Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 10
1.1 Гидромагиитное динамо 10
1.2 Течения в криволинейных каналах 14
1.2.1 Устойчивость течения 18
2 Аналитическое исследование течения в тороидальном канале
2.1 Стационарное ламинарное течение 25
2.1.1 Граничные условия и условия в центре сечения ... 31
2.1.2 Решение методом возмущений 34
2.1.3 Сравнение с решением Дина 39
2.1.4 Интегральные характеристики 44
2.1.5 Сходимость ряда 45
2.2 Линейный анализ устойчивости течения 47
2.3 Выводы по главе 50
3 Численное моделирование течения в тороидальном канале 52
3.1 Численный метод 53
3.1.1 Аппроксимация криволинейной границы области ... 55
3.1.2 Адаптация к параллельному вычислению 59
3.2 Ламинарное течение 64
3.3 Течение в торе с диверторами 66
3.3.1 Аналитические оценки распространения закрутки . . 68
3.3.2 Численное моделирование 70
3.4 Турбулентное течение 71
3.5 Выводы по главе 72
4 Численное моделирование динамо-эффекта 74
4.1 Модель 75
4.2 Тороидальный аналог динамо Попомаренко 80
4.3 Численная аппроксимация эксперимента 87
4.4 Динамо на основе трёхмерного течения 90
4.5 Полная магнитогидродинамическая задача 90
4.6 Выводы по главе 93
5 Заключение 94
Литература 96
А Приложения 111
- Течения в криволинейных каналах
- Сравнение с решением Дина
- Адаптация к параллельному вычислению
- Численная аппроксимация эксперимента
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Многие астрономические объекты (планеты, звёзды, галактики) обладают собственными магнитными полями. При этом возраст существования объектов гораздо больше характерного времени свободного затухания глобального магнитного поля. Поэтому существование глобальных магнитных полей у астрономических объектов в настоящее время требует объяснения. Наиболее убедительным является использование модели генерации магнитного поля в виде магнитогидродинамического динамо-эффекта. Суть его заключается в преобразовании кинетической энергии электропроводящей среды в энергию магнитного поля за счёт вморожешюсти силовых линий.
Одной из самых известных конфигураций, приводящих к динамо-эффекту, является винтовое движение проводящей среды внутри внешней неподвижной среды. Большое внимание к винтовому динамо объясняется тем, что оно характеризуется минимальным порогом генерации в сравнении с другими вариантами ламинарного динамо. Специальным случаем винтового динамо является динамо на основе винтового течения в замкнутом кольцевом канале (торе). В такой модели течение создаётся в ограниченном объеме и без нагнетающих устройств, что приближает её к реальным природным объектам, приводящим к динамо. Такая геометрия потока стала основой лабораторного эксперимента, реализуемого в ИМСС УрО РАН. В эксперименте винтовой поток возбуждается во вращающемся
канале, что накладывает существенные ограничения на его массу, а следовательно, на толщину стенок канала. Влияние толщины и проводимости стенки па порог генерации поля детально изучалось в работе [1]. Задача исследовалась и численно, причём для нестационарного течения, реализуемого в реальном эксперименте, но все расчёты проводились в цилиндрической геометрии с условиями периодичности по оси канала [2].
Исследование кинематического динамо в тороидальном канале осложняется существенным отличием течения в нём от течения в прямом цилиндрическом канале, обнаруженном ещё в начале XX века. Замкнутая форма решения гидродинамических уравнений для этой задачи до сих пор неизвестна. Все имевшиеся до сих пор аналитические[3][4][5][6] (и даже численные [7]) решения имели упрощения в постановке задач. В частности не было полностью учтено влияние кривизны канала для толстого тора.
Целью работы является аналитическое и численное исследования трёхмерного течения несжимаемой жидкости в тороидальном канале и решение задач МГД-динамо па основе винтовых течений проводящей жидкости в тороидальной геометрии.
Научная новизна состоит в полном учёте тороидальной геометрии при исследовании течения проводящей жидкости и эволюции магнитного поля. Впервые:
получено решение полной системы уравнений, описываю]цей течение несжимаемой жидкости в тороидальном канале; полученный ряд по малому параметру исследован на сходимость и выведены асимптотические оценки для радиуса сходимости;
проведено трёхмерное численное моделировантте течения несжимаемой жидкости в торе на основе неупрощённых уравнений. Указано, что функция тока и координата пика поточной скорости имеют максимум при изменении числа Рейнольдса и параметра кривизны соответственно. Показано, что вдоль цилиндре азимутальная компонента затухает экспоненциально, а в криволинейном канале — субэкспонеп-циально;
проведено трёхмерное численное моделирование эволюции магнитного поля в кинематической постановке для нестационарного и неоднородного поля скорости. Обнаружена нетривиальная зависимость порога генерации от кривизны канала. Найдено новое решение в виде незатухающей на оси тора динамо-волны.
Автор защищает:
Аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы в виде ряда по малому параметру кривизны канала. Область сходимости найденного ряда. Асимптотические оценки для радиуса сходимости.
Результаты линейного анализа устойчивости полученного решения в пределах сходимости ряда.
Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования магнитогидродинамических уравнений в криволинейных каналах и областях. Полученные с помощью него характеристики стационарного винтового течения, генерируемого дивертором.
Результаты решения кинематической задачи винтового гидромагнит-ного динамо в торе.
Результаты моделирования нестационарной неоднородной задачи кинематического динамо для параметров, соответствующих лабораторному эксперименту.
Результаты исследования связанной маиштогидродинамической задачи в тороидальном канале.
Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и методов и сравнении результатов, где это возможно, с аналитическими решениями или с результатами, полученными в других работах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А. А. Поздеева «Поздеевские чтения». Пермь, 23-24 марта, 2006.
Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 9 декабря 2006
Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2007. Пермь, 5-7 декабря, 2007.
Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2008. Пермь, 5-6 декабря, 2008.
Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2009. Пермь, 4-5 декабря, 2009.
«Численные методы в математике и механике». Конференция молодых учёных. Ижевск, 22-25 февраля, 2007.
«Математическое моделирование в естественных науках». XVI Всероссийская ні кола-конференция молодых ученых и студентов. Пермь, 3-6 октября, 2007.
XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко (Новороссийск, 15-21 сентября, 2008'
9. XV Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 26 февраля-3 марта, 2007)
10. XVI Зимняя школа по механике сплошных сред («Механика сплошных сред как основа современных технологий»). Пермь, 24-27 февраля, 2009.
Работа выполнялась в рамках госбюджетных тем «Эволюция турбулентных потоков проводящей и непроводящей жидкости под действием вихревых и спиральных сил» (№ гос. регистрации 01.200.117926) и «Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости» (№ гос.рог. 01.2.007 00735).
Список обозначений
Т — общая массовая сила
/і, v — динамическая и кинематическая вязкости
{г. #, z} — цил. с.к., ось z — внешняя ось тора
{/У, (/?, С} — цил.-тор. с.к., —линейная вдоль канала
V - характерное значение скорости
Re = — — (гидродинамическое) число Рсйнольдса
R — радиус сечения канала
гс - расстояние от внешней оси до внутренней
к, = — — «кривизна» тора
М = 1 + кр cos ср — поправка на кривизну
v*(v) — скорость жидкости (безразмерная)
П = Vx v - завихренноегь скорости
Tv(p,(^,(p).Vv(p,C,(p) — тороидальная и полопдальная комп. скорости
Со, є — угловые скорость и ускорение вращения капа.
ф -- функция тока в сечении(2.2б)
G = [є — D^p)Re — посто5інная часть массовой силы
{А, В} — якобиан функций А и В по (/?, ф)(А.4)
De = кДе — число Дина
(V, Ф) — основное течение в анализе устойчивости
X — степень закрученности потока, шаг винта
В — Vx А — магнитная индукция и векторный потенциал
rjin — магнитная диффузия в проводящей жидкости
i]bh ~ магнитная диффузия в стенке канала
Vrac ~~ магнитная диффузия во внешней среде
Rm = ^- магнитное число Рейнольдса
7 + iw — комплексный лог. инкремент роста
к — волновое число динамо-волны вдоль канала
— параметр течения типа Гартмана
Обозначения для дифференциальных операторов Dr, Д^, Д^, Acyi, С см. в приложении А.1.
Течения в криволинейных каналах
Исследование кинематического динамо в тороидальном канале осложняется существенным отличием течения в нём от течения в прямом цилиндрическом канале, что было обнаружено ещё в начале XX века[43][44]. Известно, что нетривиальное течение жидкости в криволинейном канале под действием силы, направленной вдоль капала, не може г быть одномерным и при этом всегда образуется вторичное течение. Такие течения представляют отдельный интерес, т.к. присутствуют в многочисленных приложениях (каналы в промышленности, кровеносные сосуды в физиологии, трубопроводы, охлаждающие системы и прочее). При этом течение является решением нелинейной системы гидродинамических уравнений и замкнутая форма решения этой задачи до сих пор неизвестна.
Течения в искривлённых каналов начали исследоваться сразу после первых систематических работ О. Рейиольдса по изучению течении в прямолинейных. Так же, как и его течение в цилиндрическом канале, первые исследования были экспериментальными (1910) [44]. Первые теоретические работы У. Р. Дина [3] дали повод к тому, чтобы называть основной параметр, которым параметризуются течения в искривлённых каналах, числом Дина De.
Тороидальный является одним из простейших случаев искривлённого капала и поэтому наиболее исследованным. В ряде работ используется специальная тороидальная система координат ([45]), но чаще применяются более простые, например, цилиндрическая или декартова. Однако каналами круглого сечения весь спектр криволинейных каналов не исчерпывается — подверглись рассмотрению также каналы треугольного[5], квадратного[5][46][47, эллиптического[48][49] и других[51][52 сечений. Течение в торе является криволинейным аналогом течения Пуазейля в цилиндре. Другим видом искривлённого канала является азимутальное течение между коаксиальными цилиндрами, которое сравнивают с течением между параллельными плоскостями. Именно с такого течения начал Дни [3].
Интерес к течениям такого рода обусловливает появление множества работ, иследующих различные аспекты задач гидродинамики криволинейных каналов. Ситуация вращающегося канала была впервые рассмотрена в [53]. где был введён параметр F, отвечающий за безразмерную угловую скорость канала; при этом нелишне отметить оригинальное мнение Ипш-гаки [54][55], проводящего аналогию между течениями в криволинейных каналах и течениями во вращающихся прямолинейных трубах. Падение давления, тепло- и массоперегюс были изучены в деталях (см. обзор в [4]). Нестационарность потока учитывалась в работе [56], а неоднородность и пестационарность кривизны в [57. что привело к изучению периодически пульсирующих течеппй[58][59]. В последнее время начинает исследоваться вопрос также для неньютоновских жидкостей, например, течение вяз-коупругой жидкости выявляет её специфические реологические свойства (например, в работе [60] и обзор в ней); для двухфазных жидкостей161]. Весь указанный спектр вопросов затрагивается в обширных обзорах [62] и [63], покрывающих работы по течениям несжимаемой жидкости в криволинейных каналах за 30 лет с середины XX века. Экспериментальные работы по этой тематике начинают свою историю с 1910 года[44] (первое лабора, торіює исследование, проведённое с помощью резиновых трубок, оставило больше вопросов, чем ответов) и продолжаются до сих пор[64][65]. В [35] экспериментально получены турбулентные профили скорости течения, образующегося после резкой остановки тора со встроенным дивертором-вращающим поток устройством. В [65] проведено подробное исследование спиральных турбулентных потоков в торе и сравнение их характеристик с построенными маломерными моделями.
Надо отметить, что исследованию подвергались также течения в скрученных искривлённых каналах[66][67. в том числе вращающиеся[48]. Интерес может объясняться в частности тем, что именно канал с небольшим кручением (например, резиновый шланг, намотанный на цилиндр, как в [44]) позволяет получить течение в искривлённом канале под действием разницы давлений — аналог течения Пуазейля. Однако ненулевое кручение может вносить свой вклад, например, двухвихревое течение заменяется одновихревым при достаточно умеренных скоростях и кручениях[68]. либо наоборот четырёхвихревым[67].
В 1970-х годах начинается активное исследование течений в криволинейных каналах с помощью численного моделирования [69][70] (см. также обзор в [62]). Для компьютерного исследования течений в криволинейных каналах разработаны специальные численные методы[71][72][73]. В работе [7] на основе упрощённых уравнений найдены численные решения в интервале чисел Дина от 96 до 600. Более широкий диапазон 96 De 5000 промоделирован в работах [74],[72] и [75]. где также демонстрируется наличие ряда бифуркаций при больших числах Дина.
Сравнение с решением Дина
Особое внимание нужно обратить на то, что во всех вышеуказанных работах рассматривались упрощённые уравнения, справедливые только для малых значений параметра кривизны канала. Об этом говорит хотя бы использование термина «число Дина» — единственного параметра течения. В диссертации найдено решение, соответствующее уравнениям, справедливым для любых кривизн, и показано, что в общем случае течение не может быть параметризовано одним числом.
Обзор показывает, что течения в криволинейных каналах исследованы достаточно подробно, но пет окончательного учёта конечной кривизны канала на точение и его устойчивость.
Существование и единственность решения уравнения движения жидкости в тороидальном канале доказана строго[85] при малых числах Дина, что не исключает появления других решений при возрастании интеспвно-сти течения. В работах [74],[72] и [75] демонстрируется наличие ряда бифуркаций при больших числах Дина. При De 950 обнаружена гистерезисная петля между двумя решениями — с двумя и с четырьмя вихрями. Четыре бифуркации обнаружено в [50]. Ещё больше различных решений при одних и тех же значениях De было обнаружено в [S6], и даже было сделано предположение о бесконечной многозначности. Для изучения бифуркационной диаграммы используются специальные методы[87]. Многозначные решения исследуются для различных форм сечения канала[87][52][47]. В [88] обнаружено также бифуркация между двумя течениями во вращающемся криволинейном канале с противоположными направлениями вторичного течения.
Именно с потерей единственности решения связана неустойчивость основного решения, что предваряет переход к турбулентности. Несмотря на то, что течение в торе и течение между двумя коаксиальными цилиндрами являются простейшими видами течений в криволинейных каналах, сложности в изучении их устойчивости различаются. Интерес к псследованию устойчивости течения в криволинейных каналах наглядно демонстрирует тот факт, что первая же теоретическая работа У.Р. Дина[3] имеет целью получить порог устойчивости. С учётом упрощающих преобразований системы уравнений, найдеттое им критическое число Рейнольдса при бесконечно малых осесимметричных возмущениях имеет порядок 3(5\/1/к,. Поэтому, казалось бы, линейный анализ устойчивости предсказывает появление неустойчивости в криволинейном канале в отличие от абсолютно устойчивого цилиндрического течения, однако эксперименты[89] утверждают обратное — для поддержания турбулентности в искривлённом канале требуется большая скорость, чем в прямом. Предсказанию начала турбулентности посвящена работа [90]. В изогнутом канале квадратного сечения устойчивость течения исследована в [46].
Физически неустойчивость приписывают возникновению т.н. вихрей Гёртлера[91], которые отрываясь от стенки переносят возмущение вдоль канала)92]. В [93],[94] разбирается связь между бифуркациями решений в канале между коаксиальными цилиндрами и их устойчивостью, анализируются возможные возмущения, которые приводят к появлению «вихрей Дина». В работе [95] показано, что два вида неустойчивостей: вихри Дина и бегущие волны могут быть стабилизированы соответствующим враще-нием канала, серьёзно увеличивая критическое число Рейнольдса. Таким образом, окончательно вопрос об условиях и форма.х неустойчивости в криволинейных каналах ещё не решён. Не оставляются попытки и подойти со стороны прямолинейных каналов, из последних работ интересно отметить использование минимума энергии осесиммстричных отклонений[96] и полученные в численном моделировании неустойчивые возмущения в виде узких вихревых дорожек[97] конечной амплитуды, которые, что также возможно, являются и причиной возникновения неустойчивости в криволинейном канале.
Влияние магнитного поля на устойчивость течения жидкости начало рассматриваться с фундаментального труда Чандрасскара. В статье [98] показано, что в случае бездиссипативного МГД-течения в цилиндрическом кольце достаточно большое магнитное поле делает абсолютно устойчивым любое распределение угловой скорости. Эта и другая модели описаны более подробно в книге [99]. Однако эффект влияния магнитного поля на самом деле тоньиге, в частности, было обнаружена область параметров, в которой оно уменьшает порог устойчивости основного течения[100]. В любом случае, при возрастании амплитуды магнитного поля наступает момент, когда оно начинает влиять па поле скорости, и это влияние важно исследовать.
Исследование устойчивости тороидального течения как самого по себе, так и с учётом влияния магнитного поля, только зарождается, поэтому в этой области ещё достаточно много открытых вопросов.
Адаптация к параллельному вычислению
С другой стороны, можно применить численную процедуру, аналогично рассмотренной в [79]. Предположим, что члены ряда ведут себя по показательному закону от номера. Тогда, вычисляя максимумы угт = maxv (р.ср) для всех (р, tp) из сечения, можно найти такую величину кс, что для всех к, кс мажорирующая для ряда (2.49) последовательность кгУгт являются монотонно убывающей функцией от номера члена г. Были учтены члены ряда вплоть до 5 порядка. Такую процедуру можно проделать для любого набора параметров Re. G и си и получить таким образом зависимость Kc(Re,G,tu) что и было сделано. Табулирование этой зависимости привело к асимптотическим (при увеличении управляющих параметров) аппроксимациям. В частности, при \F \ 1 была получена зависимость вида к,с a + b\F — с\. При этом все коэффициенты стремятся к линейной зависимости от \G \ при возрастании последней величины.
Оба подхода дают одинаковый результат — радиус сходимости убывает как Rc (и как G"1), при этом численный подход даёт также конкретные числа для радиуса сходимости.
Из этого следует, что сходимость этого ряда оставляет желать лучшего. поэтому решение (2.70)-(2.71) не позволяет описать, например, быстрое течение в толстом канале. Однако в пределах своей сходимости оно даёт отличное количественное совпадение с результатом прямого численного моделирования.Исследуем устойчивость течения в тороидальном канале, поддерживаемого постоянной массовой силой G вдоль канала. При этом ограничимся рассмотрением линейной устойчивости, т.е. устойчивости к бесконечно малым возмущениям скорости. Также, поскольку уравнения для течения в криволинейном канале значительно упрощаются (система для 4 неизвестных функцттй сводится к системе из 2 уравнений), будем рассматривать возмущения, однородные вдоль канала
Сложность исследования устойчивости полученного течения заключается в том, что само решение, которое нужно исследовать, не известно в замкнутой форме. Есть несколько вариантов преодоления этого. Один из них основан на использовании приближения (2.70)-(2.71) к решению, точного вплоть до первого порядка по к.
Для линейного анализа устойчивости необходимо представить произвольное решение системы в виде суммы найденного стационарного решения, которое далее будем обозначать (V, Ф), и малого возмущения, обозначаемого (v. у). Подставив решение (V + v. Ф + у) в систему (2.4),(2.9) и учитывая то, что (V, Ф) само является решением системы, а также пренебрегая членами второго порядка малости (нелинейными по v И/ИЛИ у), получим систему для эволюции возмущения.
Систему для возмущений, не зависящих от координаты , выведем аналогично системе для самой скорости из -компонент уравнений (2.20)-(2.21). При этом не зависящие от времени слагаемые в псевдотороидальной системе координат такие же, как в системе (2.27)-(2.28). Поэтому система дтя бесконечно малых возмущений скорости v {t. р. ф) = v и функции тока. ф(С, р. , (р) с учётом точного решения V(p, ср) — Ф(р, р) (2.62):
Для того, чтобы использовать полученное приближение для основного течения, ограничимся рассмотрением эффектов первого порядка малости по к. Для этого представим (V, Ф) в виде (V + кУ1. к Ф 1)) , где (1/(1). фС1)) — члены первого порядка (2.70)-(2.71), полученные для точного решения. После этого отбросим в системе все слагаемые, содержащие к, в степени, выше первой. Далее представим все возмущения в нормальной форме, разложив вдоль двух периодических координат по гармоникам: ($) = \Ф(р ))еХ1- г е ФРМЫ возмущений в сечении f(p.tp) и логарифмический инкремент Л могут быть комплексными, а мода в сечении т — целым числом.
Дополнив полученную систему соо гве гствующими граничными условиями для скорости и функции тока при р = 0 и р = 1, получим краевую задачу, в которой нужно найти собственные значения Л и собственные функции (",( \) для каждого набора параметров (к. Re. ш). Действительная часть инкремента !КА отвечает за рост возмущений со временем: отрицательное значение отвечает затухающему возмущению.
Дальнейшее решение производилось двумя способами: разложением искомых возмущений по цилиндрическим гармоникам (функциям Бесселя), либо поиском сеточной функции и рассмотрением конечно-разностных аналогов для дифференциальных уравнений. В обоих случаях получается однородная алгебраическая система уравнений на ряд неизвестных коэффициентов при базисных функциях, которая должна иметь ненулевые решения. Из приравнивания к пулю её детерминанта получаем уравнение на комплексный инкремент, которое имеет ряд корней. Каждый корень даёт собственное число, которое соответствует своей собственной функции для возмущений (заметим, что в конечно-разностном варианте обычно возникала из-за численной неустойчивости также «пилообразная» функция,
Численная аппроксимация эксперимента
Аналитическое решение, полученное в прыдущеп главе, имеет достаточно ограниченную область применимости в силу небольшого радиуса сходимости ряда. С помощью него нельзя иследовать течения, обладающие большой полоидальной компонентой скорости. К тому же описанный метод применим только к стационарному и однородному вдоль канала течению.
Цель данной главы заключается в том, чтобы исследовать гидродинамические явления, происходящие при торможении тороидального канала во всей полноте. В частности, важным моментом является эволюция полоидальной компоненты скорости. Результаты численного исследования сравниваются с известными аналитическими решениями, а также исследуются на сходимость по размеру сетки.
Рассмотрим трёхмерную нестационарную постановку задачи. Имеется несжимаемая жидкость, движущаяся в тороидальном канале кругового сечения. Течение создаётся однородными массовыми силами, либо замедленным торможением канала. На течение могут влиять диверторы, расположенные в канале.
Производится моделирование безразмерных уравнений Навье-Стокса методом конечных разностей, явным по времени. Непосредственный учёт солстюидальности поля скорости (V- v = 0) в явном но времени методе проблематичен, поэтому она будет аппроксимироваться различными способами. Для решения перечисленных задач создан комплекс программ, позволяющий эффективпо производить вычисления на современных многопроцессорных системах. Основной проблемой в численном моделировании является учёт неплоской границы канала. Одним из путей решения может быть выбор системы координат, сводящий границу в виде тора к прямоугольной области изменения переменных. Это могут быть: Тороидальная система координат. Недостаток этой системы заключается в том, что есть окружность внутри тора, которая имеет бесконечную координату. Поэтому даже конечная внутренний область тороидального канала при численном исследовании сводится к бесконечной области, что напрямую нельзя использовать. Цилиндрически-тороидальная система координат {р, /?, ("}, рассмотренная выше. В данном случае центральная ось является осью сингулярности, на которой неопределён угол (р. Удобные для аналитических изысканий, эти координаты не подходят для численного моделирования, т.к. требуют отдельного обхождения с особыми точками. Вместо этого выберем цилиндрические координаты, ось которых совпадает с осью симметрии тора. При этом обходится проблема наличия син-гулярностей внутри вычислительной области. Однако при этом граница кргтволинейной области не может совпадать с координатными линиями и поэтому будет описываться только приближённо. В работе предложен метод моделирования граничных условий на криволинейной границе для прямоугольной сетки. Безразмерный вид уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах выглядит следующим образом[Ю2, с. 395, (5.14)]: Моделирование производится в области в Є [0, 27г], (г — rc)2 + z2 1. Для скорости задаётся условие прилипания на границе канала: гГг = 0, для давления свободные: =0. Вдоль канала все величины изменяются периодически: /(г, в + 27Г, z) = /(г, в, z). Моделирование производится с помощью метода конечных разностей[108]. Используется совмещённая (для скорости и давления) прямоугольная равномерная сетка. Полагаем, что вся область разбита на ячейки, а величины заданы в узлах, которые задаются координатами: (гг.9 ,г ) — (I + ihr, + jhg, \ + kh ) , размеры ячеек вдоль oceii. a Nx x Ny x Nz размеры сетки. Все функции заменяются их сеточными аналогами: f(r,0.z) — fijk, а дифференциальные операторы — их конечно-разностными аппроксимациями. Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схемы Рунге-Кутта-Фельберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го порядка точности с адаптивным выбором шага [109]. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями 6-го порядка точности:
