Содержание к диссертации
Введение
1. Иммунизация как метод управления портфелем обязательств 8
1.1. Основные принципы управления портфелем обязательств 8
1.2. Стратегии согласования финансовых потоков 20
2. Иммунизация для скалярной процентной ставки 31
2.1. Постановка задачи 31
2.2. Построение иммунизационной модели и ее математическое обоснование 33
2.3. Иммунизация портфеля обязательств с простой структурой 38
2.4. Иммунизация портфеля обязательств общего вида 46
2.5. Учет возможности досрочного завершения иммунизации 47
2.6. Бинарная (повторная) и предельная иммунизации 49
2.7. Максимизационная иммунизация 59
3. Иммунизация для векторной процентной ставки 68
3.1. Постановка задачи 68
3.2. Адаптация иммунизационной модели к случаю негоризонтальной кривой доходности 70
3.3. Векторная иммунизация портфеля обязательств с простой структурой 84
3.4. Векторная иммунизация портфеля обязательств общего вида 98
3.5. Учет возможности досрочного завершения векторной иммунизации 99
3.6. Бинарная (повторная) векторная иммунизация 102
3.7. Максимизационная векторная иммунизация 102
Основные выводы 112
Литература 113
Приложение
- Стратегии согласования финансовых потоков
- Построение иммунизационной модели и ее математическое обоснование
- Учет возможности досрочного завершения иммунизации
- Адаптация иммунизационной модели к случаю негоризонтальной кривой доходности
Введение к работе
Актуальность исследования. Рынок обязательств традиционно является привлекательным для широкого круга инвесторов. Это объясняет значительное внимание, уделяемое проблеме эффективного управления портфелем обязательств в теории корпоративных финансов [7, 11, 16, 19-20, 25, 36, 38-39, 43, 61, 63, 66, 71, 73-74, 79, 82, 93, 101-102, 117-118]. При этом актуальной является не только задача максимизации доходности при заданном уровне риска, но и двойственная к ней - минимизация риска при приемлемом уровне доходности.
Общепринятым методом минимизации несистематического риска, которому посвящена обширная литература [5, 7-8, 16, 19-20, 32, 36, 38-39, 61, 63, 66, 71, 74, 93], является диверсификация активов. При этом, по крайней мере теоретически, несистематический риск может быть сделан пренебрежимо малым. Способам минимизации систематического риска также посвящено много исследований [7, 8, 11, 16, 19-20, 25, 37-41, 43-80, 82-92, 94-96, 98-100, 103-113, 116, 119-125], однако эти методы изучены в гораздо меньшей степени, нежели процедура диверсификации.
Таким образом, проблема разработки и применения наиболее экономически обоснованных и эффективных стратегий минимизации систематического риска портфеля финансовых обязательств в условиях изменчивости процентных ставок является весьма актуальной и способствует не только более эффективным действиям участников рынка, но и его стабилизации.
Цель и задачи исследования. Цель исследований, представленных в работе, состоит в разработке методов и стратегий, позволяющих снизить влияние изменчивости процентных ставок на эффективность портфельных инвестиций фирмы на рынках обязательств.
Цель достигается посредством решения комплекса задач, связанных с разработкой, апробацией и статистическим подтверждением методов хеджирования процентного риска, основанных на обобщении классической иммунизационной модели Самуэльсона с существенным расширением границ ее применимости.
Предмет и объект исследования. Объектом исследования является рынок обязательств. Предметом исследования является процесс хеджирования процентного риска инвестиционного портфеля обязательств, а также анализ последствий реализации предложенных методов.
Теоретической и методологической основой исследования стал широкий ряд работ в области современной теории финансов, в частности концепция иммунизации (J.R.Barber, G.O.Bierwag, M.L.Copper, I.A.Cooper, L.Fisher, H.G.Fong, G.G.Kaufman, C.Khang, A.Toevs, O.A.Vasicek, R.L.Weil), а также основы классического математического анализа.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложена новая модель иммунизации, которая является обобщением классической модели Самуэльсона и позволяет:
хеджировать процентный риск в условиях дискретного начисления процентов;
снизить погрешности применения классической иммунизации, связанные с отсутствием дробимости реальных активов;
хеджировать произвольные изменения процентной ставки;
получать доход от иммунизации;
осуществлять лишь одно управленческое воздействие в течение удобного для инвестора промежутка времени, что ведет к снижению трансакционных и управленческих издержек;
Известная иммунизационная модель Самуэльсона позволяет хеджировать процентный риск, выравнивая современные стоимости и дюрации (среднее время погашения) актива и пассива.
- рассматривать случай как зависимости, так и независимости процентной
ставки от срока заимствования.
На основе разработанной модели:
- предложен ряд стратегий, позволяющих снизить влияние
систематического риска, в частности, ролл-иммунизационная , повторная,
предельная и максимизационная стратегии иммунизации.
Получены статистические подтверждения приведенных стратегий.
Практическая значимость. Предложенные в работе управленческие стратегии применимы в качестве процедур иммунизации на рынках финансовых обязательств. Серия статистических экспериментов, проведенная на примере рынка ГКО, показала высокую эффективность предложенных методов.
Реализация результатов. Некоторые из полученных стратегий, а именно:
а) простейшая стратегия иммунизации;
б) стратегия ролл-иммунизации;
в) стратегии повторной и предельной иммунизации
были успешно использованы в деятельности Филиала ОАО Банк МЕНАТЕП в г. Воронеж в 1997-1998 гг.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены и обсуждены:
на 20-й международной конференции "Системное моделирование социально-экономических процессов";
на 52 и 53 научно-технических конференциях ВГАСА (1997-1998 гг.).
на семинарах отделения № 5 "Проблемы моделирования
производственных комплексов" ЦЭМИ РАН (1999-2000 гг.). Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ.
Ролл-иммунизация состоит в иммунизации портфеля активов на меньший срок, чем необходимо, с последующим повторением процедуры иммунизации, при наступлении данного срока.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных выводов, списка литературы и шести приложений. Диссертация изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 9 рисунков, 11 таблиц и список литературы из 125 наименований.
Стратегии согласования финансовых потоков
Стратегии согласования финансовых потоков разработаны, в первую очередь, для консервативных инвесторов, которым необходим метод гарантирования будущих выплат по исходящему потоку [7, 36, 38-39, 61, 63, 66, 71, 73-74, 79]. Техника согласования финансовых потоков основана на использовании понятия дюрации, определяющей чувствительность финансового потока к изменению процентной ставки.
Дюрация (иногда упоминается также как протяженность или длительность), введенная Ф. Маколи (Macaulay) в 1938 году [100], является мерой "средней зрелости" потока платежей и, как отмечается в работах [7, 11, 16, 19-20, 35-36, 38-39, 43-44, 49-50, 57-59, 61-62, 64-67, 70, 73-74, 82, 96, 99 100, 103, 106-107, 122-123], представляет собой синтетический показатель оценки процентного риска. Более точно дюрацию можно определить как взвешенное среднее сроков времени до наступления остающихся платежей. Веса в этой средней задаются долей соответствующих дисконтированных выплат в текущей стоимости финансового потока. Таким образом, формула дюрации для потока, образованного из выплат сумм Cj в моменты времени tj, выглядит следующим образом: где dj(tj) - дисконтирующий множитель, рассчитываемый для выплат Cj, получаемых в момент времени t,; Р - современная стоимость финансового потока.
Рассмотренное определение дюрации носит общий характер, на практике показатели продолжительности различаются в зависимости от предположений о соответствующих нормах дисконтирования. Эти показатели также различаются в зависимости от целевого назначения. Так, если дисконтные множители рассчитываются исходя из предположения о равенстве норм дисконтирования и доходности к сроку погашения (г): мы приходим к определению дюрации по Маколи [100]. В показателях продолжительности второго поколения используют дисконтные множители, которые рассчитываются на основе кривой дохода, построенной для обязательств с нулевым купоном [36, 50, 62, 64, 67, 70, 107].
Дюрация позволяет оценить ценовую чувствительность и изменчивость финансового инструмента. Ее можно применять к некоторым рядам, отражающим движение наличности, включая ренту, обязательства и процентные свопы. Дюрация служит для измерения реакции цен на изменения доходности. Кроме того, дюрация позволяет осуществлять корректное сравнение двух или более инструментов.
В соответствии с концепцией дюрации, более низкая ценовая чувствительность или дюрация характерны для инструментов с более высокими купонами, более высокой доходностью до погашения и более коротким сроком погашения. Напротив, более высокая ценовая чувствительность свойственна инструментам с низким купоном, низкой доходностью до погашения и длительным сроком погашения.
Введение понятия дюрации привело к разработке стратегии согласования финансовых потоков, известной под названием иммунизация [7, 16, 19-20, 36, 38-39, 44, 49, 61, 66, 70-71, 73, 77, 105-106, 111, 123]. Именно эта техника позволяет портфельному менеджеру быть относительно уверенным в получении ожидаемой суммы дохода. Иначе говоря, когда портфель сформирован, он "иммунизируется" от нежелательных эффектов, связанных с будущими колебаниями процентных ставок.
Иммунизация может применяться для достижения одной из трех целей: формирования финансового потока, соответствующего определенному индексу; гарантирования будущих выплат по исходящему потоку (Redington; 1952) [105]; получения определенного дохода.
Процедура иммунизации основывается на теореме Самуэльсона об иммунитете, полученной независимо Самуэльсоном в 1945 [111] и Редингтоном в 1952 году [105], и которая утверждает, что риск, связанный с изменением процентных ставок можно хеджировать, выравнивая дюрации Маколи активов и пассивов.
Построение иммунизационной модели и ее математическое обоснование
Предположим, что исходящий финансовый поток, представляющий иммунизируемый портфель, или пассив, является простейшим (единичным) финансовым потоком и образован единственной выплатой суммы сп в момент времени tn. Будем говорить, что пассив с таким финансовым потоком имеет простую структуру.
Рассмотрим в качестве входящего финансового потока, представляющего иммунизирующий портфель или актив, фиксированный финансовый поток общего вида, образованный выплатами сумм cAj 0 в моменты времени tAj 0 и определим при каких условиях он иммунизирует пассив.
Пусть моменты времени tAj упорядочены так, что tA1 tA2 ... tAn (В противном случае их можно перенумеровать соответствующим образом). Пусть х 0 - время закрытия позиции (срок иммунизации).
Рассмотрим функцию современной прибыли от иммунизации пассива активом. Очевидно, что достаточным условием хеджирования активом пассива является неотрицательность данной функции.
Во введенных обозначениях верно следующее утверждение: Теорема 2.1. Современная (дисконтированная) прибыль от иммунизации на срок т, при текущей процентной ставке г задается формулой: где р - процентная ставка в момент времени т; РД(Р) = 2 г " современная стоимость входящего финансового потока, соответствующая процентной ставке р; Рп (р) = г- - современная стоимость исходящего финансового потока, соответствующая процентной ставке р. Доказательство. Пусть Рп(р,т) и РА(р,т) - современные стоимости соответственно исходящего и входящего финансового потока в момент времени х, при условии, что в этот момент времени процентная ставка равна р. Считаем, что началом отсчета времени является текущий момент.
Отсюда следует, что суммарная прибыль от иммунизации, полученная в момент времени х, при закрытии позиции, при условии, что процентная ставка станет равной р, определяется формулой:
Следовательно, современная прибыль от иммунизации будет определяться следующим образом: Теорема доказана. Теорема 2.1. имеет вполне очевидное следствие: Следствие 2.1.1.
Если в момент времени і процентная ставка будет равной г, то иммунизация не приведет ни к прибыли, ни к убыткам. Для доказательства достаточно заметить, что согласно Теореме 2.1. Во введенных обозначениях теорема Самуэльсона об иммунитете допускает следующее обобщение:
Теорема 2.2. При выполнении условий: f(p,x) - функция современной прибыли от иммунизации на срок т больше либо равна нулю при р є [0, +о) и обращается в ноль в точке глобального минимума, при р = г.
Доказательство данного утверждения приведено в Приложении 1. Таким образом, теорема Самуэльсона об иммунитете является частным случаем Теоремы 2.2., а значит условия данной теоремы являются более слабыми по сравнению с утверждением Самуэльсона.
Рассмотрим экономический смысл условий теоремы. В случае равенства дюраций получаем классическую Теорему Самуэльсона. Экономический смысл ее условий состоит в требовании: 1. Равенства современных стоимостей входящего и исходящего финансовых потоков. 2. Равенства их дюраций (средней длительности). 3. Завершения иммунизации до момента первой выплаты по любому из данных потоков.
Учет возможности досрочного завершения иммунизации
Для учета интересов тех инвесторов, которые могут себе позволить действовать на рынке в реальном режиме времени, можно также ввести учет возможности завершения иммунизации в наиболее выгодный момент. Особое значение такая стратегия имеет для ролл-иммунизации. Стратегия досрочного завершения иммунизации основана на следующем утверждении: f(p,x) 0 при любой новой процентной ставке р из некоторой окрестности точки г. Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что при выполнении условий теоремы, функция f(p,x) имеет локальный максимум в точке р = г. При этом обращение ее в ноль в точке локального максимума (при р = г), а значит и выполнения неравенства f(p,x) 0 в некоторой окрестности точки г, будут следовать из Следствия 2.1.1. Рассмотрим достаточное условие локального максимума f(p,x) в точке р=г: Стратегия досрочного завершения иммунизации заключается в следующем: 1. Инвестор определяет срок операции иммунизации - х - таким образом, чтобы: а) момент окончания операции попадал на момент дискретной ликвидности (в котором взаимные обязательства могут быть прекращены); 6)x min{tAj,tn}. 2. Инвестор разбивает пассив на простейшие финансовые потоки.
По каждому из этих простейших финансовых потоков инвестор покупает иммунизирующий портфель, так что: [DA Dn [PA(DA-x) = Pn(Dn-x) 4. Образовавшийся при этом остаток денежных средств вкладывается под текущую процентную ставку г на срок х; 5. Заключается договор на продажу всех иммунизирующих портфелей в момент времени х; 6. Если по прошествии времени, в момент хо х, при новой процентной ставке ро, по некоторому иммунизирующему портфелю, выполнены соотношения: где Рд(роД-хо), Рп(роД-хо), DA(po,x-io), Dn(po,x-io) - современные стоимости и дюрации соответственно иммунизирующего и иммунизируемого портфелей в момент то, при текущей процентной ставке ро, a CUAJ(PO,TO) - весовые коэффициенты дюрации DA(po,x-xo), тогда, поскольку в этой точке функция f(p,x) имеет локальный максимум, необходимо продавать иммунизирующий подпортфель и покупать новый на условиях, описанных выше.
Если же данный пункт не может быть выполнен из-за того, что за время "входа" инвестора на рынок процентная ставка опять может измениться, то в этом случае следует дожидаться момента т. Поскольку иммунизирующий портфель может быть определен как портфель со сложной структурой пассива, процедуру иммунизации можно применить и по отношению к нему, что позволяет несколько увеличить доходность данной операции.
Определим предельный иммунизирующий портфель как иммунизирующий портфель, возникающий при переходе к пределу повторных иммунизации. Верна следующая теорема: Теорема 2.4. Финансовый поток по предельному иммунизирующему портфелю является простейшим финансовым потоком и образован единственной выплатой в момент времени ідпред = max{iAj} суммы сАпред = - — -(1 + г) Апред. Апред — Доказательство. Согласно Теореме 2.2. иммунизирующий финансовый поток можно разбивать на простейшие финансовые потоки и проводить их иммунизацию до тех пор, пока дюрация каждого такого потока не станет максимальной. Поскольку дюрация определяется формулой: и является средневзвешенным временем потока, максимальное свое значение она принимает, если соАпред = 1, ідпред = max{tAj}, a coAj = 0 при tAj Ф tAnpefl. Таким образом, в результате предельной иммунизации получается множество простейших иммунизирующих финансовых потоков с одним и тем же сроком истечения - ідпред = max{tAj}. Следовательно, предельный иммунизирующий поток является простейшим финансовым потоком со сроком истечения ідпред = max{tAj}.
Адаптация иммунизационной модели к случаю негоризонтальной кривой доходности
Как и раньше, для того чтобы выявить степень пригодности данной стратегии для иммунизации была проведена серия статистических экспериментов. Все эксперименты, как и ранее, проводились на основе данных по торгам ГКО.
В связи с показательным ростом числа вычислений, все эксперименты ограничивались подбором иммунизирующего портфеля, состоящего не более чем из двух выпусков, что, как показано ранее в пункте 2.3., только снижало возможный доход от иммунизации и увеличивало риск. Таким образом, осуществлялась проверка стратегии иммунизации пассива простой структуры комбинацией не более чем из двух обязательств.
В качестве рыночной стоимости обязательств бралась их средневзвешенная цена за торговый день. Поскольку равенство (3.1) достижимо лишь с той или иной степенью точности, критерием выполнения данного условия служило равенство округленных до целых обеих частей равенства.
Первый эксперимент состоял в определении эффективности предложенной стратегии иммунизации на различных временных интервалах для портфеля объемом 100 бумаг. Поскольку данный метод предназначен для иммунизации векторной процентной ставки, в данном случае, отпадает необходимость в вычислении текущей процентной ставки, что, в свою очередь, снимает задачу поиска наиболее корректного алгоритма ее вычисления. Целями первого эксперимента являлись: 1. Проверка эффективности предложенной иммунизационной стратегии. 2. Сравнение эффективности иммунизации простейшим финансовым потоком с иммунизацией комбинацией из двух простейших финансовых потоков. Суть эксперимента состояла в следующем: 1. В начале каждого периода иммунизации «продавался» иммунизируемый портфель по текущей рыночной стоимости. 2. Иммунизирующий портфель «покупался» на основании рекомендации вышеописанной стратегии также по рыночной стоимости. 3. По окончанию срока иммунизации иммунизирующий портфель «продавался», а иммунизируемый портфель - «выкупался» по рыночной стоимости на вторичном рынке. 4. В результате сравнения двух стоимостей: стоимости пассива в конце периода иммунизации; стоимости актива в конце периода иммунизации; вычислялись доход и доходность от иммунизации, число случаев получения отрицательного дохода и СКО доходности.
Наличие разницы между современной стоимостью обязательств и их рыночной стоимостью объяснялось недооценкой или переоценкой бумаг рынком. Как и раньше, в качестве меры риска выбран процент рекомендаций, в результате осуществления которых возникали убытки, то есть вероятность получения убытков от операции иммунизации. Тем не менее, приведены также сведения о степени риска и в терминах среднеквадратического отклонения. 5. Описанные в п. 4. данные (доходность, риск иммунизации и СКО доходности) рассматривались на различных временных диапазонах от 7 дней и выше. 6. Случаи иммунизации пассива комбинацией из одного и двух простейших фиксированных финансовых потоков исследовались раздельно. Поскольку момент завершения операции иммунизации, определяемый параметром т, должен приходиться на момент погашения какой-либо из бумаг, то хотя в данном методе и снимается нереалистичное предположение о горизонтальной кривой доходности, задача статистической проверки стратегии существенно усложняется тем, что в дни погашения ГКО вторичные торги, как правило, не проводились. Так на период относительно спокойного рынка в 1998 году - с 01.01.98 по 01.06.98 - приходится всего одна подобная дата - 27.05.98. Таким образом, момент завершения операции иммунизации может принимать единственное значение - 27.05.98.
