Содержание к диссертации
Введение
Часть 1. Двумерные кинетические модели осесимметричных и плоских токовых слоев 47
2.1 Модели осесимметричных токовых слоев 47
2.1.1 Уравнение на векторный потенциал 47
2.1.2 Групповой анализ уравнения Оглавление 4
2.1.3 Функции распределения частиц 52
2.1.4 Инвариантные решения 54
2.2 Модели плоских ТС 60
2.2.1 Уравнение на векторный потенциал 60
2.2.2 Групповой анализ уравнения 61
2.2.3 Функции распределения частиц 62
2.2.4 Инвариантные решения 63
2.3 Обсуждение результатов 68
Часть 2
Модель ускорения заряженных частиц в магнитосферном хвосте Нептуна . 71
3.1 Механизмы ускорения частиц 71
3.2 Модель топологической перестройки магнитосферного хвоста
3.2.1 Модель магнитного поля 73
3.2.2 Модель электрического поля 75
3.3 Теоретические оценки 77
3.3.1 Оценка максимальной энергии 78
3.3.2 Зависимость средней по спектру энергии от времени перестройки 80
3.4 Моделирование процесса ускорения 82
3.4.1 Постановка численного эксперимента 82
3.4.2 Результаты численного моделирования 83
3.5 Обсуждение результатов 88
3.5.1 Сравнение с наблюдениями аппарата Voyager-2 88
3.5.2 Обсуждение модели магнитного и электрического полей 88
Часть 3 Модель электростатического потенциала в наклонных токовых слоях 91
4.1 Горизонтальный и наклонный токовые слои 91
4.2 Экспериментальные данные
4.2.1 Данные аппарата Cluster 93
4.2.2 Методы анализы данных 93
4.3 Пример пересечения наклонного токового слоя 5
4.4 Статистическое исследование наклонных ТС 101
4.4.1 Магнитное поле и плазменные параметры 101
4.4.2 Метод восстановление электростатического поля поляризации 106
4.4.3 Структура электростатического поля поляризации
4.5 Резулвтатві экспериментального исследования 112
4.6 Теоретическая модель наклонного ТС 112
Часть 4 Продольная структура магнитосферного хвоста Венеры 117
5.1 Постановка задачи 117
5.2 Основные предположения и обозначения 118
5.3 Движение вершины силовой трубки 119
5.4 Оценка длины хвоста без учета эффекта убегания частиц 122
5.5 Влияние эффекта убегания частиц на процесс распрямления силовой трубки 1 5.5.1 Эволюция плотности плазмы за счет эффекта убегания частиц 123
5.5.2 Оценка длины хвоста с учетом эффекта убегания частиц
5.6 Влияние эффекта затекания плазмы магнитослоя 126
5.7 Обсуждение результатов 128
Часть 5 Поперечная структура токового слоя в магнитосферном хвосте Венеры 131
6.1 Поперечная структура токового слоя 131
6.2 Критерии отбора пересечений токового слоя 132
6.3 Анализ пересечений токового слоя
6.3.1 Одномасштабные и двухмасштабные токовые слои 136
6.3.2 Механизмы формирования двухмаспітабной структуры токового слоя 138
6.4 Объяснение наблюдаемых профилей магнитного поля 139
6.4.1 Модель ТТС 139
6.4.2 Интерпретация наблюдаемых профилей 140
6.5 Обсуждение 142
Оглавление Заключение 147
Публикации 149
Литература
- Групповой анализ уравнения Оглавление
- Модель топологической перестройки магнитосферного хвоста
- Пример пересечения наклонного токового слоя
- Основные предположения и обозначения
Введение к работе
Актуальность темы
Токовые слои являются универсальными магнитоплазменными структурами [1], формирующимися в солнечном ветре [2], магнитосферных хвостах планет [3], магнитосферах комет [4]. Токовые слои формируются в солнечной короне [5] и, вероятно, в магнитосферах экзопланет [6] и пульсаров [7]. В токовых слоях происходит накопление энергии магнитного поля. В результате развития плазменных неустоичивостеи в токовом слое может взрывным образом происходить диссипация энергии магнитного поля, ускорение и нагрев заряженных частиц. В свою очередь возможность и темп развития неустоичивостеи токового слоя определяются его равновесной структурой. Таким образом, изучение равновесной структуры токовых слоев важно с точки зрения понимания процессов нагрева и ускорения частиц в планетарных магнитосферах, солнечной короне, магнитосферах удаленных астрофизических объектов и в лабораторных установках [8,9].
Исследование структуры токовых слоев в магнитосферах планет Солнечной системы представляет особый интерес. Благодаря многочисленным спутниковым миссиям к настоящему времени накоплен богатый экспериментальный материал о конфигурации магнитных полей и распределении параметров плазмы в токовых слоях планетарных магнитосфер. Сопоставление выводов теоретических моделей токовых слоев с данными прямых спутниковых наблюдений приводит к пониманию механизмов формирования, структуры и динамики токовых слоев. Кроме того, магнитосферы планет Солнечной системы предлагают широкий спектр конфигураций токовых слоев. Предполагается, что схожие конфигурации токовых слоев характерны для магнитосфер удаленных астрофизических объектов, солнечной короны, токовых слоев в лабораторных установках.
Индуцированные магнитосферы Венеры и Марса имеют структуру схожую с магнитосферами комет. Исследование токовых слоев в магнитосферных хвостах Венеры и Марса позволяет понять структуру особых токовых слоев, которые формируются при взаимодействии потоков плазмы с незамагниченными объектами. В настоящее время данные аппарата Venus Express (выведен на орбиту в 2006 г.) позволяют проводить сопоставление выводов теоретических моделей со спутниковыми измерениями. Исследования структуры индуцированной магнитосферы Венеры актуальны в связи с интерпретацией данных аппарата Mars Express, аппарата MAVEN, который был запущен к Марсу 18 ноября 2013 г., а также аппарата Rozetta, который в 2014 г. приблизится к комете Чурюмова-Герасименко.
Благодаря измерениями четырехспутниковой миссии Cluster при ис-
следовании магнитосферы Земли может быть проведено наиболее полное сопоставление выводов теоретических моделей с данными прямых спутниковых наблюдений [10]. Кроме того, в токовом слое магнитосферного хвоста Земли могут быть наиболее полным образом изучены плазменные процессы, которые приводят к неустойчивости токового слоя [11,12], что имеет важное значение для интерпретации динамических процессов в магнитосферных хвостах удаленных планет, а также в солнечной короне. Наблюдения аппарата Cluster позволили обнаружить крупномасштабные волны, которые распространяются из центральной области магнитосферного хвоста на фланги и приводят к существенной деформации токового слоя. В результате формируются так называемые наклонные токовые слои, конфигурация которых существенно отличается от классической конфигурации токового слоя. Исследование конфигурационных особенностей распределения электромагнитного поля в таких токовых слоях важно для понимания динамики магнитосферного хвоста.
Магнитосфера Юпитера представляет пример магнитосферы быст-ровращающейся планеты, обладающей сильным магнитным полем, со значительными внутренними источниками плазмы. Это позволяет провести аналогию между магнитосферой Юпитера и магнитосферами пульсаров [13]. Во внутренней магнитосфере Юпитера формируется осесимметрич-ный токовый слой называемый магнитодиском. Подобные токовые слои формируются в магнитосферах экзопланет, называемых "горячими Юпитерами" [6]. Таким образом, исследование структуры токовых слоев в магнитосфере Юпитера позволит лучше понять структуру токовых слоев в магнитосферах пульсаров и экзопланет.
Магнитосфера Нептуна представляет пример магнитосферы планеты, для которой ось магнитного диполя образует большой угол по отношению к оси вращения планеты и потоку звездного ветра. Аналогичная ситуация может иметь место для экзопланет и пульсаров. Изучение структуры токовых слоев и динамики магнитосферы Нептуна, обусловленной прецессией магнитного диполя, представляет интерес с точки зрения генерации ускоренных частиц в магнитосферах удаленных астрофизических объектов.
Отметим, что исследования планетарных магнитосфер инициировали работы по лабораторному моделированию соответствующих конфигураций магнитного поля [9,14,15]. Несмотря на количественное различие значений параметров космической и лабораторной плазмы, в лабораторном эксперименте удается моделировать многие структурные элементы магнитосферы (бесстолкновительная ударная волны, токовый слой, системы токов). Исследование планетарных магнитосфер по данным прямых спутни-
ковых наблюдений позволит лучше понять соотношение между лабораторным моделированием и магнитоплазменными структурами, которые встречаются в космической плазме.
Цель работы
Проблемой, на решение которой направлена данная диссертационная работа, является построение моделей токовых слоев в магнитосфер-ных хвостах Венеры, Земли, Юпитера и Нептуна. В рамках диссертации поставлены следующие задачи
-
Построение двумерных кинетических моделей плоских и осесиммет-ричных токовых слоев, описывающих структуру магнитодиска Юпитера.
-
Построение модели токового слоя магнитосферного хвоста Нептуна. Изучение процесса ускорения заряженных частиц в магнитосферном хвосте в ходе суточного вращения планеты.
-
Построение модели наклонных токовых слоев в магнитосферном хвосте Земли и сравнение с данными наблюдений аппарата Cluster.
-
Построение модели магнитного поля в магнитосферном хвосте Венеры и оценка длины магнитосферного хвоста.
-
Построение модели, описывающей поперечную структуру токового слоя в магнитосферном хвосте Венеры. Сравнение с данными наблюдений аппарата Venus Express.
Научная новизна работы
1. Впервые построены двумерные кинетические модели осесимметрич-
ных токовых слоев. Впервые построены двумерные кинетические мо
дели плоских токовых слоев со степенными функциями распределе
ния частиц по энергии.
2. Предложен механизм ускорения ионов в магнитосферном хвосте
Нептуна до энергий порядка 300 кэВ за счет топологических пере
строек магнитного поля, возникающих в ходе суточного вращения
планеты.
-
По данным измерений аппарата Cluster впервые получены профили электростатического потенциала, который возникает в токовом слое за счет разделения движения ионов и электронов.
-
На основе МГД модели дана оценка длины магнитосферного хвоста Венеры.
5. По данным измерений аппарата Venus Express показано, что токовый слой в магнитосферном хвосте Венеры является кинетической структурой с толщиной порядка нескольких ионных гирорадиусов. Показано, что многокомпонентный ионный состав плазмы токового слоя приводит к многомасштабному профилю магнитного поля.
Научная и практическая ценность работы
Модели плоских и осесимметричных токовых слоев с максвеловскими и степенными функциями распределения заряженных частиц по энергии имеют широкий спектр применимости. Осесимметричные токовые слои формируются в магнитосферах быстровращающихся планет, при наличии во внутренней магнитосфере источников плазмы. Примерами являются токовые слои магнитодисков Юпитера и Сатурна. Осесимметричные токовые слои могут формироваться в магнитосферах пульсаров, а также магнитосферах экзопланет, называемых "горячими Юпитерами". Формирование плоских токовых слоев характерно для магнитосферных хвостов планет солнечной систем, комет, солнечной короны и солнечного ветра. Построенный класс моделей плоских токовых слоев представляет собой существенное расширение предыдущих моделей на случай степенной функции распределения заряженных частиц по энергии. Подобные функции распределения частиц характерны для бесстолкновительной плазмы.
Механизм ускорения заряженных частиц в магнитосферном хвосте Нептуна может реализовываться в магнитосферах пульсаров и экзопланет, для которых, как и для Нептуна, магнитный диполь сильно наклонен к оси вращения и к направлению потока звездного ветра.
Модель наклонных токовых слоев может быть использована при изучении устойчивости данной конфигурации к различного рода возмущениям. Обнаруженные свойства наклонных токовых слоев (доминирование токов электронов, особая структура магнитного поля) могут быть использованы при анализе механизмов формирования наклонных токовых слоев. Полученные профили электростатического потенциала важны с точки зрения верификации моделей токовых слоев в магнитосферном хвосте Земли.
Подход, использованный при оценке длины магнитосферного хвоста Венеры, может быть применен для оценки длины магнитосферных хвостов космических тел, не обладающих собственным магнитным полем. Анализ поперечной структуры токового слоя по данным аппарата Venus Express показывает, что токовые слои в магнитосферных хвостах немагнитных тел могут являться кинетическими структурами с толщиной порядка нескольких ионных гирорадиусов. Ионосферные ионы (или ионы комы кометы) будучи захвачены силовыми трубками солнечного ветра на дневной стороне при
обтекании планеты могут играть важную роль в формировании токового слоя.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов, полученных в первой и четвертой главах, подтверждается тем, что предложенные модели основаны на классических уравнениях Власова-Максвелла и МГД уравнениях, а также строгих математических методах, таких как групповой анализ. Достоверность результатов второй главы подтверждается согласием теоретических оценок с данными численного моделирования и данными измерений на аппарате Voy-ager-2. Достоверность результатов, полученных в третьей и пятой главах подтверждается сопоставлением моделей с данными измерений на аппаратах Cluster и Venus Express.
Апробация работы
Результаты диссертации неоднократно были представлены автором диссертации на различных международных и российских конференциях:
-
Международная конференция "Week of Doctoral Students 2012", Prague, Czech Republic (2012).
-
IX,X Курчатовская молодежная научная школа, РНЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия (2011, 2012).
-
39th COS PAR Assembly, Mysore, India (2012).
-
VI Международная конференция "Солнечно-земные связи и физика предвестников землетрясений", Паратунка, Россия (2013).
-
9th International conference "Problems of Geocosmos", Saint Petersburg, Russia (2012).
-
EGU General Assembly, Vienna, Austria (2013).
-
XXI,XX Научная сессия совета РАН по нелинейной динамике, Институт океанологии РАН, Москва, Россия (2012, 2013).
-
Chapman conference "Fundamental properties and processes of magnetotails", Reykjavik, Islandia (2013).
-
7,8,9 Международная конференция "Физика плазмы в Солнечной системе", ИКИ РАН, Москва, Россия (2012, 2013, 2014).
-
VIII, IX Конференция молодых ученых, ИКИ РАН, Москва, Россия (2011, 2012)
-
The XI Russian-Chinese Workshop on Space Weather, Irkutsk, Russia (2012).
-
Международная конференция Venus Workshop 2013, Catania, Italy (2013)
Личный вклад автора
Все результаты, представленные в диссертации, были получены лично автором диссертации при поддержке научного руководителя и других соавторов публикаций. Соавторы публикаций, материал которых вошел в настоящую диссертацию, не возражали против использования в данной работе совместно полученных научных результатов.
Структура и объем диссертации
Групповой анализ уравнения Оглавление
Область от ЪКЕ до 9RE является областью внешнего радиационного пояса. Эта область магнитосферы пополняется в основном за счет инжекций энергичных потоков горячей плазмы (со скоростями 200 км/с и температурой 5 кэВ) из магнито-сферного хвоста [29]. При распространении из магнитосферного хвоста к Земле, быстрые потоки частиц (bursty bulk flows) [9, 151] останавливаются на расстоянии IORE сильным магнитным полем земного диполя. Определенная доля частиц проникает в область радиационных поясов. Интенсивность инжекций плазмы определяет интенсивность кольцевого тока (см. рис. 1.1). В возмущенных условиях кольцевой ток оказывает существенное влияние на магнитное поле в области радиационных поясов.
Измерения магнитного поля на спутнике IMP показали, что на расстоянии больше IORE магнитное поле существенно отклоняется от дипольного [77, 124]. В этой области, называемой магнитосферным хвостом, необходимо принимать во внимание плазменные токи. Оказалось, что плазменный ток распределен поперек магнитосферного хвоста неравномерно. Существенная часть тока сконцентрирована в сравнительно тонкой области, называемой токовым слоем (ТС). Токовый слой представляет собой самосогласованную магнитоплазменную структуру - движение частиц в поле ТС приводит к возникновению тока, который поддерживает конфигурацию магнитного поля ТС. Спутниковые наблюдения показали, что устойчивость ТС во многом определяет
Магнитосферный хвост состоит из двух долей, которые разделены нейтральной плоскостью z = 0. В северной доле {z 0) магнитное поле направлено практически на Солнце, а в южной доле (z 0) имеет противоположное направление. Силовые линии сильно вытянуты вдоль потока СВ (т.е. вдоль оси X). Вытянутая конфигурация хвоста поддерживается плазменным током в направлении утро-вечер (вдоль оси Y), который сконцентрирован в ТС. В первом приближении структура магнитного поля в магнитосферном хвосте описывается следующей феноменологической моделью В = Bext{x) tanh { —— J ех + Bzez (1.2) где Bext - величина магнитного поля в долях, L - характерный масштаб вариации магнитного поля поперек ТС, Bz - магнитное поле перпендикулярное плоскости ТС (Bz С Bext). Модель (1.2) дает представление о геометрии силовых линий, однако не отражает действительного распределения плотности тока в магнитосферном хвосте (см. обсуждение ниже).
Существенная информация о структуре магнитосферного хвоста была получена уже в рамках первых односпутниковых миссий (см. обзор [125]). Радиус магнитосферного хвоста растет от 10 при х — 15- ДО 20- при х — 30- И остается постоянным при х — 30-. Магнитное поле в долях падает с удалением от планеты Bext М_/г, где h 0.3 — 0.8 [31, 117]. На расстоянии х -15 магнитное поле в долях составляет 30 нТ. Измерения на аппарате IMP показали, что толщина ТС существенно меньше радиуса магнитосферного хвоста [177].
Магнитосферный хвост (и ТС) находится в непрерывном движении ("flapping"-колебания), так что при пересечении магнитосферного хвоста обычно наблюдается несколько пересечений ТС [177]. "Flapping -колебания магнитосферного хвоста (и ТС) могут быть обусловлены изменением направления потока СВ или развитием собственных мод неустойчивости ТС. Поскольку скорость движения ТС не может быть определена в рамках односпутниковых миссий, в первых миссиях не удалось определить
Основным источником плазмы ТС является СВ и ионосфера Земли. Протонві СВ проникают в магнитосфернвш хвост с флангов магнитосферы, а также при конвекции плазмы из далвнего хвоста. Ионосфернвіе ионві (в основном ионві 0+) инжектируются в магнитосфернвш хвост во время геомагнитнвгх возмущений [96]. Температура протонов и электронов в ТС составляет 1 — 5 кэВ и 0.1 — 1 кэВ, плотноств плазмві в ТС составляет 0.1 — 1 см-3.
Одновременнвіе измерения магнитного поля на двух аппаратах бвіли вперввіе выполнены в рамках миссии ISEE-1,2 [113]. Авторві работві [113] рассмотрели три пересечения ТС. По временнвім задержкам между наблюдениями магнитного поля на двух аппаратах авторві определили, что ТС движется со скороствю 20 — 100 км/с. По известной скорости движения бвіли полученві профили плотности тока и была дана оценка толщинві ТС. Оказалосв, что плотноств тока распределена поперек ТС неравномерно - интенсивнвш ТС (плотноств тока 10 нА/м ) вложен в более широкий и менее интенсивнвш ТС (плотноств тока 2 нА/м2). Толщина вложенного интенсивного ТС составляла 3000 км - 10000 км. Именно вложенная структура ТС не учитывается в модели (1.2).
Качественно новый этап в исследовании структурві ТС магнитосферного хвоста Земли начался с запуском в 2000 г. четвірех спутниковой миссии Cluster. Расстояние между спутниками варвируется в течение миссии, что позволяет исследоватв структурві различнвгх масштабов. Например, среднее расстояние между спутниками в 2002 г. составляло 3600 км, тогда как в 2003 г. спутники бвіли разнесенві на расстояние 230 км. Измерения магнитного поля в четвірех точках позволили достоверно определитв многие характеристики ТС, которвіе невозможно бвіло получитв по даннвім измерений односпутниковвіх и двухспутниковвгх миссий: плотноств тока, скороств движения ТС, направление нормали к ТС. Таким образом, измерения аппаратов Cluster позволили вперввіе получитв статистически достоверную информацию о структуре ТС [13, 30, 41].
Оказалосв, что толщина ТС может бвітв сопоставима с гирорадиусом тепловвіх протонов и составляет 500 — 3000 км [148, 150]. Характерная величина плотности тока в подобнвіх тонких ТС составляет 10 нА/м2 [150]. Наблюдаются и весвма интенсивнвіе ТС, толщина которвіх 300 км, а плотноств тока достигает 60 нА/м [19, 123]. Измерения аппарата Cluster подтвердили вложенную структуру ТС: тонкий ТС вложен в
Введение более широкий плазменный слой. Другими словами, профиль плотности тока вложен в профиль плотности плазмы, так что при пересечении ТС плотность тока существенно падает к границам ТС, тогда как плотность плазмы варьируется менее чем па 30% [149]. Магнитное поле на границе ТС составляет в среднем 40% от магнитного поля в долях [17, 138].
Измерения аппарата Cluster позволили достоверно определить профили плотности тока поперек ТС. По типу профиля плотности тока наблюдаемые ТС были классифицированы на три группы [150]: ТС с максимумом плотности тока в нейтральной плоскости; бифурцированные ТС с двумя максимумами плотности тока вне нейтральной плоскости; асимметричные ТС, в которых максимум плотности тока смещен относительно нейтральной плоскости.
Структура ТС определяет возможность развития различных неустойчивостей, которые, как считается на данный момент, приводят к разрыву ТС и инициации суббури [103, 132]. Данные аппарата Cluster позволили провести детальное сопоставление свойств наблюдаемых ТС с предсказаниями теоретических моделей (подробный обзор моделей ТС приведен в разделе 1.7). Одна из первых моделей ТС магнитосферного хвоста Земли была построена в работе [76]. В этой модели не учитывается, однако, магнитное поле Bz перпендикулярное плоскости ТС. Существует два класса моделей, в рамках которых удается учесть магнитное поле Bz. Магнитное поле Bz учитывается в двумерных изотропных моделях [42, 89, 155], в которых предполагается, что магнитное поле варьируется как в направлении перпендикулярном нейтральной плоскости, так и с удалением от планеты (т.е. магнитное поле зависит от х и z). Давление плазмы полагается изотропным, поэтому в подобных двумерных моделях натяжение силовых линий вдоль осей X и Z поддерживается градиентом давления плазмы. В работах [60, 166, 205] были развиты одномерные модели ТС (т.н. модели тонкого токового слоя (ТТС)) с Bz = const. В модели ТТС баланс давления вдоль оси Z поддерживается за счет градиента давления, тогда как баланс давления вдоль оси X поддерживается за счет анизотропии плазменного давления. В модели ТТС предполагается, что ток переносится протонами на разомкнутых "спайсеровских" траекториях [175, 176].
Модель топологической перестройки магнитосферного хвоста
Рассматривается двумерный плоский ТС, в котором магнитное поле имеет вид В = Bx(x,z)ex + Bz(x, z)ez, что соответствует векторному потенциалу A = Ay(x,z)ey и плотности тока j = jy(x,z)ey. Вдоль траектории движения частицы в подобном ТС сохраняются энергия Н = mav2/2 + qa(\ и обобщенный импульс ру = mavy + qaAy/c. Функция распределения заряженных частиц выбирается в виде
Для каждого сорта частиц с данной функцией распределения потоковая скорость направлена вдоль оси у. Из условия квазинейтральности получим ф = ф(Ау). Уравнение для векторного потенциала приводится к виду + = - / (/,-/e)d3v-F( ) (2.20) где вид функции F(Ay) определяется выбором функции распределения заряженных частиц. В отличие от осесимметричных равновесий функция F не зависит явно от координат. Определим для каких функций F(Ay) уравнение (2.20) допускает однопа-раметрические группы преобразований.
Процедура группового анализа детально описана в предыдущем разделе. В этом разделе векторный потенциал Ау обозначается как А, тогда как нижние индексы обозначают производную по соответствующей координате (Ах = дА/дх). Уравнение (2.20) записывается в виде для определения групп симметрии необходимо решить переопределенную систему уравнений (2.7). Анализ данной системы уравнений приводит к следующему результату. Функции 1 и 2 не зависят от А, а т] = rp(x,z) + А ir]l{x,z). Кроме того, получим следующую переопределенную систему дифференциальных уравнений для функций г и Г]:
Функции распределения частиц Выясним каким функциям распределения заряженных частиц соответствуют F(Ay) = Є АУ и F(Ay) = Ау . Рассмотрим Максвелловское распределение fa = no{ T J ехЧ та В системе отсчета, где выполнено условие Ui/Ti = —ue/Te получим ф = 0. Введем безразмерные переменные г — v/h и Ау — —Ау/Ао, где h = c/uo л/То/(2-7гпое2), AQ = 2cTo/euo (To = ТІ + Te). В безразмерных переменных уравнение для векторного потенциала имеет вид: д2Ау д2Ау _А у + гЯ1 = е у дх2 dz2 Таким образом функции F(A) = е соответствует Максвелловская функция распределения (результат известный по работам [76, 89]). Отметим, что в токовом слое с Максвелловским распределением плотность плазмы и плотность тока имеют вид
Уравнение (2.22) допускает бесконечное число групп преобразований. Данные группы преобразований неявно использовались в предыдущих работах, посвященных построению моделей двумерных плоских токовых слоев [35, 89, 199]. Именно, класс решений (1.25) уравнения (2.22), использованный в данных работах, получается путем применения групповых преобразований к одномерному решению, полученному в работе [76]. Однако, до настоящего времени в стороне оставалось рассмотрение инвариантных решений групп (2.23). В настоящем разделе рассмотрены инвариантные решения для одной из простейших групп преобразований (2.23).
Одномерные решения уравнения (2.25) построены в работе [68]. Применение групп преобразований (2.26) к данному одномерному решению не выводит из класса одномерных решений. Поэтому в настоящем разделе рассмотрены инвариантные решения групп (2.26).
Максвелловское распределение Из групп преобразований (2.26) рассмотрим простейшую группу, для которой Ф(д) = д. Решение уравнений Ли (2.24) показывает, что данная группа является группой преобразований подобия х - eax z - eaz А - А + 2а Инварианты данной группы равны А — In х и z/x, поэтому инвариантное решение имеет вид Ау = In ж + ip(z/x). Подстановка инвариантного решения в уравнение (2.25) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для функции
Часть 1. Двумерные кинетические модели осесимметричных и плоских токовых слоёй где г] = arctan(z/a;) Є [—тт/2,тт/2]. Отметим, что г] = 0 соответствует z = 0, тогда как г/ — 7г/2 соответствует z — оо. Асимптотики решений уравнения (2.27) при r\ = 0 и г/ ±7г/2 вычисляются следующим образом. где ао и а± - постоянные, зависящие от начальных условий фо и дополученные асимптотики позволяют определить поведение магнитного поля и плазменных характеристик вблизи нейтральной плоскости ТС и на больших расстояниях от нее. Данные асимптотики приведены в Таблице 2.2. Рассмотрим асимптотику при z 0. В случае ф 0 = 0 магнитное поле Вх обращается в нуль при z = 0. В случае ф 0 ф 0 нейтральная плоскость ТС становится наклонной, z = —хф0/ф0 . Магнитное поле Bz падает с ростом х по закону ж-1, тогда как плотность плазмы падает по закону х 2. Как и для осесимметричных ТС параметр ф определяет количество плазмы в токовом слое и степень вытянутости силовых линий вдоль оси х. Отметим, что для плоских ТС поведение плотности тока совпадет с поведение плотности плазмы. Рассмотрим теперь асимптотики на больших расстояниях от нейтральной плоскости. Магнитное поле и плотность плазмы падают по закону \z\ и \z\ .
Задание начальных условий фо и ф 0 для уравнения (2.27) при r\ = 0 позволяет получить решение путем численного интегрирования. На рис. 2.31а,б приведены картины силовых линий для токовых слоев при фо = —1.8, о = —1- На рис. 2.Зів,г приведены профили магнитного поля поперек ТС вдоль двух линий (х = 5 и х = 15), показанных на рис. 2.31а,б. к—распределение Инварианты группы (2.26) равны Аух 2к+1 и { = z/x, поэтому инвариантное решение имеет вид Ау = х2к+1ф(г/х). Подстановка инвариантного решения в уравнение (2.25) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному
Полученные асимптотики позволяют определить поведение магнитного поля и плазменных параметров вблизи и на больших расстояниях от нейтральной плоскости. Данные асимптотики приведены в Таблице 2.2. Как и в предыдущем параграфе магнитное поле Вх обращается в нуль в плоскости z = 0 при гр 0 = 0, тогда как при гр 0 ф 0 нейтральная плоскость становится наклонной, z = —хгр 0/гр0. Магнитное поле Bz в нейтральной плоскости падает с увеличением х по закону х , где 0 5 1, тогда плотность плазмы падает по закону х ", где /З Є (1,2). В ТС с к— распределением магнитное поле и плотность плазмы спадают медленнее, чем в ТС с Максвелловскпм распределением. При к — оо получим 6 — 1 и (3 — 2, так что асимптотики согласуются с асимптотиками, полученными в предыдущем параграфе. Как и в предыдущем параграфе параметр гро определяет количество плазмы в ТС, и как следствие определяет вытянутость силовых линий вдоль оси х. Вдали от нейтральной плоскости магнитное поле и плотность плазмы спадают по степеному закону тем медленнее, чем меньше значение параметра к
Пример пересечения наклонного токового слоя
Магнитное поле на ночной стороне в конфигурациях "Earth-like" и "pole-on" является суммой дипольного поля планеты Вдг = (Зг(//г) — /ir ) /г (р - магнитный диполь Нептуна) и магнитного поля соответствующего токового слоя. Токи на магнитопаузе не меняют топологии силовых линий и характерной величины магнитного поля в магнитосферном хвосте. Поэтому влияние данных токов на магнитное поле в магнитосферном хвосте не учитывается.
В конфигурации "Earth-like" ТС является плоским. В качестве модели плоского ТС ТС примем модель [99] (см. также раздел 1.7 Введения):
где г2 = у2 + примем модель Харриса [76] (см. также раздел 1.7 Введения): ВР1 = -0tanh(-J ех, где L - толщина ТС, z = 0 - нейтральная плоскость ТС. В конфигурации "pole-on" магнитосферный хвост является цилиндрически симметричным (ось симметрии - ось X) [164]. В качестве модели цилиндрического z2 - расстояние от оси X, параметр Го определяет положение цилиндрической поверхности, на которой магнитное поле обращается в нуль (нейтральный цилиндр), параметр Lcyi определяет величину градиентов магнитного поля, параметр Ъ tanh(rg/iv2 і) определяет разницу между магнитным полем внутри и вне нейтрального цилиндра. Измерения аппарата Voyager-2 были выполнены в южной доле хвоста [127], поэтому проблематично задать параметры b, L, Lcyi, го на основе прямых наблюдений. Будем считать, что Ъ = 0.5, L = Lcyi = Го = 5RN- Далее будет показано, что верхний предел
Модель ускорения заряженных частиц в магнитосферном хвосте Нептуна74 энергий, до которых ускоряются частицы, не зависит от конкретных значений данных параметров. Построение самосогласованной модели перестройки магнитного поля от конфигурации "Earth-like" к конфигурации "pole-on" в ходе суточного вращения представляется затруднительным. Следуя работе [56], предположим, что в ходе перестройки магнито-сферный хвост находится в "смешанном" состоянии. Магнитное поле в "смешанном" состоянии имеет вид: - - ee У 2(1 + 6) \ r \ L2cyl J r \Llyi)) где e$ - азимутальный единичный вектор вокруг оси X. Весьма вероятно, что модель (3.1) описывает перестройку магнитного поля в магнитосферном хвосте не достаточно детально. Тем не менее данный подход удовлетворителен при рассмотрении процесса ускорения частиц, поскольку последний определяется характерной величиной магнитного поля, временем перестройки и масштабом магнитосферы.
Функция h(t) определяет характер перестройки магнитного поля. Характерный профиль данной функции представлен на рис 3.2. Параметры год определяют время, в течение которого магнитосферный хвост имеет конфигурацию "Earth-like" или "pole-on". Для простоты далее полагается, что то = т\. Параметр т (отметим, что т Тдг/2) определяет время перестройки магнитосферного хвоста от одной конфигурации к другой. В процессе перестройки магнитосферный хвост находится в "смешанном" состоя Часть 2. Модель ускорения заряженных частиц в магнитосферном хвосте Нептуна75 ний. В качестве модели функции h(t) примем следующую моменты времени, когда Л, = 0.5. При характерном времени перестройки, т = Тдг/2, магнитосферный хвост всегда находится в "смешанном" состоянии. Вообще говоря, при небольшом отклонении диполя от положений, соответствующих конфигурациям "Earth-like" и "pole on", конфигурация магнитосферного хвоста может оставаться практически неизменной. Соответственно перестройка магнитосферного хвоста может происходить за времена меньшие Тдг/2. Например, при т = T/v/б магнитосферный хвост имеет конфигурацию "Earth-like" ("pole on") в течение времени T/v/З, т.е. до тех пор, пока угол между потоком СВ и диполем больше 60 (меньше 30), а перестройка магнитного поля происходит в три раза быстрее, чем в модели с г = T/v/2.
Электрическое поле в магнитосферном хвосте состоит из индукционного электрического поля Ejrad = —c_19A/9t, и электрического поля конвекции Есога) = Ecanvey, которое возникает за счет обтекания магнитосферы потоком СВ. Согласно модели (3.1) индукционное поле состоит из слагаемого Е = E ndey, со (2) (2) ответствующего (1 — /i(t))Bpi, и слагаемого ЩП(І = ЩП(іеві соответствующего Л,()Вс?д. На рис. 3.3 представлены силовые линии полей Е и Щ - Щпй Растет к границам магнитосферного хвоста с ростом координаты z, тогда как Щ растет с увеличением расстояния г от оси X. Максимальные значения поля E nd и E nd имеют в моменты времени ; + nT/v (п = 0,1,...), когда dh/dt достигает максимума. При т = Тлг/2 максимальные значения E d и Eiri/d равны 0.051 мВ/м и 0.027 мВ/м, соответственно. Максимальное значение полного индукционного электрического поля Ejnd достигается в северной доле и равно 0.078 мВ/м.
В магнитосферном хвосте Нептуна электрическое поле конвекции направлено с вечера на утро и Econv —0.01 мВ/м [91, 157]. Перепад соответствующего потенциала поперек хвоста составляет \Econv\ х 80RN = 20 кВ. Поле конвекции приблизительно на порядок меньше максимального значения индукционного поля. Тем не менее, данное поле необходимо принимать во внимание, поскольку поле конвекции превышает индукционное поле в определенные моменты времени и в некоторых областях пространства.
Отметим, что поляризация плазмы [56] приводит к устранению любого электрического поля, направленного вдоль магнитного поля, и появлению лишь малых перепадов потенциала электрического поля вдоль силовых линий, Те/\е\ 1 кВ (Те и е -температура и заряд электронов). Кроме того, поляризация плазмы приводит к появлению электрического поля перпендикулярного магнитному полю. В настоящей главе речь будет идти об ускорении частиц до энергий 100 кэВ. Поскольку температура электронов в магнитосферном хвосте не превышает нескольких кэВ, данными электрическими полями будем пренебрегать. Резюмируя, электрическое поле в хвосте есть сумма индукционного поля и поля конвекции, причем из этой суммы в каждый момент времени исключается компонента, направленная вдоль магнитного поля.
Пока магнитосферный хвост находится в конфигурации "Earth-like" или "pole-on" частицы набирают энергию только за счет поля конвекции. При этом максимальная энергия, до которой может быть ускорена частица, не превосходит 20 кВ. При перестройке магнитосферного хвоста возникают индукционные электрические поля. Ускорение частицы может происходить: (1) за счет сохранения адиабатического или квазиадиабатического инвариантов в области достаточно сильного магнитного поля [184, 204]; (2) за счет размагничивания частиц в областях слабого магнитного поля.
Конфигурация "pole-on" принципиально отличается от конфигурации "Earth-like" направлением магнитного поля в северной доле магнитосферного хвоста (рис. 3.1). Поэтому в ходе перестройки магнитное поле в северной доле становится малым и даже обращается в нуль в моменты времени ; + пТдг. В эти моменты времени, частицы в северной доле размагничиваются и могут набрать существенную энергию за счет электрического поля
Основные предположения и обозначения
Частицы с питч углом 9 (питч угол определяется в нейтральной плоскости) начинают убегать из силовой трубки в тот момент времени, когда выполнено условие
Продольная структура магнитосферного хвоста Венеры 124 где использовано соотношение (5.11). При х = Хо имеем L(XQ) lORv, поэтому силовая трубка сильно растянута и практически все частицы заперты. При сокращении силовой трубки (растянутость уменьшается) магнитное поле па границе трубки уменьшается и все большее количество частиц может ее покинуть. Время баунс колебаний частицы между точками отражения составляет по порядку величины 2L/VT 2L(XQ)/VT 50 с (здесь VT - тепловая скорость), что приблизительно в три (семь) раза меньше времени распрямления трубки в модели с тонким (широким) ТС. По этой причине эффектом убегания частиц, вообще говоря, пренебречь нельзя. Определим зависимость количества частиц в силовой трубке от положения вершины.
В начальный момент времени (т.е. при х = хо) функцию распределения всех частиц в силовой трубке по питч углу обозначим /о(0) (питч угол определяется в нейтральной плоскости). Количество частицы с питч углами от 9 до 9 + А9 равно fo(9)A9. Данная популяция начинает убегать из силовой трубки в момент времени, когда вершина находится в точке х = х$, для которой выполнено (5.14). Будем для простоты полагать, что частицы данной популяции распределены равномерно вдоль силовой трубки. Доля частиц данной популяции, которая убегает из силовой трубки за время At, равна отношению расстояния VT COS 9At, которое проходят частицы вдоль силовой трубки, к длине силовой трубки (R + L ) . Поэтому эволюция функции распределения описывается следующей формулой
При x XQ частицы рассматриваемой популяции заперты и их количество не изменяется, при х х$ частицы начинают убегать из силовой трубки, тогда как при х х в в силовой трубке не остается частиц рассматриваемой популяции. Количество частиц в силовой трубке к моменту времени, когда вершина находится Часть 4. Продольная структура магнитосферного хвоста Венеры 125 в точке х пропорционально
Оценка длины хвоста с учетом эффекта убегания частиц Уравнение движения вершины силовой трубки (5.18) было решено совместно с уравнением (5.12) численно с начальными условиями, обсуждавшимися в разделе (1.1). На рис. 5.3 представлены профили скорости v(x)/vsw и растянутости L/L(XQ). Сравнение с рис. 5.2 показывает, что данные профили практически не отличаются от профилей, полученных при пренебрежении эффектом убегания частиц. Таким образом, эффект убегания частиц не влияет существенно на процесс распрямления силовой трубки. Рис. 5.4 показывает профиль величины п(х)/п(хо), которая представляет собой количество частиц в силовой трубке, нормированное на их начальное количество. Можно видеть, что за время распрямления убегает не более 25% частиц. Таким образом, слабость эффекта убегания на процесс распрямления силовой трубки объясняется тем, что лишь небольшое количество частиц покидает силовую трубку. На рис. 5.5 представлена функция
Модель распрямления силовой трубки в пределе широкого (серые линии) и тонкого (черные линии) ТС с учетом убегания частиц: (а) скорость вершины; (б) растянутость силовой трубки. распределения частиц по питч углу в начальный момент времени и в момент распрямления силовой трубки. Для определенности полагалось, что при х = 12Ry частицы с питч углами меньшими 30 уже покинули силовую трубку, поэтому на рис. 5.5 при Є 30 имеем /о(в) = 0.
В пределе тонкого токового слоя распрямление силовой трубки происходит быстрее, поэтому еще меньшее количество частиц успевает убежать из силовой трубки. На рис. рис. 5.3 представлены профили скорости v/vsw и растянутости силовой трубки L/L(xo). Данные профили незначительно отличаются от профилей, представленных на рис. 5.2, поэтому эффект убегания частиц не влияет существенно на процесс распрямления силовой трубки и в пределе тонкого ТС.
Убегание частиц из силовой трубки приводит к уменьшению плотности плазмы и росту темпа распрямления трубки. С другой стороны, с границы \у\ = R в силовую трубку проникают частицы из магиитослоя, что приводит к замедлению темпа распрямления силовой. Эффект затекания будет существенным в том случае, если за время распрямления плазма магиитослоя полностью заполнит силовую трубку.
Модель распрямления силовой трубке в пределе широкого ТС: (а) количество частиц в силовой трубке по отношению к их начальному количеству; (б) функция распределения всех частиц по питч углу в начальный момент (т.е. при х = Хо) и в момент распрямления.
Оценим смещение плазмы магнитослоя с границы вдоль оси Y за время распрямления. Скорость движения плазмы магнитослоя вдоль силовой трубки равна тепловой скорости и составляет VT 40 км/с, тогда как ее проекция на ось Y равна где интеграл берется от х = XQ ДО момента распрямления. Данный интеграл был вычислен численно, используя профили скорости и растянутости, полученные в разделе 5.4. В пределе широкого ТС плучим Ay lARy, тогда как в пределе тонкого ТС Ay 0.55Лу (поскольку силовая трубка распрямляется быстрее).
Вообще говоря, затекание плазмы магнитослоя происходит также при х XQ = 12Ry. Скорость плазмы магнитослоя вдоль оси Y при х Хо примем равной vTR/\/R2 + L2(xo) Ю км/с. Учитывая, что в момент пересечения вершиной плоскости терминатора ее скорость составляет 100 км/с, а при х = 12Ry составляет 400 км/с заключаем, что силовая трубка пройдет расстояние от х = 0 до х = 12Ry приблизительно за 300 с. Поэтому смещение плазмы магнитослоя вдоль оси Y за это время не превышает 0.45Лу.
Таким образом, с момента пересечения плоскости терминатора и до полного распрямления, плазма магнитослоя сместится вдоль оси Уна 1.85Ду в пределе широкого ТС и на IRv в пределе топкого ТС. Поскольку границы трубки расположены при \у\ = 2.5Лу заключаем, что за время распрямления силовой трубки плазма магнитослоя не успевает полностью заполнить силовую трубку.
Мы показали, что длина магнитосферного хвоста лежит в диапазоне от 31 Rv до 44Ry в зависимости от толщины ТС. Эффекты убегания из силовой трубки частиц с малыми питч углами и затекания плазмы магнитослоя не влияют существенно на процесс распрямления силовой трубки и оценку длины магнитосферного хвоста. Представленная модель опирается на имеющиеся экспериментальные данные о магнитосферном хвосте Венеры. Для применения данной модели к рассмотрению структуры магпитосферпых хвостов других тел, не обладающих собственным магнитным полем, (таких как, например, Марс и Титан) необходимы соответствующие экспериментальные данные.
Оценка длины магнитосферного хвоста, полученная в настоящей главе, приблизительно в шесть раз меньше оценки, данной в работе [186]. Дело в том, что в работе [186] альфвеновская скорость на расстоянии х ЗДу полагается равной 100 км/с, что соответствует температуре 50 эВ для протонов или 1 кэВ для ионов 0+. Однако, к настоящему времени с достоверностью не известно какой состав, температуру и плотность имеет плазма в ближнем магнитосферном хвосте (см. например обзор [185]). Измерения аппарата PVO в дальнем хвосте (при х 12_Ry) показали, что с относительно хорошей достоверностью тепловая скорость плазмы составляет 250 км/с [121], что в 2.5 раза выше скорости принятой в работе [186]. По этой причине, в работе [186] приблизительно в шесть раз недооценивается величина силы натяжения, а оценка длины магнитосферного хвоста оказывается в шесть раз завышенной.
