 9, А и параметра с удалось выразить в элементарном виде. Для полноты картины и контроля вычислений приведены результаты работы [21]. Исследуются свойства найденной границы области, а также ее форма и динамика облака частиц на начальном этапе движения и в процессе эволюции. Приводятся сравнительные характеристики гипотетических взрывов низкоорбитальных искусственных спутников Земли, и выбросов с поверхности спутников Марса. Область невозмущенного движения частиц вместе с их орбитами приведена на рис. 2.
Во второй главе рассматривается простейшая возмущенная задача: учитывается действие планеты. Считаем, что спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора планеты. В приложениях это могут быть близкие естественные спутники (например, Фобос и Деймос), геостационарные спутники и т.д. Периодическими возмущениями пренебрегаем ввиду их малости. Вековые возмущения учитываем с точностью до первой степени сжатия. В этом случае вековым образом изменяются только средние аномалии и долготы узлов и перицентров относительно плоскости экватора планеты.
Доказывается несоизмеримость средних движений трех указанных угловых переменных для почти всех частиц. Это свидетельствует о всюду плотном заполнении частицами внутренней области границы пылевого комплекса, что придает последней реальный физический смысл.
Излагается метод поиска границы семейства траекторий частиц. Проводятся необходимые подготовительные мероприятия для использования этого метода. Это позволяет, принимая во внимание найденные в первой главе элементы орбит выброшенных частиц, провести исследования и получить точную границу области возмущенных движений
этих частиц, что и было сделано. В качестве опытного образца для тестирования метода рассматривается плоский вариант задачи, а затем решается пространственная задача. Область возмущенного движения частиц вместе с их орбитами приведена на рис. 19. Исследуются топологические и дифференциально-геометрические свойства найденной границы области, свойство вложенности друг в друга пылевых комплексов, образованных при выбросах различной интенсивности, случай выбросов малой интенсивности. Доказывается, что граница пылевого комплекса в данном случае не является всюду гладкой, а имеет угловые точки, что не было очевидно при постановке задачи. Определены также линейные размеры, площадь меридионального сечения и объем искомой области.
В третьей главе обосновывается подход к решению возмущенной задачи с учетом ненулевого наклона орбиты родительского спутника к плоскости экватора планеты. Проводятся необходимые мероприятия для использования методики поиска границы, что позволяет во многом свести поиск решения к предыдущему случаю нулевого наклона. Рассматривается пространственный случай. Исследуются дифференциально-геометрические свойства найденной границы области. Результат можно увидеть на рис. 31.
В четвертой главе проводятся различные численные эксперименты для апробации полученных ранее аналитических результатов. Подтверждается достижимость границ пылевого комплекса его частицами во всех рассмотренных типах задач. Анализируется первоначальное разбегаиие частиц от точки выброса.
Численно получена концентрация частиц, составляющих пылевой комплекс, в возмущенном экваториальном случае, описанном в главе 2. Для этого был проведен следующий эксперимент: выбран произвольный интервал от некоторого момента t\ — 100 оборотов, до І2 = 200 оборотов спутника. Рассматривались 10762 частицы, выброшенных с одинаковой скоростью по направлениям, распределенным тремя способами (псевдослучайным, квазиравномерным и равномерным с заданной точностью) на сфере параметров. Для каждой частицы отмечались ее положения в сопутствующей плоскости для 67 моментов, равномерно распределенных между t\ и to. Для каждого момента по-порядку выбиралось одно значение д, из 67 равномерно распределенных на окружности д Є [0,2тг). При таком подходе каждая частица всюду плотно заполняла область своей орбиты в сопутствующей плоскости. Сопутствующая плоскость по определению в каждый момент времени проходит через ось z и частицу. Полученное множество, со-
стоящее из 721054 точек мы назвали профиль концентрации. Из него можно понять, где концентрация частиц выше, а где ниже при движении вдоль орбиты родительского спутника. Для сравнения на профиль концентрации мы наложили границу, найденную в главе 2 (а точнее, ее сечение плоскостью xz). Профиль концентрации представлен на рис. 39.
В этой же главе предложенная аналитическая теория применена к реальным физическим объектам Солнечной системы (рассмотрены произошедшие взрывы и столкновения ИСЗ, пылевые рои спутников Марса и Сатурна, поток Геминиды).
В заключении приводятся основные результаты работы.
Показано, что предложенный метод поиска границы области является универсальным не только для рассмотренных конкретных задач, но и для всего класса подобных задач.
Простота рассматриваемой модели компромиссна: с одной стороны, она допускает аналитическое решение, а с другой — результаты и выводы интересны и нетривиальны. Ими можно пользоваться для контроля в качестве первого приближения при численном исследовании схожих задач. Например, если исследуется орбитальный взрыв с различными возмущениями, в том числе и негравитационными, можно получить оценку вклада негравитационных эффектов в общую картину эволюции.
Автор предполагает, что в дальнейшем исследовании возможно снятие некоторых ограничений (появление неизотропности выброса, учет эксцентриситета орбиты родительского спутника и др.)
Список публикаций автора по теме диссертации
Основные результаты работы опубликованы в следующих рецензируемых изданиях,
включенных в список ВАК:
Холшевников К.В., Орлов С.А. Пылевой тор. I. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 3 (N 17). С. 118-123.
Холшевников К.В., Орлов С.А., Доісазмати М.С. Пылевой тор. II. Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 4 (N 25). С. 119-130.
Орлов С.А., Холшевников К.В. Пылевой тор. III. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц с учетом движения узлов и перицентров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1 (N 1). С. 112-119.
Орлов С. А. Пылевой тор. IV. Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц с учетом движения узлов и перицентров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 3 (N 1). С. 131-144.
Холшевников К.В., Орлов С.А. Орбитальный пылевой тор как огибающая поверхность семейства траекторий изотропно выброшенных частиц// Астрон. вестн. 2008. Т. 42. N 2. С. 99-118.
Опубликованы резюме 11 докладов в Трудах вышеперечисленных конференций.
Личный вклад автора
Диссертация выполнена С. А. Орловым под руководством д.ф.-м.н., профессора К. В. Холшевникова. Необходимо выделить следующие моменты совместной и индивидуальной работы и степени участия в них. Постановка задачи была осуществлена К. В. Холшевниковым. Во всех публикациях автор работы принимал участие в совместном с К. В. Холшевниковым построении алгоритма, его реализации и в обсуждении результатов. Автору принадлежит написание программного обеспечения для проверки аналитических выкладок, решения численных задач и подготовки иллюстраций.
Область D2: плоский случай
Предположим, что все частицы выбрасываются в плоскости ху орбиты О і вокруг О. Формулы предыдущего параграфа существенно упрощаются. Теперь в = ж/2 и вместо двумерной сферы параметров 9, А имеем одномерную окружность параметра А. Наклон орбит в согласии с (1.23) становится нулевым. Однопараметрическое семейство {Г} плоских орбит описывается уравнениями Здесь отличие от пространственного случая, в плоском случае эксцентриситет отделен от нуля, поскольку е = 0 при sin# = с/2, см. стр. 25. Найдем наименьшее значение эксцентриситета в плоском случае, для чего вычислим производную Функция / имеет 4 стационарные точки на окружности. 1. cos А = 0, sin А = ±1. В окрестности обеих точек А = ±7г/2, производная / меняет знак с плюса на минус, налицо максимум. 2. sin А = —с/3, cos А = ±л/1 — (с/3)2. В окрестности обеих точек производная / меняет знак с минуса на плюс, налицо минимум, причем глобальный, так как в обеих стационарных точках значения функции / совпадают. достигается при sin А = —с/3; достигается при sin А — 1, поскольку при sin А = — 1 имеем лишь локальный максимум е2 = с2(2 — с)2. Производная от выражения в скобках в правой части (1.44) по с отрицательна, поэтому Заметим, что етах одинаково в плоском и пространственном случае. Однако emin = 0 в пространственном, но етіп 0 в плоском случае. Перейдем к нахождению области D2, заметаемой кривыми семейства (1.39). Задача эта эквивалентна нахождению границы S области D2, поскольку мы знаем, по какую сторону от S лежит D2. По общей теории при гладких кривых Т и гладкой зависимости от параметра [35, 17] S является частью огибающей однопараметрического семейства {Т}. Если каждая орбита диффеоморфна окружности, а параметр Л пробегает отрезок, то к огибающей, возможно, следует добавить части граничных кривых. В нашем случае Л пробегает окружность и последняя оговорка излишня. Ситуация, изображенная на рис. 6, когда огибающая является лишь частью S, в нашем случае невозможна. Рисунок 7 иллюстрирует случай совпадения S с огибающей. Рисунок 8 иллюстрирует случай, когда S — лишь часть огибающей. Согласно теории [35, ч.1,гл.3,3.6], параметрическое уравнение огибающей дается формулой (1.39), где и считается выраженным через Л в силу соотношения Таким образом, получаем параметрическое уравнение огибающей:
Функцию fi вычисляем, исходя из (1.46), после чего /і дается подстановкой /2 в (1.39). Выполняя указанные преобразования, представим сначала левую часть (1.46) в виде где F(u,X) = А(с + sinX) sinu — 2cosA(l — cosu). В силу (1.2,1.40) знаменатель (1.47) и функция А отделены от нуля, следовательно, (1.46) равносильно F(u, А) = 0, т. е. и Особое решение и — 0 отвечает самопересечению огибающей в точке выброса. Второе решение дает Обратим внимание, что (1.48) однозначно определяет и на окружности. Более того, и возрастает вместе с Л, поскольку производная положительна. Для большей наглядности преобразуем (1-48) к виду и при этом выражение в скобках в нуль не обращается в силу (1.2), можно утверждать, что h принимает наибольшее, & sh — наименьшее значение при А = — 7г/2, s = — 1 : где Функции 0i и 02 положительны и не имеют корней. Докажем это. Последнее слагаемое у 01 минимально при s = — 1. Поэтому 0i 1 — 2с + с2 = (1 — с)2 0. Оценим 02: Поэтому экстремальные значения .Р2 достигаются при выбросах вперед и назад, когда Л В декартовых координатах параметрические уравнения огибающей имеют вид где г = F2(X), a cos и, sin и даются формулами (1.49). Общий вид огибающей при различных с представлен на рис. 9. Перейдем к пространственному случаю. Теперь мы имеем дело с двупараметриче-ским семейством гладких орбит {Т}, диффеоморфных окружности и задаваемых уравнениями (1.37). Параметры пробегают сферу, так что S является частью двумерной поверхности, огибающей семейство {Т}. Уравнения огибающей поверхности по общей теории [35, ч. 1,гл. 3, 6] даются соотношениями (1.37) и где Здесь и далее до конца параграфа индексы 1,2,3 у г, г, г, А, а, /? указывают на дифференцирование по и, в, А соответственно. Уравнение (1.53) определяет и как неявную функцию от в, А. Следует разрешить его и найти явную зависимость и = F(9, А). Подстановка F(9, А) вместо и в (1.37) даст искомые параметрические уравнения S. Прежде всего необходимо найти и упростить функцию Ф. Смешанное произведение (1.54) равно определителю Г\ cos и — г sin и ті cos г sin и + r cos і cos и г\ sin г sin и + r sin і COS и Ф = г2 cos и г2 cos г sin w — гг2 sin г sin и г2 sin г sin и + ri2 cos г sin и Гз cos w гз cos г sin и — ri3 sin г sin и гз sin г sin и + гіз cos г sin и Прибавляя ко второму столбцу первый, помноженный на — cos г tgu, а к третьему столбцу первый, помноженный на — sin г tg и, получим ф 7 i cos и — г sin и г cos г/ cos їх г sin г/ cos r2Cosw — ri2smismu ліг cos г sin и r3 cos w — гг3 sin г sin u ггз cos г sin и Прибавляя к третьему столбцу помноженный на ctgi второй, получим Гі cos и — г sin и г cos г /cos г r/(sinicosw) Ф= Ггсоэг — 7 sin г sin м О Гз cos и —гіз sin г sin и О Последний определитель считается элементарно.
В результате Производные от А2, і вычислены ранее, см. формулы (1.12) и (1.24), Найдем производные от а, /? а затем от г 2„ „2 Ниже мы покажем, что отрезок (1.64) является особой линией поверхности S, а именно перетяжкой. Причина возникновения перетяжки очевидна: все траектории Т проходят через линию узлов. В плоском случае особенностей нет, потому множитель sin и не появился. Заметим, что 2 sin () Фз при sin 9=1 совпадает с F, что служит хорошим контролем вычислений. Обратимся к функции Фз — тригонометрическому многочлену первого порядка относительно и/2 без свободного члена. Оба его коэффициента обращаются в нуль одновременно только в случае: Поскольку sin0 0, уравнения (1.65) удовлетворяются при cos Л = 0, sin Л = —1, sin# = с. На сфере параметров S получаем две точки (1.25), соответствующие орбитам экстремального наклона. Это значит, что обе эти орбиты целиком принадлежат огибающей поверхности S. В остальных точках сферы параметров хотя бы один из коэффициентов Ф3 отличен от нуля, и уравнение (1.53) равносильно Напомним геометрический смысл г : это — точка прикрепления огибающей. Согласно (1.66) она единственна для каждой точки сферы параметров за исключением орбит экстремального наклона. Итак, мы получили почти столь же простые формулы, как в плоском случае, совпадающие при 9 = 7г/2 за одним исключением: в плоском случае аналог Ф не содержит множителя sin-и. Осталось подставить (1.66) в (1.37) и получить параметрическое задание огибающей поверхности S в виде Параметрическими уравнениями 5 служат первые три из соотношений (1.67); последнее — полезное следствие из первых трех. Точка (1, 0, 0) появилась выше как образ решения и = 0 уравнения (1.53). Лежит ли она на поверхности (1.67)? Да. Во-первых, она принадлежит обеим орбитам экстремального наклона, для которых Во вторых, в нее переходит при отображении (1.67) кривая В = 0, то есть Отрезок (1.64) появился как решение и — и уравнения (1.53). Он также принадлежит поверхности (1.67) как образ кривой
Форма и динамика облака частиц как функция времени
Ограниченная поверхностью S область D3 сплошь заполнена траекториями Т. Но последние — не более чем математические абстракции. Материальные же частицы сначала образуют рой около точки выброса 01; потом рассеиваются, а затем снова собираются у Oi. Но из-за различия периодов они приходят туда в разное время. Далее облако частиц все более размывается, и наконец сплошь заполняет D3. Оценим требуемое для этого время. Воспользуемся системой отсчета О (рис. 4). В этой системе модуль скорости частицы v0 не зависит от А . Поэтому большая полуось орбиты частицы также не будет зависеть от А : в силу (1.28,1.87) Рассмотрим частицу Qi, выброшенную строго вперед (в = 7г) и частицу Q2, выброшенную строго назад (в = 0). Их большие полуоси, средние движения и периоды экстремальны: суть среднее движение и период спутника Оз.. Обратим внимание, что мы восстановили радиус R орбиты Оз.. Интерес представляют также частицы Qs{X), описывающие окружность. Для них тройка (а,п,Т) совпадает с таковой для Оз., т.е. это (R, щ,Т0). Частицы Qs(A ) соответствуют параметру в = в 0 = arccos(c/2) и произвольному А. Векторы начальной скорости частицы 3б( ) образуют конус. Для орбит частиц при в в 0 точка выброса служит апоцентром, а при в в 0 — перицентром. Учитывая вышесказанное, можно описать динамику частиц на начальном этапе разлета. Непосредственно после вылета частицы заполняют сферу. Потом группа V\ частиц, окружающих Qi, уйдет на медленное движение по высоким орбитам. Группа V2 частиц, окружающих Q2, обгонит их по низким быстрым орбитам. Переход от V\ к V2 непрерывен, их разделяет группа Vs частиц Qs(A ). Опережать всех будет частица Q2, а замыкать — Q\.
Все частицы будут регулярно с некоторым периодом (разным у разных частиц) проходить через точку выброса и перетяжку. Рой замкнется через некоторое критическое время Тс. Последнее дается условием (п2 — п\)Тс = 2п, так что При малых с знаменатель в (1.100) представляет собой разность близких чисел. Можно избавиться от этого неудобства, используя тождество Формула (1.100) приобретает вид Представляя правую часть (1.101) рядом Лорана по степеням с, получим Поскольку правая часть (1.101) — нечетная функция от с, разложение (1.102) содержит лишь нечетные степени с. Ближайшие к началу особые точки квадратных корней лежат на окружности \с\ = сшах. Ближайшие к началу корни знаменателя (1.101), не считая с = 0, лежат на окружности \с\ = 1. Поэтому ряд (1.102) сходится при Для ориентировки вычислим значения Тс для ситуаций с ИСЗ, Фобосом и Деймосом. Для Земли [33] где Ro — экваториальный радиус Земли. Нам понадобятся также среднее движение п и период Т минимального спутника, движущегося по круговой орбите радиуса RQ в этих обозначениях Для спутников Марса х2 = 0.42828 х 1014 м3/с2, R = 9377.2 км (Фобос), R = 23459 км (Деймос). В таблице 2 приведены значения Тс для ИСЗ в зависимости от его большой полуоси R и скорости выброса Ь. В таблицах 3 и 4 приведены значения Тс для Фобоса и Деймоса в зависимости от Ь. Итак, при t Тс частицы заполняют лишь часть области D3, тогда как при t Тс они заполняют ее всю. Оценим теперь сверху время, в течение которого справедлива развитая в этой главе теория, предполагающая отсутствие каких бы то ни было возмущений. Последнее предположение ограничивает применимость теории промежутком времени AT, за который возмущения не успевают накопиться. Оценим AT в типичных ситуациях. Как было сказано во Введении, мы рассматриваем лишь относительно крупные частицы (массой более Ю-7 г) и спутники, движущиеся на высоте не менее 0.2 радиуса планеты, чтобы пренебречь сопротивлением атмосферы и световым давлением.
С другой стороны, ограничимся не слишком высокими спутниками, чтобы можно было пренебречь влиянием Солнца, а также Луны (в случае ИСЗ). основным возмущающим фактором служит сжатие Земли, точнее вторая зональная гармоника геопотенциала со стоксовым коэффициентом J2 = 1.0826 х 10 3 [3, 1]. В формуле (1.103) RQ = 6.3782 Мм — экваториальный радиус Земли; нижняя граница Діі?о = 1.2і?о отделяет ИСЗ от плотных слоев атмосферы; верхняя граница / = 6- отделяет область превалирования возмущений от сжатия Земли от области превалирования лунно-солнечных возмущений. Численное значение Ц2 определено в [29]. Как известно [9, 1, 16, 19], под влиянием сжатия планеты элементы a,i,e орбиты частицы испытывают только короткопериодические возмущения малой — порядка J2 — амплитуды. Напротив, угловые элементы М(средняя аномалия),Q,,g обладают, кроме периодических, вековыми возмущениями. Соответствующие средние движения
Пространственный случай; произвольный наклон орбиты спутника Ох
Пусть теперь наклон го орбиты Оі произволен. Не умаляя общности, считаем 0 г о 90. Удалим окрестности критических значений наклона г о = 90 и г 0 = 63.43. В первом случае п& = 0, во втором ng = 0. Иными словами, считаем где є — величина порядка градуса. В формулах (1.104) теперь г — наклон орбиты частицы к плоскости экватора. В зависимости от в, А он принимает все значения от іо — ітах до г0 + г тох, где imax = arcsin с согласно (1.26). Исследование резонансности при фиксированном г о требует трудновыполнимых выкладок. Избежим их, считая г 0 переменной величиной. Заменяя г о на г, приходим к следующей задаче. Формулы (1.104) задают теперь отображение (г, 9, А) і— R3, причем г считается независимой переменной, а а, е — функциями от в, А. Последние две функции независимы, поэтому можно считать независимыми три переменные а 2,е2,і. Вычислим матрицу Якоби отображения (1.104), умноженную на 2/(J2RQ). Он обращается в нуль при г = 0 и при 2 — 3sin2« = 0, т.е. г = 54.74. Случай г = 0 уже исследован. При г ф 0, і Ф 54.74 якобиан в нуль не обращается, образ отображения (1.104) — трехмерное тело. Поэтому в любой окрестности каждой точки плоскости (2.8) найдутся точки, ей не принадлежащие. Осталось рассмотреть случай, когда . 1 cos г 2-3 sin2 г = 0, 4-5 sin2 г = 3 у/з Обозначим алгебраическое. Мера алгебраических чисел равна нулю. Вывод: во всех рассмотренных случаях резонансами можно пренебречь. Окончательно, мы пришли к следующей задаче. После изотропного выброса из точки Оі частицы перешли на кеплеровские орбиты Т. при В этой главе считаем, что Oj движется по круговой орбите в плоскости экватора планеты, так что і дается формулами (1.23). Позиционные элементы а, е, г и вспомогательная величина А являются функциями (1.28,1.29,1.23,1.9) на сфере параметров (в, А) Є S2, углы (П,д) Є Т2, а угол и Є S1 характеризует положение частицы на орбите.
Подчеркнем, что значения 9, Л, О, д независимы и формулы (2.13) определяют четырехпараметрическое семейство орбит {Т}. Верхняя грань радиуса г р/(1 — е) Ртах/ (1 — етах) определяется элементарно, поскольку наибольшие значения р, е, как было показано, достигаются в одной точке Qi сферы параметров S. Найдем нижнюю грань. Ясно, что на множестве первоначальных орбит (с неподвижными узлами и перицентрами) гтгп достигается при выбросе назад. Вращения не меняют расстояний. Окончательно, Нижняя граница достигается при в = 7г/2, А = —тт/2, и — д — 0; верхняя — при в = 7г/2, А = 7г/2, и — д = тт при произвольном fl. Рассмотрим сначала плоскую возмущенную задачу. В плоском случае в = 7г/2, г = 0. Уравнения (2.13) сводятся к двум Точные границы г по-прежнему даются формулами (2.15), поскольку достигаются при в = 7г/2. Введем замену переменных: д = и — д, и1 = и + Q,. Переменные и и д , очевидно, будут независимы. Можно убрать штрих и окончательно записать: Напомним (см. 1.3, формула 1.44), что эксцентриситет е ограничен и отделен от нуля Формулы (2.18) описывают двупараметрическое семейство плоских окружностей {Т}: переменные (д, А) Є Т2 выделяют орбиту Т\ переменная и параметризует положение частицы на орбите. Для нахождения огибающей кривой S проще следующий равносильный подход. Рассмотрим (2.18) как отображение (и,д,Х) і— (х,у) тора Т3 на плоскость К2. Образ D2 тора по общей теории [35, 17] ограничен кривой S, являющейся частью множества особенностей отображения. Последнее множество состоит из точек (обычно составляющих кривые) двух типов. Во-первых, это сингулярные точки функций (2.18). В нашем случае они отсутствуют. Функции г, х, у аналитически зависят от и, д, Л. Во-вторых, это точки вырождения отображения. Именно, образуем 3x2 матрицу Якоби
Касание кривых орбитами
Смысл кривых и отрезков, составляющих множество Sn из главы 2, в следующем. Орбиты частиц в совокупности представляют собой разнообразные семейства. Кривые Sn ограничивают эти семейства. Можно дать другое объяснение. Если рассматривать совокупность не орбит частиц, а ящиков орбит, то отрезки и кривые Sn будут ограничивать семейства этих ящиков. Почти все орбиты, с одним исключением, о котором будет сказано ниже, хотя бы один раз касаются кривой So, так как эта кривая делит все множество орбит на два семейства — внутренние при а 1и внешние при а 1. В этом параграфе под словом „орбиты" будем подразумевать проекции орбит на сопутствующую плоскость xz. На рис. 32 представлены различные кривые Sn и части касающихся этих кривых орбит. 1. На рис. а представлены несколько орбит при в = тт/2. Si отсутствует для наглядности, а горизонтальный отрезок есть совокупность этих орбит. 2. На рис. Ь,с — орбиты при (Л = 7Г, в = 0, 0 д 2ж). Эти орбиты касаются сразу двух кривых 1 и S3. 3. На рис. f,g — орбиты при (Л = 7г/2, sin в = с, 0 д 27г). Видно, что они выходят за пределы SV. Эти орбиты касаются обеих кривых S и 1. 4. На рис. d,h — орбиты при (cosЛ = 0, в Є [0,-к], 0 д 2т:). Они касаются самой длинной кривой —5V и подразделяются на два непересекающихся семейства (внешнее и внутреннее) орбит частиц, которые выброшены назад и вперед. 5. На рис. е можно видеть орбиты частиц, вылетевших из Lg при д — 7г/2. Видно, что многие орбиты пересекают дугу окружности Г, на которой лежит кривая ,. На рисунке 33 в верхней части представлено решение неявного уравнения (2.41), связывающего в и Л. Как показано в главе 2, на этой кривой расположены орбиты, касающиеся кривой S&. На нижнем рисунке 33 представлены прообразы кривых Sn на сфере параметров S. Это кривые Ln и точки Qn.
Они отвечают частицам, орбиты которых, при определенных значениях аргумента перицентра могут касаться кривых, составляющих внешнюю границу, найденную в главе 2. Обратим внимание, что в возмущенном случае далеко не все частицы могут достичь внешней границы S. Согласно выводам из решения системы (2.28) теперь можно подробно описать появление кривых Sn. В главе 2 представлено строгое доказательство, здесь — необходимые пояснения к нему. Сначала опишем суть каждого из прообразов. Дуга большого круга L0 есть экватор сферы параметров. Ему отвечает уравнение в = 7г/2 и отрезок_S±. Меридиан L2, имеющий уравнение sin Л = 0, является прообразом кривых Sg и 5ю при крайних значениях аргумента перицентра cosg = ±1. Меридиан L\ суть прообраз кривых S& и 5V также при различных значениях cosg = ±1. Сложнее всего кривая L8, решение ее уравнения (2.41) в данной параметризации записывается крайне громоздко. По этому решению поточечно были найдены пары (в, А), которые откладывались на сфере S. Полученные из них кривые представлены на рис. 33. Точки Qn отвечают за единственные орбиты, но при различных значениях аргумента перицентра эти орбиты заполняют весь ящик и две прямолинейные границы этого ящика являются отрезками Sn. Так, полюсы Qj и симметричный ему Q$, имеющие координаты в = О и 0 = 7Г, образуют два одинаковых ящика, границами которых являются отрезки . и .. При этом, так как эти точки принадлежат обоим меридианам L\ и L2, то ящики имеют своими границами Sg и Sio и, впридачу, касаются кривых 5 6 и Sj. Точки 5з и симметричная ей Q ±, как и в предыдущем случае, образуют ящик, ограниченный точками Bg,Bw,Bu,Bi2 и отрезками S и i%. Исходя из вышеизложенного можно описать прообраз границы S. Описание проведем, обходя S по часовой стрелке. Обход начнем из точки ( Є S. Данная точка лежит на экваторе L0. Ей соответствует точка В$, и это дополнительно подтверждается тем, что частица Q2 имеет минимальное для всех точек значение г. Двигаясь по окружности L\ на сфере параметров до Qz, мы совершаем движение по кривой Sj вплоть до точки Вд. Точка Qz это точка бифуркации. Если двигаться дальше по Li, то движение будет проходить как и раньше, по SV. Однако, данный участок SV не является частью границы S. Поскольку Bio и всему отрезку , отвечает тот же прообраз, ЧТО И ДЛЯ Вд, то есть точка Q3, то далее двигаться будем из Вго по кривой Ss, то есть двигаемся по кривой L% Є S, причем, как с одной, так и с другой стороны.
Далее мы приходим в точку Qio и одновременно возвращаемся на дугу L1; то есть в плоскости xz мы перемещаемся в точку ?із. Точка Qw S, а также симметричная ей Qg впервые появились в нашем рассмотрении. Их координаты Продолжая двигаться по Ly до полюса Qr, мы по 5V попадаем в точку BG. В этот момент мы находимся на отрезке 2, так что на S мы пересекаем меридиан Li. Двигаясь далее по L\ до точки Qi, мы тем самым продолжаем движение по SV вплоть до точки В . В подтверждение этого — тот факт, что частица Q\ имеет максимальное по всем точкам значение г. Далее процесс симметрично повторяется в обратном порядке с другой стороны множества S и с другой стороны S. Здесь необходимо отметить согласование с фактом, описанным в параграфе 1.6, что частицы, выброшенные вперед и назад, разделены малым кругом L5 на S, имеющем пересечение с Li в точках Qs и Qe- Согласно (2.66), точка Q$, имеющая координаты (arcsin(c/2), —7г/2), лежит между точками Q3 и Qio, так как Поэтому часть частиц, лежащих внутри L8, будут иметь полуоси орбит больше 1, а часть — меньше 1. Соответственно, некоторые частицы будут внешними, а некоторые — внутренними. Повторим еще раз, что Qs и Qe являются точками пересечения L5 и L\. На рис. 33 они не отмечены из-за перегруженности его точками PI кривыми. Сравнивая результаты главы 2 и главы 1 подчеркнем, что в невозмущенном случае каждая орбита имеет хотя бы одну точку, лежащую на огибающей поверхности. В возмущенном случае, даже если рассматривать не орбиту, а весь ее ящик, лишь малое множество частиц может касаться огибающей поверхности. В основном, частицы движутся строго внутри S. Этот факт получит подтверждение в параграфе 4.6. Причина в том, что как в главе 1, так и в главе 2 рассматривается n-параметрическое семейство кривых в М3. Однако, п — 2 в главе 1, но п = 4 в главе 2.
