Введение к работе
Актуальность. Вопрос о разрешимости квазилинейных краевых задач постоянно находится в центре внимания многих исследователей. Основные направления развития теории краевых задач для уравнений с обыкновенными производными были заложены в работах Азбелева Н.В., Беллмана Р., Булгакова А.И., Кигурадзе И.Т., Клокова Ю.И., Немьщкого В.В., Максимова В.П., Мышкиса А.Д., Рахматуллшюй Л.Ф. и др.
В математических моделях многих реальных процессов возникают краевые задачи, у которых "линейная часть" не является корректно разрешимой. Самостоятельным классом таких краевых задач в теории ОДУ являются периодические задачи. В 70-е годы началось развитие общих методов исследования краевых задач, представимых в виде уравнения с необратимым линейным оператором (резонансные краевые задачи). Первый результат в этом направлении был получен в работе Ландесмана - Лазера*. Значительное развитие теория резонансных краевых задач получила в работах Furi М., Fucik'a S., Mawhin'a J. и др.
*) Landesman F., Lazer A. Non-linear perturbation of linear elliptic boundary value problems at resonance II J. Math. Mech. - 1970. V. 19. - P. 609 - 623.
Из последних результатов в этом направлении отметим работы Абдуллаева А.Р., Бурмистровой А.Б., Бойчука А.А., Вавилова С.А.
Цель работы. Получение эффективных условий разрешимости резонансных краевых задач, в том числе с нетеровым оператором отрицательного индекса. Исследование конкретных классов резонансных краевых задач.
Методика исследований. В работе использованы методы теории линейных операторов, нелинейного функционального анализа, а также теории краевых задач для функциоьально-дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Получены новые утверждения о разрешимости квазилинейных уравнений и систем в случае резонанса. В частности, исследованы задачи с нетеровыми операторами отрицательного индекса. Получены эффективные признаки разрешимости периодических краевых задач.
Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Результаты диссертации могут быть применены для исследования новых классов резонансных краевых задач. Практическая ценность исследования обуславливается применением резонансных краевых задач в теории нелинейных колебаний, в теории управления, в математических моделях различных реальных процессов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям, на Уральской региональной конференции (Пермь, 1992 г.), на втором международном семинаре "Негладкие и разрывные" задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993 г.), на межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 1993 г.), Воронежской математической школы (1995 г.), на семинаре МВТУ им. Баумана (Москва, 1994 г.), на кафедре математического анализа Пермского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 77 страницах. Библиографический список содержит 77 наименований.
