Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ предметной области и существующих методов исследования: валютный рынок РФ и модели ценообразования опционов 11
1.1. Анализ валютного рынока Российской Федерации 11
1.2. Обзор состояния рынка производных финансовых инструментов 32
1.3. Модели ценообразования опционов 40
1.4. Оценка моделей вычисления волатильности 47
1.5. Постановка задачи 50
ГЛАВА 2. Разработка модели поведения курсов валют. формирование расчетного алгоритма для валютных пар 51
2.1. Концептуальные основы моделирования 51
2.2. Обоснование выбора модели прогнозирования курсов валютных пар 53
2.3. Разработка подхода к численному решению обратной задачи 55
2.4. Исследование возможностей модели Блэка-Шоулза для оценки справедливой цены опционов для российского валютного рынка 60
ГЛАВА 3. Оценка возможностей применения модели на примере валютного рынка российской федерации 66
3.1. Обзор резких (кризисных) изменений курса российского рубля: причины и последствия для инвесторов 66
3.2. Пример применения метода решения задачи об оценке курса валюты 69
3.3. Пример расчета курса доллара к рублю по курсу евро к доллару 72
3.4. Алгоритм выбора параметров расчета з
3.5. Моделирование выпуска опционов на ФОРТС в спокойные и кризисные периоды 77
3.6. Подходы к хеджированию портфеля инвестора 83
Выводы 89
Список источников и литература
- Обзор состояния рынка производных финансовых инструментов
- Оценка моделей вычисления волатильности
- Разработка подхода к численному решению обратной задачи
- Пример расчета курса доллара к рублю по курсу евро к доллару
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Институциональные особенности развития фондовых рынков российской Федерации заключаются в больших, по сравнению со странами с развитой экономикой, уровнях риска портфельных инвестиций. Так, стоимость акций российских компаний из-за слабо дифференцированной структуры национальной экономики в значительной степени зависят от цен на нефть, прогнозирование изменения которых в настоящее время существенно затруднено. Поэтому развитие рынка производных финансовых инструментов является наиболее значимым фактором повышения привлекательности российского фондового рынка и механизмом привлечения иностранных инвестиций. Кроме того, данные инструменты позволяют осуществлять инвестиции инвесторам, предпочитающим не осуществлять вложения в акции с высоким уровнем странового риска. Таким образом, благодаря перераспределению рисков между различными категориями участников, развитие торговли ПФИ способствует снижению общего системного риска на фондовом рынке и улучшению институциональной среды реального сектора экономики.
Совершенствование стратегий хеджирования опционов является значимым инструментом повышения эффективности деятельности фондовых рынков Российской Федерации. Так, одной из ключевых задач, которую ставит сегодня перед собой ФБ «РТС», является разработка и внедрение широкого спектра финансовых инструментов, позволяющих управлять ценовыми рисками. Динамичное развитие рынка ПФИ определяет необходимость совершенствования стратегий хеджирования, оценки стоимости производных инструментов, прогнозированию поведения курсов валют.
В настоящее время существующие инструменты хеджирования активно применяются на фондовых и валютных рынках развитых стран, однако применение их в практике российских финансовых компаний, осуществляющих деятельность на рынке, является ограниченной вследствие того, что при их использовании не полностью учитывается современное состояние развития национальной экономики и инфраструктуры финансовых рынков, которые отражаются в частности на волатильности рынков. Необходимость создания инструментов, позволяющих снижать уровень риска инвестирования в производные финансовые инструменты, определяет актуальность данного исследования.
Целью исследования является разработка метода вычисления волатильности рынка, на основе имеющихся исторических данных, позволяющего принять торговое решение о покупке или продаже опционов на срочном рынке и уменьшению возможных потерь при дельта-нейтральном хеджировании.
Задачи исследования. Выбранная цель определила постановку и решение следующих задач:
Исследование существующих особенностей российского фондового рынка;
Оценку существующих методов вычисления волатильностей и выявлению ограничений их применения;
Определение возможностей совершенствования метода вычисления
приведенной волатильности с целью уменьшения дисбалансов;
Разработка метода оценки волатильности рынка.
Проведение эксперимента с целью проверки работы предложенной стратегии в кризисные и спокойные периоды.
Объект исследования. Объектом исследования является российский валютный рынок.
Предмет исследования система экономических отношений, возникающих при функционировании рынка ценных бумаг и валют в части возникновения, перераспределения и снижения рисков инвесторов.
Теоретическую основу диссертационного исследования составили научные труды и публикации ведущих отечественных и зарубежных экономистов, посвященные проблемам управления рисками, проведения операций хеджирования, определения справедливых цен опционов. В качестве информационной базы использовались законодательные и нормативные акты Российской Федерации, официальные статистические материалы, материалы периодической печати по изучаемой проблематике, аналитические и статистические обзоры, информационные исследования финансово-кредитных институтов.
Методологической основой проводимого исследования являются общенаучные эмпирическо-теоретические методы анализа и синтеза, а также метод индукции. Исследование также базируется на теории сейсмики, теорией математической физики и основных положениях экономической теории.
Степень научной разработанности проблемы. Проблематика снижения риска при финансировании в ПФИ впервые была исследована в работах Л. Башелье, Ф. Блэка , М. Шоулза и Р. Мертон. В дальнейшем, данная модель была исследована в трудах Дж. Кокса , Р. Росса и М. Рубинштейна в части исследования моделей ценообразования опционов в дискретном времени. При этом применение данных моделей в настоящее время полностью не изучено. В настоящее время исследования в области моделирования хеджирования ПФИ развиваются в работах С. Н. Волкова, А. В. Мельникова, М. Л. Нечаева, В. Н. Тутубалина, А. Н. Ширяева и других авторов.
При этом, несмотря на широкую разработанность моделирования хеджирования ПФИ, в прикладном аспекте методика требуют доработки в целом и адаптации к условиям российских рынков ПФИ.
Методология и методика исследования. Теоретической и методологической основой работы являются исследования в области математической экономики, финансовой математики, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, теории математической физики и теории оптимизации.
В ходе исследования были использованы труды В. Е. Барбаумова, Ф. Блэка, Ф. П. Васильева, Дж. Кокса, А. Н. Колмогорова, Дж. Линтнера, Т. МакУолтера, А. В. Мельникова, Р. Мертона, О. Моргенштерна, Дж. фон Неймана, Р. Росса, М. Рубинштейна, В. Н. Тутубалина, Л. С. Понтрягина, Дж. Пратта, У. Шарпа, А. Н. Ширяева, М. Шоулза, П. Эмбрехтса, К. Эрроу и других отечественных и зарубежных математиков, физиков и экономистов.
Тема работы соответствует п.1.6. паспорта специальности 08.00.13 «Математические и инструментальные методы в экономике»
Информационная база. Информационную базу исследования составили статистические данные о торгах акциями и ПФИ в секторах «Биржевой рынок» и «Срочный рынок» ФБ «РТС», опубликованные в открытом доступе на официальном сайте ФБ «РТС» (www.rts.ru).
Научная новизна заключается в развитии методологии математического моделирования хеджирования опционов с целью управления рисками инвесторов на рынках валют и ценных бумаг, которое заключается в обосновании модели поведения курсов валютных пар, дальнейшем развитии расчетных алгоритмов, заключающееся в интегральном представлении решения уравнения Блэка-Шоулза, оценки эффективности новых методов вычисления основного параметра рынка – волатильности, для применения в различных методах расчета справедливых цен опционов.
Положения, выносимые на защиту. Автором самостоятельно получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:
-
Систематизированы факторы и причины, определяющие современные тенденции развития срочного рынка;
-
Дана оценка правового положения основных срочных контрактов, что позволило выявить дополнительные возможности применения инструментов хеджирования;
-
Разработан новый подход к вычислению справедливой цены опциона типа колл на кризисных периодах рынка;
-
Предложено совершенствование методологии снижения риска инвестирования на валютном рынке, в частности, доказана теорема, в которой утверждается, что валютные пары удовлетворяют интегральному уравнению Гельфанда-Левитана.
-
Показана эффективность вычисления одной валютной пары по второй, используя метод преобразования Фурье и регуляризации по Тихонову при решении интегрального уравнения типа свертки для валютных пар.
-
Проанализировано влияние всех переменных, входящих в решение Блэка-Шоулза и предложено совершенствование расчетного алгоритма хеджирования опционов, в частности, доказана теорема о представимости решения Блэка-Шоулза в виде интегрального уравнения Фредгольма с полярным ядром.
-
Разработаны рекомендации по совершенствованию системы гарантийного обеспечения российского срочного рынка в целях повышения доверия инвесторов к операциям на данном сегменте финансового рынка, в частности, предложены стратегии хеджирования, позволяющие реализовать потенциал российского срочного рынка с использованием новых индексных инструментов.
Достоверность результатов исследования. Достоверность полученных результатов обеспечивается построением экономически обоснованных математических моделей, строгостью применения математических методов при исследовании этих моделей. Основные положения сформулированы в виде теорем и доказаны. Также о достоверности теоретических результатов свидетельствует совпадение их частных случаев с известными результатами. Достоверность практических расчетов основана на использовании реальных данных, находящихся в открытом доступе на официальном сайте ФБ «РТС».
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Теоретические положения и выводы работы могут быть использованы для анализа специфики операций хеджирования на отдельных рынках и при выработке направлений инвестиционной политики. Некоторые выводы также могут быть учтены при разработке государственных программ финансовой стабилизации. Материалы диссертации могут быть использованы в учебных целях в качестве пособия для студентов, изучающих финансовую математику. Практическая значимость полученных в ходе исследования результатов заключается в возможности их широкого использования участниками фондового рынка России, с целью принятия оптимального решения в части управления рисками.
Апробация результатов исследования. Результаты работы представлены на международной конференции: Одесса, «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании», 2009 г.
Публикации. Всего по теме опубликовано 7 работ: 3 из них в научных рецензируемых журналах из списка ВАК, 2 в зарубежном журнале, 2 в материалах международных конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы и приложений. Основной текст работы составляет 130 страниц, в том числе 15 рисунков и 5 таблиц; список литературы содержит 172 наименования; 5 приложений включают 5 таблиц.
Общая структура работы, предопределенная предметом и задачами исследования, такова:
2.3. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА В ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ВАЛЮТНОГО КУРСА
2.4. УРАВНЕНИЕ БЛЭКА-ШОУЛЗА
2.4.1. Свойства решения уравнения Блэка-Шоулза
2.4.2. Сведение уравнения Блэка-Шоулза к интегральному уравнению
2.4.3. Аналитическое продолжение решения
3.1. ОБЗОР РЕЗКИХ ИЗМЕНЕНИЙ КУРСА РОССИЙСКОГО РУБЛЯ: ПРИЧИНЫ И ПОСЛЕДСТВИЯ ДЛЯ ИНВЕСТОРОВ
ВЫВОДЫ
Обзор состояния рынка производных финансовых инструментов
Сопоставляя курсы валют, участники сделки получают выгоду. Та прибыль, которая получается в результате валютной сделки и где учитывается процентная ставка ссудного капитала на различных валютных площадках, именуется процентным арбитражем. Для сокращения возможных рисков при валютных операциях необходимо учитывать прогнозы курсов валют. Возможные потери, возникающие в результате колебания курсов, называются валютный риск. Он может возникнуть при разнице требований и обязательств. В этом случае банку приходится покупать недостающий объем валюты по установленному на момент сделки курсу. При этом отдавать её он должен по старому курсу.
Как правило, банки, имеют в своём арсенале различные способы страхования валютных рисков, которые именуются хеджирование. Правительство и Центральный банк РФ с 1997 года проводят политику, обеспечивающую стабильность национальной валюты, а также эти действия направлены на повышение конкурентоспособности отечественной промышленности на внутреннем и международном рынках. В результате этих действий создаются условия для притока иностранных инвестиций и «дедолларизации» экономики. Постоянно развивая и укрепляя законодательную базу, эти государственные органы определяют параметры изменения официального курса рубля к иностранным валютам на каждый год, основывая параметры коридора на ежедневных котировках Центрального банка России. ЦБ РФ также проводит работу по ограничению курсовых колебаний валюты на межбанковском и биржевом валютных рынках. Выполняется это путем установки официального курса валют по отношению к рублю и курсов продажи и покупки по операциям в заданных пределах.
Такой механизм регулирования курса валют гарантирует возможность покупки и продажи иностранной валюты на внутреннем рынке без каких-либо ограничений при учете действующего законодательства, а также руководствуясь мерами бюджетной, денежно-кредитной и валютной политики государства [56,68]. Такая валютная политика, начавшаяся в июле 1997 года, дала ощутимые результаты, и привело к стабилизации курс рубля. Установленные границы курсовых колебаний значительно ограничивают изменения в курсах иностранных валют по отношению к рублю и дают участникам внешнеэкономической деятельности определенные ориентиры.
Верхняя граница, установленная Центральным банком, сдерживает возможное обесценивание рубля и является важным фактором в антиинфляционном процессе, что эффективно отражается на темпах внутреннего обесценивания национальной валюты. Эпохальным этапом в становлении валютной политики страны стало то, что Правительство и ЦБ России в июне 1996 года сняли все ограничения на конвертацию рубля по текущим операциям, руководствуясь международными обязательствами. Это позволило создать принципиально новые условия процесса курсообразования и помогло привлечь многомиллиардные иностранные инвестиции в экономику.
Задачи, которые решает Центральный банк России при формировании курсовой политики начиная с 1997 года, определяются в первую очередь повышением внутренней и внешней стабильности рубля, а также избавления российской экономики от долларизации путем обеспечения динамического развития различных секторов финансового рынка. Так же решается задача по популяризации у населения сбережений в национальной валюте. Важным фактором, который ограничивает и способствует достижению этих целей, является сохранение на минимальной достаточности золотовалютных резервов. Границы параметров колебаний валютных курсов, степени наклона, а также предельных количественных значений определяются на основе прогнозов социально-экономического развития страны. При этом учитываются макроэкономические прогнозы, динамика изменения внутреннего валового продукта, инфляционные процессы, дефициты федерального бюджета, а также платежный баланс страны. Важным в выборе параметров является официальный уровень золотовалютных резервов. При определении наклонного коридора в 1997 году ЦБ РВ брал в расчеты неизменность курса рубля по отношению к американскому доллару.
Номинальное снижение курса прогнозировалось на этот период на уровне 8,5%. А на практике курс рубля по отношению к доллару изменился на 7,2%. Это означает, что разница в прогнозируемых темпах роста потребительских цен в США составляет 2,9% и в России - 11,8%. При этом ширина наклонного коридора была оставлена неизменной. Прилагаемый график наглядно иллюстрирует картину изменений курсов немецкой марки и американского доллара к российскому рублю. Установленные границы валютного коридора в целом определяли гибкость движения курса валют, обеспечивая при этом выполнение всех обязательств Банком России при возникновении каких-либо отклонений в текущей экономической ситуации в стране от прогнозируемой [73]. Девальвация рубля по своим среднемесячным показателям ограничена диапазоном от 0,3 до 1,1%.
По мнению руководителей Банка России, практика установки границ валютного коридора - это обоснованный выбор, и он даёт важные экономические ориентиры для прогнозирования и планирования своей деятельности всем экономическим субъектам Российской Федерации, и тем самым обеспечивается достижение цели, которая стоит при формировании курсовой политики страны.
Механизмы снижения валютных рисков Для регулирования валютных рисков уполномоченные банки, которые держат открытую валютную позицию, используют специальные механизмы. В статье уже отмечалось, что валютный риск напрямую зависит от получения возможных дополнительных доходов или расходов при учете изменения курса валют. Со своей стороны ЦБ России устанавливает и контролирует соблюдение лимита открытой валютной позиции уполномоченными банками, что снижает данный риск. Остатки средств в иностранной валюте называются валютной позицией, которая и формирует активы и пассивы банка, где учитываются внебалансовые требования, а также обязательства по открытым операциям в валюте, соответствующей сделке [43]. В этом случае создается риск получения, как дополнительных доходов, так и расходов при возможных колебаниях курса валюты.
Разница, которая формируется за счет остатков средств в иностранной валюте, формирующая несовпадающие активы и пассивы, называется открытая валютная позиция. Она учитывает также внебалансовые требования и обязательства по открытым операциям в каждой валюте отдельно и фиксируется на основе действующего в стране порядка бухгалтерского учета, балансовых и внебалансовых записей. Также учитываются данные оперативного анализа, которые отражают требования получения и обязательства поставки средств в выбранной валюте при завершении расчета на отчетную дату и по истекающей, после отчетной даты.
Оценка моделей вычисления волатильности
Причины, по которым развивался кризис в Российской федерации, находятся за пределами нашего государства. Однако обстоятельства в народном хозяйстве ухудшаются, как всегда, не без оснований. Обычно, кризис предваряет цепь явлений, оказывающих постепенное воздействие на ход экономических процессов, которые и приводят в конечном итоге к кризисным явлениям.
Россия давно зависит от инвестиций, которые иностранные компании вкладывают в нашу экономику [60,82]. Это обычно связано с финансовым интересом и инвестиционной привлекательностью наших компаний. При наступлении кризиса и естественного оттока инвесторов, резкая нехватка ликвидности, которую весьма трудно покрыть внутренними возможностями страны достаточно сложно. Теперешние финансовые сложности - это проблемы нашего фондового рынка, перешедшие в экономику. Главной проблемой является замещение денег иностранных инвесторов внутренними - государственными. Обеспечить это возможно создав приоритет для внутреннего рынка, выпуская краткосрочные и долгосрочные ценные бумаги для развития экономики и для внутренних инвесторов [60,74].
В первую очередь неопределенность изменения курсов валют в кризисные периоды влияет на крупные компании ориентированные на экспорт. Сначала это будет связано со снижением покупательской способности, избытком товаров и дефляцией, а также дефицитом ликвидности предприятий — компании, продукция которых имеет высокую себестоимость, вынуждены останавливать производство, уменьшая потребность в сырьевых ресурсах (а они составляют до 75% экспорта страны) [69,73].
В период кризиса, как правило, все основные усилия государственного регулирования направлены на то, чтобы поддержать и оставить на плаву системообразующие банки. Между тем, для малых региональных банков, а также для представителей малого бизнеса в период нестабильного изменения конъюнктуры рынка, практически отсутствует способ страхования собственных рисков. Из-за этого многое не смогут «пережить» финансово-экономический кризис, что, по нашему мнению, недопустимо, ведь вклад малого бизнеса в экономику страны составляет порядка 25% [13,33,69].
После отмены Бретон-Вудской валютной системы в 1971 году, которая была заменена системой плавающих курсов, стала увеличиваться неопределенность при принятии торговых решений. В действительности, переход на новую систему обменных курсов еще больше усугубился тем, что изменения эти происходили, как правило, скачкообразно.
Колебания валютных курсов с начала 80-х годов увеличилась. Отклонения курсов более чем на 30% в течение года, уже не вызывала удивления. Одним из способов преодолеть эту проблему, явилось образование Европейской валютной системы, которая помогла значительно снизить неуверенность для стран входящих в неё, т.к. между ними были зафиксированы обменные курсы. Однако для остальных стран, не входящих в союз, риск остается. Компании в свою очередь, имеют проблемы в своих финансовых операциях с рисками, поэтому существует потребность в инструментах снижения степени неопределенности. Например, такими как хеджирование. Хеджирование обозначает обеспечение стабильности будущих обменных курсов и процентных ставок, а, следовательно, и гарантируют некоторую компенсацию убытков от их изменения за счет получаемых прибылей [42,44].
Одним из вариантов преодоления неопределенности может являться фиксирование цен на товары в базовой валюте компании-экспортера, однако таким образом лишь перенесет валютный риск на импортера [74].
Если риск, существующий в экономике, определять как вероятностную зависимость от воздействия изменений обменного курса на экономическое положение компаний, например, при уменьшении объема товарооборота или изменении цен компании на сырьё и готовую продукцию по сравнению ценами на внутреннем рынке, то факторы, оказывающие влияние на саму фирму могут иметь и другие источники, например, действия правительства на неблагоприятные скачки курса валюты или изменение ставки рефинансирования [126].
Многие товары сырьевой группы обычно оценивают в определенной иностранной валюте. Нефть, например, хоть и торгуется на нескольких площадках, цена на неё фиксируется только в долларах. Компании, которые получают доходы в других валютах, могут быть подвержены риску возможных убытков при повышения курса доллара по отношению к валютам, которыми они оперируют. Одним из примеров являются транспортные компании, использующие иностранную технику, по которой они могут иметь обязательства по долгам.
На сегодняшний день в России основные операции с ПФИ (более 90%) поделены между несколькими торговыми площадками. Инструменты, которые находятся в обращении, включают фьючерсы и опционы на доллар США, на корпоративные ценные бумаги, на ГКО, на индексы ММВБ и РТС [15,62]. Отметим, что фьючерсный контракт заключается только на бирже. Его условия разрабатывает она сама. А они всегда будут стандартными для всех конкретных видов актива. В связи с этим, обычно фьючерсные контракты, являются высоколиквидными и поэтому имеют достаточно широкий вторичный рынок, так как по своим условиям они одинаковы для всех инвесторов. Заключением таких сделок получают не только реальную поставку/приемку актива, но и хеджирование позиций контрагентов или игру на разнице цен. Известно, что только 5% контрактов заканчиваются реальной поставкой активов, а остальные ликвидируются с помощью оффестных сделок [60,62,73].
Рассмотрим теперь группу экспериментов, которые связанны с созданием прогноза поведения валютных курсов на торгах, а поэтому оказывающие сильное влияние на покупку или продажу опционов, с целью хеджирования рисков.
Разработка подхода к численному решению обратной задачи
Исторически так сложилось, что доллар США в России является наиболее конвертируемой валютой и объем торгов по паре доллар/рубль является доминирующим. В связи с этим, рынок опционов на доллар США достаточно ликвидный и хорошо подходит для исследования наших предположений [28,35].
Для одного из этапов нашего исследования взят временной интервал 2000-2002 гг., длиной 18 месяцев. Первые 12 месяцев данных необходимы для оценки годовой волатильности и определения теоретической цены. Далее в период с октября 2001 г. по февраль 2002 г. имитируется выпуск 3-х месячного опциона колл на доллар по страйк цене равной рыночному курсу на день выпуска опциона. Результат оценивался по реальному изменению курса в период с февраля 2002 г по апрель 2002 г. Данный период был выбран исходя из поведения рынка, так как в этот период наблюдался рост курса, и покупка опционов была востребована. При расчетах безрисковой ставкой было принято значение 12% годовых, исходя из средней доходности банковского вклада [23,24].
В приложении №1 представлена таблица № 1 с данными вычисления волатильностей: годовой, 3-х месячной, месячной и недельной.
Так как волатильность пропорциональна квадратному корню из продолжительности ряда, мы привели все значения к годовой волатильности, так как именно такая волатильность используется в формуле Блэка-Шоулза [29].
Поскольку самое важное значение для 3-х месячных опционов это 3-х месячная волатильность, затем по важности определяем месячную и следом годовую и недельную, итоговая формула выглядит так: месячная недельная G опт
Расчетные волатильности Затем по формуле Блэка-Шоулза подсчитываем стоимость опциона колл, с ценой экспирации равной рыночной цене (т.е. покупатель опциона страхует себя от быстрых скачков курса) [42,44,50], используя как обычную годовую волатильность так и по предложенному в данной работе методу.
Далее для каждого опциона сравниваем уплаченную премию с фактическим изменением курса за 3 месяца — разницу назовем сдвигом.
Сложив полученные значения за 90 дней, мы можем оценить - была ли стоимость опциона завышена (полученной значение меньше нуля) или занижена (полученное значение больше нуля).
Исходя из смысла справедливой цены опциона, определяемой формулой Блэка-Шоулза, на большом промежутке суммарный сдвиг должен стремиться к нулю, так как при правильной цене опциона, его цена равна математическому ожиданию изменения курса.
В таблице 2 (см. Приложение 1) даны цены опционов двумя способами, подсчитаны сдвиги для каждого опциона и суммарный сдвиг за 3 месяца.
Эксперимент показал, что при использовании для расчета цены обычной волатильности сдвиг в 12 раз превышал значение полученной с помощью нашей модели, это свидетельствует о недооценки опциона классическим подходом.
Для оценки результатов в кризисный период был выбран период мирового финансового кризиса 2008-2009(10) годов. Как известно, с начала июля 2008 года, курс рубля относительно доллара США потерял стабильность, ЦБ РФ не смог удержать национальную валюту в утвержденном коридоре, что привело к удорожанию так называемой «бивалютной корзины». Одним из наиболее простых и очевидных вариантов решения подобных проблем является покупка опционов на валюту, с днем экспирации на день оплаты контракта, по заранее известному курсу, с тем, что бы проект в целом, не зависел от колебаний курса, и общий риск свести к минимуму. Конечно, нужно учитывать, что как и любое другое страхование, в итоге покупка опционов повышает затраты инвестора, и в период стабильности, многими инвесторами относится к категории излишних. Однако, неожиданные скачки курса в 1998 и 2008 году, говорят о том, что этот вывод необоснован.
Как уже упоминалось выше, в связи с недостаточной развитостью российского рынка производных инструментов, далеко не всегда на нем можно приобрести нужный опцион и в нужном количестве по адекватной цене. Одна из главных причин этого отсутствие больших игроков хеджеров, но присутствие большого числа мелких спекулянтов, вследствие отсутствия четкого понимания правильного ценообразования опционов. Предложенная модель дает удовлетворительные результаты в относительно спокойные периоды, однако остается открытым вопрос о применимости её в периоды кризиса.
В рамках данного исследования мы провели эксперимент, в котором выступали от лица эмитента опциона. Для удобства расчетов, был сымитирован ежедневный выпуск 3-х месячного опциона в период с июня (опцион на сентябрь) 2008 года, по конец февраля 2009 года, со следующими параметрами:
Среднегодовая волатильность а пропорциональна стандартному отклонению OSD стоимости финансового инструмента и обратно пропорциональна квадратному корню временного периода, таким образом, мы вычислим волатильность за последние 3 месяца, месяц, неделю и сделаем оценку годовой волатильности исходя из поведения курса на более коротких, но более достоверных(менее удаленных по времени данных) периодах.
Таблицу полученных данных можно увидеть в Приложении №1, таблице №3. Как видно, годовая волатильность весь период наблюдений растет, что приводит к тому, что колебания актива находят отражение в ценах опционов с большим запозданием, не дающим участникам рынка возможности ориентироваться в своих расчетах на классическую модель.
На основе полученных данных, используя модель Блэка-Шоулза, вычислим цену опциона. Предположим, что банк, выпускает по одному опциону каждый день, и в конце периода подсчитывает прибыль-убыток, имея данные о реальном поведении курса, можно вычислить баланс на дату экспирации последнего опциона. Классический подход, принес эмитенту суммарный убыток в 531 рубль, что в пересчете на один опцион 2,8 рубля (порядка 10%). Этот результат говорит о том, что цена опциона была занижена, так как было занижено ожидание о колебаниях рынка, т.е. значение волатильности.
Учитывать годовую волатильность для определения текущей ситуации не имеет смысла, поэтому используем только 3-х месячную, месячную и недельную волатильность с возрастанием значимости.
Пример расчета курса доллара к рублю по курсу евро к доллару
Поскольку нашей задачей является имитация выпуска опционов-колл на покупку долларов по страйк цене равной курсу на день выпуска (покупатель подобного опциона будет страховать себя от роста курса валюты), то на известно, что для этого, следуя теории Блэка-Шоулза, необходимо вычислить волатильность в каждый момент времени, основываясь на предыдущем опыте.
В приведенном выше графике, по оси абсцисс отложено время в днях от начала измерений курса. В начальный момент времени t = О хеджер получает за опцион цену с Блэка-Шоулза и может сформировать свой портфель \PQ, YQ ) соответствии с теоретическими предписаниями: J30 = J30 ,у0 = у0.
Далее нужно выбрать шаг по времени, и в моменты времени, разделенные этим шагом, как-то подправлять портфель. С учетом операционных расходов не будем изменять портфель слишком часто, а скажем, один раз в день (по ценам закрытия) или один раз в неделю (т.е. в пять торговых дней).
Таким образом, количество бон в портфеле и количество долларов не совпадают с теоретическими, поэтому нужно чему-то отдать предпочтение. Приоритетом для хедера, как более управляемый актив, является количестве долларов, и мы примем такой сценарий, когда в дискретные моменты количество валюты делается равным теоретическому. Но можно также принять количество бон равным теоретическому, что было бы неизбежным, если представить себе, что хеджер берет боны не из собственного капитала, а получает от условного фонда, который дает ровно столько, сколько требуется теорией. Итак, мы постулируем, что при t = kn, к = ОД,... количество валюты в портфеле (которое мы теперь обозначим Yv) и соответственно количество бон обозначим ДО) дается равенством но=г: (74) При этом Р\у) — pt в силу сценария, при котором цена опциона (начальный капитал хеджера) равна цене Блэка-Шоулза, но при t О равенство теоретического и реального числа бон соблюдаться не будет. Таким образом, возникнет дисбалан: (75) D(0 = /?(0-A . равный разности между реальным и теоретическим числом бон в портфеле в момент t = kh . Весь вопрос состоит в том, велики или малы получающиеся значения дисбалансов, а в особенности, последнее значение D(T). Разобьем анализируемые данные на 3000 дней, на 100 интервалов по 30 данных о курсах (с учетом выходных дней это в среднем это 40-45 календарных дней).
Для каждого интервала имитируем выпуск опциона на покупку 1 доллара по цене на день выпуска и исполнением в день через 30 изменений курса (примерно 6 календарных недель). Согласно теории Блэка-Шоулза будем использовать самофинансируемый портфель исходя из волатильности зафиксированной на начало периода.
Одновременно вычислим теоретическое количество рублей в виде бонов. Для каждого интервала зафиксируем разницу в конце периода между фактическим и теоретическим значением бонов, поделим на цену опциона и в итоге получим искомый приведенный дисбаланс.
Итоговый график дисбаланса выглядит таким образом (рис.3.15): Рис.3.15 График дисбаланса.
Мы видим три четких провала в дисбалансе, которые говорят о том, что в моменты кризисов (описанных выше), хеджирование становиться не таким успешным. И, наоборот, в периоды «покоя» мы видим приведенный дисбаланс близкий к 1, т.е. к цене опциона, что очень хорошо согласуется с теоретическим нулевым результатом хеджирования (банк, пользуясь этой стратегией, должен на выходе получить ноль, т.е. хотя бы не проиграть). ВЫВОДЫ
В данной работе рассмотрены различные аспекты валютного рынка и рынка производных финансовых инструментов, модель прогнозирования поведения валютного курса, модели хеджирования опционов.
Был проведен анализ рынка производных инструментов. В частотности было показано, что на сегодняшний день рынок производных инструментов используется участниками финансовых рынков следующим образом. Основным направлением является процесс хеджирования с целью управления системными рисками связанными с колебаниями различных рынков. Также перспективным направлением является размещение активов при помощи ПФИ. Операционные издержки на рынке ПФИ существенно ниже соответствующих операций на наличном рынке, при этом рынок обеспечен достаточной для таких операций ликвидностью. Так как использование ПФИ связано со снижением рисков, это дает дополнительные возможности повышение доходности за счет диверсификации активов. Используя информацию о ценах на рынке производных инструментов, можно сделать выводы о наличном рынке, которые невозможно сделать напрямую. Например, можно определить ожидаемую волатильности рынка, что благодаря полученному нами новому представлению решения Блэка-Шоулза, легко вычисляется через решение обратной задачи интегрального уравнения Фредгольма с полярным ядром.
На основе анализа поведения валютных курсов была выдвинута гипотеза о том, что курсы валют удовлетворяют обратной одномерной задаче теории распространения волн - интегральному уравнению Гельфанда-Левитана в котором: роль источника выполняет колебания курса валюты на ведущей бирже (например пара доллар/евро), роль приемника — зарегистрированный курс валюты на национальной бирже, роль плотности - стоимость валюты на национальной бирже. Была доказана теорема, что валютные пары удовлетворяют интегральному уравнению Гельфанда-Левитана. Причем выводится интегральное уравнение не через задачу теории упругости, использующей закон Гука, а путем преобразования производной по времени функции первой валютной пары. То, что получилось в результате интегральное уравнение Гельфанда-Левитана априори не было известно и, безусловно, является значимым результатом.
Показана эффективность вычисления одной валютной пары по второй, используя метод преобразования Фурье и регуляризации по Тихонову при решении интегрального уравнения типа свертки для валютных пар. Ошибка долгосрочного прогноза не превосходила 6-10% при доверительной вероятности 0,95.
Похожие диссертации на Математическое моделирование хеджирования опционов на примере валютного рынка Российской Федерации
