Содержание к диссертации
ГЛАВА I. Нелинейный изгиб, колебания стержней и аналогии с перемагничиванием
ферромагнетиков 11
1. Решение задачи об изгибе стержня сосредоточенной нагрузкой, направленной
под произвольным углом 11
Система координат и уравнение равновесия для стержня с учетом распределенной нагрузки 16
Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней 20
Изгиб консоли в поле центробежных сил 24
Продольный изгиб стержней переменного сечения 27
Численные методы решения задач колебаний нагруженных стержней и оптимизации приближенных формул для сильного изгиба 29
Перемагничивание двухслойных обменно-связанных магнитных систем, пороговые поля, магнитные структуры 33
Выводы к главе 1 39
ГЛАВА II. Общее решение задачи об изгибе стержня в случае произвольного
перемещения внешних сил 40
Краевые задачи изгиба стержня, приводящие к расширению области аналитических решений уравнения типа нелинейного маятника 40
Общее решение задачи об изгибе стержня в случае произвольного перемещения внешних сил 47
Изгиб консоли в поле центробежных сил 48
Изгиб в плоскости перпендикулярной к плоскости вращения 50
Изгиб в плоскости вращения 59
Выводы к главе II 69
ГЛАВА III. Нелинейный изгиб двухзвеньевой консоли переменной жесткости 70
1. Уравнения равновесия и граничные условия при нагружении сосредоточенной на
конце силой под произвольным углом 70
Пороговые нагрузки при продольном и поперечном нагружениях 73
Численное решение системы нелинейных уравнений для форм изгиба при продольном приложении нагрузки 74
Выводы к главе III 77
ГЛАВА IV. Приближенные формулы для стрелы прогиба в различных случаях
приложения нагрузки и способов закрепления гибкого упругого стержня 78
Точные и приближенные формулы для стрелы прогиба стержня при нагружении силой, направленной под произвольным углом 78
Приближенные формулы для стрелы прогиба упруго закрепленной консоли при поперечной нагрузке и различных параметрах закрепления 83
Малые и большие значения параметра упругого закрепления 84
Аппроксимационная формула для зависимости стрелы прогиба от нагрузки 88
3. Точные и приближенные формулы для стрелы прогиба при продольном
нагружении и различных граничных условиях 88
4. Сводная таблица решений для форм изгиба и стрел прогиба 91
Выводы к главе IV 95
ГЛАВА V. Колебания консоли в нагруженном состоянии , 96
Динамическое уравнение стержня в касательной системе координат 96
Приближенное решение уравнения динамического равновесия поперечно нагруженной консоли 99
3 Численное решение уравнения Ламе и частоты колебаний консоли при
поперечной нагрузке 103
Выводы к главе V 107
ГЛАВА VI. Перегяагничивание ферромагнитного слоя магнитным полем при условии
мягкого закрепления магнитного момента на поверхности 108
Статические уравнения равновесия при перемагничивании 109
Перемапшчиваиие слоя в направлении, перпендикулярном закреплению магнитного момента на поверхности 112
2.1. Машитные структуры и средняя намагниченность при жестком закреплении
113
2.2, Машитные структуры и средняя намагниченность при мягком закреплении
117
3. Перемагничивание слоя полем, антипараллельиым направлению магнитного
момента, при условии мягкого закрепления на поверхности 126
Численный анализ магнитных структур 127
Средняя намагниченность 132
Зависимость поля смещения от параметра закрепления и толщины пленки. Обработка экспериментальных данных 133
Выводы к главе VI 138
Выводы 139
Заключение ,„ 139
Библиографический список 142
Приложение 1 150
Приложение 2 152
Приложение 3 157
Приложение 4 158
Приложение 5 159
Введение к работе
Исследования, связанные с изучением изгиба упругих стержней, имеют непреходящее значение для изучения различных механических систем, широко использующихся в технике, и в наши дни эти вопросы актуальны при проектирования устройств микромеханики. В микроэлектронике и нанотехнологиях, материаловедении, биологии, медицине для анализа поверхностей материалов различной природы и структуры с разрешением от микро- до нанометрового диапазона используются атомно-силовые микроскопы. В технологиях и технологических процессах, позволяющих создавать объекты на микро- и наноуровне с управляемыми свойствами, актуальными являются вопросы, связанные с анализом качества и соответствия создаваемых объектов разработанным схемам. Рабочим элементом атомно-силового микроскопа является упругая консоль, изгабающаяся и колеблющаяся под действием сил различной природы и направления.
Увеличение разрешающей способности силовых микроскопов может привести к качественно новым возможностям в исследованиях. Одной из дальнейших возможностей повышения разрешающей способности и качества анализа поверхностей является увеличение изгиба консоли до больших и использование в качестве дополнительной возможности учет нелинейности колебаний уже изогнутой консоли. Такие задачи о поведении конструкций крайне важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить весьма сложно. Подобные задачи очень часто решаются приближенными или численными методами, и только небольшое число задач удалось решить аналитически.
В последние годы в работах Ю.В, Захарова [1-4] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя. Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли. Получены реализуемые под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [4] формы изгиба при последовательном приложении нагрузки.
Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу сложных упругих и магнитных систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе и колебаний тонких стержней и к задаче перемагничивания магнитных систем.
Задача об изгибе стержня является одним из вопросов расчета конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов- Чаще всего используются именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [5-8], или в эллиптических интегралах [10-11], В этих работах решения определялись тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся последовательно из вспомогательных таблиц и номограмм- Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому всегда и в наши дни решаются задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [12-14]. Вместе с тем, в последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром - модулем к, определяемым действующей силой. В связи с эти представляет интерес изучение сильного изгиба и колебаний консоли и составных стержней под действием сосредоточенных нагрузок для общего случая их перемещения и общего случая условий закрепления концов.
Задача о перемагничивании магнитомягкого слоя на магнитожесткой подложке с закрепленным и свободным магнитным моментом на поверхностях активно изучается длительное время. Закрепление на поверхности раздела слоев обусловлено обменными силами, и такие системы получили название обменно-связанных структур. Модельные задачи о перемагничивании и об условиях магнитного резонанса в ферромагнитном слое с несимметричными граничными условиями под действием внешнего магнитного поля, при условии бесконечно большого поверхностного обмена на границе раздела, решались на основе аналогии с потерей устойчивости эйлерова гибкого стержня под действием продольной силы [2, 15-19]. Часть теоретических результатов хорошо совпадала с экспериментальными данными, а ряд теоретических результатов не совпадал с экспериментом. Анализ показал, что несовпадение обусловлено наличием в реальных системах конечного обменного
взаимодействия на границе раздела. Естественным является уточнение имеющихся решений для случая нежесткого закрепления магнитного момента на границе раздела, а также произвольного направления перемагничивающего внешнего поля.
Целью работы являлся анализ поведения после потери устойчивости сопряженных систем - упругих стержневых при произвольном перемещении внешних сил и обменно-связанных магнитных.
Основные задачи работы:
1. провести поиск новых аналитических решений геометрически нелинейного
изгиба стержней при произвольном приложении двух сил и использовать их
для верификации результатов, полученных численными методами;
2, исследовать изгиб двухзвеиьевой консоли переменной жесткости в случае
произвольного приложения внешних сил постоянного направления;
3. исследовать зависимость частот колебаний нагруженной консоли в изогнутом
состоянии при поперечном приложении нагрузки;
4, исследовать поведение магнитомягкого слоя при перемагничивании в общем
случае мягкого закрепления магнитного момента на границе раздела слоев-
Установить зависимости порогов потери устойчивости от параметра
закрепления и провести обработку имеющихся экспериментальных данных.
Научная новизна работы:
получены выражения для нелинейного изгиба стержней и немонотонные зависимости для порогов устойчивости при общем случае нагружения;
получены практически значимые разложения эллиптических интегралов и приближенные формулы для стрелы прогиба консоли при больших изгибах;
получены выражения для пороговых нагрузок двухзвеиьевой консоли под действием поступательной нагрузки, направленной под произвольным углом;
получено соотношение для частот колебаний изогнутого стержня под действием поперечной нагрузки;
анализ обмешю-связанной магнитной системы выделил в ней промежуточный слой и выявил влияние его эффективных обменных характеристик на поля смещения при перемагничивании магнитомягкого слоя.
Научная и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют существующие представления о возможностях и способах аналитических и численных решений нелинейных задач для сопряженных упругих стержневых и обменно-связанных магнитных систем.
Полученные решения задач об изгибе консоли при произвольном перемещении внешних сил представляют ценность как при расчете упругих систем микромеханики (рабочие элементы силовых микроскопов), так и при отладке численных методов решения подобных задач. Предложенный способ определения постоянной эффективного обмена для границы раздела в двухслойных магнитных обменно-связанных системах позволит получить дополнительную возможность разработки новых магнитных материалов.
Личный вклад автора: участие в постановке задач исследования, аналитические и численные решения, участие в анализе полученных результатов. Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2002-2006 гг.
Публикации, По материалам диссертации имеется 14 публикаций [82-95], из них 3 по списку ВАК.
Положения, выносимые на защиту:
анализ точных аналитических и численных решений задачи об изгибе тонкой упругой консоли для общего случая перемещения внешних сил;
выражение для пороговых нагрузок двухзвеньевой консоли, нагруженной под произвольным углом сосредоточенной силой, и его использование в сопряженном анализе обменно-связанных магнитных систем;
зависимость частоты колебаний изогнутой после потери устойчивости консоли от поперечно приложенной нагрузки;
4. точное аналитическое решение задачи о перемаптичивании магнитомягкого слоя на подложке при условии нежесткого закрепления магнитного момента на границе раздела; результаты обработки эксперимента и способ определения эффективной постоянной обмена для двухслойных обменно-связанных магнитных систем.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных, российских и региональных конференциях и симпозиумах: «Сибирский авиационно-космический салон САКС-2002» (Красноярск 2002), Байкальская конференция «Магнитные материалы» (Иркутск 2003), XIX и XX школы-семинары «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 2004, 2006), EASTMAG "Прогресс в магнетизме» (Красноярск 2004), XXI Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM&FEM) (Санкт-Петербург 2005), III Всесибирский конгресс женщин-математиков (Красноярск 2004). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры физики Сибирского государственного технологического университета, отдела физики магнитных явлений Института физики им. Л.В. Киренского СО РАН.
На разных этапах работа была поддержана фантами; РФФИ 02-01-01017<(Теория нелинейных колебаний в упругих, биомеханических и магнитных системах после потери ими устойчивости»; индивидуальный грант Минобразования России А03-210-27 «Устойчивость и нелинейные колебания в упругих стержневых системах»; грант Красноярского краевого фонда науки 9TS093, Президентская стипендия на 2005-2006 учебный год.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, выводов, списка цитируемой литературы и приложений. Объем работы составляет 160 страниц, включает 46 рисунков и 6 таблиц; библиография включает 95 наименования.
