Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расчет чувствительности функционалов с помощью сопряженных уравнений 16
1.1 Вариационная постановка задач механики сплошных сред и сопряженные уравнения 20
1.2 Сопряженные уравнения и тождество Лагранжа 27
Глава 2. Сопряженные уравнения в некоторых задачах механики жидкости и газа 33
2.1 Сопряженная задача для уравнений Эйлера 33
2.2 Сопряженная задача для параболизированных уравнений Навье-Стокса 56
2.3 Сопряженная задача для уравнений Навье-Стокса 69
Глава 3. Сопряженные уравнения второго порядка 74
3.1 Сопряженные уравнения второго порядка и расчет Гессиана 74
3.2 Сопряженная задача второго порядка для уравнений Навье-Стокса 83
Глава 4. Определение погрешности расчета функционалов с помощью сопряженных уравнений 90
4.1 Апостериорное уточнение решения уравнения теплопроводности и определение границ погрешности с помощью дифференциального приближения конечно-разностной схемы 93
4.2 Апостериорное уточнение решения уравнений газодинамики с помощью дифференциального приближения... 123
4.3 Апостериорное уточнение решения и определение границ погрешности с помощью невязки 148
Глава 5. Расчет переноса погрешности исходных данных с помощью сопряженных уравнений 162
5.1 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал для уравнения теплопроводности 165
5.2 Определение точности оптимального решения из погрешности исходных данных для уравнения теплопроводности 171
5.3 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал вдали от стационарной точки для ПНС 183
5.4 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал в окрестности стационарной точки для ПНС 192
Глава 6. Сопряженные уравнения и вариационная постановка обратных задач 195
6.1 Итерационное решение обратных задач механики сплошных сред и сопряженные уравнения 195
6.2 Восстановление начальных параметров течения по финальному наблюдению 208
6.3 Идентификация граничных условий для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости 220
6.4 Вейвлетная регуляризация некорректно-поставленных обратных задач 230
Заключение 241
Список литературы
- Сопряженные уравнения и тождество Лагранжа
- Сопряженная задача для параболизированных уравнений Навье-Стокса
- Сопряженная задача второго порядка для уравнений Навье-Стокса
- Определение точности оптимального решения из погрешности исходных данных для уравнения теплопроводности
Введение к работе
Основным источником информации, связанным с решением задач механики сплошных сред в настоящее время стал численный эксперимент. Как правило, он дает приемлемые результаты за конечное время, к тому же он существенно дешевле лабораторного, а тем более - натурного экспериментов. В общем-то, сейчас у практиков нет реальной альтернативы численному расчету, в сложившейся ситуации аналитические и экспериментальные методы служат для тестирования методов расчета и для проверки наиболее важных результатов. В настоящее время существует большой набор численных алгоритмов, который позволяет смоделировать практически любой физический процесс в механике жидкости и газа и получить соответствующее поле параметров. Однако выбор или программная реализация наиболее подходящего метода расчета представляют собой только первую часть задачи. Далее необходимо определить численную погрешность и погрешность, связанную с выбором конкретной физической модели. После того, как выбрана подходящая модель и соответствующая программа расчета, остаются вопросы с выбором оптимальной расчетной сетки, критерия останова и т.д. для решения конкретной задачи. При этом представляется крайне желательным после окончания расчета иметь количественную информацию о погрешности конкретного расчета.
С другой стороны, для значительной части практических задач недостаточно просто получение поля физических величин (параметров течения) (в дальнейшем такую задачу мы будем обозначать как "прямую"), а представляет интерес получение "оптимального" в некотором смысле решения, что соответствует решению обратных задач.
Поэтому, сейчас практически актуальны такие задачи, как определение погрешности, с которой реализована данная физическая модель (верификация расчетных методов), определение погрешности, связанной с выбором конкретной физической модели (валидация), а также решение обратных задач.
Достаточно экономичные и универсальные методы решения широкого класса таких задач опираются на использование сопряженных уравнений, применению которых и посвящена данная работа.
Сопряженные уравнения и сопряженные параметры впервые были использованы в 1945 г., когда Е. Вигнер, участвуя в Манхеттенском проекте, применил их для расчета переноса нейтронов в ядерном реакторе (определялась зависимость показателя роста числа нейтронов от малых вариаций модели) [151]. В этом подходе стартовой точкой анализа является тождество Лагранжа (билинейное тождество). Впоследствии Г.И. Марчук внедрил этот подход для задач механики жидкости и газа применительно к задачам динамики атмосферы [55-57]. С середины 50 годов, и, судя по всему, независимо, сопряженные уравнения стали применяться в задачах проектирования оптимальных сверхзвуковых сопел и других оптимальных форм (Guderley K.G., Шмыглевский Ю.Д., Крайко А.Н.) [111,80,41]. В этом подходе основное внимание уделялось не расчету возмущения целевого функционала, а поиску условий оптимальности и сопряженные параметры трактовались как обобщение множителей Лагранжа.
Решение обратных задач является одной из важнейших областей применения сопряженных уравнений [27,28,77,26,102,101]. Во многих практических приложениях недостаточно просто расчета поля течения, а нужен выбор наилучшего решения. В одних случаях ищется геометрическая форма, обеспечивающая минимальное сопротивление, максимальную подъемную силу и т.д. В других случаях ищутся граничные условия,
обеспечивающие управление течением (максимальное смешение, минимальное сопротивление, увеличение или подавление вихрей и т.д.). При диагностике газодинамических процессов оцениваются коэффициенты, источниковые члены, граничные условия и т.д., наилучшим способом воспроизводящие измерения. Все эти задачи можно отнести к обратным задачам механики сплошной среды. Они довольно часто формулируются как задачи минимизации некоторого функционала. Следует отметить, что каждая "прямая" задача, моделирующая реальный процесс, может породить целый набор "обратных". Некоторые из обратных задач могут быть решены с помощью узкоспециализированных алгоритмов. Однако, из-за большого разнообразия таких задач, естественно стремление к единому подходу. В рамках единого подхода эти задачи могут быть решены в вариационной постановке итерационными методами. Так как каждый отдельный расчет аэрогидродинамической задачи, имеющей практический интерес, занимает достаточно много компьютерного времени, число таких расчетов не может быть велико. С учетом того, что во многих задачах число управляющих параметров достигает 103-10б, выбор метода оптимизации существенно ограничен. Практически единственным вариантом является использование градиентных методов оптимизации и сопряженных задач для расчета градиента, поскольку их эффективность не зависит от числа управляющих параметров. Затраты времени счета при решении обратной задачи при использовании сопряженных уравнений соответствуют нескольким десяткам расчетов прямой задачи (поля течения, температуры). Поэтому решение сопряженных уравнений является ключевым фактором при решении обратных задач. Сопряженные уравнения достаточно универсальны, что позволяет решать обширный класс обратных задач, связанных с данной прямой, с помощью небольших модификаций сопряженной задачи. Сопряженные уравнения используются при проектировании оптимальных
аэродинамических форм в вязком потоке, начиная с работы О. Pironneau [132], в невязком потоке [115-116], задачах усвоения данных в метеорологии [60,102,1,82]. При решении обратных задач тепломассопереноса в вариационной постановке они применены О.М. Алифановым [27,28] и являются основой для итерационной регуляризации широкого класса нелинейных некорректно-поставленных задач.
Другой важной с практической и методологической точки зрения областью применения сопряженных уравнений является апостериорная оценка погрешности численного расчета. При этом оценивается локальная погрешность аппроксимации как правило с помощью невязки. Далее сопряженные уравнения позволяют рассчитать перенос этой погрешности по полю течения. В результате удается достаточно дешево с вычислительной точки зрения уточнить значение целевого функционала, получить верхнюю границу погрешности уточненной величины. Без дополнительных затрат усилий получается распределение вклада погрешности по полю, которое можно использовать для построения оптимальной (обеспечивающей минимальную погрешность искомой величины) сетки. Применение сопряженных уравнений в этом направлении началось с работы I. Babushka [94] в конечно-элементном анализе задач упругости. В настоящее время этот подход активно развивается как в области конечно-элементного (Галеркинские методы), так и в области конечно-разностного решения задач механики жидкости и газа [134,112,113].
Близкой к задачам апостериорной оценки областью применения сопряженных уравнений является расчет переноса погрешности исходных данных (начальных, граничных условий, коэффициентов). Сопряженные параметры для расчета моментов ценного функционала используются начиная с работ В.В. Пененко [60]. Полученные в результате расчета поля "сопряженной температуры", "сопряженной плотности" и т.д., позволяют
рассчитать влияние случайной погрешности всех исходных данных на точность практически интересного функционала (например, результата в контрольной точке). Поиск погрешностей набора целевых функционалов сводится к решению ряда сопряженных задач с коэффициентами, порожденными одной прямой задачей. В такой постановке возможно эффективное естественное распараллеливание.
Таким образом, расчет поля течения на практике часто является элементом решения более общей задачи. Это может быть задача поиска оптимального решения или задача получения решения с оценкой погрешности (как из-за ошибки данных, так и из-за ошибки аппроксимации). Нетривиальным является то, что все эти разнородные задачи эффективным (а зачастую и единственно возможным) способом могут быть решены с использованием сопряженных уравнений которые, таким образом, выступают в качестве необходимой компоненты. Этот подход для расчета вариации (градиента) некоторого практически полезного функционала предельно экономичен с вычислительной точки зрения, так как кроме решения уравнений, описывающих течение, требует рассчитать только одну сопряженную систему уравнений.
Однако, несмотря на достигнутые к настоящему времени успехи, применение сопряженных уравнений в механике сплошных сред и особенно в задачах механики жидкости и газа далеко от желаемого уровня. В значительной степени это связано с тем, что в паре "прямая+сопряженная" задача последний компонент изучен с вычислительной точки зрения несравненно хуже. С одной стороны сопряженные уравнения зачастую рассматриваются как некоторый вспомогательный элемент, не имеющий собственного значения и физического смысла, поэтому использование сопряженных уравнений затруднено при отладке. Действительно, не просто убедиться в правильности решения задачи, описывающей перенос
субстанции с неизвестными свойствами в отсутствие тестовых задач. В связи с этим представляется привлекательным использовать сопряженные уравнения в дискретной постановке [110,111,40], особенно с применением средств автоматического дифференцирования [110,111]. К сожалению, построение сопряженной модели из дискретной модели прямой задачи не позволяет исследователю контролировать численный метод решения сопряженной задачи. В результате, многие важные численные вопросы, такие как монотонность, поведение схемы на разрывах и т.д. остаются без должного внимания [140,142], что часто вызывает разнообразные вычислительные патологии.
С другой стороны универсальность сопряженных уравнений недооценивается, в частности недооценивается то, что по сути одна и та же система уравнений может использоваться в широком классе обратных задач, в задачах апостериорной оценки погрешности численных методов и в задачах переноса погрешности исходных данных.
Анализ физического смысла сопряженных параметров позволяет существенно облегчить как их вывод, так и разработку (и отладку) соответствующих алгоритмов. Например, в одних задачах сопряженные параметры можно соотнести с функцией Грина [106], в других - с множителями Лагранжа [41,80,111,136], что позволяет формулировать соответствующие тестовые задачи.
В целом сопряженные уравнения в задачах механики жидкости и газа изучены недостаточно и их применение не соответствует их реальному потенциалу. Данная работа посвящена разработке методов применения сопряженных уравнений в вычислительной механике сплошных сред, а именно:
1. Апостериорному уточнению расчета функционалов поля течения и
определению погрешности уточненного решения с использованием
сопряженных уравнений и дифференциального приближения разностной схемы.
Апостериорному уточнению расчета функционалов поля течения с использованием сопряженных уравнений и шаблона повышенной точности, действующего на численное решение.
Определению переноса погрешности исходных данных с помощью сопряженных уравнений.
Решению и регуляризации обратных задач механики жидкости и газа в вариационной постановке с помощью градиентной оптимизации и сопряженных уравнений.
Диссертация состоит из введения, 6 глав, выводов и списка литературы; содержит 251 стр. текста и 87 рис. Библиография насчитывает 154 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен обзор и анализ исследований, связанных с применением сопряженных уравнений в прямых и обратных задачах механики жидкости и газа.
В первой главе содержится общее описание областей применения сопряженных уравнений в задачах механики жидкости и газа. Рассмотрены разные способы вывода сопряженных уравнений, специфичные для разных областей применения.
В первом параграфе представлено описание вариационной постановки обратных задач механики жидкости и газа, вывод сопряженных уравнений и их связь с множителями Лагранжа.
Во втором параграфе рассмотрен вывод сопряженных уравнений с помощью тождества Лагранжа (билинейного тождества).
Вторая глава содержит подробное рассмотрение сопряженных уравнений, включая граничные и начальные условия, способы нагружения сопряженных уравнений целевыми функционалами, выбор управляющих параметров, физический смысл сопряженных параметров.
Рассмотрены уравнения Эйлера, позволяющие определить смысл граничных условий для сопряженных уравнений, рассмотреть соотношение характеристических форм прямой и сопряженной задач. Проведен анализ влияния дивергентности основной задачи на форму сопряженных уравнений в стационарном и нестационарном случаях.
В качестве другого примера для детального анализа рассмотрены параболизированные уравнения Навье-Стокса, позволяющие быстрый расчет эволюционных течений.
Представлены сопряженные уравнения для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости.
В третьей главе рассмотрено использование сопряженных уравнений второго порядка для расчета Гессиана. Этот подход позволяет получать достаточное условие оптимальности, дает конструктивный путь для определения истинного ранга задачи (степени ее вырождения и некорректности), позволяет проводить регуляризацию, опираясь на прозрачные физические идеи, позволяет использовать очень эффективные методы оптимизации, оценивать точность оптимального решения по погрешности исходных данных используя спектр Гессиана.
Четвертая глава посвящена применению сопряженных уравнений к задачам верификации и валидации программ расчета течений жидкости и газа.
Первый и второй параграфы посвящены способам определения влияния погрешности аппроксимации на функционалы, представляющие практический интерес для уравнения теплопроводности (первый параграф) и
параболизированных уравнений Навье-Стокса (второй параграф). Рассматривается уточнение расчета с помощью сопряженных параметров и различных представлений ошибки аппроксимации, а также определение границ оставшейся погрешности с использованием неравенства Гельдера. Рассмотрена также оценка точности расчета целевых функционалов с помощью сопряженной задачи для данного решения и данной расчетной сетки.
Третий параграф посвящен определению влияния погрешности аппроксимации на функционалы с помощью невязки решений разного порядка точности. Этот подход позволяет анализировать погрешность численного расчета, проведенного неизвестным численным методом, что может быть полезно при использовании коммерческих программ.
Пятая глава посвящена применению сопряженных уравнений к задачам оценки влияния случайной погрешности исходных данных.
Первый параграф посвящен оценке погрешности функционала вдали от стационарной точки. Этот параграф посвящен переносу погрешности исходных данных в связи с оценкой погрешности ценного функционала. Подход к расчету переноса ошибки исходных данных с помощью сопряженных уравнений в прямых задачах достаточно экономичен с вычислительной точки зрения, так как позволяет получить поле физических параметров и оценку погрешности контрольного функционала (например, параметров в локальной точке) за счет всего лишь удвоения затрат времени счета. При этом рассчитанное для данного функционала поле сопряженных параметров является универсальным, так как позволяет учесть влияние погрешности всех параметров.
Второй параграф посвящен оценке влияния погрешности исходных данных на погрешность функционала в окрестности оптимального решения. В качестве инструмента используется спектр Гессиана, рассчитанный с
помощью дифференцирования градиента или решения сопряженной задачи второго порядка.
Третий параграф посвящен оценке погрешности ценного функционала вдали от стационарной точки по погрешности исходных данных для ПНС.
Четвертый параграф посвящен расчету погрешности целевого функционала в окрестности оптимального решения для ПНС. Для оценки погрешности использованы оценки второго порядка.
Для проверки алгоритма проведена серия расчетов, в которой распространение ошибки рассчитывалось с помощью сопряженных уравнений. Для сравнения использован метод Монте-Карло, в котором к исходным данным добавлялась случайная нормально распределенная ошибка.
В шестой главе рассмотрены вопросы применения сопряженных уравнений к решению обратных задач механики жидкости и газа.
В первом параграфе рассмотрено применение сопряженных уравнений к решению обратных задач градиентными методами и особенности методов регуляризации решения обратных задач. Особенное внимание уделено применению итерационной регуляризации из-за ее связи с градиентными методами.
Во втором параграфе рассмотрены задачи диагностики течения, а именно, восстановления исходного профиля газодинамических параметров по наблюдениям ниже по течению.
В третьем параграфе для уравнений свободной тепловой конвекции (уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска) рассмотрены задачи диагностики и управления.
В четвертом параграфе рассмотрена многомасштабная (вейвлетная) регуляризация, опирающаяся на использование сопряженных уравнений второго порядка.
Основные результаты работы сформулированы в выводах к диссертации. Главными из них являются:
Показано с помощью анализа и численных экспериментов, что информативность и эффективность численного моделирования задач механики сплошных сред может быть резко увеличена в рамках системы, включающей прямую и сопряженную задачи при умеренном увеличении потребных ресурсов компьютера. При этом при минимальных изменениях структуры сопряженной задачи представляются возможности проведения верификации и валидации расчетного метода, получения оценок погрешности расчета в зависимости от параметров численной реализации и от погрешности исходных данных, решения обратных задач. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:
Разработан метод апостериорного уточнения расчета и определения погрешности уточненного решения (функционалов поля течения) с использованием сопряженных уравнений и дифференциального приближения разностной схемы или шаблона повышенной точности, действующего на численное решение.
Предложен метод многомасштабной (вейвлетной) регуляризации решения обратных задач механики сплошных сред с использованием сопряженных уравнений второго порядка.
Сформулирована, проанализирована и численно исследована задача определения погрешности функционалов решения исходя из ошибки исходных данных с помощью сопряженных уравнений второго порядка.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-23,83-90] и докладывались на международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на XIV межд. конференции по вычислительной
механике и современным прикладным программным средствам, (Алушта, 2005), Межд. Науч.-тех. Конф. "Фундам. Проблемы высокоскоростных течений", (Жуковский, ЦАГИ 2004), Графикон-2003 (Москва, 2003), XII межд. конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Владимир, 2003), IV межд. конф. по неравн. процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), Третьей росс. Нац. Конф. по теплообмену (Москва, 2002), Межд. Конф. "Обратные и некорректно-поставленные задачи" (Москва 2001), Графикон-2000 (Москва, 2000), Третьей международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000), Минском международном форуме по теплообмену ММФ-2000 (Минск, 2000), X межд. конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999), Конференции ЦАГИ "Фундам. исследования гиперзвуковых технол." (ЦАГИ 1998), Второй российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1998), Третьей международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (Москва-СПб, 1998).
Сопряженные уравнения и тождество Лагранжа
Таким образом, сопряженные уравнения можно вывести как из тождества Лагранжа, так и из вариации Лагранжиана. Соответственно, использовать их можно для расчета вариации функционала (в прямых) и для расчета градиента (при итерационном решении вариационных обратных задач).
Использование тождества Лагранжа демонстрирует независимость расчета градиента с помощью сопряженных задач от задач поиска экстремума.
В том случае, если мы имеем явный вид оператора (в виде матрицы), поиск сопряженного оператора сводится просто к транспонированию данной матрицы.
В случае квадратичного функционала удобно применить запись, использующую оператор А (состоящий из пропагатора решения и проектора на множество измерений) [28]. В этом случае квадратичная невязка имеет вид s = {AU-f,AU-f), тогда As = 2(AAU,AU-f) = 2(AU,A (AU-f)), отсюда Vs = 2A (AU-f)).
Для произвольного функционала e(U)={AU,f) Ає(Ц)=(ААи,/)=(Ш,А /) отсюда Vs = A f. Это достаточно краткая запись, но в большинстве практических задач оператор А явно не задан, поэтому воспользоваться этим выражением для построения сопряженного уравнения достаточно сложно и оно пригодно в основном в качестве эвристики.
Вопросы регулярности сопряженных уравнений (особенно для основных уравнений, допускающих разрывы) достаточно сложны, некоторая информация на эту тему может быть найдена в работах [37,78]. В принципе, сопряженные уравнения являются линейными, поэтому градиентная катастрофа и спонтанное образование разрывов в поле течения для них нехарактерны. Однако влияние разрывов газодинамических параметров будет оказывать влияние, кроме того, возможно формирование разрывов на границах [41] с последующим их переносом внутрь расчетного поля. В параграфе 2.1 рассмотрены вопросы связи разрывов в поле сопряженных параметров со структурами в поле течения для уравнений Эйлера. При решении задач поточечной оценки погрешности в сопряженных уравнениях присутствуют источниковые члены, имеющие вид дельта-функции. Во многих случаях приходится использовать их гладкие аппроксимации [143,148]. Представляет также интерес вопрос о том, какие целевые функционалы приемлемы при использовании сопряженных уравнений. Однако появляется источниковый член у в сопряженном уравнении, существование которого не обеспечивается основным уравнением (1.41). Таким образом, набор целевых функционалов ограничен гладкостью решения. При построении дискретных сопряженных задач формально такого сорта проблемы не возникают, однако могут проявляться по мере мельчения сетки в форме неограниченного роста соответствующего члена.
Сопряженные уравнения в перспективе предоставляют богатые возможности для решения широкого круга практических задач. Представляется, что в ближайшем будущем сопряженные уравнения станут обязательным компонентом программ расчета динамики жидкости и газа. Однако в настоящее время их применение достаточно ограничено и никак не соответствует их потенциальным возможностям. Это связано со следующими обстоятельствами.
Недостаточно разработаны методы апостериорного уточнения расчета функционалов поля течения и определения погрешности уточненных решения применительно к методам конечных разностей. Отсутствуют методы, позволяющие определить погрешность численного решения без использования деталей конечно-разностной схемы. Недостаточно изучены методы расчета переноса погрешности исходных данных, решения и регуляризации обратных задач механики жидкости и газа. Отсутствует единый подход к сопряженным уравнениям в задачах расчета возмущений и обратных задачах. Сопряженные уравнения и сопряженные параметры зачастую рассматриваются как некий формальный элемент, не имеющий отдельного физического смысла.
Данная работа посвящена разработке методов применения сопряженных уравнений в вычислительной механике жидкости и газа. В рамках единого подхода рассматривается применение сопряженных уравнений к задачам расчета погрешности практически полезных функционалов и обратным задачам, сформулированным в оптимизационной постановке.
Сопряженная задача для параболизированных уравнений Навье-Стокса
В данном параграфе мы подробно рассмотрим вывод сопряженных уравнений для течения сжимаемой жидкости на примере параболизированных уравнений Навье-Стокса и задачи идентификации. Выбор этой системы уравнений определяется ее широкой практической применимостью и высокой скоростью счета. Параболизированные уравнения Навье-Стокса относятся к довольно узкому классу уравнений, описывающих реальные, практически важные течения, и допускающих многократный (тысячи) счет за очень умеренное время. Это делает их идеальным инструментом при отработке методов решения обратных задач механики жидкости и газа.
Прямое измерение параметров высокоскоростного потока в нужных зонах часто затруднено из-за ряда причин, таких как отсутствия доступа, высокие тепловые потоки и т.д. В то же время нередко имеется возможность измерить параметры течения на некотором расстоянии от зоны интереса, например в струе за соплом. В связи с этим, рассмотрим определение распределения параметров течения f(X(Y)=(p(Y),U(Y),V(Y),T(Y)) на входной границе течения двумерного вязкого сжимаемого газа по измерениям в выходном сечении (рис. 2.1.1).
Поток является сверхзвуковым вдоль одной координаты (X), по которой происходит эволюция. Используемая математическая модель состоит из алгоритма расчета поля течения (прямая задача), алгоритма расчета градиента невязки (сопряженная задача) и оптимизационного алгоритма, позволяющего минимизировать невязку между расчетными и экспериментальными данными, изменяя начальные условия. В качестве оптимизационного метода рассматриваются градиентные методы, ключевым элементом которых является расчет градиента невязки в пространстве управляющих параметров. Соответствующий градиент можно рассчитать с помощью прямого дифференцирования. При относительно малом числе управляющих параметров этот подход реализуем на практике. Но при большом числе управляющих параметров (10 и выше) сопряженная задача обеспечивает на несколько порядков большее быстродействие.
Для вывода соответствующей сопряженной задачи мы запишем Лагранжиан, включающий невязку и прямую задачу, записанную в слабой форме. Далее мы явно выразим вариацию Лагранжиана в зависимости от изменения управляющих параметров. Условия, при которых это возможно, формируют сопряженную задачу, которая и является основным предметом обсуждения.
Здесь, для расчета поля течения применяем параболизированные уравнения Навье-Стокса, описывающие двумерное ламинарное сверхзвуковое течение. Данная система получается формальным отбрасыванием вязких членов в одном из направлений, поэтому она применима только для специальных типов течений, в которых градиенты параметров малы вдоль одного из направлений. Система уравнений (1-5) имеет эволюционный вид по координате X и может решаться маршевым вдоль X методом, при этом условия на границе А соответствует начальным данным. Данный подход позволяет получать очень высокую эффективность счета в сравнении с обычными уравнениями Навье-Стокса (фактическая размерность задачи понижается на единицу).
На границах В и D заданы условия невозмущенного потока ("на бесконечности"). Эти условия обычно используются для струи в спутном однородном потоке. Для условий вытекания (tf/cfy=0) расчеты дают результаты близкого качества.
Начально-краевая задача (1-5) устойчива только для сверхзвуковых течений. При M=U/a l задача некорректна и возможно развитие неустойчивостей, их можно подавлять разными способами: выбором достаточно крупной сетки или модификацией уравнения в дозвуковой области.
Параболизированные уравнения Навье-Стокса предоставляют уникальную возможность численных экспериментов из-за сочетания относительно небольшой вычислительной стоимости и полномасштабной физической модели. Они примерно эквивалентны по вычислительной сложности уравнению Бюргерса (которое часто используется для численных экспериментов), но обладают существенно большим практическим значением, описывая вполне реальные задачи.
Сопряженная задача второго порядка для уравнений Навье-Стокса
Рассмотрим постановку сопряженной задачи второго порядка на примере свободно-конвективного течения газа, описываемого уравнениями Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска (1-6). Рассмотрим свободно-конвективное течение жидкости в кубе, который подогревается на нижней грани. Вдоль направления Z действует гравитация U\i=0 = 0; 7(=0 = Т0; в Q (Q-параллелепипед), U\r =0; Т\г = TJXJ; Г - граница, v х РдТ У Sy - символ Кронеккера, Re = —, Рг = —, Ре = RePr ,/? = -—- р, Gr=g/E 2 Ra=GrPr. Рассмотрим целевой функционал следующего типа, управляемый температурой на нижней грани
В соответствии со стандартным подходом сформируем Лагранжиан L Будем считать, что сопряженные величины принадлежат следующему классу Ч рЖЖеН1 2), (г %,%,%), H! 2(Q) - Гильбертово пространство функций, имеющих суммируемые обобщенные производные первого и второго порядка.
Чтобы получить градиент, выразим приращение Лагранжиана через вариацию управляющих параметров так, чтобы остальные члены первого порядка были равны нолю. Для этого введем возмущение ATw(X,Y,0) в граничное условие и выпишем соответствующие уравнения для приращений величин AP,AU,AV,AW,AT, составляющие задачу в возмущениях:
Далее, выпишем вариацию Лагранжиана с учетом касательной задачи и проинтегрируем соответствующее выражение по частям с учетом граничных условий для приращений и получим сопряженную систему. Сопряженная система
Вариация Лагранжиана (в параграфе 1.1 мы видели, что она равна вариации невязки) записывается в виде: AL = РГ1 Gr 0-5 J J -ATw(X,Y,0)dXdYdt t X,Y & (6) отсюда определяем градиент невязки: gra (rw(X,F,0)))=Pr- Gr4)if -(%(t,X,Y,0))dt. (7)
Для оценки степени вырождения задачи в зависимости от числа управляющих параметров, точек измерения и точности данных необходим дгє спектр гессиана Для нахождения Гессиана ищем дифференциал градиента через последовательное решение прямой, касательной, сопряженной и касательной к сопряженной задач. Время расчета действия Гессиана на вектор приблизительно соответствует 4 решениям задач типа прямой. Время расчета всего Гессиана можно оценить как решений задач типа прямой.
Задача в возмущениях (линейная касательная система) используется при выводе сопряженной задачи первого порядка и при расчете сопряженной задачи второго порядка.
Таким образом, действие Гессиана на некоторый вектор можно рассчитать с помощью решения систем (1), (4), (5) и (9) или (1), (4), (5) и (12).
В дальнейшем (гл. 6) мы рассмотрим использование сопряженных уравнений второго порядка к регуляризации обратных задач применительно к параболизированным уравнениям Навье-Стокса.
Рассмотрен вывод и применение сопряженных уравнений второго порядка к расчету Гессиана. Расчет Гессиана требует решения 4N задач, близких по трудоемкости к основной (vV-число управляющих параметров). Прямое численное дифференцирование градиента, полученного из сопряженной задачи первого порядка, требует таких же затрат ресурсов компьютера, но обеспечивает существенное упрощение с алгоритмической точки зрения (за счет некоторой потери точности).
Определение точности оптимального решения из погрешности исходных данных для уравнения теплопроводности
Расчет функционалов АГ/0" и АТР требует существования (в классе ограниченных функций) производных температуры достаточно высокого порядка. Они имеются не всегда, однако (как было уже показано), требования на гладкость решения при расчете функционалов могут быть несколько ослаблены. В том случае, если соответствующие производные точного решения имеют разрывы (первого рода), интегральные оценки существуют, но асимптотически проявляют другой (меньший) порядок сходимости. Поэтому разрывы коэффициента теплопроводности (вызывающие разрывы градиента температуры) потенциально являются источником погрешности, который может существенно превосходить номинальную погрешность разностной схемы, связанную с шагом сетки.
Эвристический анализ показывает, что при наличии разрыва в поле градиента температуры погрешность расчета содержит компоненты разного порядка сходимости (порожденные гладкой частью решения и разрывами), причем наинизший порядок равен единице. Рассмотрим в численных расчетах асимптотическая зависимость погрешности от пространственного шага сетки. Используем дивергентный интегроинтерполяционный метод [68], имеющий следующий вид: В таблице 3 представлены оценки ошибки расчета температуры (для центральной точки в конечный момент времени) в зависимости от шага пространственной сетки для задачи, в которой присутствует разрыв коэффициента теплопроводности (10%-ное изменение коэффициента в центре сетки). Этот разрыв порождает соответствующий разрыв в пространственной производной температуры. Данные Табл. 3 показывают, что AT" имеет высокий порядок сходимости, близкий ко второму (аналогично гладкому случаю, Табл. 2), а оценки AT J имеют малый порядок сходимости (не выше первого) по шагу и довольно вяло убывают с ростом формального порядка оценки. Такое различие вызвано взаимной компенсацией погрешности до и после разрыва в выражениях для АТХС0ГГ. Соответственно выражения для AT J содержат модули, поэтому взаимная компенсация погрешностей до и после разрыва для них невозможна.
Рис. 12 представляет оценки погрешности (центральная точка, финальный момент) в зависимости от пространственного шага для коэффициента теплопроводности, имеющего 10% скачок в центре сетки и начальной температуры, представленной на Рис. 1 (к сожалению, аналитического решения нет).
В качестве другого теста рассмотрим задачу о эволюции разрыва начальной температуры. Начальное и конечное распределение температуры, а также положение оцениваемой точки представлены на Рис. 10. Разрыв коэффициента теплопроводности находится в центре в точке (xs =Х/2) и совпадает по положению с разрывом начальной температуры.
В левой части начальная температура обозначена Г01, теплофизические свойства отмечены индексом 1, в правой части начальная температура Т02, а теплофизические свойства отмечены индексом 2, коэффициент теплопроводности в расчетах в два раза выше, чем в левой. Разрыв коэффициента теплопроводности порождает соответствующий разрыв в пространственной производной температуры.
Рис. 14 представляет оценки погрешности температуры в зависимости от пространственного шага. Скорость сходимости Tes, -Тап и АТХС0ГГ близка ко второму порядку, несмотря на наличие разрыва. Это вызвано взаимной компенсацией ошибок (их дипольным характером) в окрестности разрыва, что подтверждается анализом локального распределения плотности погрешности h3k ЧЦт (порождающей АТоп согласно (33)). 12 дх Порядок ДГ,др близок к единице (чуть ниже), что соответствует влиянию разрыва (формально (34) должен давать третий порядок). Таким образом, верхние оценки погрешности подвержены сильному влиянию гладкости решения.
Можно рассмотреть еще одну тестовую задачу, в которой также присутствует двукратное скачкообразное увеличение коэффициента теплопроводности в правой части сетки. При фиксированной температуре на границах мы ищем стационарное решение (состоящее из двух линейных участков) и его отклонение от аналитического. Независимо от шага сетки результаты расчета асимптотически по времени приближаются к аналитическому решению, конечное отклонение сравнимо с машинной точностью. Оценки погрешности с помощью сопряженной температуры тоже стремятся к нолю по времени. Соответственно в данном случае конечные разности дают аналитическое решение с машинной точностью.
Таким образом, уточнение расчетов и оценка погрешности сверху с помощью сопряженной температуры оказываются работоспособными и в случае наличия разрывов в пространственной производной температуры.
Формально, при наличии точной сопряженной температуры мы можем получить насколько угодно точное решение в данной точке. Ограничением метода служит необходимость использовать производные температуры высокого порядка, существование которых гарантируется не везде. В первой тестовой задаче в качестве начальных данных мы используем данные/t =Т0(хк), рассчитанные аналитически (35). Задача (1) с этими начальными условиями на бесконечном интервале гарантирует существование бесконечного числа производных по времени и пространственной координате. Здесь мы используем конечный интервал и граничные условия (2), поэтому разрывы производных у границ неизбежны. Однако, для рассматриваемой длительности процесса, у границ сопряженная температура близка к нолю, что обеспечивает работоспособность оценок, использующих производные четвертого и пятого порядков.
