Содержание к диссертации
Введение
1 Бифуркации собственных значений 36
1.1 Возмущение простого собственного значения 36
1.2 Бифуркация кратного собственного значения с одной цепочкой Жордана 40
1.3 Сильное взаимодействие собственных значений
1.3.1 Вещественное собственное значение Ао 49
1.3.2 Комплексное собственное значение До
1.4 Бифуркация полупростого собственного значения 56
1.5 Слабое взаимодействие собственных значений
1.5.1 Вещественное собственное значение А0 60
1.5.2 Комплексное собственное значение А0
1.6 Факторизация семейства характеристических полиномов 70
1.7 Метод теории версальных деформаций 73
1.8 Вычисление кратных собственных значений и цепочек Жордана
1.8.1 Линеаризация функций версальной деформации 82
1.8.2 Метод Ньютона 86 Оглавление З
1.8.3 Примеры 89
1.8.4 Связь с производными собственных значений 92
2 Особенности границ областей устойчивости автономных систем 94
2.1 Линейные системы общего вида, зависящие от параметров 95
2.2 Регулярная часть границы области устойчивости 97
2.3 Особенности коразмерности 2 99
2.4 Особенности коразмерности 3 102
2.5 Особенность "тупик на ребре" в парадоксе Циглера 108
2.6 Особенности высокой коразмерности 112
3 Границы областей устойчивости консервативных систем 118
3.1 Колебательные механические системы с потенциальными силами 119
3.1.1 Чувствительность простых и кратных частот колебаний 120
3.1.2 Область устойчивости и ее граница 122
3.1.3 Особенности границы области устойчивости
3.2 Особенность бимодальной критической силы потери устойчивости 130
3.3 Бимодальные бифуркации положений равновесия в потенциальных системах
3.3.1 Системы с двумя симметриями 136
3.3.2 Перестройки бимодальных бифуркаций 139
3.3.3 Бимодальная бифуркация составного упругого стержня 142
3.4 Линейные гамильтоновы системы 145
3.4.1 Бифуркации собственных значений гамильтоновой матрицы 148
3.4.2 Версальные деформации гамильтоновых матриц 154
3.4.3 Область устойчивости и ее граница 158
3.4.4 Особенности границы области устойчивости 160
3.4.5 Анализ особых точек на границе области устойчивости: углы и конусы 164
3.4.6 Анализ особых точек на границе области устойчивости: точки возврата и трехгранные шпили 168
3.5 Механические примеры 175
3.5.1 Упругая шарпирно опертая труба, проводящая жидкость
3.5.2 Гироскопическая стабилизация статически неустойчивой вращающейся системы 178
Многопараметрическая теория параметрического резонанса 186
4.1 Бифуркации мультипликаторов 187
4.1.1 Анализ чувствительности простых мультипликаторов 189
4.1.2 Двукратный мультипликатор с одним собственным вектором 190
4.1.3 Трехкратный мультипликатор с одним собственным вектором 191
4.1.4 Полупростой двукратный мультипликатор 193
4.2 Граница области устойчивости периодической системы 193
4.2.1 Особенности границы области устойчивости 196
4.2.2 Количественный анализ особенностей
4.3 Устойчивость составной трубы, проводящей пульсирующую жидкость 209
4.4 Параметрический резонанс в колебательных системах с демпфировапием2 4.4.1 Поведение простых мультипликаторов 217
4.4.2 Локальная аппроксимация области устойчивости 219
4.4.3 Параметрическое возбуждение с симметрической матрицей 222
4.4.4 Матрица параметрического возбуждения вида В(Ш) = р(Ш)В0 225
4.4.5 Влияние диссипации на области резонанса 226
4.5 Неконсервативные системы при малом параметрическом возбуждении 230
4.5.1 Аппроксимация области устойчивости в регулярном случае 233
4.5.2 Анализ области устойчивости в резонансном случае 236
Параметрический резонанс в механических системах 245
5.1 Балка под действием периодических моментов (задача В.В. Болотина) 245
5.2 Стержень переменного сечения, нагруженный периодической продольной силой 248
5.3 Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса
5.3.1 Задача оптимизации 253
5.3.2 Метод оптимизации 254
5.3.3 Оптимальные формы стержня 2 5.4 Эксперименты 263
5.5 Устойчивость трубы, проводящей пульсирующую жидкость 267
5.5.1 Метод Галеркина 268
Оглавление 5
5.5.2 Поток с постоянной скоростью 269
5.5.3 Граница области устойчивости в регулярном случае 270
5.5.4 Резонансный режим пульсаций 271
5.5.5 Диаграммы устойчивости на плоскости амплитуда - частота 273
- Бифуркация полупростого собственного значения
- Особенности коразмерности
- Бимодальная бифуркация составного упругого стержня
- Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию многопараметрических методов теории устойчивости с приложениями к задачам механики. Всякая физическая система содержит параметры, и основной целью настоящей диссертации является исследование того, как устойчивое положение равновесия или стационарное движение становится неустойчивым, или наоборот, при изменении многих параметров. В многопараметрических задачах устойчивости пространство параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости для конкретного положения равновесия или стационарного режима. Таким образом, актуальным является анализ границы между этими областями - границы области устойчивости.
Как известно, граница области устойчивости состоит из гладких поверхностей, но может иметь разного рода особенности. Классификация типичных особенностей границы области устойчивости для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от двух или трех параметров, была проведена В.И.Арнольдом (1972). Возникновение особенностей на границах областей устойчивости во многих случаях связано с недифференцируемым поведением собственных значений в зависимости от параметров в окрестности точек кратности. В прикладном аспекте актуально перенести качественные результаты теории особенностей и катастроф в пространство параметров задачи, тем самым сделав эту теорию также количественной, то есть конструктивной и практичной.
В связи с этим возникает ряд общих актуальных вопро-
сов. Каковы законы движения собственных значений на комплексной плоскости при изменении параметров задачи? Каковы соотношения между собственными значениями и свойствами границы области устойчивости в пространстве параметров? Каковы особенности поведения механических систем со свойствами симметрии, таких как гироскопические и консервативные системы? Как устроена граница области устойчивости в случае периодических систем и как исследовать ее особенности? Какие механические эффекты связаны с возникновением особенностей на границах областей устойчивости?
Именно этим вопросам и задачам посвящена диссертация. В ней развиты аналитические и численные методы, позволяющие конструктивно проводить многопараметрический анализ области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. Описываются свойства и структура областей устойчивости и их границ для систем различного вида: консервативных и неконсервативных, автономных и периодических. Решается ряд конкретных задач об устойчивости и параметрическом резонансе механических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дается новое объяснение ряду механических эффектов и парадоксов в терминах теории особенностей и катастроф. Наконец, приводятся результаты экспериментов по параметрическому резонансу, подтверждающие эффективность разработанных методик.
Целью диссертации является создание аналитических и численных методов многопараметрического анализа границ областей устойчивости для консервативных и неконсервативных, автономных и периодических динамических си-
стем, описание механических эффектов, связанных с особенностями границ областей устойчивости, решение задач об устойчивости и параметрическом резонансе для конкретных механических систем, а также экспериментальное подтверждение полученных результатов.
Основные результаты и их научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Развиты аналитические и численные методы анализа бифуркаций кратных собственных значений матриц, зависящих от многих параметров. Разработан метод численного определения кратных собственных значений с жордановыми клетками в многопараметрических семействах матриц.
Получены асимптотические выражения, локально описывающие область устойчивости в окрестности регулярных и особых точек границы для механических систем различного типа: неконсервативных, потенциальных, гамильтоновых и периодических. Дана классификация особенностей границ областей устойчивости для потенциальных, гамильтоновых и периодических систем.
Дана классификация и проведен количественный анализ бимодальных бифуркаций для симметричных консервативных систем.
Получены новые асимптотические формулы для областей параметрического резонанса для систем с большим числом степеней свободы, зависящих от трех парамет-
ров: параметра диссипативных сил, амплитуды и частоты параметрического возбуждения.
Проведен общий многопараметрический анализ устойчивости при резонансе между критической частотой флаттера автономной неконсервативной системы и частотой параметрического возбуждения.
Показано, что парадокс дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокс Циглера) связан с особенностью типа "тупик на ребре" на границе области устойчивости.
Выявлена связь бимодальных решений в оптимизации упругих конструкций по критерию устойчивости с конической особенностью на границе области устойчивости. Показано, что симметричная упругая конструкция может терять устойчивость по асимметричной форме в бимодальной точке.
Решены задачи об устойчивости механических систем, в которых ключевую роль играют особенности на границе области устойчивости. К ним относятся задача о гироскопической стабилизации вращающейся системы упруго сочлененных тел, задача В.В.Болотина о комбинационном резонансе изгибно-крутильных колебаний балки под действием периодических моментов, задача о параметрическом резонансе и оптимизации балок переменного сечения под действием периодических осевых нагрузок, задача о резонансе упругой консольной трубы, проводящей пульсирующую жидкость.
Проведены экспериментальные исследования параметрического резонанса балок постоянного и переменного сечения.
Методы исследования. В диссертации используются методы возмущений кратных собственных значений, развитые М.И. Вишиком, Л.А. Люстерником (1960) и В.Б. Лид-ским (1966), и способ их применения в многопараметрическом случае, предложенный А.П. Сейраняном (1990), качественные методы теории версальных деформаций, разработанные В.И. Арнольдом (1971). Развиваются конструктивные аналитические и численные методы теории бифуркаций кратных собственных значений, теории версальных деформаций, а также методы определения и аппроксимации особенностей на границах областей устойчивости.
Достоверность. Результаты диссертации строго математически и физически обоснованы. Исследования по параметрическому резонансу получили экспериментальное подтверждение.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть применены при проектировании и оптимизации широкого класса механических и физических систем, подверженных явлениям статической и динамической неустойчивости и параметрического резонанса, например, летательных аппаратов, изделий машиностроения, строительных сооружений, электрических сетей и т.д. Результаты диссертации вошли в спецкурс кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ и монографию по многопараметрической теории устойчивости с приложениями в механике.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на всероссийских и международных конгрессах, конференциях и симпозиумах: Международных конгрессах по структурной и междисциплинарной оптимизации (Буффало, США, 1999; Сеул, Корея, 2007), Всероссийской конференции с международным участием "Проблемы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1997), Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997; Иркутск, 2007), Международных математических конгрессах (Берлин, 1998; Пекин, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998), Симпозиуме AIAA/USAF/NASA/ISSMO по междисциплинарному анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998), Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1999), Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), Всероссийской конференции, посвященной 40-летию со дня основания кафедры "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2000), Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000 и 2006), Европейских математических конгрессах (Барселона, 2000; Стокгольм, 2004), Международных конгрессах ГОТАМ по теоретической и прикладной механике (Чикаго, 2000; Варшава, 2004), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И.Г.Петровскому (Москва, 2001), Конференции MIT по вычислительной механике жидкости и твердого тела (Кембридж., США, 2001), Международной школе
по динамическим и управляемым системам (Суздаль, 2001), Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2002; Нижний Новгород, 2006), Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2002), Летней школе "Современные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 2002), Международных научных конференциях по механике "Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2003 и 2006 - пленарный доклад), Международных конференциях "Физика и управление" (Санкт-Петербург, 2003 и 2005; Потсдам, Германия, 2007), VI Международном конгрессе по вычислительной механике (Пекин, 2004), Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 2004), Международной конференции по несамосопряженным гамильтонианам в физике (Стамбул, 2005 -пленарный доклад), Конференции EUROMECH по нелинейной динамике (Эйндховен, Нидерланды, 2005).
Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте проблем механики РАН, Московском физико-техническом институте, Институте вычислительной математики РАН, Саратовском государственном университете. А также за рубежом в Датском техническом университете, Политехническом университете Каталонии (Испания), Университете префектуры г.Осака, Университете г.Цукуба, Университете г.Саппоро (Япония) , Даляньском техническом университете (Китай) и в Мас-сачусетском технологическом институте (США).
Работа [10] была отмечена второй премией Всероссийского конкурса молодых ученых по механике и процессам управления, посвященного 100-летию А.И. Лурье (2001г.), работа
[12] получила премию издательства "Elsevier" за лучшую статью, опубликованную в журнале "Прикладная математика и механика" (2002г.), а работа [29] - премию Европейского общества по механике (EUROMECH) за лучшую работу молодого ученого на Международной конференции по нелинейной динамике (2005г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в монографии (издательство World Scientific) и 30 статьях (из них 25 - в отечественных и иностранных журналах, рекомендованных ВАК РФ).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 296 страниц. Она содержит 81 рисунок и 4 таблицы. Список литературы включает 265 наименований.
Бифуркация полупростого собственного значения
Методы теории версальных деформаций
Анализ спектра конечномерной системы предполагает нахождение жордановой формы матричного оператора системы. Как известно, приведение к форме Жордана -численно неустойчивая операция, так как кратные собственные значения пропадают при сколь угодно малом возмущении матрицы. Численные методы приведения матрицы к нетривиальной форме Жордана разрабатывались в работах [52, 144, 154, 170, 171]. Анализ численной неустойчивости кратных собственных значений привел к введению понятия псевдоспектра, отражающего область возможного расположения спектра при неточном задании матрицы или линейного оператора, см. книгу С.К.Годунова [28]. Задача определения кратных собственных значений существенно осложняется, если вместо отдельной матрицы рассматривается многопараметрическое семейство матриц.
С целью регуляризации процедуры приведения матрицы к жордановой форме В.И. Арнольдом [5] было введено понятие версальной деформации матрицы. Вер-сальная деформация отвечает наиболее общему и одновременно простому виду семейства матриц, которое локально индуцирует любое другое семейство матриц (с такой же матрицей в начальной точке) при замене параметров и замене базиса, гладко зависящего от параметров. Основной областью приложения версальных деформаций в работах В.И.Арнольда [6] явилась классификация типичных особенностей бифуркационных и декремент-диаграмм, а также особенностей границ областей устойчивости линейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Версальные деформации были найдены для различных типов матриц: вещественных [23], гамильтоновых [24], обратимых [92], а также пучков матриц [147] (см. также [30, 93]). До последнего времени область приложения теории версальных деформаций ограничивалась качественным анализом и классификацией особенностей в многопараметрических семействах матриц. Попытки конструктивно решить проблему приведения к версальной деформации (т.е. локальной нормальной форме) предпринимались в работах Д. Шмидта [226, 227] для семейств малой размерности или семейств, имеющих специфическую жорданову структуру. Дж.В.Бурке и М.Л. Овертоном [138] частично были найдены первые производные функций замены параметров, приводящей семейство действительных матриц к версальной деформации.
Результаты автора. В [63, 192, 193] были разработаны общие конструктивные методы приведения семейств матриц в версальным деформациям. Эти методы позволяют находить преобразование параметров и замену базиса в виде рядов Тейлора, где коэффициенты рядов определяются из явной рекуррентной процедуры. Аналогичные результаты для пучков матриц, описывающих системы управления, были получены в работе [151] (в диссертацию не вошли). Заметим, что теория версальпых деформаций является аналогом подготовительной теоремы Вейерштрасса в приложении к полипомам [260]. Согласно этой теореме полином с коэффициентами, аналитически зависящими от параметров, может быть локально факторизован в соответствие с кратностями его корней в начальной точке пространства параметров. Конструктивная процедура, позволяющая находить такую факторизацию із явном виде, предложена в [32]. В этой работе С.С. Григоряном было выдвинуто предложение о переносе результата со случая полиномов на случай голоморфных функций.
Разработанные методы приведения к версальным деформациям позволили решить численную проблему определения кратных собственных значений для матриц, зависящих от параметров [67, 196]. Тем самым найдено решение проблемы численной неустойчивости в приведешш матрицы к форме Жордана, которая мотивировала возникновении теории версальных деформаций. Численная процедура определения кратных собственных значений с цепочкой Жордана была реализована на ЭВМ в пакете MATLAB. Предложенная численная процедура является первым конструктивным методом, позволяющим численно решить проблему Дж.Х.Вилкинсона [261, 262] о нахождении ближайшей матрицы с кратным собственным значением.
Основным приложением разработанных методов приведения к версальным деформациям является количественный анализ бифуркационных диаграмм и особенностей на границах областей устойчивости.
Границы областей устойчивости и их особенности
Целью анализа устойчивости многопараметрической системы является определение области устойчивости некоторого стационарного (или нестационарного) режима в пространстве параметров. Эта задача решается путем построения границы области устойчивости. Из простейших примеров видно, что граница области устойчивости
Введение. может иметь особенности. Например, область асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения х + ах + Ьх — 0 в пространстве параметров (а, Ъ) имеет вид а О, Ь 0 с угловой особенностью в начале координат. Ответ на вопрос, какие особенности могут возникать на границе области устойчивости, был дан В.И.Арнольдом [6, 10]. Им были выделены характерные особенности в случае линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависящих от двух или трех параметров. С этой целью использовались понятие случая общего положения и теория версальных деформаций матриц [5]. Результаты В.И.Арнольда развивались в работах Л.В.Левантовского [56, 57, 58]. В [58] был рассмотрен случай четырех параметров, т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости. В работах [56, 57] исследовались особенности границ областей устойчивости в пространстве элементов действительных матриц и коэффициентов характеристических полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.
Перечисленные выше результаты В.И.Арнольда и Л.В.Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают, как определить геометрию особенностей в пространстве параметров при исследовании конкретных систем.
Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = Ах), зависящих от двух параметров, изучались А.П.Сейраняном [101]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа "излом границы" и "точка возврата". Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности. Случай циркуляционных систем, зависящих от трех или более параметров, исследовался із работе [232].
Особенности коразмерности
Легко показать, что этим собственным значениям соответствует один собственный вектор. На самом деле, предположим, что собственные значения (1.125) полупростые. Тогда при Лрі = Apt величина Х± является полупростым собственным значением матрицы (1.108). В этом случае матрица (1.108) принимает вид и, следовательно, ф = 0. Но это противоречит предположению, что ф 0. Таким образом, поведение собственных значений в окрестности точек (1.123) следует сценарию сильного взаимодействия, описанному в 1.3.
Случай г" (/іц 0, ф 0). Система (1.121) определяет эллипс на плоскости (Арі, X), а система (1.122) определяет две гиперболы на плоскости (Арі, Y), рис. 1.10. Гиперболы и эллипс имеют две общие точки (1.123), в которых в результате сильного взаимодействия возникают двукратные вещественные собственные значения (1.125). Таким образом, при монотонном изменении Арі два комплексно сопряженных значения сближаются, сталкиваются при Ар = 8 — у/—ф/Ііц в точке сильного взаимодействия, становятся вещественными, снова сталкиваются при Apt — 8 + у/—ф/кц, становятся комплексно сопряженными и расходятся, рис. 1.11. В этом случае уравнение (1.124) определяет гиперболы на комплексной плоскости. Поведение собственных значений в трехмерном пространстве (Re Л, ІтЛ,рі) показано на рис. 1.12. Оно описывается малым эллиптическим пузырьком, возникающим в плоскости Im Л = 0, перпендикулярной к основной плоскости взаимодействия.
Случай г" (/ІЦ 0, ф 0). Система (1.121) не имеет решений, а система (1.122) определяет две гиперболы на плоскости (Дрі,У), симметричные относительно оси
Лрі, рис. 1.10. Два комплексно сопряженных значения сближаются и затем расходятся с увеличением Дрі, двукратное собственное значение при этом не возникает, рис. 1.11. Заметим, что гиперболы (1.124) в случаях г" и т"_ возникают в смежных парах вертикальных углов.
Как было показано выше, при вариации параметров Ар2,, Арп изменение картины слабого взаимодействия происходит двумя способами: либо двукратное полупростое собственное значение Ло пропадает, а простые собственные значения двигаются вдоль гипербол при изменении Арі, либо Л0 распадается на два двукратных собственных значения с одним собственным вектором, что приводит к двум последовательным сильным взаимодействиям с возникновением малого пузырька в пространстве (Re Л, Im Л, pi).
Наконец, рассмотрим комплексное собственное значение Л0. В этом случае собственные векторы Ui, u2, vi, v2 и коэффициенты fjl, gj, hjk являются комплексными. Глава 1. Бифуркации собственных значений Рис. 1.13: Значения функции z(Api) при монотонном изменении Арі Если Ар2 = Арп О, то из выражений (1.110) следует X + iY = {gi±jhn)APu (1.128) где gi и hn - комплексные величины. При изменении Арі два собственных значения (1.107) пересекаются в точке Ло на комплексной плоскости, рис. 1.8 (с). Предполагая, что приращения Ар2, Арп малы и фиксированы, из (1.110) получим X + ІУ = a + grAVl ± лД \/(Лрі - б)2 + ф/ІіП} (1.129) где a, 5, ф - малые комплексные числа, определенные выражениями (1.120). Выражение под знаком корня z = (Лрх - 5)2 + ф/hn (1.130) определяет параболу на комплексной плоскости с неявным параметром Арі, рис. 1.13 (в случае Ira5 = 0 парабола вырождается в луч). Вычисляя точки пересечения параболы с мнимой осью zi и 22, найдем т; = Zlz2 = 4(Im 5)4 - 4(Im 5)2Re - - (Im - -) Є Ш. (1.131)
Заметим, что ось параболы ортогональна мнимой оси. Предположим, что выполняется условие невырожденности т] ф 0. Тогда z О при любых Арі и, следовательно, два значения X + iY, определяемые выражением (1.129), различны. Это означает, что собственные значения (1.107) являются простыми при любых Арі.
Если г] 0, то два чисто мнимых значения zx и z2 лежат по разные стороны от начала координат. В этом случае z делает полный оборот вокруг начала координат при изменении Ар\. Это означает, что собственные значения (1.107) сближаются и затем расходятся, сохраняя первоначальные направления движения, как показано
Слабое взаимодействие собственных значений при малых Арг, ДРп па рис. 1.14 (с+). Если г/ 0, то начало координат лежит вне параболы (это условие верно и в случае, если парабола не пересекает мнимую ось). В результате собственные значения (1.107) сближаются и затем расходятся, обмениваясь направлениями движения, как показано на рис. 1.14 (с__).
Как следует из проведенного анализа, комплексное двукратное полупростое собственное значение пропадает при вариации параметров Арг, Ар»г- Картина слабого взаимодействия при этом изменяется двумя способами: с изменением Арі от отрицательным к положительным значениям собственные значения следуют первоначальным направлениям движения либо обмениваются ими после прохождения окрестности точки Ло Пример
Рассмотрим линейную консервативную систему вида Mq + Pq = 0, (1.132) где q Є Шт - вектор обобщенных координат; М и Р - симметрические положительно определенные вещественные матрицы размерности т х га, гладко зависящие от вектора двух вещественных параметров р = (рі,рг)- Отыскивая решение системы в виде q = uexp(zwt), получим задачу на собственные значения Pu = w2Mu, где и О - частота, а и - форма колебаний. Обозначая А = М Р, Л = ш2, (1.133) (1.134) Глава 1. Бифуркации собственных значении запишем уравнение (1.133) в стандартной форме (1.1). Рассмотрим точку ро в пространстве параметров, где матрица А0 = Mj Po имеет двукратное собственное значение \Q — UIQ. Так как матрицы М0 и Ро симметрические, кратные собственные значения Ло всегда полупростые. Пусть Ui и U2 — правые собственные векторы, отвечающие собственному значению Ло- Легко видеть, что левые собственные векторы матрицы А0 равны v2 = M0ui, v2 = M0u2- (1.135) В этом случае условия нормировки (1.89) принимают вид upVloUi = U2M0U2 = 1, u M0u2 = u M0ui = 0. (1.136) Используя выражения (1.134), (1.135) в формуле (1.109), получим где fj2 = fjl из-за симметричности матриц M и P. Используя выражения (1.111), найдем f 11 1 f22 /fll _ f22\2 9l = A_, fen=Ul /l) + (Д12)2 o. (1.138) Предполагая, что /іц 0, бифуркация двукратного собственного значения Л0 описывается выражением (1.117) в случае Ар2 = 0. Эта бифуркация имеет тип г : XQ распадается на два вещественных собственных значения при ненулевых Дрі, рис. 1.8. Полученный результат согласуется с общей теорией, согласно которой все частоты рассматриваемой системы должны быть вещественны.
Бимодальная бифуркация составного упругого стержня
Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений х = Ах, (2.1) где х - вектор фазовых переменных размерности m; А - произвольная вещественная матрица размерности тхт; точка обозначает производную по времени t. Отыскивая решение уравнения (2.1) в виде х() = иехрА, придем к задаче на собственные значения Au = Ли, (2.2) где Л - собственное значение, и - собственный вектор. Матрица А имеет т собственных значений Ai,...,Am с учетом кратности, которые определяются из характеристического уравнения det(A — AI) = 0.
Как известно, тривиальное решение х = 0 системы (2.1) устойчиво, если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные или нулевые вещественные части Re А 0, причем нулевое и все чисто мнимые собственные значения должны быть простыми или полупростыми. Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы все собственные значения матрицы А имели отрицательные вещественные части Re А 0. Наконец, неустойчивость определяется существованием собственных значений с положительной вещественной частью Re А 0 или собственных значений с нулевой вещественной частью Re А = 0, не являющихся простыми или полупростыми (имеется цепочка Жордана).
Уравнения вида (2.1) могут рассматриваться как линеаризация нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений около стационарного решения. По теореме Ляпунова стационарное решение нелинейной системы асимптотически устойчиво, если таковым является тривиальное решение линейной системы. Если же линейной системе отвечает собственное значение с положительной вещественной частью, то стационарное решение нелинейной системы неустойчиво. В особом случае Ляпунова, когда Re А 0 для всех собственных значений матрицы А и имеются
Глава 2. Особенности границ областей устойчивости автономных систем 96
собственные значения на мнимой оси Re Л = 0, устойчивость нелинейной системы определяется нелинейными членами. В многопараметрических системах общего вида особый случай Ляпунова отвечает границе области устойчивости.
Предположим, что матрица системы А гладко зависит от вектора вещественных параметров р = (pi, Рп) (семейство матриц). Множество значений вектора параметров, таких что система (2.1) асимптотически устойчива (Re Л 0 для всех собственных значений) называется областью устойчивости. Определим область неустойчивости как множество значений вектора параметров р, таких что система (2.1) неустойчива. Граница области устойчивости отвечает значениям вектора параметров р, при которых матрица А(р) имеет собственные значения на мнимой оси Re Л = 0, причем другие собственные значения лежат в левой полуплоскости Re Л 0.
Целью многопараметрического анализа устойчивости системы (2.1) является построение области устойчивости в пространстве параметров, что, очевидно, требует определения границы области устойчивости. Простейшие примеры указывают на то, что граница области устойчивости является поверхностью с особенностями. Особенности - это негладкие точки границы, простейшие из которых образуют углы и ребра. Особенности отражаются на физических свойствах описываемой системы, а также приводят к трудностям при численном анализе границы области устойчивости.
Точки границы области устойчивости различаются числом и жордановой структурой собственных значений, лежащих на мнимой оси. Несмотря на большое разнообразие типов граничных точек, только некоторые из них являются характерными, т.е. типично возникают при анализе конкретных систем. Такие типы граничных точек относятся к классу структурно устойчивых. Это означает, что точка границы области устойчивости, относящаяся к структурно устойчивому типу, не пропадает при произвольном (но достаточно малом) возмущении семейства матриц А(р) + ЯВ(р). Она лишь подвержена малому сдвигу в пространстве параметров. Ситуация, когда все точки границы структурно устойчивы, называется случаем общего положения [8]. Напротив, точки структурно неустойчивых типов могут исчезнуть при сколь угодно малой вариации семейства матриц.
Точки границы области устойчивости определенного тина в случае общего положения образуют гладкие поверхности коразмерности d (размерности п — d). Если число параметров в системе меньше чем d, то точки рассматриваемого типа обычно
Особенности границ областей устойчивости автономных систем 97 не возникают на границе области устойчивости (они пропадают при сколь угодно малом шевелении семейства матриц). Если же число параметров равно d, то точки данного типа являются изолированными. Наконец, если число параметров больше чем d, то такие точки образуют гладкие поверхности коразмерности d (размерности п — d). Коразмерности различных точек границы области устойчивости были определены в [5, 8] с использованием теории версальных деформаций. Эти коразмерности зависят только от числа собственных значений на мнимой оси и их жордановой структуры.
Введем следующие обозначения для различных типов граничных точек. Будем обозначать жорданову структуру собственного значения, лежащего на мнимой оси, через символьное произведение детерминантов его жордановых клеток. Так, например, О2 обозначает двукратное собственное значение Л = 0 с одной жордановой клеткой размерности 2 (с одним собственным вектором); 00 обозначает иолу простое двукратное собственное значение Л = 0 (две жордановы клетки размерности 1). Что касается примеров более сложных типов, то 02(±го;) отвечает точкам р, где матрица А(р) имеет двукратное нулевое собственное значение с цепочкой Жордана длины 2 и комплексно сопряженную пару простых собственных значений Л = ±іш; (±za i)(±za;2) соответствует матрицам, имеющим две различные пары простых комплексно сопряженных собственных значений на мнимой оси.
Ниже дан полный список типов точек на границе области устойчивости, имеющих коразмерности 1, 2 и 3 [8]: cod 1 : 0, ±га ; cod2: О2, 0(±го/), (±iwi)(±io72); (2.3) cod3: О3, (±iu)2, 02(±гиО, 0(±zcji)(±iw2), {±icox){±iu;2)(±iuj3). Число различных типов растет с коразмерностью. В то лее время, чем выше коразмерность, тем реже можно встретить точку такого типа в конкретном семействе матриц и тем большее число параметров требуется для ее структурной устойчивости.
Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса
Рассмотрим линейную гамильтонову систему (3.101) с матрицей А(р), гладко зависящей от вектора вещественных параметров р. Область устойчивости определяется как множество значений вектора параметров р, таких что соответствующая система (3.101) устойчива. Напомним, что устойчивость линейной гамильтоновой системы не является асимптотической: все собственные значения гамильтоновой матрицы JA устойчивой системы простые или полупростые и лежат на мнимой оси.
Во внутренних точках области устойчивости все собственные значения гамильтоновой матрицы JA(p) простые и чисто мнимые. Простые чисто мнимые собственные значения не могут сойти с мнимой оси. Потеря устойчивости может произойти только при наличии кратного чисто мнимого или нулевого собственного значения.
Рассмотрим точку р0 в пространстве параметров, такую что матрица JAo имеет двукратное собственное значение До = 0 с цепочкой Жордана длины 2, причем другие собственные значения простые и чисто мнимые. Будем говорить, что такие
Граница области устойчивости и ее вектор нормали: а) дивергенция, Ь) флаттер. точки относятся к типу О2. Бифуркация двукратного Л0 = 0 определяет устойчивость и неустойчивость системы в окрестности ро- При возмущении вектора параметров вида р = ро + ее бифуркация Ло = 0 описывается формулами (3.129)-(3.131). Так как Др = р — Ро = ее, имеем \ = ±ЖЩ + о(е"2). (3.163) Система устойчива при .малых є, если два собственных значения (3.163) простые и чисто мнимые. Последнее определяется условием (f, Др) 0. (3.164) Неравенство (3.164) дает аппроксимацию первого порядка для области устойчивости. Граница области устойчивости является гладкой поверхностью в окрестности точки Ро с касательной плоскостью где і - вектор нормали к границе области устойчивости в точке ро, направленный в сторону области неустойчивости, рис. 3.13а. Выражение (3.163) описывает изменение собственных значений, когда р переходит из области устойчивости в область неустойчивости. При этом два чисто мнимых собственных значения ztiui сближаются, сталкиваются в нуле (сильное взаимодействие) и становятся вещественными ±а, рис. 3.14а. Этот механизм потери устойчивости называется дивергенцией.
Рассмотрим точку ро типа (±іш)2, такую что гамильтонова матрица JAo имеет пару двукратных собственных значений ±ги, которым отвечают цепочки Жор-дана длины 2, а другие собственные значения простые и чисто мнимые. Согласно формулам (3.127), (3.129) бифуркация двукратных собственных значений ±іш при возмущении вектора параметров р = р0 + ее описывается выражением Л = ±iu ± x/(f, Лр) + о(є1/2), (3.166) где компоненты вещественного вектора f определяются выражением (3.130) для двукратного собственного значения Х0 = іш. Система устойчива при малых є, если все четыре собственных значения (3.166) чисто мнимые. Это условие дает аппроксимацию первого порядка (3.164) для области устойчивости. Граница области устойчивости является гладкой поверхностью с касательной плоскостью (3.165), где f - вектор нормали к границе в точке р0, направленный в сторону области неустойчивости, рис. 3.13b. Поведение собственных значений при потере устойчивости показано на рис. 3.14Ь: две пары чисто мнимых собственных значений ±гш\ и ±iu 2 сливаются (сильное взаимодействие) и превращаются в комплексную четверку ±а ± гш. Этот механизм потери устойчивости называется флаттером.
Точки типа О2 и (±ги)2 определяют регулярную часть границы области устойчивости. Таким образом, регулярная часть границы состоит из гладких поверхностей, отвечающих дивергенции и флаттеру.
Будем обозначать тип точки на границе области устойчивости через произведение кратных собственных значений со степенями, равными величине соответствующих жордановых клеток. Например, О4 отвечает точке р, в которой матрица JA(p) имеет собственное значение Л = 0 кратности 4 с одной жордановой клеткой, а (±га )(±га ) отвечает точке р, в которой имеется пара полупростых двукратных собственных значений Л = ±гш (предполагается, что другие собственные значения простые и чисто мнимые). Регулярная часть границы области устойчивости состоит из точек типа О2 и (ztiui)2. Типы, отличные от О2 и (±г о )2, определяют точки, в которых граница не гладкая, т.е. имеет особенности. Коразмерность множества точек каждого конкретного типа и геометрия особенности на границе области устойчивости могут быть определены с помощью теории версальных деформаций, описанной выше.
Рассмотрим особенность О4. Устойчивость гамильтоновой системы в окрестности точки ро типа О4 определяется бифуркацией четырехкратного собственного значения А0 = 0. Используя нормальную форму гамильтониана (3.161), найдем матрицу, описывающую бифуркацию Ао = 0, в виде где q(p) = ( Zi(p),92(p)) гладкая функция, такая что q(po) = 0; знак константы a зависит от матрицы JA0. Собственные значения матрицы (3.167) равны А = ±ycrqi ± y/2aq2 (3.168) Если gi = g2 = 0, то бифуркации не происходит (А0 = 0 остается собственным значением кратности 4). В случае общего положения якобиан отображения Q — ( 7I(P)J 72(P)) имеет максимальный ранг. Следовательно, множество точек типа О 1 является гладкой поверхностью коразмерности 2 в пространстве параметров. В окрестности ро система устойчива, если
При выполнении условий (3.169) все четыре собственных значения (3.168) являются чисто мнимыми и простыми. Область устойчивости (3.169) на плоскости (ді,дг) показана на рис. 3.15 для о = 1. Граница области устойчивости имеет особенность типа точки возврата, в которой касаются кривые типа О2 и (±ги )2. Следовательно,
