Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель задачи 17
1.1. Орбитальный двухчастотный резонанс в задаче трёх тел 18
1.2. Диссипация рэлеевского типа 22
1.3. Случай вырождения резонанса 24
1.4. Уравнения задачи 27
Глава 2. Аналитическое решение 30
2.1. Эволюционные уравнения задачи (исключение короткопериодических слагаемых) 30
2.2. Канонические преобразования 32
2.3. Решения в функциях Вейерштрасса 35
2.4. Аналитические выражения для элементов орбит 39
2.5. Решения в случае вырождения резонанса .41
2.6. Сопоставление с результатами численного интегрирования 55
Глава 3. Качественные исследования 57
3.1. Стационарные решения и их устойчивость 58
3.2. Классификация типов решений .62
3.3. Оценка вероятностей «захватов и уходов» из орбитальных резонансов 65
3.4. Параметры стохастического слоя (критерии возникновения динамического хаоса) .67
3.5. Вариации элементов орбит 80
Глава 4. Моделирование динамической эволюции избранных экзопланетных систем 89
4.1. Статистические распределения .99
4.2. Интегральные постоянные 105
4.3. Прогностические сценарии эволюции 113
4.4. Эволюционные характеристики элементов орбит .120
4.5. Сопоставление с планетами Солнечной системы .127
Заключение 130
Литература
- Диссипация рэлеевского типа
- Решения в функциях Вейерштрасса
- Классификация типов решений
- Прогностические сценарии эволюции
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время активно реализуются проекты по поиску экзопланетных систем. В связи с этим представляет интерес критический анализ интерпретации результатов поисковых исследований, построение корректных статистических распределений экзопланетных систем с учетом эффектов селекции и обоснованной редукции вычисляемых орбитальных параметров, а также построение прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем, что будет способствовать более глубокому пониманию происхождения и эволюции Солнечной системы, разрешению проблемы ее уникальности.
Актуальность исследуемой темы обусловлена и фундаментальностью
проблемы теоретической астрономии, состоящей в интерпретации
происхождения, эволюции динамических (в том числе, экзопланетных) систем, а также в определении роли (распространенности) орбитальных резонансных эффектов в формировании и эволюции экзопланетных систем.
Исследованию динамической эволюции экзопланетных систем посвящено значительное число работ [20-23 и др.], однако основное внимание в них уделено численным исследованиям, до сих пор не удалось получить полного аналитического описания исследуемых систем, детально исследовать влияние диссипативных факторов на орбитальную эволюцию экзопланет. Следовательно, построение в рамках концепции частичной детерминированности на базе резонансного варианта неограниченной задачи трех тел и с учетом диссипативных факторов надежной аналитической модели, позволяющей получить аналитические выражения для всех орбитальных параметров исследуемых гравитирующих тел, корректно выявить роль резонансных динамических эффектов в эволюции орбитальных параметров космических систем является актуальной задачей для современной теоретической астрономии и механики, теории динамических систем и математической физики.
Цели и задачи работы. Целью диссертационного исследования является создание аналитической модели эволюции динамических систем на базе планетного варианта задачи тех тел при учте орбитального двухчастотного резонанса первого порядка, диссипации рэлеевского типа. Выявление влияния указанных факторов на динамическую эволюцию орбитальных элементов компонент рассматриваемых систем. Что включает решение следующих задач: 1. Создание математической модели, описывающей динамическую эволюцию экзопланетных систем, проведение качественных исследований орбитальных движений исследуемых тел и получение явных аналитических выражений для орбитальных элементов гравитирующих тел; 2. На основе разработанной аналитической теории и в рамках области е корректности моделирование орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем.
Методы исследования. Используются асимптотические методы теории возмущений, а также теория эллиптических функций, качественные методы исследований, общие методы нелинейного и функционального анализов, аппарат канонических преобразований.
Теоретическая и практическая значимость работы. Разработан
теоретический аппарат, представляющий самостоятельный интерес в теории
динамических систем. Полученные аналитические решения и результаты
качественных исследований способствуют более глубокому пониманию
процессов, лежащих в основе формирования и динамической эволюции
экзопланетных систем. Установленные аналитические решения могут быть
использованы при построении промежуточной орбиты в численно-
аналитических теориях движения космических систем при наличии диссипации
и двухчастотных орбитальных резонансов. Практическая значимость работы
обусловлена построением прогностических моделей динамической эволюции
экзопланетных систем, а также их корректных статистических распределений.
Полученные теоретические результаты работы могут найти приложение и при
исследовании орбитальной эволюции объектов Солнечной системы
(спутниковых систем).
Основные научные результаты, полученные в работе:
1. В случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных
резонансов первого порядка в рамках планетного варианта задачи трх тел
получено аналитическое решение в функциях Вейерштрасса, интерпретирующее
эволюцию орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел
(материальных точек). Получены частные решения для случая «вырождения
резонанса», когда за счт внешних возмущений резонансное слагаемое
нелинейно уменьшается с течением времени.
2. Проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов
гравитирующих тел, в том числе: получены и исследованы стационарные
решения для орбитальных элементов, их устойчивость по Ляпунову; проведена
классификация фазовых траекторий исследуемой динамической системы; оценены вероятности переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы, оценена возможность захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел; получены некоторые качественные оценки стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа; получены аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид. Оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых тел; показано, что в случае «вырождения резонанса» наблюдается бифуркация решений, а стационарные решения приобретают наиболее универсальный - симметричный вид;
3. Для избранных экзопланетных систем на основе полученных аналитических результатов построены прогностические модели их орбитальной эволюции. Получены также корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу).
Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью
применяемых аналитических и качественных методов исследований,
обоснованной областью применения моделей. Кроме того, результаты,
полученные в работе, основывались на аналитической модели,
зарекомендовавшей себя в предельном случае (при отсутствии диссипации) при
интерпретации динамической эволюции различных небесно-механических
объектов Солнечной системы [17-19]. Достоверность и обоснованность
полученных результатов проверялась также их сопоставлением с
аналитическими и численными исследованиями других авторов.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы
докладывались и обсуждались на международной конференции "Современные проблемы астрономии" (Украина, Одесса, 2007 г.), международной научной конференции "100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее" (Москва, 2008 г.), Ломоносовских чтениях (Москва, ГАИШ МГУ, 2008 г. и 2009 г.), международной научной конференции “Луна, спутники и планеты: поисковые исследования и сравнения” (Казань, 2009 г.), научной конференции “Астрономия в эпоху информационного взрыва: результаты и проблемы” (Москва, ГАИШ МГУ, 2012 г.), на семинаре кафедры теоретической механики РУДН "Математическое моделирование процессов динамики" (Москва, 2014).
Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 5 печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 148 страниц, включая 19 рисунков, 7 таблиц и библиографию из 148 наименований.
Диссипация рэлеевского типа
Эволюционные уравнения задачи получены применением асимптотического метода Цейпеля в результате исключения короткопериодических слагаемых. Интегрирование для эволюционных уравнений задачи формально свелось к системе с двумя степенями свободы за счет выбора дополнительной размерности в виде функциональной переменной от времени. Применение последовательности специального вида канонических преобразований позволило получить аналитическое решение для эволюции всех элементов орбит исследуемых гравитирующих тел. Частные решения получены в случае нелинейного уменьшения амплитуды резонанса (случай вырождения резонанса). При этом было проведено обобщение на случай непостоянства коэффициента пропорциональности диссипативной функции. Полученные результаты концептуально сопоставлены с результатами численного интегрирования.
В третьей главе проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел. Получены и исследованы стационарные решения, их устойчивость по Ляпунову. Проведена классификация типов решений. Оценена вероятность переходов между различными областями фазовой плоскости. Получены некоторые качественные оценки параметров стохастического слоя, обусловленного влиянием диссипации. Приведены аналитические выражения для элементов орбит гравитирующих тел, их экстремальных значений и для девиации орбитальных параметров, а также для основных периодов изменения орбитальных параметров.
В четвертой главе проведено моделирование динамической эволюции избранных экзопланетных систем. Приведен краткий обзор исследований экзопланетных систем. Получены корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу). Построены прогностические сценарии динамической эволюции избранных экзопланетных систем, движущихся в орбитальной резонансе первого порядка. Оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых экзопланетных систем. Рассмотрен учет влияния неинерциальности системы звезда – экзопланеты, обусловленной барицентрическим движением звезды. Установлено, что в целом, современные данные по экзопланетным системам свидетельствуют не о том, что Солнечная система уникальна, а о том, что планетные системы могут быть весьма разнообразными.
В заключении приведены основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Построение аналитической теории орбитальной эволюции двухчастотных динамических систем при резонансе первого порядка в случае рэлеевской диссипации, включающей: - получение аналитического решения, интерпретирующего эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел; - получение частных решений для случая «вырождения резонанса», когда за счёт внешних возмущений резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени; - классификацию полученных типов решений, нахождение стационарных решений для орбитальных элементов, их устойчивости, а также аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид; - оценку вероятностей переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы и возможности захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел (интегральных постоянных); - некоторые качественные оценки стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа;
2. Практическое приложение разработанной теории к избранным экзопланетным системам, позволившее: - построить прогностические модели орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем и выявить роль резонансных эффектов в орбитальной эволюции экзопланет; - оценить влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых экзопланетных систем; - построить с учетом доминирующей роли центральной звезды корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу).
Решения в функциях Вейерштрасса
Полученные в настоящей работе результаты основывались на аналитической модели, не учитывающей диссипацию, но успешно апробированной при интерпретации динамической эволюции различных небесно-механических объектов Солнечной системы, движущихся в двухчастотном орбитальном резонансе первого порядка [6, 12, 13, 19, 21, 22, 43, 44, 47-50, 52-54]. В рамках этой модели рассматривался не только планетный, но и ограниченный вариант классической задачи трех тел в случае двухчастотных орбитальных резонансов, строились прогностические варианты орбитальной эволюции различных типов объектов Солнечной системы. Среди этих объектов были, прежде всего, астероиды главного пояса [20, 54, 90-92]. Исследовалась также (в рамках так называемого внешнего варианта задачи) динамическая эволюция астероидов, на движение которых существенное влияние оказывает планета Марс [49, 93], а также возможность существования либрационных астероидов за орбитой Юпитера [52, 94]. Корректность данной модели была продемонстрирована и при исследовании так называемых занептунных объектов [50, 51, 53] и при интерпретации основной структуры колец Сатурна [95]. Модель была апробирована и для больших планет и для спутниковых систем [6, 22].
Для столь разнообразного и многочисленного класса космических объектов данная модель, реализованная в рамках концепции частичной детерминированности, продемонстрировала хорошее согласие с соответствующими результатами численного интегрирования. Качественные исследования динамических систем с сопоставимым с рассматриваемым в настоящей работе гамильтонианом, но в случае отсутствия диссипации, проводились в различных работах, в том числе [35, 67]. Для модели экзопланетной системы Gliese 876 исследовались соотношения между стационарными значениями эксцентриситетов и большими полуосями орбит экзопланет при условии "коротации" [12], при котором разница долгот перицентров орбит экзопланет равна либо нулю, либо 180 градусов. Было установлено, что эфемеридные значения эксцентриситетов орбит оказались близки к полученным стационарным значениям, а сами величины стационарных значений эксцентриситетов орбит не существенно зависят от масс экзопланет, что подтверждается и результатами настоящей работы, приведёнными в главе 4.
В работе [67] для неавтономной, периодической по времени системы с одной степенью свободы, с гамильтонианом, содержащим малый параметр, рассматривались положения равновесия, стационарные и близкие к стационарным периодические решения, а также оценивалось число и устойчивость периодических движений, фазовые портреты системы, описываемой близким к рассматриваемому в настоящей работе преобразованному (а не исходному!) гамильтониану в случае отсутствия диссипации и без получения соответствующих аналитических решений (в частности, в отличие от [67] в настоящей работе получены в общем случае не периодические решения).
Рассматриваемая в настоящей работе модель в предельном случае-устремлении к нулю величины v в выражении (1.4.2), то есть при отсутствии диссипации, эквивалентна уже хорошо апробированной базовой модели. С учётом этого обстоятельства, а также корректности применяемых аналитических и качественных методов в настоящей работе и с учётом строгой обоснованности области применимости рассматриваемой модели, оказываются корректными и получаемые в настоящей работе результаты.
О достоверности результатов, полученных в рамках рассматриваемой в настоящей работе модели, также свидетельствуют непосредственные сопоставления с данными численного интегрирования соответствующих диссипативных систем, приведённые ниже в разделах 4.3- 4.5, посвящённых моделированию динамической эволюции обнаруженных экзопланетных двухчастотных резонансных систем.
Качественным исследованиям различных динамических систем в настоящее время посвящено значительное число работ [60, 67, 96-99] и многие другие]. В настоящей же главе проведены полные качественные исследования эволюции орбитальных элементов рассматриваемых гравитирующих тел. Получены и исследованы стационарные решения, их устойчивость по Ляпунову. Проведена классификация типов решений, оценена вероятность переходов между различными областями фазовой плоскости, получены некоторые качественные оценки параметров стохастического слоя, обусловленного влиянием диссипации, приведены аналитические выражения для элементов орбит гравитирующих тел, их экстремальных значений и для девиации орбитальных параметров, а также для основных периодов изменения орбитальных параметров.
Стационарные решения и их устойчивость Стационарные решения канонической системы (2.2.11), поскольку С2ф О, определяются системой алгебраических уравнений [114]: Число действительных корней первого уравнения (3.1.1) обуславливается знаком величины дискриминанта D=8C/+27C22. Если D 0 (то есть при Cf (3/2)С22/3), то существует единственный действительный корень &3), а случае
Стационарные точки (&2),0) и (&3),0) являются устойчивыми по Ляпунову (эллиптические точки типа центра), а (&1},0) - неустойчивая стационарная точка (гиперболическая точка) [20, 44]. В случае D=0 решение (&3),0) будет соответствовать устойчивой стационарной точке, а (&(1 2),0)- неустойчивой (гиперболического типа). При Сі -(3/2)С22/3 стационарная точка (&3),0) будет являться устойчивым центром [114].
Классификация типов решений
Приведенное отображение f принято называть сепаратрисным [105]. Учитывая, что F vFo, где v - малый параметр, очевидно, имеем поэтому на временах t l/v изменение энергии системы не приводит к инфинитным движениям. Однако приведенное выше уравнение для фазы осцилляций свидетельствует о локальной неустойчивости (перемешивании траекторий: см. [105]), поскольку выражение определяет "растяжение интервала фаз". Если 7, то возникает локальная неустойчивость по фазе. Следовательно, области стохастичности (ширины стохастического слоя) отвечает условие: 5q 2л которое также можно представить в виде Scp=cQoAt 2A(p0=Atou где At0i -начальное, т.е. вдали от сепаратрисы, возмущение фазы, и дает оценку ширины стохастического слоя в функции \8E/Es\max (см. выражение (3.4.26)).
Физическая причина появления локальной неустойчивости состоит в том, что малое изменение энергии приводит к малым изменениям частоты, так что вблизи "дна потенциальной ямы", где частота слабо зависит от энергии (действия), малые её изменения приводят также и к малому изменению фазы за период колебаний. Однако вблизи сепаратрисы, где период колебаний Т стремится к бесконечности, даже малые изменения частоты приводят к значительным изменениям фазы, что и является причиной локальной неустойчивости, которая возникает и при финитных движениях, и способна приводить к динамической стохастичности. Локальная неустойчивость характеризуется наличием таких направлений траекторий в фазовом пространстве (плоскости), при которых расстояние между соседними траекториями экспоненциально растет со временем. Для реализации локальной неустойчивости достаточно существование области конечной меры, в которой малое возмущение начальных условий приводит к существенному расхождению траекторий. Для финитных движений это означает "запутывание траекторий", характеризуемых скоростью перемешивания, а не абсолютным удалением траекторий [105].
Как было показано в [105] в динамической системе общего вида всегда существует область стохастичности при сколь угодно малом параметре s , которая локализована в окрестности сепаратрисы.
Хаотические колебания в детерминированных системах, характеризующиеся перемешиванием траекторий в фазовом пространстве (фазовой плоскости), можно интерпретировать, как "непрочность движения по Жуковскому" [109].
Как известно, понятие прочности по Жуковскому является более строгим по сравнению с понятием фазовой устойчивости по Ляпунову и более слабым по сравнению с понятием изохронной устойчивости по Ляпунову в динамической системе [110].
Согласно результатам, приведенным в разделе 2.2, интегрирование эволюционных уравнений рассматриваемого в настоящей работе планетного варианта задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации, после исключения методом Цейпеля короткопериодических слагаемых, сводится к разрешению системы с двумя степенями свободы вида (2.2.7)
При х о=0 из (3.4.1) и (3.4.2) следует, что 6= 6o=const, так что для переменных 5, ц2 каноническая система (3.4.1) будет автономной, поскольку E=F0M не зависит явно от переменной времени. Согласно результатам, приведённым в разделе 2.3, решения для 2 и ц2 будут определяться в виде =(1/2)(/г1 +/я2), 22+/722=yz2, (3.4.8) где, в свою очередь, hi и h2 вычисляются через -функцию Вейерштрасса (см. выражения (2.3.7) и (2.3.8)):
Ввиду комплексно - сопряженности величин hi и h2 комплексные постоянные Wj и w2 совпадают с точностью до знака и являются чисто мнимыми величинами, так что W!=-w2=i\w\, i2=-1, при этом p(2w)=a2/2.
К - полный эллиптический интеграл первого рода, а 7 l2 h - корни характеристического уравнения Фазовые траектории системы на плоскости 5, /2 в случае (v0=0) представлены на рис.4, на котором две ветви сепаратрисы проходящие через неустойчивую стационарную точку (2(1),0) и разграничивающие области различных типов движений, выделены жирными линиями [22].
Для сепаратрисы, проходящей через точку ( 2(1),0), как следует из интеграла (3.4.10), выполняются равенства Здесь наибольший по абсолютной величине корень второго уравнения (3.4.13) обозначен через &(1\ и - интегральная постоянная.
Как установлено в [49], интегральная постоянная и (при o=0) является одним из решений алгебраического уравнения Г=0, в котором Г=(1/16)(ё23-27g32) есть дискриминант характеристического уравнения (3.4.12) для р-функции Вейерштрасса, g2 и g3 - инварианты определяемые (3.4.9).
Так как дискриминант уравнения Г=0 равен А3С2/64, где А=-(8С13+27С2) -дискриминант второго уравнения (3.4.13), то количество действительных корней уравнения Г=0 и второго уравнения (3.4.13) совпадают, а величина и соответствует неустойчивой стационарной точке (&(1),0).
Сепаратриса (две ее ветви изображены на рис. 4а), разграничивающая случаи Г 0 и Г 0, соответствует условию Г=0, при котором два из трех корней Іі_з уравнения (3.4.12) становятся равными, так что при g3 0, имеем [112]:
Прогностические сценарии эволюции
Вблизи сепаратрисы период Т(х) обращения изображающей точки по траектории на фазовой плоскости 5, rj2 стремится к бесконечности, так что даже малые изменения частоты со0=с аргумента периодической компоненты в (3.4.21) могут приводить к существенным изменениям фазы 8(р=сооАт.
Условие растяжения "интервала фаз", сопровождающегося возникновением локальной неустойчивости, может быть определено неравенством дср A(p0=2At01, где согласно (3.4.20) и (3.4.21) At01= t010 -начальное, то есть вдали от сепаратрисы, возмущение фазы. Из (3.4.25) для безразмерной относительной ширины стохастического слоя, учитывая, что 8E=E-ES, где =-M= /G M + 60 - значение полной энергии, отвечающее сепаратрисе, получим следующую оценку:
Ввиду того, что G ос м-3/2 и согласно (3.4.20), (3.4.14), (3.4.9) а ос м из (3.4.26) следует, что ширина стохастического слоя, обусловленная наличием рэлеевской диссипации вида (3.4.3), (3.4.4), имеет порядок малости v02/ju3, а, следовательно, при сопоставимых величинах v0 и /л может возникать зона сплошной стохастичности.
Следует заметить, что в исследуемой в настоящей работе динамической системе появление стохастического слоя обусловлено исключительно влиянием нестационарных возмущений, моделируемых функцией Рэлея, поскольку при их отсутствии эволюционные уравнения (3.4.1) задачи (после реализации асимптотического метода Цейпеля) оказываются интегрируемыми, так что при отсутствии диссипации ширина стохастического слоя в соответствии с соотношением (3.4.26) равна нулю. Следовательно, ширина стохастического слоя формально пропорциональна степенной функции малого параметра нестационарных возмущений (в силу постановки задачи величина предполагается заведомо не равной нулю).
В связи с этим обстоятельством, также небезынтересно заметить принципиальное отличие полученного в настоящей работе результата от работы [62], посвященной случаю коорбитального резонанса 1:1, и в которой не исследуются эволюционные уравнения задачи, а появление стохастического слоя обусловлено массовым параметром задачи, так что при массовом параметре, отличном от нуля, динамическая система оказывается неинтегрируемой. Более того, как известно, модель коорбитального резонанса 1:1 имеет также принципиальное отличие от орбитального линдбладовского резонанса, рассмотренного в настоящей работе.
Полученная оценка максимально достигаемой ширины стохастической зоны в окрестности невозмущенной сепаратрисы составляет величину порядка отношения малых параметров v02//u3, характеризующих амплитуду диссипативных возмущений и порядок масс гравитирующих тел, выраженных в единицах массы центрального тела. При сопоставимых величинах 0 и в исследуемой динамической системе может возникнуть зона сплошной стохастичности.
Рассмотренная в статье модель представляет интерес для экзопланетных систем, близко расположенных к "центральной звезде" (например, экзопланетные системы Kepler-23 b,c, Kepler-28 b,c, Kepler-18 c,d, HD 45364 b,c), при учете влияния "звездного ветра" или при перетекании вещества при аккреции. С другой стороны, учет диссипативных факторов представляет интерес и в связи с вырожденностью "чисто гравитационной задачи".
Таким образом, стационарными решениями на плоскости (е1/Е1,е2/Е2) являются концентрические окружности с радиусом Е. При этом поскольку преобразование, определяемое вторым соотношением (2.4.1), не является особенным, то указанные окружности при 6=/; и 6=/; определяют множество точек, соответствующих устойчивым стационарным эксцентриситетам орбит гравитирующих тел Р] и Р2, а окружность с радиусом задает область (множество точек) неустойчивого стационарного решения, равно и как при =0, когда f/iy) = & [114]. С другой стороны, из интеграла (2.3.17), с учетом (3.1.1), получаем
Из (2.4.1) для стационарных решений (3.1.1) также непосредственно находятся явные выражения для стационарных значений больших полуосей и угла взаимного наклона орбит тел P1 и P2: a l\l + b i sJ\ (3.5.3)
Если рассматривать стационарные решения для системы (2.2.7) с двумя степенями свободы, то поскольку &Ф 0 стационарные решения тогда будут, помимо (3.1.1), определяться дополнительными условиями вида: rjj=0, и=С4, v(i)=0. Последнее уравнение согласно [111, 116] реализуется, например, при =const, когда К) = Vln(/o)2 , то есть у(1)=1. Следовательно, в этом случае в первом уравнении (3.5.3) следует положить 6= 5о С другой стороны, равенство 6=6о может реализовываться и при функции v(t) такой, что ton \v{t)dt = const.
Наряду с (3.5.1), (3.5.2), для стационарных эксцентриситетов из второго уравнения (2.4.1), с учетом (3.1.1), также получим
Согласно (2.4.1) и (3.1.1) Sstat является линейной функцией от т. Таким образом, диапазон изменения стационарных значений эксцентриситетов орбит Pj (/=1,2) будет определяться неравенством \P0J-\Е]ЪЛ J \E 2ISA + \p0j, j = 1, 2 і = \ъ. ±2/ При S =0 и і=1, 2 стационарные значения эксцентриситета орбиты Pj принимают максимальные значения ebstat =( 2„taj 11 + p01) 1, а эксцентриситет орбиты Р2 - минимальные значения e2i stat = \u2lstatE 2 + Р02\Е2 . ПриЯЧги i=l, 2 В случае /=3 при S =0 =\ statK + P01[ =\ staK + p 02\, а при S = ж стационарные значения эксцентриситетов орбит Pj и Р2 достигают соответственно максимального и минимального значений. Чем больше #2/- stat , тем больше амплитуда экстремальных значений стационарных эксцентриситетов. [114] Получим аналитические выражения для экстремальных значений и девиации эксцентриситетов орбит тел Pj (/=1, 2).
