Введение к работе
Актуальность темы. Определение движения систем с идеальными связями - это одна из основных независимых аксиом механики (хотя периодически предпринимаются попытки вывести, скажем, принцип Даламбера-Лагранжа из законов Ньютона). Здесь ситуация в чем-то напоминает геометрию Евклида с его пятым постулатом о параллельных прямых. Проводя дальше эту аналогию, с полным правом можно считать, что геометрии Лобачевского в механике соответствует вакономная динамика, развитая В.В.Козловым: при описании движения механических систем с неинтегри-руемыми связями принцип Даламбера-Лагранжа заменяется на вариационный принцип Гамильтона. В результате получаются новые динамические системы, которые не совпадают с классическими неголономными моделями.
Для обоснования динамики систем со связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод. Однако любые модели механики, в том числе и классические тоже, нуждаются в обосновании. Под обоснованием понимается указание границ применимости тех или иных моделей. И здесь естественным является т.н. конструктивный метод обоснования систем со связями, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве. Идея метода в том, что вместо системы со связью предлагается рассмотреть свободную систему, на которую действуют дополнительные силы, или, в более общем случае, систему, движущуюся в вязко-упругой среде (что соответствует физическим представлениям о природе связи), а затем перейти к пределу, устремив коэффициенты жесткости, вязкости и т.д. к бесконечности. Если предел существует,
то предельная система объявляется системой со связью. Т.о. конкретная механическая модель должна выбираться исходя из физических параметров задачи.
Конструктивный подход в основном (за исключением упомянутой нами вакономной механики, а также некоторых "промежуточных" моделей), применялся только для обоснования динамики систем со связями и исследования классических моделей динамики. Однако с нашей точки зрения, настоящая сила конструктивного подхода проявилась, когда стало понятно, что на его основе можно создавать новые осмысленные неклассические системы.
Цель работы. Настоящая диссертация посвящена созданию и изучению "предельных" неклассических механических систем на основе конструктивного подхода к обоснованию динамики систем со связями, их связи с "допредельными" системами, а также развитию методов для изучения таких систем. Мы также рассматриваем смежные задачи, в которых естественным образом применяются наши предельные системы. Подобного систематического изучения предельных систем ранее не предпринималось.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
-
Сформулированы и доказаны теоремы о реализации односторонней го-лономной идеальной связи упругими силами в наиболее сложном случае "касательного" удара и без предположения о потенциальности силового поля. Исследована задача о реализации связей малыми массами и о гамильтон-вом формализме Дирака со связями. С ее помощью получены уточненные оценки для движения "свободной" системы.
-
Рассмотрен общий случай реализации односторонней голономной свя-
зи, когда полупространство связи заменяется вязко-упругой средой Кель-вина-Фойхта, а затем коэффициеты жесткости, вязкости и присоединенные массы согласованным образом устремляются к бесконечности. Доказаны теоремы о предельном переходе. Исследован эффект запаздывания схода со связи.
-
Доказано ветвление решений и, как следствие, отсутствие алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого симметричного тела в идеальной жидкости. Найдена асимптотика решений уравнения Чаплыгина при t — оо. Обнаружен и исследован эффект "выныривания". Решена задача, поставленная В.А.Стекловым, об устойчивости направления оси вращений тяжелого твердого тела с винтовой симметрией, которое падает в идеальной жидкости.
-
Показано, что свойства динамики твердого тела в жидкости (отсутствие полиномиальных интегралов, ветвление решений на комплексной плоскости, асимптотические свойства решений и т.д.) практически без изменений переносятся на соответствующую предельную вакономную систему. Наоборот, "парадоксальные" свойства вакономных систем, как, например, эффект "выныривания", переносятся на тяжелое твердое тело в жидкости.
-
Рассмотрена задача о качении симметричного шара по поверхности без проскальзывания, ее предельный случай, когда радиус шара стремится к нулю, и "частица со спином" как обобщение предельного случая. Доказано, что во всех этих задачах сохраняется гладкая инвариантная мера, найден ее явный вид. Рассмотрены 3-х мерный и общий n-мерный случаи. Доказаны общие теоремы о существовании инвариантной меры в "гамильтоновых" системах с почти-Пуассоновой структурой.
-
При помощи метода присоединенных масс для класса механических
систем с сервосвязями получен критерий лагранжевости системы на поверхности связи.
-
В общем виде построена редукция на произвольную группу Ли, в том числе бесконечномерную, и не обязательно являющеюся банаховым многообразием, геодезического потока односторонне-инвариантных метрик. Найдено редуцированное векторное поле, а также его "поля симметрии": лево-или правоинвариантные поля на группе, коммутирующие с редуцированным векторным полем. Построена редукция на группу для n-мерного волчка Эйлера.
-
Построена редукция уравнений течения идеальной несжимаемой жидкости по римановым многообразиям и их обобщений на соответствующие группы Ли. Найдены "поля симметрии". Доказана интегрируемость систем гидродинамического типа, которые описывают инвариантное многообразие гамильтоновых систем с полутора степенями свободы вида полинома по импульсам.
-
Проведено сравнение механизмов ускорения частиц в обобщениях модели Ферми-Улама. Закон отражения от стенок - классический упругий и "обобщенный"; оба случая рассматриваются в рамках ньютоновой механики и релятивистской механики. Описаны аттракторы в обобщенных биллиардах. Доказаны общие теоремы о "сходимости в среднем".
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют обосновать применение тех или иных моделей в различных задачах и оценить качественное поведение систем. Кроме этого, результаты глав 3 и 4 могут оказаться полезными для изучения систем на некомпактных фазовых пространствах, описываемых уравне-
ниями Пуанкаре (устойчивость, интегрируемость и т.д.), а результаты глав б и 7 - в гидродинамике идеальной жидкости.
Апробация работы. Результаты работы докладывались: на Чебышев-ских чтениях и Ломоносовской конференции (Москва), на конференции Колмогоров и современная математика (Москва), на конференции SIAM (Utah, США), на симпозиуме DCAMM (Orenasslott, Швеция); на семинаре по дифференциальным уравнениям и приложениям, NTNU, (Трондхайм, Норвегия); на научных семинарах кафедры Теоретической механики и ме-хатроники Мех-мата МГУ под руководством В.В.Козлова, Д.В.Трещева и С.В.Болотина, В.В.Белецкого и Ю.Ф.Голубева, В.В.Румянцева, В.В.Белецкого и А.В.Карапетяна; на семинаре по динамическим системам под руководством Я Г.Синая; на семинаре по дифференциальной геометрии и приложениям под руководством А.Т.Фоменко.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 204 страницах и состоит из введения, семи глав, дополнения и списка литературы (174 наименования).
