Содержание к диссертации
Введение 4
1 Глава 1. Необходимые сведения из функционального ана
лиза, теории вероятностей и случайных процессов 22
1. Сведения из функционального анализа 22
2. Сведения из теории вероятностей 26
3. Элементы дискретного стохастического анализа 34
2 Глава 2. Разлолсения ^-измеримых случайных величин 41
Введение 41
1. Основные определения. Постановка стохастической оптимиза
ционной задачи. Вспомогательные результаты 42
2. Функция Беллмана. Уравнение типа Беллмана 50
3. Разрешимость уравнения (2.9) 55
4. Существование є -оптимальных и оптимальных стратегий . . 63
5. Описания множеств вероятностных мер, связанных с уравне
нием (2.9) 69
6. (S,Q)-OnmiOHanbiioe разложение .^-измеримых случайных ве
личин 75
> 7. S-представление .^-измеримых случайных величин 80
8. Примеры 97
3 Глава 3. Мартингальные меры и их применение 103
Введение 103
1. Определения, обозначения 104
2. Условия существования мартингальных мер 105
3. Применения мартингальных мер к построению оптимальных
стратегий и исследованию свойств некоторых разложений . 117
4. Условия отсутствия арбитража 121
5. Полные и неполные безарбитражные рынки (описание) .... 124
6. Пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке 128
4 Глава 4. Расчет Европейского опциона на неполных рынках 133
Введение 133
1. Бистратегии. Верхние и нижние гарантированные значения . 135
2. Представление верхнего гарантированного значения 147
3. Представления нижнего гарантированного значения. Характе-
ризация максиминной бистратегии 173
4. Условия существования седловой точки оценки бистратегии
tf(S.,l.) 186
5. Расчет Европейского опциона на (Б, SW...,^) -рынке ... 196
6. Примеры расчета Европейского опциона 202
Литература 211
Список публикаций диссертанта по теме диссертации 219
Введение к работе
1. Актуальность темы. Проблема хеджирования финансовых обязательств на неполных безарбитражных рынках - одна из важнейших задач системного анализа, теории управления и стохастической финансовой математики. К настоящему моменту времени известно несколько методов построения хеджирующих стратегий на неполных безарбитражных рынках: суперхеджирование (хеджирование с вероятностью единица), рисковое хеджирование, квантилыюе хеджирование (хеджирование с положительной вероятностью), хеджирование (оптимальное) в среднеквадратическом смысле. Наиболее полно они изложены в работах А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, N. El Karoui, М-С. Quenez, Н. Follmer, М. Schweizer, A. Cerny, М. Kirch, W. Schachermayer и других авторов.
Известно, что проблема хеджирования финансовых обязательств заключается в выборе мартингальной меры, нахождении стоимости финансового обязательства (справедливой цены) и хеджирующей стратегии. Исследованию этих проблем были посвящены работы А. Н. Ширяева, А. В. Мельникова, Д. О. Крамкова, М. Ю. Кабанова, Н. Follmer, М. Schweizer, Y. Miyahara, М. Fritelli, F. Bellini, Т. Goll, L. Ruschendorf, I. Karatzas, M. H. A. Davis, N. El Karoui, R. Rouge, J. Kallsen, P. Leukert, F. Delbaen, W. Schachermayer и других авторов, в которых устанавливаются условия существования мартингальных мер, хеджирующих стратегий и справедливой цены (в различных смыслах) для полных и неполных рынков. Однако, на настоящий момент времени не известны конструктивные процедуры расчета Европейского опциона на полных и неполных рынках (за исключением моделей биномиального рынка и рынка Блэка-Шоулса).
Результаты, содержащиеся в настоящей работе, существенным образом опираются на теорию оптимального управления стохастическими последовательностями. Основные результаты этой теории содержатся в работах А. Вальда, С. Карлина, Р. Беллмана, Р. Ховарда, Д. Блекуэлла и Р. Штрауха, Н. В. Крылова, А. Н. Ширяева, Ш. Стрибел, Е. Б. Дынкина, А. А. Юшкевича, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, Р. Я. Читашвили, Д. Бертсекаса и С. Шрива, М. Де Гроота, Э. Л. Пресмана и И. Сонина, X. Майн и С. Осаки и других авторов. Мартингальные методы в теории оптимального управления стохастическими последовательностями получили широкое распространение благодаря работам Р. Эллиота, И. И. Гихмана и А. В. Скорохода, М. Девиса и П. Варайа, В. Лебедева, Р. Читашвили, в которых получены необходимые и достаточные условия существования оптимальных и -оптимальных стратегий. К настоящему моменту времени оказались слабо изучеными управляемые немарковские последовательности с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого.
Решению этих проблем посвящены главы 2-4 диссертации.
Цель работы. Разработка теории управляемых немарковских последовательностей с целевыми функционалами, зависящими от всего прошлого, и ее применение к расчету опционов Европейского типа и построению хеджирующих стратегий на неполных рынках.
Метод исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, общей теории случайных процессов, теории оптимального стохастического управления, теории игр.
Научная новизна. Основными научными результатами являются: 1) условия существования оптимальных и є-оптимальньїх стратегий для задачи управления случайными немарковскими последовательностями с конечным горизонтом и мультипликативным критерием; 2) достаточные условия существования (S, (З)-опционального разложения для JT^-измеримых ограниченных случайных величин; 3) новые необходимые и достаточные условия существования б'-представления для .^-измеримых ограниченных случайных величин; 4) критерии существования вероятностных мер, нейтральных к риску; 5) условия отсутствия арбитража; 6) метод расчета Европейского опциона.
Теоретическая и практическая ценность. В работе дано обоснование применимости метода динамического программирования для управляемых немарковских последовательностей с терминальным функционалом, зависящим от всего прошлого. Построены новые критерии существования и единственнсти мартингальной меры. Установлены условия существования разложения супермартингалов, обобщающие теорему Дуба-Мейера.
Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что предложен метод, позволяющий явно находить мартингальные меры, хеджирующие стратегии и справедливую стоимость опционов Европейского типа как на полных, так и неполных рынках.
6. Апробация работы. Результаты работы (смотри список публикаций диссертанта) докладывались на научно - технических конференциях сту дентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ в 2001, 2003 годах [5], [7], научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, посвященной 40-летию МИЭМ в 2002 г. [6], на Восьмой Всероссийской школ е-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2001 г.) [8], на Восьмой Международной Вильнюсской Конференции по Теории Вероятностей и Математической Статистике (Вильнюс, 2002 г.) [9], на Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002 г.) [2], на Шестой Международной конференции по вероятностным методам в дискретной математике (Петрозаводск, 2004 г.) [3], на XI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004 г.) [4], на семинарах кафедры Исследование операций МИЭМ, на семинарах кафедры Кибернетики МИЭМ, на международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003 г.) [10]. 7. Современное состояние теории хеджирования финансовых обязательств на неполных рынках.
7.1. Проблема хеджирования финансовых обязательств на неполных безарбитражных рынках - одна из важнейших задач теории стохастической финансовой математики [24], [28], [24], [61], [71], [65], [48], [41], [46], [69], [34], [37], [42], [49], [62], [47], [26]. В настоящее время известно несколько методов построения хеджирующих стратегий на неполных безарбитражных рынках: суперхеджирование (хеджирование с вероятностью единица) [60], рисковое хеджирование (хеджирование с положительной вероятностью), [68], [32], [31], [40], [73], [58], квантильное хеджирование [39], хеджирование (оптимальное) в среднеквадратическом смысле [35], [67], [66], [69], [27], [30]. Суть проблемы хеджирования финансовых обязательств состоит в построении и выборе мартингальной меры, с помощью которой находятся стоимость финансового обязательства (справедливая цена) и хеджирую- щая стратегия. Исследованию этих проблем были посвящены работы [24], [41], [46], [69], [34], [37], [42], [49], [62], [47], [26], [53], [57], [33], [43], [44], [64], [56], [45], [54].
7.2. Данная диссертационная работа посвящена решению задачи расчета опционов Европейского типа на полных и неполных рынках для случая дискретного времени. Работа состоит из четырех глав. Первая глава содер жит необходимые для изложения сведения из теории вероятностей, функ ционального анализа и теории случайных процессов. Вторая глава, по су ществу, содержит обоснование к выбору экспоненциальной функции полез ности природы (рынка). Третья глава устанавливает связь между мартин- гальными мерами и оптимальными стратегиями для экспоненциальной по лезности рынка. В четвертой главе, опираясь на факт, что полезность рын ка экспоненциальная, строится бесконечная антагонистическая игра между рынком и эмитентом, и устанавливается связь между ее решением и зада чей расчета Европейского опциона на полном и неполном рынках.
Здесь следует отметить, что: 1) идея рассмотрения задачи расчета Европейского опциона как игры высказывалась А. Н. Ширяевым в его известной монографии по стохастической финансовой математике [24], 2) в работе [58] было предложено рассматривать задачу расчета Европейского опциона как бесконечную антагонистическую стохастическую игру с выпуклой функцией выигрыша, и были установлены условия существования решения этой игры. Однако, в [58] связь между решением этой игры и задачей расчета Европейского опциона не установлена за исключением случаев биномиального (В, ^-рынка и рынка Блэка и Шоулса.
7.3. В данном пункте мы кратко рассмотрим историю развития теории хеджирования финансовых обязательств.
Впервые решение задачи расчета Европейского опциона было найдено в работах Блэка и Шоулса [29] для случая полного рынка. Впоследствие эта задача была рассмотрена в [50] для случая дискретного времени, а в [51], [52] с помощью мартингальных методов были обобщены результаты [29].
7.3.1. В данном пункте мы приводим основные результаты, связанные с хеджированием финансовых обязательств на полных безарбитражных рынках.
7.3.1.1. Совершенное хеджирование. Во-первых, случай полного безарбитражного рынка характерен тем, что существует единственная мар-тингальная мера Q, и, как показано в [24], справедливая цена опциона Со определяется:
С0 = В0М^^, (0.1) {Bi}Q
Р-п.н. имеет место единственное %- вида {Mt}0 Отсюда следует, что платежное обязательство /дг допускает представление (0.2). Отметим, что конструктивный способ построения последовательности 7. и случайной величины Хо, участвующих в J^-представлении, найден в [24] только для модели Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR). 7.3.1.2. Игры на полном рынке. В [32] решается задача расчета Европейского опциона для многомерного рынка Блэка-Шоулса, эволюция рискового актива на котором описывается стохастическими уравнениями Ито. В работе рассматривается бесконечная антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой, где в качестве функции потери агента, стратегиями которого являются самофинансирующие торговые стратегии, выступает среднее значение положительной части разности между платежным обязательством и конечным капиталом в момент предъявления опциона. В качестве второго игрока выступает рынок, стратегиями которого являются эквивалентные меры. В работе получены условия существования решения этой игры, т.е. существования седловой точки. Отличие от нашей работы заключается в том, что в [32] не предлагается конструктивного способа нахождения стратегии агента и платежного обязательства. 7.3.2. В данном пункте мы приводим основные результаты, связанные с хеджированием финансовых обязательств на неполных рынках. 7.3.2.1. Спрэд на неполном рынке. Здесь мы приведем некоторые результаты, касающиеся существования спрэда [24] в случае неполных рынков, т.е. существования верхней и нижней цен хеджирования. Неполные рынки характерны тем, что существует, вообще говоря, бесконечный набор мартингальных мер Q. Это приводит к проблеме выбора одной из них. Отсюда следует существование верхней и нижней цен хеджи- рования (спрэда), которые для удобства изложения мы будем обозначать Cq"p, Сг0 , соответственно. В [24] показано, что в случае, когда платежное обязательство /дг - неотрицательная ограниченная ^дг-измеримая функция, CqUP имеет вид: СГ=8ирВ0М<ф, Q<=M >N где Л4 - множество всех мартингальных мер, эквивалентных базовой. В [65] для многошаговой модели неполного рынка с дискретным временем показано, что верхняя цена хеджирования совпадает с совершенной ценой хеджирования для некоторой специально построенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. В [48] рассмотрена семимартингальная модель (В, S)-рынка, для которого получены формулы для CqUP и Cq . В [28] в случае, когда "короткие продажи "запрещены (т.е. взятие взаймы невозможно) и платежное обязательство не убывает, показано, что: і) верхняя и нижняя цены хеджирования имеют вид Cq = inf qo (Q*), CqUP = sup qo (P*), Q*eM P*eMHV* где go {Q) = M-^-, ii) процесс стоимости дисконтированного рискового актива является супермартингалом. Попутно отметим, что во всех вышеуказанных работах не предлагается способ построения хеджирующих стратегий. 7.3.2.2. Сведение задачи расчета Европейского опциона на неполном рынке к задаче расчета на полном рынке. В [37] для модели мультиномиального рынка в дискретном времени авторы предлагают расширить портфель, изначально состоящий из одного рискового актива (основного), от которого зависит платежное обязательство, добавив определенное количество других рисковых активов, производных от первого или сильнокоррелированных с ним. Выбирать эти активы предлагается та- ким образом, чтобы относительно некоторой вероятностной меры Q, эквивалентной базовой, последовательности цен всех рисковых активов были локальными мартингалами. В этом случае исходный неполный мультиномиальный рынок с одним рисковым активом с М состояниями может быть сведен к полному рынку с К рисковыми сильнокоррелированными активами. При этом справедливая цена опциона Q» находится с помощью мартин-галыюго метода (0.1). В работе установлены необходимые условия существования единственной мартингальной меры. В условиях полноты рынка для построения хеджирующей стратегии авторы предлагают использовать некоторую систему рекуррентных соотношений. 7.3.2.3. Минимальные мартингальные меры. В данном пункте мы при водим результаты, связанные с построением минимальной мартингальной меры в смысле Кульбака-Лейблера [2] на неполных рынках. Так, в [41], [70], [46], [62], [42], [34], [69], [47] строится минимальная мартингальная ме ра Qmin в смысле Кульбака-Лейблера. Недостаток этого подхода состоит в том, что растояние Кульбака-Лейблера не является расстоянием в класси ческом смысле. В [26] показывается, что такая мера существует и является минимальной в смысле описанного в работе критерия, причем в [46] такая мера строится с помощью преобразования Эшера. 7.3.2.4. Квантильное хеджирование. В [39] рассматриваются задача хеджирования финансового обязательства /дг для случая, когда задана фиксированная граница для вероятности неисполнения платежного обя зательства Р (Xn < In) < є > 0. При этом справедливая цена находится 13 путем решения минимаксной задачи Со= j" sup mQ \ч>М , где M. - множество мартингальных мер, эквивалентных базовой, 71 - множество допустимых случайных величин ір. В работе доказывается существование оптимальной стратегии е, но конструктивного метода ее нахождения не приводится. 7.3.2.5. Рисковое хеджирование. В [73] хеджирование методом минимизации риска рассматривается для модели мультиномиального рынка с одним рисковым активом с тремя состояниями для случая дискретного времени. В работе предлагается критерий нахождения оптимальных стратегий, который обеспечивает неотрицательность значения капитала в любой момент времени. Точнее, расматривается задача минимизации функции риска, не зависящей от вероятностной меры Р: inf. (0.3) Со,у. R (7.) — SUP s. Со - /лг + J2^A Здесь максимизация функционала ведется по всем возможным значениям последовательности цены S. рискового актива и всегда приводит к неотрицательным значениям капитала. В работе доказывается существование оптимальной стратегии 7^ и справедливой цены опциона Со- На примере мультиномиального рынка с тремя состояниями показано, что цена опциона Cvar, полученная путем минимизации функции риска R (7.), не превосходит цену опциона Csup, полученную методом суперхеджирования [60]. В [39] рассматриваются задача хеджирования финансового обязательства /jv для случая, когда инвестор обладает начальным капиталом Со < CqUP и стремится максимизировать вероятность исполнения платежного обязательства: Р(Х^ > /jv) —> шах. В работе показывается, что эта задача сводится к суперхеджированию модифицированного платежного обязательства Ф/n, где ф - решение оптимизационной задачи Мф — max Мер, <реК, sup MQ[
Л4 - множество мартингальных мер, эквивалентных базовой, 7Z - множество допустимых случайных величин ср.
В работе [40] рассматривается задача хеджирования платежного обязательства для случая, когда начальный капитал инвестора ограничен: Со < CgUp. В ней доказывается, что существует единственное решение следующей оптимизационной задачи: *- * Ж , i^pMP [/ ((1 - ^ М]' (pell, sup MQ[
Следует отметить, что конструктивного способа построения оптимальной стратегии в [40] не приводится.
В работе [58] рассматривается задача хеджирования платежного обязательства с положительной вероятностью, когда эволюция рискового актива описывается d-мерным положительным непрерывным справа семи-мартингалом (Xf,^)f>0. Автор расматривает предсказуемые самофинаи-сирующие допустимые стратегии {t}f>0, причем допустимость понимается в том смысле, что капитал Vt > 0 Р-п.н., \/t > 0 для каждого начального капитала а > 0, причем капитал стратегии {t}t>o определяется следующим образом: Vt = a + jtsdXs, при этом интеграл понимается в смысле теории стохастического интеграла [8]. Обозначим через Ла множество всех допустимых стратегий. Для строго выпуклой функции потерь / (у), где У у Є К+ рассматриватеся задача минимизации следующего риска:
I lsXSs - f
Р(т.) = supM Реы где U - семейство допустимых вероятностных мер, эквивалентных базовой мере R, {Xs}s>0 - процесс, описывающий эволюцию рискового актива, {7s}s>o " стратегия инвестора, I () - строго выпуклая функция потерь, / - ограниченное платежное обязательство, причем минимизация риска проводится по множеству всех допустимых стратегий, т.е. в работе рассмат- ривается следующая задача: (3* = mmp(7.) = minsupM
7.ела
7.ЄЛ,Рє/
I \ f-a- /'jgdXs В работе также рассматривается следующая задача: (0.4) в* = max inf Мр l\f-a-.j7adX, которая является двойственной к задаче (0.4). В работе устанавливаются условия, при которых выполняется равенство /Г = /?„,. Из этого факта следует существование седловой точки (*,Р*), т.е. Hf-оҐ- ft = /F = М1 а* - JesdXs
Указанная стратегия * в работе названа робастной. К недостаткам работы следует отнести: 1) труднопроверяемые условия допустимости стратегий , 2) затруднена проверка оптимальности стратегий Р* и *, 3) отсутствие конструктивных способов построения Р* и *.
7.3.2.6. Хеджирование в среднеквадратическом. В [30] решается задача хеджирования в среднеквадратическом, при этом функция риска представляет собой среднеквадратическое отклонение конечного капитала от платежного обязательства в терминальный момент времени ([35], [67], [66], [69], [27]): BN ( Со + ][>:Д&+1 ) - In / / N-1 \ \ 2 minMp
Со,7. ~ ~ (0.5) где {Bt}t>0 - последовательность, описывающая изменение стоимости без- крискового актива, St — jf- + ^^ > i^t}t>o ' последовательность, описы- ' »=о * вающая дивиденды по рисковым активам. В отличие от [69] и [27], в [30] количество рассматриваемых рисковых активов больше одного, и процесс доходности {rt}t>0 безрискового актива не обязательно детерминирован. Автор использует метод динамического программирования для нахождения справедливой цены опциона и оптимальной хеджирующей стратегии. Опираясь на принцип оптимальности Беллмана, автор доказывает существование решения задачи оптимального управления (0.5) при условиях конечности множества Q и отсутствия арбитража. Кроме того, в работе с помощью метода динамического программирования показано, что существует минимальная вероятностной меры Qvar в смысле расстояния Кульбака-Лейблера относительно базовой, причем относительно Qvar последовательность
Отметим, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задачи расчета Европейского опциона на неполном рынке, не был использован другими авторами.
9. Краткое изложение работы. Первая глава носит вспомогательный характер, в ней содержатся сведения из функционального анализа, теории вероятностей и общей теории случайных процессов. В ней также вводятся необходимые для дальнейшего изложения определения и обозначения, в частности, здесь определяется такой важный объект как кумулянта.
Вторая глава посвящена построению разложений для J7^ - измеримых случайных величин. В ней, основываясь на методе динамического программирования, строятся два типа разложений для J7^ - измеримых случайных величин: (5, (^)-разложение и S'-представление. С точки зрения конечных результатов диссертационной работы эта глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе формулируется одна задача стохастической оптимизации, на решение которой опираются доказательства существования (S, ф)-разложения и «S-представления. Во втором параграфе дается обоснование возможности применения стохастического варианта динамического программирования для решения задачи, сформулированной в первом параграфе, и выводится соответствующее уравнение типа Беллма-на. В третьем параграфе устанавливаются достаточные условия разрешимости уравнения типа Беллмана. В четвертом параграфе определяются оптимальная и є-оптимальная стратегии и устанавливаются условия их существования, а также проверяется их допустимость. В пятом параграфе содержится описание множества вероятностных мер, относительно которых уравнение типа Беллмана разрешимо и существуют оптимальные стратегии. В шестом параграфе определяется (S, ф)-опционалыюе разложение и устанавливаются условия его существования. В седьмом параграфе устанавливаются: а) новые условия существования б'-представления, б) критерий единственности мартингальной меры, заданной на траекториях d-мерной случайной последовательности (StiFf)^^-. В восьмом параграфе рассматриваются два примера решения уравнения типа Беллмана и построения оптимальной стратегии.
Третья глава содержит новые условия существования мер, нейтральных к риску. В этой главе также получены новые условия отсутствия арбитража и новые критерии полноты рынка в терминах функции Беллмана, уравнения типа Беллмана. В первом параграфе вводятся необходимые для изложения определения и обозначения. Во втором параграфе устанав-ливются новые необходимые и достаточные условия существования мар-тингальных мер, основанные на результатах, полученных во второй главе. Кроме того, в этом параграфе построены новые критерии мартингалыюсти вероятностных мер, основанные на свойствах кумулянты. В третьем параграфе устанавливается новый критерий оптимальности стратегий. В четвертом параграфе получены новые условия отсутствия арбитража в терминах функции Беллмана, уравнения типа Беллмана. В пятом параграфе, основываясь на результатах, полученных в седьмом параграфе второй главы, приводится новый критерий полноты рынка. В шестом параграфе рассматривается пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке. В примере также исследуется зависимость между начальным капиталом Хо (р, х) и вероятностной мерой, соответствующей случайной последовательности {St}teNo.
Четвертая глава работы посвящена решению задачи расчета Европейского опциона на неполных рынках. В этой главе обосновывается возможность сведения задачи расчета Европейского опциона к бесконечной анта- гонистической игре двух лиц с нулевой суммой. Сначала рассматривается бесконечная антагонистическая игра. При этом в качестве первого игрока выступает природа, стратегиями которой являются вероятностные меры Q, эквивалентные базовой. Вторым игроком является владелец опциона (эмитент), в распоряжении которого имеется стратегия 7,- В качестве функции выигрыша первого игрока выступает оценка стратегии 7, относительно меры Q: Iq (5.,7.)) явный вид которой приведен в шестом параграфе второй главы. Мы предполагаем, что игроки разумны, т.е. стремятся максимизировать свой выигрыш, и действуют независимо друг от друга. В первом параграфе описывается множество допустимых стратегий природы и второго игрока, а также вводятся необходимые для изложения результатов понятия. Во втором параграфе выводится рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет верхнее гарантированное значение (V^', Pf) N , и устанавливаются условия его разрешимости. Кроме того, здесь устанавливаются: а) условия существования минимаксной стратегии 7«> б) б'-опционалыюе разложение для любой JF^-измеримой ограниченной случайной величины, в) условия существования наихудшего распределения Q*, г) условия су ществования минимаксной бистратегии (Q*,7.)- В третьем параграфе для нижнего гарантированного значения выводится рекуррентное соотношение и устанавливаются условия его разрешимости. Кроме того, здесь устанав ливаются: а) условия существования максиминной бистратегии (Q)7«L б) существование [S,Qj-опционального разложения, описанного в шестом параграфе второй главы. В четвертом параграфе устанавливаются усло вия, которые обеспечивают: а) совпадение верхнего гарантированного зна чения и нижнего гарантированного значения, б) существование бистрате- гии (Q, 72)) являющейся седловой точкой для оценки стратегии I (., 7,) для любого t Є Nq. В пятом параграфе устанавливается методика расчета Европейского опциона на произвольном (В, S^\ ..., 5'^)-рынке. В шестом параграфе рассматриваются два примера расчета Европейского опциона. Важно отметить, что результаты, полученные в работах других авторов, рассмотренных нами в пункте 7, вытекают из результатов, полученных нами в данной диссертационной работе.
Сделаем несколько важных замечаний относительно обозначений ссылок и нумерации формул. Под обозначением вида 1.4.2.2 мы будем понимать ссылку на пункт 1.4.2.2. Под обозначением вида 1.4.2.2г) мы будем понимать ссылку на условие і), содержащееся в пункте 1.4.2.2. Нумерация формул в работе дается в следующем формате: (Nehapter, N formula), где Nchapter - номер главы, N formula - номер формулы в указанной главе.
