Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотрим функцию Гамильтона Н(р, q), определенную на 2п-мерном многообразии М (считаем функцию и многообразие гладкими). Предположим, что система Гамильтона имеетп первых интегралов F\ = H,...,Fn. Теорема Лиувилля-Арнольда [3] утверждает, что если:
скобка Пуассона любых двух интегралов равна нулю {F{,Fj} = О (т. е. п первых интегралов находятся в инволюции),
функции F{ независимы на множестве уровня Mj : {(p,q) Є М : Fi(p,q) = fi, і = 1,..., n} (т. е. п 1-форм dFi линейно независимы в каждой точке Mj).
Тогда:
-
Mj - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона Н = F\.
-
Если многообразие Mj компактно и связно, то оно диффеоморфно n-мерному тору Тп = {((pi,..., ipn)(modd 27г)}.
-
Фазовый поток с функцией Гамильтона Н определяет на Mj условно-периодическое движение, т. е. в угловых координатахLp = ((>i,..., рп)
dt yj/
4. Канонические уравнения с функцией Гамильтона Н интегрируются в квадратурах.
Естественным вопросом является задача о динамике в системе, полученной из вполне интегрируемой в результате малого возмущения. В частности, о существовании инвариантных торов у систем близких к интегрируемым. Если рассматривать простые частные случаи невырожденного нульмерного (положение равновесия) и невырожденного одномерного торов (периодическое решение), то легко показать, что такие объекты сохраняются при малом возмущении исходной системы. Оба случая подробно рассматриваются в классических учебниках по теоретической механике. Для доказательства достаточно применить теорему о неявной функции.
Существенно более сложная задача - сохранение торов размерности выше первой. Этот вопрос волновал классиков небесной механики и наиболее явно был поставлен в работах А. Пуанкаре [17]. Трудности, возникающие в случае двух и более частот, связаны с наличием в рядах теории возмущения малых знаменателей, существенно затрудняющих исследование вопросов сходимости. Наиболее эффективный метод доказательства сходимости рядов теории возмущения в присутствии малых знаменателей был изобретен А. Н. Колмогоровым [11]. Далее метод был усовершенствован В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Набор теорем и методов, возникший в результате развития этого подхода, получил название теории К AM. Данная диссертация посвящена некоторым новым задачам теории К AM.
Рассмотрим возмущение интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом Но(1), записанной в переменных "действие-угол":
Я(/,^,є) = Я0(/)+єЯі(/,^,є), /ЄІ)СГ, ірєТп. (1)
Гладкую функцию єНі(І,(р,є) будем называть возмущением, є - малая положительная константа. Предположим, что функция Hq{I) - невырождена, т.е.
det-^(/)^0. (2)
Наивной классической идеей является введение новой канонической системы координат (/,(/$), в которой функция Гамильтона Я зависит только от переменных /. Соответственно инвариантные торы в возмущенной системе будут иметь уравнение / = const. Однако, существование таких координат противоречит неинтегрируемости возмущенной системы. Техническим выражением этого обстоятельства является присутствие в рядах Фурье, задающих переход к новым переменным, малых знаменателей (к, и), где к - целочисленный вектор размерности п, отве-чающий коэффициенту Фурье, a v = -gf- - вектор частот. Такие ряды, вообще говоря, не определены при /, задающих резонансный вектор и, и расходятся при некоторых других и.
В статье [11] 1954-го года А.Н. Колмогоров предложил схему, позволяющую обойти эту трудность. Предлагалось рассматривать только те торы, частоты которых удовлетворяют диофантовым условиям
1<М1>щ^, kezn\{o},
где с>0и)>п- 1. В окрестности таких торов проводится счетное количество канонических замен координат. В ходе каждой замены
порядок малости возмущения повышается квадратично. Квадратичная сходимость позволяет справиться с малыми знаменателями, но только на рассматриваемом торе. Сформулируем теорему Колмогорова:
Теорема 1 Диофантовый инвариантный n-мерный тор невырожденной вещественно-аналитической системы Гамильтона сп степеням/и свободы сохраняется при малых вещественно-аналитических возмучце-
Эта теорема и ее доказательства В.И. Арнольда [1] и Ю. Мозера [14] (случай гладких функций, а также распространение на случай обратимых систем) положили начало теории Колмогорова-Арнольда-Мозера.
В работах Ю. Пёшеля [16] и Д. Саламона [19] для гладких КАМ-теорем класс гладкости был приближен к оптимальному.
Требование невырожденности функции Но может быть ослаблено до невырожденности по Рюссману. Соответствующая КАМ-теорема была независимо опубликована Г. Рюссманом [18], Ю. Сунем и Ч. Ченом [9] и М.Б. Севрюком [21], [22].
В работах В.Ф. Лазуткина [12], А.И. Нейштадта [15] и Н.В. Сванидзе [20] была получена оптимальная оценка на меру множества сохраняющихся торов. Оказывается, что в случае невырожденного Но п-мерные торы в возмущенной системе с п степенями свободы заполняют все пространство за исключением множества меры порядка у/є. Соответствующие оценки на меру при ослабленных условиях невырожденности были получены М. Б. Севрюком в работе [22].
КАМ-теорема для случая собственного вырождения частот была сформулирована и доказана В. И. Арнольдом [2]. Особенностью задач подобного рода является то, что часть частот тора в возмущенной системе имеет порядок Є.
В статье "О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона" [4] В.И. Арнольдом была рассмотрена автономная система с одной степенью свободы, периодически зависящая от параметра т. Там же сформулирована теорема о том, что если параметр г менятся с малой постоянной частотой г = єї, то неавтономная система Гамильтона будет иметь в расширенном фазовом пространстве двумерные инвариантные торы. Одним из основных результатов диссертационной работы является распространение этого результата Арнольда на случай гиперболических торов.
Напомним некоторые определения и основные результаты из теории гиперболических торов. Пусть система Гамильтона с п степенями свобо-
ды имеет /-мерный инвариантный тор Т , I < п. Не вдаваясь в строгие формулировки, дадим качественное определение гиперболического тора
Определение 1 Инвариантный тор Т1 называется гиперболическим (точнее, частично нормально гиперболическим), если в каждой точке существуют два (п — 1)-мерных инвариантных относительно линеаризованного фазового потока подпространства в касательном пространстве к тору: устойчивое и неустойчивое. В направлении устойчивого подпространства линеаризованный фазовый поток экспоненциально "сжимает", в направлении неустойчивого - экспоненциально "растягивает".
Простейшим примером такого тора является верхнее неустойчивое положение равновесия маятника. В этом случае / = 0 (нульмерный тор - это точка), а подпространства - касательные к сепаратрисам.
Классические результаты по вопросу сохранения гиперболических ди-офантовых торов содержатся в работах Ю.Н. Бибикова [5], С. Граффа [10] и Э. Цендера [24]. Эти результаты распространяют теорему Колмогорова на случай гиперболических торов:
Теорема 2 Диофантовый инвариантный гиперболический тор невырожденной вещественно-аналитической системы Гамильтона сохраняется при малых вещественно-аналитических возмучцениях.
Рассмотрим задачу о "гиперболической надстройке" над случаем собственного вырождения частот. Предполагается, что функция Гамильтона Н(р, q, т) периодически зависит от параметра т. Пусть для каждого значения параметра система имеет периодическую гиперболическую орбиту (тор размерности один). Методами КАМ-теории доказывается теорема о существовании в расширенном фазовом пространстве неавтономной системы с гамильтонианом Н(р, q, et) (є — малая, положительная константа) двумерных инвариантных гиперболических торов. Строгая формулировка результата приведена далее. Эта теорема составляет первый основной результат диссертации.
Важной областью исследований является поведение траекторий возмущенной системы Гамильтона в окрестности резонансных торов, т.е. когда частоты соизмеримы с целочисленным вектором.
В качестве одного из первых продвижений в этом направлении можно назвать известную теорему А. Пуанкаре [17], в которой утверждается, что торы, состоящие из периодических решений, разрушаются не полностью. Некоторые из этих решений при возмущении сохраняются
и становятся невырожденными. Более сложный случай возможности существования маломерных торов (размерности два и выше) в окрестности резонансного тора был рассмотрен Д. В. Трещевым в работе [23]. В ней показано, что при определенных условиях общего положения в окрестности невозмущенного резонансного тора при каждом малом значении параметра возмущения существует инвариантный гиперболический тор размерности п — I, где п — число степеней свободы, а / — кратность резонанса.
Важно отметить, что маломерные торы имеют в фазовом пространстве нулевую меру, поэтому они невидимы при численном моделировании.
Одной из задач данной диссертационной работы является описание механизмов возникновения торов полной размерности, не являющихся стандартными КАМ-теоремами; доказательство их существования и оценка их меры в окрестности резонанса. Перейдем к описанию численного эксперимента, указывающего на существование таких торов.
Рассмотрим симплектическое отображение
(у,х)^(у+,х+), 2/ЄМ2, ЖЄТ2, (3)
у+ = у — sdV/dx, х+ = х + у+, V = V{x). (4)
Пусть потенциал V имеет вид
V = а\ cos{x\ + tp{) + а2 cos(rr2 + Р'і) + «з cos(:ri - x2 + ірз),
где <2i, й2, аз, (fii, ty?25 РЗіє — константы.
Зададим dj ~ 1, (fij ~ 1 и величину возмущения є ~ 1/10. С помощью компьютерной программы изучим проекции на плоскость R = {у} типичных траекторий рассматриваемого симплектического отображения. Отметим, что поскольку отображение (3) коммутирует со сдвигами у ь-) у + 2тгк}к Є Z2, можно перейти к фактор системе с компактным фазовым пространством R /27rZ . Другими словами, можно считать, что у — точка тора Т . Будем варьировать начальные условия и отмечать типы встречающихся картинок.
Итак, основные типы картинок следующие:
1. Как и следовало ожидать, наиболее часто встречаются проекции стандартных КАМ-торов. Они занимают все фазовое пространство за исключением множества меры порядка у/є. Мы можем наблюдать такие торы при случайно заданных начальных условиях с вероятностью 1 — С\у/є, где С\ — положительная константа. Типичные примеры проекций КАМ-торов изображены на рис. 1.
Рис. 1: КАМ-торы
Рис. 2: Хаотические траектории
-
Варьируя начальные условия, можно получить траектории с хаотической динамикой (рис. 2). Эти траектории близки к предыдущим, но имеют размытую структуру. При увеличении возмущения такие траектории полностью теряют очертания и могут заполнять значительную долю пространства действий Т2. Если є > 0 мало, то вероятность попасть в область хаоса при случайных начальных условиях не превосходит величин порядка у/є.
-
Еще один тип траекторий, который удается наблюдать — это "замкнутые ленты". Примеры таких траекторий можно видеть на рис. 3. Упоминание похожих объектов есть в классическом учебнике [3] В. И. Арнольда. В добавлении 8 Арнольд предлагает рассмотреть распад резонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного (то есть n-мерный вектор частот, где любой (п — 1)-мерный набор частот дио-фантов). Далее предлагается усреднить возмущение по (п — 1)-мерным частотам и рассмотреть полученную консервативную систему с одной степенью свободы. Частота колебаний консервативной системы будет порядка у/є. Автор говорит о возможности доказательства методами КАМ-теории существования в окрестности резонанса торов, имеющих п — 1 быструю частоту порядка 1 и одну медленную порядка у/є. В нашем исследовании мы будем руководствоваться планом, предложенным В. И.
Рис. 3: Торы в окрестности резонанса, "замкнутые ленты"
Рис. 4: Торы вокруг устойчивого периодического решения
Арнольдом. Помимо доказательства существования таких торов, мы дадим оценку на их меру в окрестности резонанса. Будет показано, что мера этого множества — вся резонансная область1 за исключением множества относительной меры порядка у/є. Значит, вероятность увидеть "замкнутую ленту" ~ у/є (область, в которой существуют рассматриваемые торы, несколько отличается от окрестности в классическом понимании этого термина, подробности см. далее).
4. Значительно реже чем стандартные КАМ-торы и "замкнутые ленты" удается наблюдать траектории, представляющие собой набор плотно заполненных "пятен" на плоскости R2 = {у}, см. рис. 4. Данный тип траекторий — инвариантные торы, расположенные около устойчивого в линейном приближении периодического решения. В нашем случае эти торы лежат в резонансной области, соответствующей резонансу кратности два. Так как мера этой области порядка є, то вероятность увидеть этот тип траекторий не превосходит С^є для некоторой положительной
хмера этой области для каждого типичного резонанса кратности один ~ у/є и быстро убывает с ростом порядка резонанса
константы С\.
Вторым основным результатом диссертации является КАМ-теорема, показывающая существование в окрестности резонанса торов из п.З и дающая оценки на меру таких торов в окрестности резонанса. Так как одна частота получаемых торов мала вместе с возмущением, то КАМ-теорема относится классу задач о системах с собственным вырождением частот.
Цель работы. Целью диссертации является исследование вопросов существования инвариантных гиперболических торов у систем Гамильтона с медленно меняющимся параметром. Также целью работы является теоретическое обоснование (формулировка и доказательство соответствующей КАМ-теоремы) результатов численных эксериментов, описанных выше и изучение поведения систем Гамильтона в окрестности резонанса.
Основные результаты. Основными результатами диссертации являются две КАМ-теоремы (строгие формулировки см. далее):
-
Теорема о сохранении двумерных гиперболических торов в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром.
-
Теорема о существовании у систем Гамильтона в окрестности резонанса кратности один торов полной размерности и об оценке меры таких торов.
Научная новизна и достоверность результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. В работе присутствуют полные и строгие доказательства. Второй результат подтверждается численными экспериментами.
Методы исследования. Основные теоремы диссертации доказываются методами КАМ-теории.
Теоретическая и практическая научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении траекторий движения механических и физических систем, в задачах теории возмущений, в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В.Ломоносова, Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН, Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН, Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ, на кон-
ференции "ЛОМОНОСОВ-2013", на международной конференции по математической теории управления и механике (в г. Суздаль) в 2013 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в одной статье (в рецензируемом журнале), а также в виде тезисов докладов на двух международных конференциях. Одна статья принята к публикации в рецензируемом журнале и будет опубликована в начале 2014 года. Ссылки приведены в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 45 наименований. Объем диссертации 124 страницы.
