Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ подходов к моделированию доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на рынке FOREX 15
1.1 Понятие о рынке FOREX и риске портфеля инвестора: основные дефиниции и фундаментальные модели доходности 15
1.2 Аналитический обзор подходов к моделированию доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на рынке FOREX 26
1.3 Выбор и обоснование метода спектрального анализа для выявления периодических компонент доходности валют на рынке FOREX 40
Выводы и практические результаты, относящиеся к 1 главе 49
2 Модели доходности и прогнозирование риска портфеля инвестора на рынке FOREX 52
2.1 Анализ спектральной и вероятностной структуры доходности валют на рынке FOREX 52
2.2 Вероятностная модель временного ряда доходности валют на рынке FOREX, учитывающая периодические компоненты доходности валют 61
2.3 Методики прогнозирования доходности валют, доходности и риска портфеля инвестора 75
Выводы и практические результаты, относящиеся ко 2 главе 87
3 Оценка эффективности методик прогнозирования доходности валют, доходности и риска портфеля инвестора на рынке FOREX 90
3.1 Анализ периодических компонент доходности валют с обсуждением результатов расчетов 90
3.2 Сравнительный анализ эффективности методик прогнозирования доходности валют на рынке FOREX 109
3.3 Сравнительный анализ методик прогнозирования доходности и риска портфеля инвестора 118
Выводы и практические результаты, относящиеся кЗ главе 127
Заключение 129
Список использованных источников 135
Приложение
- Аналитический обзор подходов к моделированию доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на рынке FOREX
- Выбор и обоснование метода спектрального анализа для выявления периодических компонент доходности валют на рынке FOREX
- Вероятностная модель временного ряда доходности валют на рынке FOREX, учитывающая периодические компоненты доходности валют
- Сравнительный анализ эффективности методик прогнозирования доходности валют на рынке FOREX
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования. Развитие мировой экономики, торговли, средств связи и телекоммуникаций, информационных технологий, процессов интеграции национальных экономик в мировую экономическую систему, отмены валютных ограничений во многих странах, в том числе в России, привели к существенному изменению состояния международного валютного рынка.
Современное состояние и тенденции развития международного валютного рынка характеризуются устойчивым ростом объемов конверсионных операций1 с иностранными валютами2 (рынка FOREX), сокращением времени распространения, обработки информации и совершения сделок на рынке FOREX, что сделало его доступным для более широкого круга участников рынка и наиболее ликвидным финансовым рынком. Его поведение стало более динамичным с высокой волатильностью курсов валют с относительно высокочастотными колебаниями. В этой связи, резко возросли значимость технологий управления валютными активами инвесторов, учитывающих высокую волатильность курсов валют с относительно высокочастотными колебаниями, и интерес участников рынка и исследователей разных стран к прогнозированию риска портфеля инвестора с целью принятия рациональных решений, учитывающих современное состояние развития валютного рынка.
Возможность прогнозирования риска финансовых потерь с учетом высокой волатильности курсов валют с относительно высокочастотными колебаниями создает дополнительные возможности коммерческим банкам для оценки резерва банка, необходимого для их покрытия, а также для тех участников рынка FOREX, которые осуществляют конверсионные операции на условиях маржевой торговли (поскольку риск финансовых потерь для них
1 BIS Quarterly Review. International banking and financial market developments, December 2003, pp. 43-49,
2 В отношении конверсионных операций в английском языке принят устойчивый термин Foreign Exchange
Operations (кратко FOREX)
5 возрастает более значительно, чем для участника рынка, не использующего
заемные средства ). При этом следует отметить, что эффективное
прогнозирование риска портфеля инвестора зависит, в первую очередь, от
модели доходности валют, входящих в портфель инвестора, адекватно
отражающей процессы, происходящие на современном валютном рынке.
Данные обстоятельства обуславливают актуальность углубленных исследований моделей доходности и по прогнозированию риска портфеля инвестора на международном валютном рынке, что составляет основное содержание настоящего диссертационного исследования.
Степень разработанности проблемы. Вопросам моделирования доходности валют, доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на финансовых рынках посвящено значительное число теоретических и эмпирических публикаций в зарубежной литературе.
Среди известных инструментариев по прогнозированию риска
портфеля инвестора выделяют методологию прогнозирования риска
портфеля инвестора RiskMetrics4, в которой была принята единая мера для
его измерения, состоящая из работ Ж. Лонгерштая (Longerstaey, J.),
К. Фингера (Finger, С.С.), С. Ховарда (Howard, S.), П. Зангари (Zangari, Р.), и
представляющую ковариационно-корреляционный подход к
прогнозированию риска портфеля инвестора5. Кроме того, в работах П. Зангари выявлены проблемы точности прогнозирования риска портфеля инвестора, определяемые эмпирическими закономерностями статистических характеристик рядов доходности финансовых инструментов.
Исследованию эмпирических закономерностей статистических характеристик рядов курсов и доходности финансовых инструментов посвящены работы Ф. Блэка (Black, F.), Б. Манделброта (Mandelbrot, В.), К. Кима (Kim, СМ.), в которых выявлены гетероскедастичность доходности
3 Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1998.
4 JP Morgan and Reuters, RiskMetrics - Technical Document, Fourth Edition, New York, 1996.
5 RiskMetrics предлагает методологию, данные и статистические характеристики доходности акций,
облигаций, валют, производных и других ценных бумаг, выпускаемых в более чем 30 странах мира,
необходимые для прогнозирования риска портфеля инвестора.
финансовых инструментов во времени, взаимное и однонаправленное изменение волатильности у разных финансовых инструментов. С учетом этих закономерностей Р. Ингл (Engle, R.F.) и Т. Боллерслев (Bollerslev, Т.) применили модели условной авторегрессионной гетероскедастичности и исследовали их свойства для финансовых рынков. В работах Л. Глостена (Glosten, L.R.), Дж. Закояна (Zakoian, J.M.) предложены модификации этих моделей для отражения асимметричной реакции волатильности финансового инструмента на новости, отмеченной в работах К. Харви (Harvey,C.R.) и Р. Хуанг (R.D. Huang). Периодичность изменений курсов и доходности финансовых инструментов, которая связана с реакцией на аккумулированную участниками рынка информацию, выявили Р. Бейли (Baillie, R.T.), М. Джерити (Gerity, M.S.). Закономерную волновую структуру в рядах курсов финансовых инструментов обнаружил Р. Н. Эллиотт (Elliott, R.N.), объясняемую особенностями массовой психологии участников торговли на финансовых рынках, и выделил модели движения (или волны), которые регулярно возникают и повторяются по форме .
Исследования закономерностей поведения курсов валют на рынке FOREX в разрезе периодических свойств курсов и доходности финансовых инструментов начались с работ Дж. Гивик (Geweke, J.) и Е. Фиджа (Fiege, Е.), Л. П. Хансена (Hansen, L.P.) и Р. Ходрика (Hodrick, R.J.), Д. Лонгворта (Longworth, D.), Е. Фама (Fama, E.F.), Дж. Каваглия (Cavaglia, S.M.). Для разделения низкочастотной и высокочастотной компонент колебаний курсов валют на рынке FOREX Л. Копеланд (Copeland, L.S.) использовал фильтрацию в частотной области на основе метода частотной выборки. Для анализа курсов акций К. Гренжер (Granger, C.W.J.) и О. Моргенштерн (Morgenstern, О.) применили метод спектрального анализа на основе быстрого преобразования Фурье. Методика расчета риска портфеля инвестора, базирующаяся на классическом спектральном анализе,
6 А. Фрост, Р. Претчер. Полный курс по Закону волн Эллиотта. Пер. с англ., М., 2001, 138 с.
7 разработана в цифровой портфельной теории К. Джонса (Jones, С.К.),
которая является расширением портфельной теории Г. Марковича
(Markowitz, Н.М.).
Исторически методы спектрального анализа и цифровой обработки сигналов получили развитие и применялись, в основном, в связи, астрофизике, для анализа природных процессов. Методы спектрального анализа получили развитие в трудах Дж. С. Бендата (Bendat J.S.), Д. Ваттса (Watts, D.G.), Г. Дженкинса (Jenkins, G.M.), С.Л. Марпла-мл. (Мафіє, S.L., Jr.), A.M. Трахтмана, А.И. Хинчина. Методы цифровой обработки сигналов развиты в работах Л. Р. Рабинера (Rabiner, L.R.), А.В. Оппенгейма (Oppenheim, A.V.), Л.М. Гольденберга. Среди отечественных авторов к задаче выделения периодичностей в природных процессах проявляли интерес А.Н. Колмогоров, О.М. Калинин, М.М. Кислицин.
Совсем недавно, с конца 90-х годов, в России и за рубежом наблюдается рост числа научных работ, посвященных сингулярному спектральному анализу, методы которого позволяют в условиях высокой волатильности данных временных рядов достигать большей достоверности по сравнению с классическими и параметрическими методами спектрального анализа для обнаружения периодических закономерностей, и, соответственно, на их основе осуществлять прогнозирование временных рядов. В числе таких работ в России выделяются публикации Н.Э. Голяндиной8, Д.Л. Данилова, В.Н. Солнцева, А.А. Жиглявского, посвященные прогнозированию временных рядов на основе непараметрического метода анализа временных рядов «Гусеница», разработанного в Санкт-Петербургском университете, позволяющего выделить тренд, периодические и шумовую компоненты временного ряда. К числу основополагающих работ, в которых впервые был использован
7 С.К. Jones. Digital Portfolio Theory. Computational Economics 18: pp. 287-316, 2001.
8 Н.Э. Голяндина. Метод «Гусеницаи-ББА: прогноз временных рядов. Учебное пособие. С.-Петербургский
государственный университет, 2003, 55 с.
8 сингулярный спектральный анализ к временным рядам в технических
приложениях, относят труды Н.Л. Оусли (Owsley, N.L.), Д. Тафтса
(Tufts D.W.) и Р. Кумаресана (Kumaresan, R.)9. Методы прогнозирования
временных рядов и техника главных компонент, лежащая в основе
сингулярного спектрального анализа, фундаментально проработаны в
работах отечественных и зарубежных ученых: С.А. Айвазяна,
B.C. Мхитаряна, В.М. Бухштабера, К.Р. Pao (Rao, C.R.). Однако, с одной
стороны, методы сингулярного спектрального анализа не нашли пока
отражения в исследованиях валютного рынка по моделированию доходности
и прогнозированию риска портфеля инвестора, а с другой - в отечественной
литературе в настоящий момент образовался пробел в освещении методов
цифровой обработки сигналов применительно к рынку FOREX. Это связано с
относительной новизной изучаемых технологий управления валютными
активами для российских финансовых институтов. Одной из известных нам
работ, в которой используется аппарат методов цифровой фильтрации,
является цикл статей В. Кравчука10, в которых предлагается адаптивный
метод следования за тенденцией и рыночными циклами и описывается на
качественном уровне, как определять моменты времени для покупки (или
продажи) валюты на рынке FOREX, реализованный применительно к
механической системе торговли.
Практическая значимость и недостаточная изученность проблем
моделирования доходности и прогнозирования риска портфеля инвестора на
рынке FOREX в условиях высокой волатильности курсов валют с
относительно высокочастотными колебаниями обуславливает необходимость
и актуальность разработки моделей доходности и методик прогнозирования
риска портфеля инвестора, учитывающих периодические компоненты
доходности валют, на основе методов сингулярного спектрального анализа и
обработки цифровых сигналов, адаптированных к современным реалиям
9 D. W. Tufts and R. Kumaresan, "Estimation of frequencies of multiple sinusoids: Making linear prediction perform like maximum likelihood," Proc. IEEE, vol. 70, Sept. 1982, pp. 975-989. 0 В. Кравчук. AT&CF - Метод в модели с постоянным рычагом.// Валютный спекулянт, 2001, №6, с. 26-28.
9 международного валютного рынка. Важность и актуальность этой проблемы
определили цель и задачи исследования.
Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в
совершенствовании методов инвестиционной деятельности участников
международного валютного рынка, а также разработке математическо-
статистического инструментария, использование которого позволяет
прогнозировать риск портфелей участников рынка FOREX на основе учета
периодических закономерностей, свойственных рядам доходности валют.
Достижение поставленной цели обусловило необходимость решения
следующих задач:
- провести анализ подходов к моделированию доходности и
прогнозированию риска портфеля инвестора на рынке FOREX;
обосновать выбор метода спектрального анализа, позволяющего достоверно обнаружить периодические закономерности в рядах доходности валют на рынке FOREX в условиях сильной волатильности;
осуществить анализ спектральной и вероятностной структуры доходности валют на рынке FOREX;
построить вероятностную модель временного ряда доходности валют на рынке FOREX, учитывающую периодические компоненты доходности валют с априорно неизвестными частотами и фазами;
разработать модель доходности портфеля инвестора на рынке FOREX;
- создать методику прогнозирования доходности валют на рынке
FOREX;
- создать методику прогнозирования доходности портфеля инвестора на
рынке FOREX;
- создать методику прогнозирования риска портфеля инвестора на
рынке FOREX;
- создать методику определения периодов когерентных периодических
компонент доходности валют на рынке FOREX для выявления моментов
возникновения экстремумов систематического риска портфеля инвестора;
10 - осуществить оценку эффективности методик прогнозирования
доходности валют, доходности и риска портфеля инвестора на рынке FOREX.
Объектом исследования диссертационной работы является рынок FOREX.
Предметом исследования являются процессы на рынке FOREX, а также моделирование доходности валют и прогнозирование риска портфеля участников рынка FOREX.
Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются исследования российских и зарубежных ученых в области экономической теории, финансового менеджмента, математической статистики, эконометрики, спектрального анализа и цифровой обработки сигналов С.А. Айвазяна, Р. Т. Бейли, Дж. С. Бендата, А. Дж. Пирсола, Е.С. Вентцель, Л. М. Гольденберга, Дж. М. Кейнса, B.C. Князевского, С.Л. Марпла-мл., Л.Р. Рабинера, Е. Ф. Фама, Е.М. Четыркина, У.Ф. Шарпа.
Информационно-эмпирическую базу диссертационного исследования составили информационно-статистические данные банка Международного
развития, информационного агентства Рейтер (Reuters), информационные,
аналитические и статистические материалы интернет-серверов компаний -
участников международного валютного рынка.
Инструментарно-методический аппарат исследования. Для решения
поставленных задач в диссертационной работе использовались методы
статистического анализа, спектрального анализа, прогнозирования случайных
« процессов, цифровой обработки сигналов. Использовались такие
программные продукты, как пакеты статистического анализа Eviews и Statgraph, информационные системы Reuters, информационно-программный комплекс Dealing Desk-2000, разработанный автором пакет спектрального анализа и цифровой обработки сигналов SSA-Vx и информационные ресурсы Internet.
Диссертационная работа выполнялась в рамках пункта 1.6
«Математический анализ и моделирование процессов в финансовом
секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики.
Научная новизна диссертационной работы.
Обоснован выбор метода сингулярного спектрального анализа, позволяющего достоверно обнаружить периодические закономерности в рядах доходности валют на рынке FOREX в условиях сильной волатильности.
На основе проведенного анализа спектральной и вероятностной структуры доходности валют на рынке FOREX, сделан вывод о том, что спектр ряда доходности валют содержит периодические компоненты и шум с неравномерной спектральной плотностью, т.е. цветной шум, а наибольшая доля дисперсии доходности валют, определяющей её риск, сосредоточена в высокочастотной области спектра ряда доходности валют.
3. Построена вероятностная модель доходности валют, обращающихся
на рынке FOREX, принципиальным отличием которой от известных моделей
такого класса является то, что она учитывает периодические компоненты в
рядах доходности валют с априорно неизвестными частотами и фазами,
определяемыми раздельно в каждой области частотного спектра ряда
доходности валют.
Для определения достоверных и несмещенных характеристик периодических компонент в вероятностной модели доходности валют разработана процедура, согласно которой производится разбиение спектра ряда доходности валют на частотные области, выделение этих частотных областей спектра с помощью полосовой цифровой фильтрации и децимации. Доказана целесообразность этой процедуры для вычисления характеристик периодических компонент ряда доходности валют методом линейного предсказания главных компонент Тафтса-Кумаресана.
4. Разработана модель доходности портфеля инвестора на рынке
FOREX, в которой впервые учитываются периодические компоненты
12 доходности валют, составляющих портфель инвестора, с априорно
неизвестными частотами и фазами, для решения задачи прогнозирования доходности и риска портфеля инвестора на международном валютном рынке. 5. Созданы методики:
- прогнозирования доходности валют и портфеля инвестора на основе
агрегирования результатов прогнозирования доходности валют в каждой
частотной области спектра ряда доходности валют;
прогнозирования риска портфеля инвестора на рынке FOREX, учитывающая периодические компоненты доходности валют, составляющих портфель инвестора, с априорно неизвестными частотами и фазами;
определения периодов когерентных периодических компонент доходности валют на рынке FOREX для выявления моментов возникновения экстремумов систематического риска портфеля инвестора.
Применение этих методик позволяет улучшить качество прогнозирования доходности валют, доходности и риска портфеля инвестора, уменьшить канал прогнозирования.
Теоретическая значимость результатов исследования состоит в дальнейшем развитии математическо-статистического инструментария прогнозирования риска портфеля инвестора на основе учета периодических закономерностей рядов доходности валют. Критический анализ существующих подходов по повышению точности прогнозирования риска портфеля инвестора позволил выделить перспективные направления их развития на основе методов сингулярного спектрального анализа и цифровой фильтрации.
Практическая значимость результатов исследования определяется тем, что созданные в работе методики прогнозирования доходности валют и риска портфеля инвестора позволяют повысить уровень и качество анализа и прогнозирования доходности валют и динамики риска портфеля инвестора на рынке FOREX. Созданная в работе методика прогнозирования доходности валют и риска портфеля инвестора позволяет повысить эффективность
13 решения задач управления валютными рисками во внешнеэкономической
деятельности и при осуществлении высокодоходных дилинговых операций, а также составляет основу построения информационно-аналитических систем поддержки принятия решений в торговых операциях на рынке FOREX. Результаты анализа периодических компонент доходности валют, позволившие обнаружить закономерности в изменении доходности валют на рынке FOREX, могут быть использованы для построения других моделей и методик прогнозирования риска портфеля инвестора.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты и основные положения диссертационной работы обсуждались и одобрены на ежегодной школе-семинаре молодых ученых и докторантов «Экономика России: новые вызовы и альтернативы развития» (г.Сочи, КубГУ, 2001 г.), на 3-х межвузовских научных чтениях профессорско-преподавательского состава и аспирантов «Математические и статистические методы в экономике и естествознании» (г.Ростов-на-Дону, РГЭУ, 2002 г.), на межвузовской научно-практической конференции «Проблемы теории и практики развития региональной статистики» (г.Ростов-на-Дону, РГЭУ, 2003 г.).
Созданные методика прогнозирования доходности валют и методика определения периодов когерентных колебаний доходности валют внедрены и использованы в отделе финансовых операций Ростовского филиала МДМ-Банка. Предложенные методики позволяют повысить уровень, качество анализа валютного рынка и эффективность проводимых МДМ-Банком финансовых операций на валютном рынке.
Созданные методика прогнозирования доходности валют, методика прогнозирования риска портфеля инвестора и методика определения периодов когерентных колебаний доходности валют внедрены и использованы в отделе активно-пассивных операций филиала «Ростовский» ОАО «Альфа-Банк». Предложенные методики позволяют повысить эффективность финансовых операций на межбанковском валютном рынке, проводимых филиалом «Ростовский» ОАО «Альфа-Банк».
14
Публикации. Основные положения диссертационной работы
опубликованы в двух статьях в центральной печати, пяти тезисах докладов на
научно-практических конференциях профессорско-преподавательского
состава общим объемом 1,85 п.л.
Структура, объем и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений. Содержание работы изложено на 147 страницах основного текста. В списке литературы 141 библиографических наименования, приложения выполнены на 67 страницах. Всего 214 страниц, включая 96 рисунков и 21 таблицу.
В первой главе охарактеризовано современное состояние рынка FOREX, проанализированы эмпирические особенности рядов доходности валют и их статистических характеристик, выполнен аналитический обзор моделей доходности валют и подходов к прогнозированию риска портфеля инвестора, проанализированы методы спектрального анализа и обоснован выбор метода предсказания главных компонент Д. Тафтса и Р. Кумаресана для моделирования доходности и прогнозирования риска портфеля инвестора.
Вторая глава посвящена анализу спектральной и вероятностной структуры рядов доходности валют, разработке моделей доходности валют, доходности портфеля инвестора и методик прогнозирования доходности валют, риска портфеля инвестора, методики обнаружения когерентных закономерностей в рядах доходности курса валют на рынке FOREX.
Третья глава посвящена анализу обнаруженных периодических компонент доходности валют, оценке эффективности построенных моделей доходности валют и портфеля инвестора, созданных методик прогнозирования доходности валют, доходности и риска портфеля инвестора, методики обнаружения когерентных периодических компонент доходности валют.
Аналитический обзор подходов к моделированию доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на рынке FOREX
Для прогнозирования риска портфеля инвестора, было разработано множество подходов. В основе подходов прогнозирования риска портфеля инвестора лежат модели доходности финансовых инструментов. Эти модели отличаются между собой способом оценки функции плотности вероятности будущих прибылей и убытков текущих позиций портфеля и предположений, на которые они опираются.
Существуют три основных класса подходов к оценке риска: ковариационно-корреляционный, методом Монте-Карло, историческая имитация.
Ковариационно-корреляционный подход был представлен Д.П. Морган (RiskMetrics) в 1993 году и представляет собой линейную модель риска (VaR) [99]. Этот подход уходит своими корнями в современную портфельную теорию Г. Марковича, которая составляет фундамент знаний об управлении финансовыми инвестициями. Ковариационно-корреляционный подход базируется на моделировании прошлых доходностей финансовых инструментов, составляющих инвестиционный портфель, и перенесение тенденций прошлого в будущее с целью прогнозирования риска портфеля инвестора.
В общем случае доходность финансовых инструментов подчиняется некоторому теоретическому закону распределения (обычно нормальному) и имеет постоянное математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Некоторые подходы к прогнозированию риска полагают зависимым от времени среднеквадратическое отклонение доходности финансового инструмента, например, RiskMetrics [99], в котором математическое ожидание доходности полагается равным нулю, а среднеквадратическое отклонение (изменчивость) доходности изменяется во времени.
Использование нормального закона распределения объясняется постоянством его формы и, вследствие этого, приемлемой точностью во многих приложениях при достаточно спокойном поведении рынков [86, 89, 138]. Недостатком использования нормального закона является то, что он не обеспечивают достаточную гибкость, точность отражения динамичных движений рынка, описываемого моделью (1.4), что является актуальной проблемой прогнозирования риска финансового инструмента и портфеля инвестора.
Практическое использование фундаментальной модели доходности финансового инструмента (1.4) с нормальным законом распределения выявило ряд недостатков, присущих моделям данного типа. Динамичность рыночных процессов FOREX накладывает определенные ограничения на использование нормального закона распределения. Нормальный закон не может с достаточной точностью описывать резкие колебания на финансовом рынке [99, 136, 138]. Точнее, если оценить реальное распределение доходности на рынке и его параметры (среднее и среднеквадратическое отклонение), и построить реальное и идеальное распределение доходности с рассчитанными параметрами реального распределения, то, как видно из рисунков 3, АЛ , А.2, А.З, площадь под боковыми крыльями реального распределения доходности финансового инструмента больше площади идеального распределения доходности этого инструмента.
Это означает, что на финансовом рынке редкие события (или значительные колебания цен от их среднего в большую или меньшую сторону) происходят значительно чаще, чем это может отражать нормальный закон распределения.
Ослабление условий модели доходности таких, как зависимость математического ожидания и среднеквадратического отклонения доходности от времени не отражают действительной картины спекулятивного изменения доходности на финансовых рынках [99].
Эмпирические исследования свойств распределения доходности финансовых инструментов, проведенные многими исследователями, показали, что дневные портфельные прибыли и убытки могут быть намного больше, чем те, которые можно предсказать, используя нормальный закон распределения [132, 136].
Подобные «движения» рынка могут происходить в условиях спекулятивных атак крупных финансовых институтов, при поступлении негативной информации на рынок, при вмешательстве государства или иных условиях, приводящих к нестабильным движениям рынка FOREX.
Выбор и обоснование метода спектрального анализа для выявления периодических компонент доходности валют на рынке FOREX
Для решения задачи выявления периодических компонент во временных рядах применяют методы спектрального анализа [2, 23, 28]. Выполненный анализ подходов к моделированию доходности на рынке FOREX с учетом периодических компонент показал, что в моделях доходности и методиках прогнозирования риска портфеля инвестора периодические компоненты определялись на основе методов классического спектрального анализа. Однако методам классического спектрального анализа при обработке конечного числа наблюдений временного ряда доходности валют свойственны недостатки. Эти недостатки связанны с тем, что у спектральных оценок образуются боковые лепестки, которые приводят к смещению частоты периодических компонент, к невозможности обнаружить слабые и выделить две близкие по частоте в спектре ряда доходности периодические компоненты на фоне высокой волатильности случайной составляющей ряда доходности валют. При этом частоты периодических компонент кратны спектральному разрешению, равному величине, обратной длительности временного ряда доходности валют [12].
Однако методы спектрального анализа включают в себя и так называемые современные методы спектрального анализа, основанные на параметрических и непараметрических моделях [28].
К числу параметрических моделей, составляющих основу так называемых неклассических методов спектрального анализа, относят авторегрессионные модели, модели скользящего среднего, модели авторегрессии-скользящего среднего, а также модели, лежащие в основе метода Прони и близких ему методов [28]. «Неклассические методы требуют принятия дополнительных допущений. Вариации характеристик различных методов спектрального оценивания нередко можно объяснить тем, насколько хорошо используемая модель согласуется с анализируемым процессом. Когда модель хорошо согласуется с данными, могут быть получены спектральные оценки, характеристики которых превосходят характеристики классических спектральных оценок (например, периодограммы). Когда модель выбрана правильно, но используются плохие оценки спектральных параметров, получаются неэффективные (т.е. с большой дисперсией) спектральные оценки» [28, с.451].
К числу непараметрических методов относят метод минимума дисперсии, метод классификации множественных сигналов (метод MUSIC) и методы оценивания частоты периодической составляющей временного ряда, основанные на анализе собственных значений автокорреляционной (или ковариационной) матрицы. Последние два метода, которые принято называть методами сингулярного спектрального анализа, в настоящее время получили значительное развитие ввиду эффективности получаемых с их помощью оценок частоты периодических компонент, а также преимуществ, связанных с их практической реализацией [28]. Поэтому в дальнейшем в диссертационной работе все внимание будет сосредоточено на анализе и применении именно этих методов.
Методы сингулярного спектрального анализа решают проблему аппроксимации временного ряда линейной комбинацией экспонент и имеют длинную историю, являясь предметом многих исследований. Самой ранней работой в этом направлении принято считать метод Прони, хотя он и относится к параметрическим методам, но, тем не менее, тесно связан с рассматриваемыми далее методами спектрального анализа [28]. Он предложил метод интерполяции экспериментальных эквидистантных данных с помощью затухающих экспонент. В таком подходе существуют две проблемы. Во-первых, порядок модели (т.е. число экспонент) заранее известен, он равен количеству наблюдений. Во-вторых, исходный подход Прони предполагает, что экспериментальные данные (наблюдения) считаются незашумленными. Однако на валютном рынке данные временного ряда доходности валют не являются детерминированными, кроме того, в нем имеется случайная компонента, что не позволяет эффективно применять метод Прони.
Для измерения уровня периодической компоненты относительно уровня случайной компоненты в эмпирическом ряде в спектральном анализе используют показатель отношения сигнал-шум (SNR), измеряемый в децибелах (дБ), который определяется следующим образом [6]: где осигнала - дисперсия сигнала (периодической компоненты); сгшума дисперсия шума (случайной компоненты).
Для преодоления трудностей, отмеченных в методе Прони [28], были разработаны улучшенные алгоритмы, основанные на более сложных моделях аддитивного гауссовского шума. Эти алгоритмы решают задачу, которая, в действительности, является частным случаем задачи оценки параметров затухающих экспонент. Метод В.Ф. Писаренко, метод MUSIC, метод Д. Тафтса и Р. Кумаресана показывают эффективность, близкую к границе Рао-Крамера для случаев, когда отношение сигнал-шум не менее 7 дБ [28]. Спектральные оценки, получаемые с помощью этих методов, имеют высокое спектральное разрешение. Однако эффективность этих методов значительно снижается ниже теоретически достижимых уровней в случае, когда уровень шума высок.
М. Манри и другие исследователи в работе [112] предложили методики по уменьшению вычислительной сложности выполнения оценки параметров экспонент в частотной области методом максимального правдоподобия. Однако применение указанных методик возможно только в случае слабо затухающих экспонент, причем вычислительная эффективность была достигнута ценою потери точности оценки характеристик периодических компонент.
Возможно наиболее статистически искусный подход был представлен в начале 1990 года К. Пападопулос и Дж. Никиас [118]. Их метод основывается на использовании статистик третьего и четвертого порядка наблюдаемого временного ряда. Метод был предложен как расширение метода Кумаресана-Тафтса для статистик третьего и четвертого порядка. Однако пока никаких количественных результатов, подтверждающих это, представлено не было. Тем не менее, для случая окрашенного шума кумулянты наблюдаемого временного ряда обычно подавляют шум на 2 - 7 дБ лучше, чем метод Кумаресана-Тафтса, что само по себе весьма много обещающий результат. Аналогичные результаты были представлены в работах 3. Щи и Ф. Файрмен [130] и других авторов [106, 141]. Интересных результатов добились М.А. Хасан, А.А. Хасан и Абу-Танат в своей работе [85], в которой они использовали статистику четвертого порядка в совокупности с методом MUSIC, и добились минимального соотношения сигнал/шум в минус 10 дБ.
Вероятностная модель временного ряда доходности валют на рынке FOREX, учитывающая периодические компоненты доходности валют
Вероятностным моделям доходности финансовых инструментов посвящены многие работы [98, 99, 51, 94, 138]. В этих работах, с учетом стохастической природы процессов на рынке FOREX, доходность моделируют на основе одного временного ряда доходности для выявления тенденции и построения прогноза оценки риска финансовых инструментов. В известных работах в моделях доходности используют допущения о том, что доходность является случайной величиной, описываемой случайным процессом определенного типа. При этом, статистические характеристики этого случайного процесса представляют различными моделями [98,99]. Однако, как показал анализ спектральных и вероятностных структур рядов доходности курсов валют на рынке FOREX, они содержат периодические компоненты и широкополосный цветной шум. Типичный частотный спектр временного ряда доходности валют на рынке FOREX, построенный на основе данных этого рынка, представлен на рисунке 5. Этот факт доказывает, что временной ряд доходности валют на рынке FOREX может быть представлен в виде модели, учитывающей периодические компоненты. Однако, в известных моделях не учитываются периодические компоненты доходности валют, которые, как показано на рисунке 5, имеются в спектре временного ряда доходности валют на рынке FOREX, что влияет на точность прогнозирования оценки риска. Цель данного параграфа - предложить вероятностную модель доходности валют на рынке FOREX с учетом периодических компонент доходности. Формулировка задачи исследования. Пусть имеется временной ряд доходности х(, образованный последовательностью Т равноотстоящих значений логарифмического изменения курса валют на рынке FOREX во времени: где Pt - курс валюты в момент времени t\ Р(-\ - курс валюты в момент времени /-/. При этом, ряд Х(, имеющий частотную область спектра G = [0;F), где F — максимальная частота спектра, равная F = , At - интервал времени наблюдения доходности валют, может быть представлен в виде суммы g временных рядов xj, i=0,...,g-l, имеющих свою частотную область (7,- такую).
Требуется показать, что доходность валют может быть представлена в виде вероятностной модели: где Mi - число спектральных компонент в частотной области G/, представляющих собой периодические колебания доходности валют; Al,m - комплексная амплитуда т-го периодического колебания доходности валют в частотной области С7/; где // - функция га-того периодического колебания доходности валют в частотной области (7/, со1,т и р1 т - угловая частота и начальная фаза га-того периодического колебания доходности валют в частотной области G,-, соответственно; е\ - случайная компонента временного ряда доходности х\, представляющая собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением а\ в частотной области Gj. Предлагаемое разбиение на частотные области обосновывается следующими соображениями. Для выделения периодических компонент можно было бы воспользоваться методом PCLP (линейного предсказания главных компонент), используя исходный ряд доходности финансового инструмента, однако, как показывают предварительный анализ, это сделать не представляется возможным. На рисунках А.4, А.5, А.6, А.7, показаны графики зависимости объясненной доли дисперсии временного ряда от количества используемых главных компонент. Как видно из указанных графиков, рост объясненной доли дисперсии временного ряда доходности финансового инструмента идет практически равномерно. Это говорит о том, что в ряде доходности содержится высокий уровень шума, на фоне которого метод PCLP не может выделить доминирующие периодические компоненты. Это согласуется с ограничениями метода PCLP, поскольку он предполагает, что шум во временном ряде белый (т.е. «имеет спектр, равный постоянной для всех частот» [28]) и гауссовский. Анализ спектральной структуры рядов доходности валют показал, что в рядах доходности содержится цветной шум. Поэтому, предлагается разбить временной ряд доходности на несколько рядов, каждый из которых будет соответствовать своей частотной области. Таким образом, в каждой частотной области будет отбеленный шум и возрастет отношение сигнал-шум, что позволит эффективно выделить доминирующие периодические компоненты с помощью метода PCLP. Решение поставленной задачи. Временной ряд доходности валют на рынке FOREX может быть представлен, как показано выше, в виде модели, учитывающей периодические компоненты доходности. Совокупность периодических компонент представляет собой процесс, который может быть представлен в виде [28]
Сравнительный анализ эффективности методик прогнозирования доходности валют на рынке FOREX
Эффективность методики прогнозирования доходности валют может быть оценена с помощью аналитических оценок эффективности. Одним из возможных способов оценки эффективности прогнозирования доходности является использование математического ожидания случайной величины, определенной следующим образом: Случайная величина nt ввиду своего определения подчиняется закону распределения Бернулли, так как значения случайных величин будут встречаться с вероятностями а для значения, равного 1, и 1-а для значения, равного 0. Известно, что математическое ожидание случайной величины 7ut, подчиняющейся закону распределения Бернулли, будет равно [2]: Тогда критерий эффективности, выполнение которого означает, что используемая методика прогнозирования доходности валют адекватно отражает процессы, происходящие на рынке FOREX, будет выглядеть следующим образом: где Qj - количество наблюдений доходности валюты, не попавших в Как показали расчеты, результаты которых представлены в таблице 8, для всех используемых валют модель доходности валют, учитывающая периодические компоненты (2.8), адекватно описывает рыночную ситуацию и может быть использована для выполнения расчетов риска на рынке FOREX. Другим, более консервативным, показателем эффективности использования моделей доходности финансовых инструментов, широко применяемым в практике риск-менеджмента, является критерий, согласно которому проверяется ожидаемое значение доходности, выходящей за пределы интервального прогноза.
Ожидаемое значение доходности, выходящей за пределы интервального прогноза в случае падения доходности определяется по формуле [97]: где ф(у) - значение функции плотности вероятности нормального закона в точке /; ф(у) - значение функции распределения нормального закона в точке у. Критерий проверки эффективности модели доходности будет выглядеть следующим образом: где Ту - количество наблюдений доходности валют таких, что / у; Т QT - Lnt количество наблюдений доходности валют, превышающее /=1 ожидаемое значение доходности, выходящей за пределы интервального прогноза доходности; Аналогично можно проверить эффективность моделей доходности для случая резкого роста доходности по формулам, приведенным в [97]. Результаты проверки предлагаемой модели доходности (2.8), RiskMetrics и GARCH(1,1) по критерию количества неудачных прогнозов и консервативному критерию ожидаемого прогноза доходности вне пределов доверительного интервала прогноза доходности представлены в таблицах 8-9.
Как видно из таблицы 8, наибольшую эффективность имеет предлагаемая модель доходности валют (2.8), учитывающая периодические компоненты доходности валют. Между RiskMetrics и GARCH(1,1) наблюдается некоторое превосходство последней, что объясняется тем, что модель условной гетероскедастичности в целом лучше моделирует редкие события на рынке FOREX, в результате которых доходность валют резко растет или падает, нежели RiskMetrics, базирующаяся на экспоненциальном сглаживании. Результаты проверки эффективности моделей доходности RiskMetrics, GARCH(1,1) также подтвердили эффективность использования указанных моделей. Однако модель GARCH(1,1), несмотря на то, что имеет почти вдвое меньше число неудачных прогнозов, чем RiskMetrics, формально проверку критерием для британского фунта и японской йены в условиях имеющихся данных не прошла. Согласно критерия, количество неудачных прогнозов хуже ожидаемого прогноза вне доверительного интервала должно быть не более 58,53 % от общего числа прогнозов доходности вне пределов доверительного интервала прогноза доходности, что можно объяснить тем, что для проверки этой эффективной модели требуется гораздо больший объем выборки.
