Содержание к диссертации
Введение
1. Виды устойчивости динамических систем 12
1.1. Первый и второй методы Ляпунова для исследования различных видов устойчивости динамических систем 13
1.2. Экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных систем 21
1.3. Качественная экспоненциальная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных систем 24
1.4. Достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости непрерывных и дискретных систем 28
1.5. Экспоненциальная устойчивость дискретных динамических систем с периодически изменяющимися коэффициентами 30
2. Оценки качества процессов в динамических системах 36
2.1. Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах 37
2.2. Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах с параметрическими нарушениями 41
2.3. Оценки качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами 44
2.4. Анализ динамических свойств непрерывных и дискретных объектов и систем управления 45
2.5. Анализ динамических свойств дискретных устойчивых объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами 51
3. Аналитическое конструирование регуляторов 55
3.1. Метод локальной оптимизации 56
3.2. Построение регуляторов для непрерывных и дискретных объектов управления на основе метода локальной оптимизации 58
3.3. Построение регуляторов для дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода локальной оптимизации 62
3.4. Особенности построения регуляторов со встроенной моделью 65
3.5. Особенности построения пропорционально-интегральных регуляторов для следящих систем 70
4. Математическое моделирование объектов и систем управления и экспериментальная проверка полученных результатов 76
4.1. Математическое моделирование объектов и систем управления 76
4.2. Экспериментальная проверка полученных результатов 82
Заключение 102
Литература 104
Приложение 109
- Первый и второй методы Ляпунова для исследования различных видов устойчивости динамических систем
- Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах
- Метод локальной оптимизации
- Математическое моделирование объектов и систем управления
Первый и второй методы Ляпунова для исследования различных видов устойчивости динамических систем
Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам. В теории устойчивости, полагается, что внешние силы или возмущения прекращают свое действие к некоторому моменту времени, который можно принять за начальный момент. Такие возмущения часто называют исчезающими. В классической теории устойчивости исследуется не устойчивость системы как таковой, а устойчивость ее так называемого невозмущенного движения.
Для линейных систем с точки зрения устойчивости не имеет значения какое из движений принимается в качестве невозмущенного. Это может быть, например, состояние равновесия системы стабилизации напряжения при любом (даже не заданном) токе нагрузки или движение исполнительной оси следящей системы по случайному закону [52]. Однако для нелинейных систем это имеет существенное значение, так как одно конкретно заданное невозмущенное движение может оказаться устойчивым, а другое - неустойчивым [13].
Режим функционирования системы управления называется равновесным, если ее переменные не изменяются во времени. Для большинства систем управления промышленности и другими объектами равновесные режимы при постоянных внешних воздействиях являются, как правило, оптимальными в смысле принятых технологических критериев. Поэтому анализ и синтез систем по требованиям к этим режимам являются первоочередными задачами проектирования.
В равновесных режимах производные по времени равны нулю для всех переменных. Для линейных систем определение единственного положения равновесия при заданных воздействиях или определение коэффициента усиления сводится к решению систем линейных уравнений.
В случае нелинейных моделей, задача анализа равновесных режимов сложнее, что связано с решением систем нелинейных уравнений. Прежде всего, следует ответить на вопрос о существовании решения; далее нужно определить число положений равновесия, после чего уточнить их координаты. Для решения этих задач привлекаются частные модели, по которым аналитически, графическими построениями или численными процедурами находятся искомые режимы и статические характеристики нелинейных систем [51].
Устойчивость относится к основным свойствам динамической системы, определяющим ее общую работоспособность. К наиболее распространенным концепциям классической теории устойчивости относится устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость [35, 53].
Одним из эффективных и простых методов анализа локальных свойств гладкой системы (1.1) является первый метод Ляпунова, который предусматривает исследование поведения системы по аппроксимированной (линеаризованной) модели.
Однако в общем случае свойства основной системы (1.1) и линеаризованной модели (1.4) все-таки не совпадают, и поэтому возникает необходимость привлечения дополнительного условия и следующей формулировки теоремы Ляпунова-Пуанкаре.
Тогда равновесное состояние х = 0 Є Шп нелинейной системы (1.1) асимптотически устойчиво, если матрица Якоби системы гурвицева.
Отметим, что теорема предлагает только достаточные условия, и в целом ряду случаев асимптотически устойчивые нелинейные системы не удовлетворяют ее требованиям.
Наибольшее распространение для анализа и синтеза сложных систем управления получил второй (или прямой) метод Ляпунова. Метод основан на использовании скалярных функций, обладающих на решениях динамической системы некоторыми специальными свойствами и получивших название функций Ляпунова. Функции Ляпунова позволяют оценивать качество системы, а также синтезировать алгоритмы управления, обеспечивающие
Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах
Одной из важнейших задач теоретических исследований систем автоматического управления является установление параметрических связей между качественными характеристиками динамических процессов исследуемых систем и объектов с фундаментальными свойствами динамических систем, а именно видами устойчивости и неустойчивости, что позволяет разрабатывать эффективные технологии анализа поведения систем в условиях их функционирования и проектирования управляющих устройств -регуляторов, обеспечивающих требуемые показатели качества.
Из определений качественной экспоненциальной устойчивости непрерывных и дискретных динамических систем непосредственно следуют оценки динамических показателей качества систем. Под временем переходного процесса в непрерывных динамических системах будем понимать значение t = ts, такое что: то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс входит в заданную 6S-окрестность положения равновесия. Выбор относительной величины окрестности Ss определяется требованиями конкретной задачи. Обычно выбирается в пределах Ss = 0,01 — 0,05, то есть 5-процентная окрестность положения равновесия. Под перерегулированием в непрерывных динамических системах будем понимать величину а определяемую уравнением: а = ы (2 2) где xm(t) - миноранта x(t), то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что xm(t) x(t) для любого t 0. Перерегулирование косвенно характеризует колебательность в устойчивой динамической системе. При нулевом значении а процесс носит монотонный характер, а при достаточно больших а приближается к незатухающему колебательному движению. Выражения оценок динамических показателей качества в виде времени переходного процесса и перерегулировании, полученных из условий качественной экспоненциально (А,Л0) устойчивости, для непрерывных динамических систем имеют вид [29]: ts iln(f), (2.3) a (2.4) Следует отметить, что эти показатели качества являются лишь достаточными, т.е. не предназначены для синтеза систем управления. Утверждение 2.1. Оценки динамических показателей качества в виде времени переходного процесса и перерегулирования для непрерывных динамических систем имеют вид: ts= ln($s), (2.5) а = ре г inW+r)/-(p + i)erinW+r)J. (2.6) Под временем переходного процесса в дискретных динамических системах будем понимать значение t = ts, такое что: x(m)=$sx0IL С2-7) то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс входит в заданную Ss-окрестность положения равновесия. Выбор относительной величины окрестности Ss определяется требованиями конкретной задачи. Обычно выбирается в пределах Ss = 0.01 — 0.05, то есть 5-процентная окрестность положения равновесия. Под перерегулированием в дискретных динамических системах будем понимать величину и определяемую уравнением: -minm6(0 o0)xm(m) а = ы (2 8) где хт(пг) - миноранта х(т), то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что xm(rri) х(т) для любого т 0. Перерегулирование косвенно характеризует колебательность в устойчивой динамической системе. При нулевом значении а процесс носит монотонный характер, а при достаточно больших а приближается к незатухающему колебательному движению.
Выражения оценок динамических показателей качества в виде времени переходного процесса и перерегулирования, полученных из условий качественной экспоненциально {X,XQ) устойчивости, для дискретных динамических систем имеют вид [29]: ts T\ogx( ), (2.9) Следует отметить, что эти показатели качества являются лишь достаточными, т.е. не предназначены для синтеза систем управления. Утверждение 2.2. Оценки динамических показателей качества в виде времени переходного процесса и перерегулирования для дискретных динамических систем имеют вид: ts = T\ogp(8s), (2.11) . /-(р+і)1п/?л . /(р+1) In 0\ a=P(fi+г),оеЫ ] - (р+i)/08m( ), (2.12) где Т - интервал квантования. С помощью параметров ts и а определяется область допустимых процессов системы с заданными динамическими показателями. Пример 2.1. При заданных параметрах качества: ts = lc, 6S = 0,05,0- = 0,05, р = 1, используя полученные оценки показателей качества и условия качественной экспоненциальной устойчивости, как для непрерывных, так и для дискретных систем получаем оценочную трубку, вид которой изображен на рисунке ниже (Рис. 2.1). Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния и удовлетворяющие заданным показателям качества, лежат внутри этой оценочной трубки. Рассмотренные динамические показатели качества предназначены для анализа динамических свойств устойчивых непрерывных и дискретных динамических систем автоматического управления. С другой стороны, заданные значения динамических показателей качества определяют требования к желаемому поведению разрабатываемой системы и могут использоваться при осуществлении синтеза регуляторов. Рис. 2.1. Оценочные трубки из условий качественной экспоненциальной устойчивости.
Под выбросом в непрерывных динамических системах будем понимать величину а0 (а0 1) определяемую уравнением: _ maxt[0, 00) хт(ч /о лд\ где xm(t) - миноранта x(t), то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что xm{t) x(t) для любого t 0. Выброс косвенно характеризует колебательность в неустойчивой динамической системе. При значении т0 стремящимся к бесконечности процесс носит монотонный характер. С помощью параметров tc и т0 определяется область допустимых процессов системы с заданными динамическими показателями. Утверждение 2.3. Оценки динамических показателей качества в виде критического времени переходного процесса и выброса для непрерывных динамических систем имеют вид: tc=iln( 5c), (2.15) (j0 = (р + 1)ег WW -рЄ г "WW. (2.16) Под критическим временем переходного процесса в дискретных динамических системах будем понимать значение t = tc, такое что: х(т)=Яс1Ы. (2-1?) то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс выходит за заданную критическую 8С-окрестность начального положения (8С 1). Выбор относительной величины окрестности 8С определяется требованиями конкретной задачи. При этом критическое время переходного процесса для неустойчивых систем характеризует среднюю степень расходимости переходных процессов. Под выбросом в дискретных динамических системах будем понимать величину а0 ( т0 1) определяемую уравнением: тахтє[о, оо) xm\m) //» -і о\ а = іі іі (2Л8) где xm(m) - миноранта х(т), то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что xm(ja) x(m) для любого тп 0. Выброс косвенно характеризует колебательность в неустойчивой динамической системе. При значении сг0 стремящимся к бесконечности процесс носит монотонный характер. Утверледение 2.4. Оценки динамических показателей качества в виде критического времени переходного процесса и выброса для дискретных динамических систем имеют вид: tc = T\ogp(8c), (2.19) г„ = 0» + DP 0gm( ) - ptf + г Ф . (2.20) где Т - есть интервал квантования.
Метод локальной оптимизации
Под оптимальной системой автоматического управления понимается система, которой тем или иным способом приданы наилучшие качества в каком-нибудь определённом смысле [17]. В оптимальных системах успешное решение задачи зависит от выбора параметров критерия качества, относительно которого проектируемая система должна быть оптимальной. Функционал конструируется таким образом, чтобы оптимальности системы всегда соответствовал его минимум, как в случае минимума, так и максимума требуемого показателя качества. Функционал, в общем случае, может представлять любую желаемую комбинацию оценок различных качеств проектируемой системы [1]. Современная теория линейных систем автоматического управления основана на использовании метода пространства состояний. Среди различных направлений, основанных на этом методе можно выделить два, получивших наибольшее распространение в инженерной практике [17, 43, 46]. Одно из них связано с методами модального управления, т.е. методами формирования коэффициентов обратных связей, обеспечивающих в замкнутой системе заранее выбранное распределение корней характеристического полинома. Другое направление связано с использованием методов локальной оптимизации системы, гарантирующего расположение корней характеристического полинома замкнутой системы в желаемой области. Методы оптимального и модального управления позволяют находить управление как линейную функцию переменных состояния объекта управления, то есть находить коэффициенты обратных связей по всем переменным вектора состояния, предполагая, что эти переменные доступны для измерения. Стационарные обратные связи, обеспечивающие желаемые моды замкнутой системы или минимум некоторому функционалу качества, предпочтительны с точки зрения простоты реализации. Однако для линейных систем высокого порядка при синтезе подобных управлений встает задача выбора параметров функционала качества или желаемых мод, гарантирующих требуемые показатели качества процессов в проектируемой системе. Остановимся подробнее на недостатках обоих методов.
Проблемы метода модального управления. Традиционный путь решения задач модального синтеза опирается на канонические формы динамических систем, что относится к эквивалентным способам представления уравнений состояния системы, которые, в свою очередь, являются равносильными лишь с точки зрения входо-выходных соотношений, то есть передаточных функций. Но одной и той же передаточной функции могут отвечать уравнения состояния, которые не преобразуются друг в друга, то есть обладают различными внутренними свойствами. Таким образом, даже если найдена каноническая форма желаемого поведения системы, нельзя обеспечить точного совпадения динамических свойств матрицы замкнутой системы с этой формой.
Проблемы традиционного метода АКОР (основанного на матрицах штрафов). Еще основоположник понятия качества автоматической системы В.В. Солодовников в 1953 г. в своем известном докладе по проблемам качества автоматических систем подчеркивал, что "между значениями квадратичных интегральных оценок и показателей качества, к сожалению, не существует определенного соответствия". Беллман, касаясь задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов, отмечал, что данной "менее важной задачей" часто заменяют исходную, "более реалистичную задачу" оптимизации, и подчеркивал: "Это напоминает историю об одном человеке, который, потеряв кольцо посреди улицы, искал его под фонарем, потому что там светлее", хотя оно "оставалось в той непроглядной темноте, которая показалась слишком затруднительной для поисков" [55].
Прямой метод Ляпунова при анализе устойчивости систем обладает общностью в смысле его применимости к различным классам систем: линейным, нелинейным, стационарным, нестационарным [47, 48]. Полученные на основе прямого метода Ляпунова условия качественной экспоненциальной устойчивости устанавливают связь между желаемым качеством процессов проектируемой системы и уравнениями, выполнение которых обеспечивает требуемые свойства процессов по множеству траекторий. Все это создает предпосылки для использования прямого метода Ляпунова при синтезе управлений для различных классов систем.
Математическое моделирование объектов и систем управления
Объект управления является не устойчивым, так как один из корней больше единицы. Построим для этой дискретной системы регулятор на основе метода локальной оптимизации и условий качественной экспоненциальной устойчивости, при этом возьмем перерегулирование, время переходного процесса и относительный размер окрестности установившегося значения соответственно как: а = 0,1, ts = Зс, Ss = 0,05, (4.2) используя которые, прямо по полученному алгоритму синтеза регуляторов следствия 3.1, используя аналитические выражения оценок прямых показателей качества (2.11) и (2.12) находим параметры ?иг: В = 0,905; г = 0,043, (4.3) найдем по (3.20) матрицу отрицательных обратных связей: К = {ВТВУ1ВТ{А - BI), (4.4) К = [1,042 0,614 2,416 -1,229]. (4.5) Проверим на выполнение условия (2.47): maXiXi = -0,00003 0, (4.6) то есть выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже должны выполняться. Желаемая оценочная трубка и реакция системы управления (3.2) с регулятором (4.5) на начальные отклонения х0т = [0,5 0,5 0,5 0,5], (4.7) представлены на рисунке ниже (Рис. 4.1). Т 1 I I г 08 06 ІІХІІ 02 J I I I L 0 1 2 3 t С А 5 6 Рис. 4.1. Переходной процесс нормы вектора состояния и оценочная трубка. Теперь проверим на удовлетворение другим показателям качества: а = 0,03, ts = Зс, Ss = 0,05, (4.8) откуда находим параметры р = 0,905; г = 0,029, (4.9) Проверим на выполнение условия (2.47): maxt Xt = 0,001 0, (4.10) то есть не выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже не должны выполняться. Желаемая оценочная трубка и реакция системы управления (3.2) с регулятором (4.5) на начальные отклонения (4.7) представлены на рисунке ниже (Рис. 4.2). 3 f/C 4 Рис. 4.2. Переходной процесс нормы вектора состояния и оценочная трубка. Для демонстрации эффективности предлагаемых алгоритмов анализа неустойчивых систем представим результаты математического моделирования объекта, динамика которого описывается уравнением (3.2), где матрица описания А представляется в виде: А = 1,078 0 0 0,013 0 1,077 0,011 0 0,012 0 1,081 0 0 0,014 0 1,082. (4.11) с интервалом квантования Т=0,1с. Объект управления является не устойчивым, так как один из корней больше единицы. Проанализируем исходный неустойчивый объект управления, при этом возьмем параметры качества соответственно как: (т0 = 5, tc = Зс, 6С = 10, (4.12) используя которые, прямо по полученному алгоритму анализа следствия 2.1, построенному на основе метода локальной оптимизации и условий качественной экспоненциальной устойчивости, используя аналитические выражения оценок динамических показателей качества (2.19) и (2.20), находим параметры риг: /? = 1,08; г = 0,0158, (4.13)
Проверим на выполнение условия (2.51): maxt Хх = -0,00003 0, (4.14) то есть выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже должны выполняться. Желаемая оценочная трубка и реакция объекта управления (3.2) с параметрами (4.11) на начальные отклонения (4.7) представлены на рисунке ниже (Рис. 4.3). 10000 5000 ІІХІІ о 0 1 2 3 4 5 ( с 6 7 8 9 10 Рис. 4.3. Переходной процесс нормы вектора состояния и оценочная трубка. Теперь проверим на удовлетворение другим показателям качества: а0 = 20,tc = 3c,8c = 10, (4.15) откуда находим параметры: /? = 1,08; г = 0,0106, (4.16) Проверим на выполнение условия (2.51): maxtXi = 0,0001 0, (4.17) то есть не выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже не должны выполняться. Желаемая оценочная трубка и реакция объекта управления (3.2) с параметрами (4.11) на начальные отклонения (4.7) представлены на рисунке ниже (Рис. 4.4). 7000 ,5000, 4000 3300 ІХІІ 3300 1000 о 1000 2000 1 2 34 5 t с Є 7 8 9
Для демонстрации эффективности предлагаемых алгоритмов синтеза дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами представим результаты математического моделирования объекта, динамика которого описывается уравнением (3.25) с интервал периодичности к=1, где периодические матрицы описания представляется в виде: с интервалом квантования Т=0,1с.
Объект управления является не устойчивым, так как корни обобщённой матрицы описания F больше единицы. Построим для этого объекта управления регулятор на основе метода локальной оптимизации и условий экспоненциальной устойчивости, при этом возьмем время переходного процесса и относительный размер окрестности установившегося значения соответственно как: ts = 0,2c,5s = 0,05, (4.19) используя которые, прямо по полученному алгоритму синтеза регуляторов следствия 3.2, используя аналитическое выражение оценки времени переходного процесса (2.22) находим параметр Я: А = 0,224, (4.20) найдем по (3.33) матрицу отрицательных обратных связей: Кі+і = {ВЇ+ІВНГІУ ВІ+ІАІ+ІЛ = ОД к- 1, (4.21) К0 = [2 1,8], = [1,5 -4,5]. (4.22) Проверим на выполнение условия (3.34): тахі ЛІ = -0.05 0. (4.23) то есть выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже должны выполняться. Желаемая оценочная трубка и реакция системы управления (3.25) с регулятором (4.22) на начальные отклонения: V = [l 1]. (4-24) представлены на рисунке ниже (Рис. 4.5). Таким образом, математическое моделирование подтверждает достоверность полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов и алгоритмов, построенных на их основе. 09 08 07 ОБ ІІХІІ 04 02 J I I I I I I L О О 002 004 006 008 О1 Г С 12 014 016 018 02
Среди всевозможных объектов, которые нуждаются в управлении, особый интерес для исследователя представляет такой объект, как перевернутый маятник, причиной этого является то, что задача его регулирования легко формализуется и может быть решена многими из существующих на сегодняшний день методами регулирования. Ее значимость для общей теории регулирования в том, что с ее помощью можно проверить эффективность различных методов регулирования.
NXT Ballbot является LEGO Mindstorms NXT версией робота Ballbot, разработанного Томом Лауэрсом (Тот В. Lauwers), Джорджом Кантором (George A. Kantor) и Ральфом Холлисом (Ralph HoUis) из университета Карнеги-Меллона (Carnegie Mellon University). Ballbot предназначен для балансировании на одном шаре во время своего движения. В таблицах ниже (Таблица 4.1 и Таблица 4.2) представлены свойства сенсоров и приводов NXT Ballbot. Таблица 4.1. Свойства сенсоров. Сенсор Выход Единица Тип данных МаксимальнаячастотадискретнизацияПАЯ Rotary Encoder (поворотный датчик угла) угол гр Int32 1000 Ultrasonic Sensor(ультразвуковой датчикдальности) дистанция см Intl6 50 HiTechnic Gyro Sensor (гиросенсор) Угловая скорость гр/с unit 16 300 Таблица 4.2. Свойства приводов. привод Вход Единица Тип данных Максимальнаячастотадискретнизация[1/с] DC Motor (двигатель ШИМ % Int8 500 постоянного тока) На рисунке ниже (Рис. 4.6) представлена структура NXT Ballbot. Гиросенсоры (производства компании HiTechnic) используются для вычисления угла наклона робота.
Пластиковый шар по сути сохраняет и удерживает равновесие робота с помощью трех колес и частей LEGO, присоединенных диагонально. Два колеса (резиновые шины) подключены к двигателям постоянного тока, и одно колесо свободно вращается. Следует заметить, что сдвиг и дрейф нуля гиросенсора оказывают большое воздействие на управление балансировкой.
