Введение к работе
Актуальность темы. В современной промышленности при создании и отработке определенных технологий важно проведение качественных и количественных расчетов по протеканию различных физических процессов и явлений в динамических многокомпонентных средах. Примерами таких исследований могут являться: поглощение пористыми структурами ударных волн (экраны из пузырьковых жидкостей, пенные взвеси, аэрозоли и т. д.), исследование течения неоднородных жидкостей и газов, движение грунтовых вод, распространение ударных волн и т.п. Подобные вычисления могут либо позволить успешно провести необходимые работы, либо минимизировать расходы на их проведение. Необходимо отметить, что существующие модели, даже самые простые, чрезвычайно сложны для аналитического решения либо вообще не имеют такового. Универсальность применения каждой из созданных моделей на практике часто ограничена свойствами самой модели.
Как показал анализ соответствующей литературы, указанной проблеме - проблеме создания новых моделей гетерогенной среды - и в отечественной литературе [31-36] и за рубежом [1-30] уделяется серьезное внимание, особенно актуальна разработка гиперболических моделей для описания динамических многофазных сред с произвольным числом компонент смеси. Так, например, в работе [13] проведено исследование трех систем уравнений разных моделей на гиперболичность. Авторами показаны существующие области комплексных решений корней характеристических уравнений для двух систем уравнений моделей и отсутствие таковых для строго гиперболической модели. Похожий анализ встречается и в других работах, например в [27].
Также отметим, что наряду с многоскоростными моделями, учитывающими скорость движения каждой фракции, создаются и успешно применяются односкоростные модели с обобщенной скоростью движения среды для таких реальных сред как, например, пенные взвеси, пузырьковые жидкости и т.д., т.е. для сред, где применение обобщенной скорости физически обосновано.
Указанные выше модели, как и большинство опубликованных в литературе, могут работать только с двухкомпонентной средой. Причем дифференциальные уравнения моделей записаны в виде, не позволяющем провести обобщение на случай среды состоящей из произвольного числа компонент. Отдельно отметим модели, работающие с и-компонентной средой - Lallemand M.-H. и др., [17], Куропатенко В.Ф. [33] и Сурова В.С.
[39-40]. Так, в работах Сурова В.С. предлагается «обобщенно-равновесная модель» (ОР модель), лежащая в основе настоящего исследования.
Цель работы: на основе ОР модели гетерогенной среды получить математически корректные и физически обоснованные следующие строго гиперболические модели:
-
модификацию ОР модели с учетом теплопроводности среды;
-
модификацию ОР модели с учетом вязкости среды;
-
многоскоростную модель среды на базе ОР модели;
-
разработать гиперболичную модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
Модификация и-компонентной обобщенно-равновесной модели с учетом теплопроводности среды;
Разработка модели односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси;
Разработка модели многоскоростной многокомпонентной среды;
Разработка гиперболичной модели течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
Разработка программных комплексов, реализующих указанные модели. Проведение численных расчетов волновых процессов, сравнение с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
Личный вклад автора.
Участие в разработке модели многоскоростной гетерогенной среды и ОР моделей с учетом теплопроводности и вязкости гетерогенных сред. Разработка программных комплексов, реализующих указанные модели. Поиск численных решений и сравнение с экспериментальными данными полученных результатов. Анализ полученных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту:
Модель теплопроводной многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
Модель вязкой многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
Модель многоскоростной многокомпонентной гетерогенной среды. Численные методы расчета для данной модели.
Модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
Модификация метода характеристик, предназначенного для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.
Модификация метода Годунова С.К., предназначенная для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси.
Обобщение соотношений Ренкина - Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае многоскоростной многокомпонентной смеси.
Научная новизна и практическая ценность.
Разработана модель односкоростной вязкой многокомпонентной среды лишенная нефизичных эффектов, связанных с наличием в смеси волн, распространяющихся с бесконечно большими скоростями. Показано, что применение релаксационного уравнения для расчета вязких напряжений вместо обычно используемого соотношения обеспечивает гиперболичность уравнений многокомпонентной среды, что в свою очередь дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.
Представлена модификация теплопроводной модели односкоростной многокомпонентной среды, в которой исключена искусственно введенная несущая фракция, описанная в работе [38].
Разработана гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды для произвольного числа фракций в смеси.
Представлена гиперболическая модель течения грунтовых вод, в которой применяется модифицированный закон Дарси.
Представлен вариант метода характеристик, предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.
Разработан модифицированный метод Годунова С.К., предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси, теплопроводной и вязкой ОР моделей.
Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио в рамках ОР модели среды.
Получены практические результаты моделирования волновых процессов для разработанных моделей.
Апробация работы. Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, докладывались:
-
на X Международной конференции «Забабахинские научные чтения» 1519 марта 2010 года. - г. Снежинск;
-
на VII Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвященной 110-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева. 23-27 августа, г. Новосибирск, 2010;
-
на VII Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12-14 апреля 2011;
-
на XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам 25-31 мая 2011 года,
-
г. Алушта;
-
на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики 23-30 августа 2011. г. Нижний Новгород.
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. А.П. Яловца в ФБГОУ ВПО «ЮУрГУ» НОУ (сентябрь 2011 г.);
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. О.Н. Дементьева в ФГБОУ ВПО "ЧелГУ" (октябрь 2011г., ноябрь 2011г. ).
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. чл.-корр. РАН, профессор Э.Е. Сон в ФГАОУ ВПО «МФТИ (ГУ)» (февраль 2012г.).
Опубликованность результатов.
По теме диссертации опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. Из 5 публикаций 4 статьи в сборниках трудов конференций, в том числе 3 - в международных.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Общий объем работы составляет 155 страниц, включая 35 рисунков и список цитируемой литературы из 124 наименований.
