Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 8
1. МЕТОД ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 16
Введение 16
1.1. Микромасштабы, микропараметры и микроуравнения 17
1.2. Уравнения для локальных параметров на межфазной поверхности...Л9
1.3. Осредненные параметры гетерогенной среды, основные допущения.2О
1.4. Основные свойства осредненных величин. Система осредненных уравнений 25
1.5. Основная проблема при моделировании гетерогенных сред,
Постановка задачи 28
2. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОТ УГЛОВ НАКЛОНА ЕЕ НОРМАЛЕЙ 30
Введение 30
2.1. Соотношения для локальных параметров на межфазной поверхности 31
2.1.1. Вспомогательные формулы 33
2.1.2. Вычисление 35
2.1.3. Соотношения для локальных параметров в случае, когда межфазная поверхность является свободной 38
2.2. Уравнение для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей з
2.2.1. Функция распределения 42
2.2.2. Уравнение для интегральных параметров 50
2.3. Решение уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность 55
2.3.1. Решение уравнения для функции распределения в случае отсутствия касательных напряжений 55
2.3.2. Уравнение для признака на основе уравнения для функции распределения в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью 57
2.4. Решение уравнения для логарифма функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью 62
2.5 .Вычисление средней удельной длины линий образованных пересечением плоскости с межфазной поверхностью 72
Выводы 77
3. ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ ПО МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПАРАМЕТРОВ В УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД 79
Введение 79
3.1. Топологическая гипотеза 79
3.2. Уравнения, описывающие эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности 82
3.3. Аналоги интегральной формулы Стокса 84
3.4. Вычисление осредненных по межфазной поверхности параметров...91
3.4.1. Уравнение для признака вида Ф іуД х )cp(n,) 91
3.5. Уравнения для определения осредненных параметров компонент тензора скоростей деформаций, вихря скорости, тензора удельной поверхности и скорости, в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность несжимаемой ньютоновской жидкости..99
3.6. Вычисление объемной плотности лапласовских сил, объемных плотностей работы и момента импульса лапласовских сил 103
Выводы 104
4. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛЯЕТ ДВЕ НЕСМЕШИВАЮЩИЕСЯ НЕСЖИМАЕМЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ 107
Введение 107
4.1. Граничные условия на межфазной поверхности для локальных параметров в случае несжимаемых фаз 108
4.2 Осреднение граничных условий по межфазной поверхности 109
4.3. Уравнения теории главы 3 и их следствия для случая несжимаемых фаз 111
4.3.1. Вычисление efjOjjS Ill
4.3.2. Уравнения для топологических характеристик межфазной поверхности 114
4.3.3. Уравнения для величин 9, тг,, 7t j 115
4.4. Уравнения сохранения количества движения для случая несжимаемых фаз 125 4.5. Уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды состоящей из і и j- фаз 126
4.6. Уравнение сохранения энергии в случае сжимаемых фаз 128
4.7. Уравнение сохранения момента импульса для случая несжимаемых фаз 132
Выводы 135
5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЯВЛЯЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛА НЕСЖИМАЕМЫХ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 137
Введение 137
5.1. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в декартовой системе координат 138
5.2. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в ортогональной криволинейной системе координат 142
5.3. Уравнения механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в сферической системе координат 149
Выводы 153
6. СПЕКАНИЕ УПАКОВКИ КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ ОКРУЖЕННОЙ ДРУГОЙ ЖИДКОСТЮ 154
Введение 154
6.1. Задача о спекании упаковки капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой жидкости 155
6.1.1. Закон сохранения общей массы i-фазы 156
6.1.2 Теорема вириала 157
6.1.3. Уравнение живых сил 159
6ЛЛ. Принцип минимума для задачи спекания 161
6.2. Уравнения задачи о спекании капель в сферически симметричном случае 163
6.2.1. Уравнения неразрывности и сохранения импульса в сферически симметричном случае 163
6.2.2,Вычисление е и со 165
6.2.3. Вычисление vPq, 167
6.2.4. Уравнения сохранения импульса в сферически симметричном случае 168
6.2.5.Уравнение сохранения импульса гетерогенной среды в сферически симметричном случае, 169
6.2.6,Уравнение для средних топологических параметров МФП в сферически симметричном случае 170
6.3. Решение задачи о спекании капель в сферически симметричном случае 171
6.3.1. Уравнение для признака (5.7) в сферически симметричном случае 171
6.3.2.Решение уравнений для топологических характеристик МФП 173
6.3.3. Нахождение ot,(t,r) 176
6.3.4. Нахождение функций V\ и Vj 179
6.3.5. Определение функций a,s12,v" из начальных условий 180
6.3.6. Условия равенства потоков массы на границах гетерогенной области 183
6.3.7. Определение P(t,r)- среднего давления в гетерогенной смеси 184
6.3.8. Условия равенства потоков импульса относительно движущихся границ гетерогенной области 185
6.3.9. Дополнительные граничные условия на границах гетерогенной среды 187
6.3.10. Обезразмеривание 189
6.3.11. Уравнения задачи о спекании сферической упаковки в случае, когда центральная область упаковки занята і- фазой 191
6.3.12. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята j- фазой 1
6.3.12.1. Решение, описывающее начало спекания 195
6.3.12.2. Численное решение точной системы уравнений для безразмерных радиусов упаковки при значениях чисел Лапласа L0 =1400 и L0 = 100 203
6.3.13. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята Ї- фазой 217
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 227
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 232
Введение к работе
Уравнения механики гетерогенных сред, применяются при моделировании физических явлений в гетерогенных средах [1-3], [69-70], [72-74], [77-90], [92-95], [98-99],[103-105], [107-108], [111-114]. Область применения указанных уравнений очень широка. Это описание явлений в стесненных условиях: среды плотно упакованных порошков, капель, пузырей, капель органических жидкостей (нефти, масел) в воде и капель воды в указанных жидкостях, пузырей в жидкостях, твердых частиц в жидкостях и жидкостей в твердых пористых средах и так далее. Также это относится к описанию всевозможных явлений в биологических объектах, в которых присутствуют различные фазы. Моделирование явлений в соплах ракетных двигателей и в двигателях самолетов, когда объемные и массовые доли жидкой или твердой фаз сильно разнятся с аналогичными величинами газообразной фазы также можно описывать на основе уравнений механики гетерогенных сред. Уравнения механики гетерогенных сред обычно получают феноменологически или методом пространственного осреднения однофазных уравнений механики сплошной среды фаз гетерогенной смеси. В настоящей работе рассматриваются уравнения механики гетерогенных сред, полученные методом пространственного осреднения. В отличие от уравнений механики гетерогенных сред полученных феноменологически, пространственно осредненные уравнения имеют то преимущество, что содержат в явном виде выражения для осредненньгх параметров фаз и таких величин как тензоры напряжений в фазах, интенсивности межфазного обмена массой, импульсом, моментом импульса, энергией, записанные через локальные параметры фаз. Получение указанных выражений в виде зависимостей от средних макроскопических параметров, является актуальной задачей при моделировании гетерогенных сред на основе пространственно осредненных уравнений Более того, как сказано в [2], "Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред" Вопросы получения реологических соотношений обсуждаются, например, в [36-68], [71], [82], [97], [Ю9-138].
Цель работы. Получить теорию вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, с целью замыкания системы уравнений механики гетерогенных сред. Теорию построить на основе нового уравнения для функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.
Научная новизна. 1. Дано определение функции распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной смеси в зависимости от углов наклона ее нормалей и для нее получено уравнение. Из уравнения для функции распределения методом моментов выведено уравнение для функции признака, являющейся осреднением заданной на межфазной поверхности локальной функции. Записано решение уравнения для функции распределения в виде ряда по сферическим функциям. Получены уравнения для коэффициентов ряда в разложении функции распределения и логарифма функции распределения по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. В указанном случае показана независимость системы уравнений для коэффициентов ряда до вторых гармоник включительно от системы уравнении для коэффициентов ряда гармоник выше второй. 2 Разработан метод дополнительного пространственного осреднения (ДГТО). Этим методом получен аналог формулы Стокса для гетерогенной среды. Формула выражает среднее по межфазной поверхности скалярное произведение локальной единичной нормали и локального вихря вектор функции, определенной на межфазной поверхности, через дивергенцию среднего по межфазной поверхности векторного произведения указанных локальных векторов. Как следствие формулы, получены точные выражения средних по межфазной поверхности объемных плотностей поверхностных сил Лапласа, объемных плотностей момента импульса и мощности сил Лапласа в виде зависимостей от тензора удельной межфазной поверхности и средней скорости фазы на межфазной поверхности. 3 Из уравнения для признака и сформулированной топологической гипотезы, записана система уравнений для осредненных по межфазной поверхности локальных параметров фаз, входящих в осредненные уравнения механики гетерогенных сред, в том числе и уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности - компонент тензора удельной поверхности и удельной поверхности.
4. Получена система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей, на которой действуют поверхностные лапласовские силы. Система получена из общей системы уравнений механики гетерогенных сред, а уравнения для средних по межфазной поверхности параметров, входящие в систему, написаны из общей системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, в том числе из уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности. Осреднением по межфазной поверхности уравнений, выражающих равенство локальных скоростей фаз и касательных напряжении в фазах и равенство разности нормальных напряжений лапласовскому давлению, получены дополнительные уравнения, замыкающие систему уравнений механики гетерогенных сред в указанном случае смеси фаз несжимаемых ньютоновских жидкостей. 5. Решена задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой ньютоновской жидкости в сферически симметричной постановке. Решения получены для случаев, когда центральная область упаковки занята фазой капель или фазой жидкости, окружающей капли. Уравнения задачи записаны на основе замкнутой системы уравнений, использующей точные выражения для объемной плотности лапласовских сил, средних топологических характеристик межфазной поверхности и других точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз. Показано, что уравнения, для средних величин безразмерных скоростей фаз, средней по межфазной поверхности скорости, объемных долей фаз, удельной межфазной поверхности и безразмерных радиусов упаковки, зависят только от R /Р о безразмерного числа Лапласа и отношения массовых плотностей жидкостей. В выражении для числа Лапласа R0- начальный радиус упаковки, м,,, - коэффициенты динамических вязкостен, pj 12 плотность жидкости, окружающей капли, 20- коэффициент поверхностного натяжения на межфазной поверхности, d- диаметр капель. Показано, что если начальная удельная поверхность пропорциональна объемной доле фазы, то гладкое сферически симметричное решение существует только в случае экспоненциальной зависимости начальной функции объемной доли спекаемой фазы от радиуса Определена область начальных безразмерных параметров включающих меньший радиус упаковки и два коэффициента в начальной функции объемной доли, в которой существует сферически симметричное решение.
Достоверность полученных результатов следует из корректности физической и математической постановки задач и методов их решения, выполнения законов сохранения, точного задания граничных условий, качественного сравнения с численными и экспериментальными результатами других авторов. Практическая и теоретическая значимость работы.
Введено новое понятие - функция распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной среде, в зависимости от углов наклона ее нормалей и получено уравнение для ее определения. Указанное новое уравнение может применяться как в механике гетерогенных сред, так и в других приложениях, где необходима информация о средних топологических характеристиках поверхности.
Создана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред. Это позволяет при определении указанных параметров не использовать приближенные представления о структуре межфазной поверхности, а использовать точные уравнения для определения удельной межфазной поверхности и других средних характеристик гетерогенной смеси в зависимости от времени и координат Разработан метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, который может использоваться при получении выражений для средних параметров вдоль линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью. Указанным методом получены аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды и из них выведены точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил, которые необходимы во многих приложениях. Методом дополнительного пространственного осреднения получена точная теоретическая формула, для удельной длины линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью, которая может использоваться в приложениях. На основе точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, решена задача о спекании в невесомости сферически симметричной упаковки капель, находящейся в несжимаемой жидкости. Указанное точное решение, может быть использовано при моделировании явлений, связанных с разделением жидкостей, например, нефти и воды, масел и воды, жидких металлов и др.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Уравнение для функции распределения удельной площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей и его решение в случае, когда границей раздела является свободная поверхность ньютоновской жидкости.
2. Метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред и полученные этим методом аналоги формулы Стокса и формулы для объемных плотностей лапласовских сил и объемных плотностей момента импульса и мощности лапласовских сил
3 Уравнение для признака - осредненной по межфазной поверхности функции локальных параметров фаз, полученных из уравнения для признака уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности - удельной поверхности и тензора удельной поверхности.
4. Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред.
5. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей.
6. Результаты решения сферически симметричной задачи о спекании в невесомости капель несжимаемой жидкости, находящихся в другой несжимаемой жидкости и упакованных в виде сферического слоя.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН, в Институте прикладной математики и механики при Томском госуниверситете. Отдельные разделы работы докладывались на семинаре в Институте физики прочности и материаловедения Томского научного центра СО РАН, на 7 Международном симпозиуме по самораспространяющемуся высокотемпературному синтезу (Краков, 2003), на конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (ИФПМ СО РАН, Томск, 2004), на 4 международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент" (Караганда, 2004). Работа полностью докладывалась на семинаре академика Р.И. Нигматулина в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре кафедры математической физики
Томского госуниверситета
Публикации Основные результаты исследований опубликованы в 20 работах [4, 8, 10, 12, 18-21, 23-34], из них 19 в журналах и 1 в материалах международной конференции. Некоторые работы выполнены совместно. Щрагер Э.Р [33-34], являясь научным консультантом, принимал участие в обсуждении результатов. Бушланов И.В. [10, 18-20], принимал участие в решении задач. Работа выполнялась в 1989-2004 годах по программам АН СССР и РАН в Отделе структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН и в очной докторантуре Томского госуниверситета в 2001 2004 годах В ходе исследований автору посчастливилось советоваться и обсуждать многие вопросы с коллегами из НИИ ПММ при ТГУ, ИФПМ СО РАН, Отдела структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН Всем им выражаю глубокую благодарность. С благодарностью вспоминаю совместные образовательные семинары с Бутовым В.Г., Бородиным А.И., Афониным ГИ, Дурневым В.Н. - полученные на семинарах знания постоянно применялись в работе. Глубоко признателен моим учителям - Васенину Игорю Михайловичу и ушедшему из жизни Вилюнову Владимиру Никифоровичу, эрудиция которых, является для меня примером в научной работе. Особая роль в проведении исследований принадлежит Максимову Юрию Михайловичу, внимание и поддержка которого, в сочетании с деликатной требовательностью, привели к появлению данной работы. Я глубоко признателен моим коллегам Зелепугину С.А. предоставившему мне все необходимые образцы документов в электронном виде, что существенно ускорило написание работы, и Смолякову В.К., который сделал замечания, улучшившие качество работы.
