Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Состояние проблемы и задачи диссертации
1.1 Учет внешних возмущений и проблема робастности в теории , автоматического управления 11
Методы синтеза регуляторов с учетом внешних возмущений (11). Учет внешних возмущений на основе теорий Н2 - и Да-оптимизации (15). Учет требования астатизма при синтезе регуляторов (17). Проблема робастности (18).
1.2 Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критериям И2 - и Ню -оптимизации и критерию робастности 20
Класс объектов управления и внешних воздействий (20). Класс регуляторов (21). Критерии Н2- и Д» -оптимизации (24). Критерии робастности (28).
1.3 Направления исследований и основные задачи диссертации 31
Выводы к главе 1 33
Глава 2 Синтез непрерывных динамических регуляторов на основе теории Н2 -оптимизации
2.1 Синтез Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка 34
Постановка задачи (34). Сингулярная задача фильтрации (35). Сингулярная задача управления (43). Пример (48)
2.2 Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов 54
Постановка задачи (54). Сингулярная задача фильтрации (54). Сингулярная задача управления (58). Пример (60)
2.3 Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов с учетом требования робастности 65
Постановка задачи (65). Обеспечение робастности на входе объекта (66). Обеспечение робастности на выходе объекта (71).
Пример (75)
Выводы к главе 2 79
Глава 3 Синтез дискретных динамических регуляторов на основе теории Нг -оптимизации
3.1 Синтез дискретных Н2-оптимальных регуляторов пониженного порядка Постановка задачи (80). Сингулярная задача фильтрации (81). Сингулярная задача управления (85). Пример (87) 80
3.2 Синтез дискретных /^-оптимальных астатических регуляторов с учетом запаздывания 89
Постановка задачи (89). Сингулярная задача фильтрации (90).
Сингулярная задача управления (93). Пример (96)
Выводы к главе 3 100
Глава 4 Синтез непрерывных динамических регуляторов на основе теории Н-оптимизации
4.1 Синтез астатических субоптимальных регуляторов на основе До -критерия Постановка задачи (101). Сингулярная задача фильтрации (102) . 101
Сингулярная задача управления (104). Пример (106)
Выводы к главе 4 111
Глава 5 Синтез дискретного регулятора для вспомогательной силовой установки самолета
5.1 Модель объекта управления 112
Назначение и функциональная схема системы управления (112). Модель газотурбинного двигателя (115). Модель управляемого генератора переменного тока (118).
5.2 Синтез дискретного /f2-оптимального астатического регулятора с учетом запаздывания 123
Формализация задачи синтеза (123). Решение задачи синтеза (125). Результаты анализа качества управления (130).
Выводы к главе 5 136
Заключение 137
Акт о внедрении в производственный процесс 139
Акт о внедрении в учебный процесс 140
- Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критериям И2 - и Ню -оптимизации и критерию робастности
- Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов
- Синтез дискретных Н2-оптимальных регуляторов пониженного порядка Постановка задачи (80). Сингулярная задача фильтрации (81). Сингулярная задача управления (85). Пример (87)
- Синтез астатических субоптимальных регуляторов на основе До -критерия Постановка задачи (101). Сингулярная задача фильтрации (102)
Введение к работе
Последние три десятилетия теория автоматического управления интенсивно развивается. Возникают такие новые направления, как Н2 - и Н^ -оптимальное управление, L\ -подход, теория линейных матричных неравенств. На первый план выходят проблемы анализа и синтеза многомерных систем. При этом методы линейно-квадратической (LO-), Нг- и Д»-оптимизации, модального управления и теории наблюдающих устройств, основанные на концепции пространства состояний, становятся одними из главных средств решения задач синтеза регуляторов многомерных систем.
В инженерной практике основными требованиями качества, предъявляемыми к разрабатываемым системам управления, являются точность стабилизации или слежения при действии на систему внешних неконтролируемых возмущений, требования робастности системы, т. е. способности сохранения устойчивости при изменении ее параметров или при наличии неучтенной (немоделируемой) динамики, простота реализации регуляторов и др. При этом, стремительное развитие микропроцессорной электроники придает особо важное значение задачам оптимального управления в теории дискретных систем.
Следует отметить, что в рамках задачи синтеза особое внимание всегда уделялось учету внешних возмущений. Перечислим наиболее значимые методы, учитывающих действие внешних факторов. Динамическая компенсация (Бхаттачария ILL, Волович В., Девисон Е., Уонем М.) применяется в случае неконтролируемых (неизмеряемых) возмущений, для которых предполагается известной некоторая модель. При случайных возмущениях с заданными спектральными свойствами применяются методы стохастической оптимизации. В частности, методы линейно-квадратической гауссовой (LOG-) оптимизации, где используются квадратичный критерий качества и понятия средних значений квадратов входных и выходных переменных (Быоси Р., Калман Р., Квакер-наак X., Ларин В.Б., Петров Ю.П., Уонем М.). Теории Н2- и активно развивающейся в настоящее время До-оптимизации позволяют решить задачу синтеза, если внешние возмущения представляются неопределенными сигналами
с ограниченной энергией (L2 -нормой) (Зеймс Дж., Френсис Б., Дойл Дж., Гловер К., Алиев Ф.А., Ларин В.Б., Kucera V.). Проблема подавления ограниченных возмущений решается с использованием методов теории Lx -оптимизации (Барабанов А.Е., Пирсон Дж.). Также широкое применение получил метод линейных матричных неравенств (Якубович В.А., Willems J.C.), что позволило, в частности, получить такое решение линейно-квадратичной задачи, которое может быть обобщено на случай системы с неопределенностью (Бойд С).
Среди перечисленных подходов к решению проблемы синтеза регуляторов многомерных систем наиболее актуальными являются методы Щ- и Н^-оптимизации, опирающиеся на концепцию пространства состояний. Это объясняется тем, что уже в самой постановке задач содержатся неопределенные внешние возмущения, используемые критерии качества дают оценку частотных свойств системы, а процедуры синтеза сводятся к решению линейных матричных уравнений Лурье-Риккати, наличие эффективных программ решения которых делает этот аппарат весьма предпочтительным с вычислительной точки зрения. При этом следует заметить, что если внешнее возмущение принимается белым шумом единичной интенсивности, то критерии качества в задачах И - и ZgG-оптимизации совпадают, т. е. эти задачи оказываются эквивалентными.
Исследования проблемы понижения порядка оптимальных регуляторов проводились как в рамках Нм -теории, где получен ряд подходов к синтезу законов управления заданной структуры и размерности (Glover К., Киселев О.Н., Поляк Б.Т., Домбровский В.В., Садомцев Ю.В.), так и в рамках Н2 (LOG)-теории (Coppeland B.R., Safonov M.G., Rom D.B., Blanvillain P.J.). Однако, следует отметить, что в LOG-защчах используется упрощающее предположение о характере влияния внешнего возмущения на объект управления. А именно, это возмущение предполагается полным, т. е. возбуждающим каждую компоненту вектора состояний, что не позволяет выявить некоторые особенности решения, связанные с определенным местом приложения внешнего возмущения.
Помимо простоты реализации законов управления, в реальных инженерных задачах достаточно часто выдвигается требование астатического регулятора,
обеспечивающего нулевую статическую ошибку регулирования при постоянных возмущениях. В связи с этим возникает актуальный вопрос о том, как учесть это требование при синтезе оптимальных регуляторов наиболее предпочтительного пониженного порядка для многомерных систем управления.
Что же касается требования робастности, то оно является одним из ключевых при практическом синтезе систем управления. Наиболее важной задачей робастного синтеза является выбор регулятора (в форме обратной связи по состоянию или выходу), который, во-первых, обеспечивает устойчивость системы при наличии неопределенности в замкнутой системе, а во-вторых, гарантирует некоторое желаемое значение показателя качества при всех возможных неопределенностях. Решение этой задачи найдено в рамках Д» -теории (Doyle J., Glover К., Khargonekar P., Francis В., Александров А.Г., Честнов В.Н.). Также оно может быть получено на основе //-синтеза (Doyle J.) и для линейно-квадратичного регулятора с использованием линейных матричных неравенств (Якубович В.A., Willems J.C.) или путем определенного выбора весовых матриц в критерии качества (Садомцев Ю.В., Fuji! Т., Mizushima N.).
Особенностью систем управления с цифровыми регуляторами часто является то обстоятельство, что управляющие воздействия, вычисляемые на текущем такте дискретности по информации о состоянии объекта в начале такта, прикладываются к нему лишь по истечении этого такта. Очевидно, это равносильно тому, что в системе присутствует запаздывание по управлению на один период дискретности. Таким образом, построение процедуры синтеза дискретных систем с учетом запаздывания является актуальной проблемой.
Цель работы состоит в решении задачи синтеза регуляторов пониженной размерности по критериям Нг- и Дю -оптимизации для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений из класса ограниченных в L2 -норме функций, с учетом требования астатизма в контурах регулирования и требования робастности замкнутой системы к возможным неструктурированным неопределенностям в виде немоделируемой динамики на входе или выходе объекта.
Работа состоит из пяти глав. В первой главе дается обзор и анализ существующих подходов к синтезу регуляторов с учетом действия внешних возмущений. Обосновывается выбор методов Н2- и Д»-оптимизации как наиболее перспективных в рамках исследования проблемы понижения порядка регуляторов многомерных систем, подверженных действию внешних возмущений. Здесь же в общем виде формулируется задача синтеза, изучаемая в данной работе, определяются классы объектов и внешних возмущений, формализуются требования к оптимальности и робастности в виде определенных критериев.
Во второй главе на основе теории #2-оптимизации построены две дуальные друг другу методики синтеза непрерывных регуляторов пониженной размерности. Одна из них строится с применением наблюдателя Люенбергера, другая - с применением дуального динамического компенсатора. Проблема понижения порядка регуляторов связывается с решением вырожденных задач фильтрации (отсутствует шум измерений) и управления (в регулируемом выходе отсутствует управление). С использованием разработанной методики построены методы синтеза регуляторов, учитывающих требования астатизма и робастности замкнутой системы. Причем, критерии робастности в случае применения наблюдателя Люенбергера удовлетворяются для мультипликативных
( неструктурированных неопределенностей на входе объекта, который предполагается минимально-фазовым, а в случае дуального динамического компенсатора обеспечиваются аналогичные свойства на его выходе. Приводятся примеры синтеза законов управления, и проводится сравнительный анализ качества переходных процессов системы, замкнутой регуляторами полной и пониженной размерности.
В третьей главе применительно к дискретным системам разрабатываются методики синтеза Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка с использованием наблюдателя Люенбергера и дуального динамического компенсатора. Также разрабатываются прямой и дуальные методы синтеза регуляторов с учетом требования астатизма и наличия вносимого БЦВМ запаздывания по управлению на один такт. Полученные процедуры иллюстрируются примерами.
В четвертой главе решается задача синтеза непрерывного динамического закона управления по измеряемому выходу с учетом требования астатизма и использованием методов теории До-оптимизации. Решение найдено в классе субоптимальных регуляторов пониженной размерности. Приводится пример построения многомерной субоптимальной системы управления, иллюстрирующий полученные результаты.
В пятой главе рассматривается прикладная задача синтеза цифрового регулятора для вспомогательной силовой установки самолета, включающей газотурбинный двигатель и управляемый генератор переменного тока. Приводятся приближенные нелинейные модели двигателя ТА 18-200 и генератора ГПТ-100. С использованием линеаризованных моделей решается задача синтеза Н2-оптимального цифрового астатического закона управления с учетом запаздывания. Проводится анализ замкнутой непрерывно-дискретной системы с учетом нелинейностей в модели совокупного объекта управления. Приводятся графики переходных процессов, подтверждающих требуемое качество регулирования.
В приложения вынесены доказательства некоторых утверждений, которые формулируются в работе. Кроме этого приведены тексты программ на языке программного комплекса MATLAB для получения моделей законов управления по разработанным в работе методикам синтеза регуляторов.
Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности, практической направленности и тех методиках, которые позволяют решать задачи синтеза законов управления для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений, с учетом таких актуальных требований, как пониженный порядок регуляторов, наличие астатизма, а также требований робастности замкнутой системы. Разработанные методики синтеза регуляторов с использованием средств программного комплекса MATLAB реализованы в виде программ. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза законов управления для реальных объектов (систем стабилизации продольного движения самолёта и вертолета, регулятора для измерителя угловой скорости, регулятора для вспомогательной силовой установки самолета).
Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления».
Полученные результаты использовались в ОАО «КБ Электроприбор» при разработке закона управления для системы электроснабжения самолета, что подтверждается соответствующим актом, а также используются в учебном процессе при чтении лекций по курсам «Современная теория автоматического управления» и «Теория дискретных систем».
По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 11 научных работ, из них: 3 статьи и 8 материалов конференций. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.
Основные научные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту:
Для вырожденных задач фильтрации (отсутствует шум измерений) и управления (в регулируемом выходе отсутствует управление) разработаны дуальные методики синтеза непрерывных и дискретных #2-оптимальных регуляторов пониженной размерности.
Разработаны прямые и дуальные методики синтеза непрерывных астатических регуляторов с использованием методов построения законов управления пониженного порядка по критериям Н2- я Нао -оптимизации.
Разработаны две дуальные методики синтеза цифрового астатического регулятора с учетом вносимого БЦВМ запаздывания на один период дискретности, основанные на методах построения Н2 -оптимальных законов управления пониженной размерности.
Разработаны две дуальные методики синтеза непрерывных астатических Н -оптимальных регуляторов с учетом требований робастности для случая минимально-фазовых систем. Одна из предлагаемых методик позволяет удовлетворить введенным критериям робастности при мультипликативных неструктурированных неопределенностях на входе объекта управления, а другая — на его выходе.
Общая постановка задачи синтеза многомерных систем по критериям И2 - и Ню -оптимизации и критерию робастности
Методы синтеза регуляторов с учетом внешних возмущений.
Как уже отмечалось во введении, проблема синтеза систем управления с учетом действующих на них внешних возмущений является одной из основных как в аналитической теории автоматического управления, так и в инженерной практике. В зависимости от условий работы системы и предъявляемых к ней технических требований задача синтеза может быть сформулирована в различных постановках. Основными из них являются: полная компенсация возмущений; динамическая компенсация возмущений; оптимизация вынужденного движения по квадратичному критерию; минимизация дисперсий ошибок регулирования (при случайных гауссовских возмущениях с заданными статистическими характеристиками); оптимальное подавление внешних возмущений. Ниже приводится краткий обзор и анализ существующих методов синтеза по этим направлениям.
Принцип полной компенсации возмущений состоит в выборе структуры и параметров закона управления таким образом, чтобы регулируемые переменные объекта не зависели от внешних возмущений, которые принимаются произвольными функциями. К этому направлению относятся методы теории инвариантности, опирающиеся на аппарат дифференциальных уравнений [1-3] или концепцию пространства состояний [4, 5]. Однако, особенностью инвариантных систем является то, что полная компенсация возмущений, как правило, возможна лишь в том случае, когда внешнее возмущение является измеримым. При неизмеримых возмущениях условия полной инвариантности приводят [6] либо к физически нереализуемой системе с бесконечным коэффициентом усиления, либо к неробастной системе, в том смысле, что малые изменения параметров объекта или регулятора ведут к резкому качественному изменению поведения замкнутой системы вплоть до потери устойчивости. В отличие от теории инвариантности методы динамической компенсации возмущений исходят из того, что внешние возмущения принадлежат к определенному классу детерминированных функций. Суть подхода состоит в расширении пространства состояний управляемого объекта за счет моделей внешних воздействий. Это позволяет учесть при синтезе неизмеримые внешние возмущения, а также произвольным образом назначить собственную динамику замкнутой системы. Компенсация возмущений обеспечивается построением либо регулятора по выходу [7], либо наблюдателя возмущений [8]. Однако, применение данных методов возможно лишь для весьма ограниченного класса внешних воздействий, кроме этого структура регулятора неоправданно усложняется.
Методы оптимизации вынужденного движения являются результатом обобщения задачи линейно-квадратической оптимизации [9, 10] на класс задач оптимальной стабилизации при внешних измеряемых возмущениях [11, 12]. Возможность применения этих методов ограничивается требованием измеримости возмущений и наличия о них полной априорной информации на всем промежутке времени.
Методы минимизации дисперсий ошибок регулирования (при случайных гауссовских возмущениях с заданными статистическими характеристиками) относятся к методам теории стохастической оптимизации. Классические методы теории развивались в рамках подхода оптимальной фильтрации зашумлен-ных случайных процессов. Задачи синтеза состояли [13-17] в нахождении передаточной функции оптимального фильтра (регулятора) из условия минимума дисперсии ошибки воспроизведения полезного случайного сигнала, зашумлен-ного помехой. В рамках современного направления теории стохастической оптимизации развиваются методы синтеза [18-22], основанные на концепции пространства состояний. Задача оптимальной оценки состояния объекта, возбуждаемого некоррелированными случайными процессами типа белого шума, при неполных и зашумленных измерениях впервые была решена Калманом Р. и Быоси Р. в работе [23]. Позже было получено решение задачи для коррелированных процессов [24] и процессов типа цветного шума [25, 26]. С использованиєм принципа разделения [27], эти результаты послужили основой для построения процедуры синтеза 9(?-оптимальных регуляторов при неполных и зашумленных измерениях. Суть ее состоит в том, что регулятор по измеряемому выходу образуется объединением LOG-оптимального регулятора по полному состоянию и оптимального фильтра Калмана, восстанавливающего это состояние с минимальной среднеквадратической ошибкой. Дальнейшее развитие LQG-иодхода привело к постановке вырожденных стохастических задач: сингулярной фильтрации, когда частично [28] или полностью [29] отсутствует шум измерений, и сингулярного управления, т. е. при частичном или полном [28,30] отсутствии управления в минимизируемом функционале. В рамках сингулярных задач с использованием временных методов iigG-теории была решена проблема понижения порядка оптимальных регуляторов [28-30]. Закон управления в этих случаях строится применением соответствующих наблюдателей пониженного или минимального порядка и по-прежнему сводится к решению двух уравнений Риккати, одно из которых имеет пониженную размерность.
К недостаткам методов стохастической оптимизации следует отнести тот факт, что если внешнее возмущение или задающее воздействие является экспоненциально-коррелированным (цветным) шумом, то требование минимума функционала приводит к необходимости расширения пространства состояний, что с практической точки зрения неоправданно усложняет задачу.
Методы оптимального подавления внешних возліущеннй можно охарактеризовать как методы минимизации ошибок регулирования при наихудших ограниченных возмущениях из определенного класса. Это направление основано на использовании методов минимакса и теории дифференциальных игр [31, 32]. К нему относятся L\-оптимальное управление, теории Н2 и На, -оптимизации и др.
В задачах L\ -оптимизации предполагается, что внешние возмущения принадлежат классу произвольных ограниченных функций времени. Требуется минимизировать Lm -норму выхода, что эквивалентно минимизации Lі -нормы передаточной функции замкнутой системы. Решение этой задачи было получено первоначально для частных случаев [33-35], а позже в работах [36, 37] построено общее решение. Наиболее полно теория и методы L] -оптимизации описаны в работах [38, 39], а в [40, 41] для объектов с ограниченными помехами осуществляется синтез регулятора заданного порядка. Отметим, что процедуры синтеза L\ -оптимальных законов управления имеют существенные недостатки. Во-первых, решение удается получить только численно с использованием задач линейного программирования. Во-вторых, порядок регулятора, как правило, нельзя оценить заранее: он может быть очень велик даже для довольно простых объектов, а в случае непрерывной системы вообще оказаться бесконечномерным.
Синтез астатических Н2 -оптимальных регуляторов
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями (1.2.1). Как и в предыдущем разделе, построение процедуры синтеза регуляторов будем связывать с решением сингулярных задач: фильтрации, когда Я = 0 и удовлетворяются ограничения (1.2.4), и управления, при 5 = 0 и требованиях (1.2.5).
В качестве обратной связи будем использовать линейный стационарный астатический регулятор, уравнения которого пока запишем в общем виде: xc(t) = Acxc(t) + Bcy(t), n{t) Ccxc{t) + Dcy{t\ ( } где хс єR"c - вектор состояний регулятора; Ас, Вс, Сс, Dc - числовые матри цы соответствующих размеров, подлежащие определению. Структура и размерность регулятора будут конкретизированы далее. Обозначим через T0w(s) передаточную матрицу замкнутой системы (1.2.1), (2.2.1) от возмущения w к регулируемому выходу в и потребуем, чтобы на движениях системы минимизировалась Н2 -норма (1.2.14) матрицы T0w(s). Таким образом, суть задачи синтеза состоит в определении параметров астатического регулятора (2.2.1) так, чтобы замкнутая система (1.2.1), (2.2.1) была внутренне устойчивой и оптимальной в смысле минимума показателя (1.2.14). Сингулярная задача фильтрации. Переходя к решению задачи, прежде всего, отметим, что число переменных системы, по которым может быть обеспечена нулевая статическая ошибка за счет введения астатизма ограничено. В частности, используя известные результаты [21, 101], касающиеся этой проблемы, можно показать, что число таких переменных не превышает числа степеней свободы, определяемое как min{r, т). Поэтому при учете требований астатизма указанное обстоятельство необходимо принимать во внимание. Рассмотрим сначала сингулярную задачу фильтрации {Н = 0). Будем считать, что число степеней свободы системы определяется числом ее управлений (г /??). Введем вспомогательный вектор GR ", компоненты которого пропорциональны некоторым из измеряемых переменных, принимаемых условно главными, т. е. ya(t) = Ny(t), гдеN— согласующая тхг матрица. Для учета требования астатизма дополним объект (1.2.1) /w-мерным интегратором jti(t) = ya(t), //eRm. Формально это приводит к тому, что к модели объекта (1.2.1) добавляется уравнение интеграторов fi(t) = Ny(t), (2.2.2) которые, после решения задачи синтеза, должны быть отнесены к регулятору. Введем расширенные векторы состояний х = colon {/л, х}, х єТИ"+т, измеряемых выходов у = co\on{ju,y}, у є R "+r и регулируемых переменных в =со1оп{/л 0}, в єКд+т. Тогда уравнения эквивалентного расширенного объекта управления примут вид: (2.2.3) x(t) = Ах (t)+Bu(t) + Gw(t), у (0 = Cx{t), 6(f) = Dx(t) + Su(t), а матрицы этого объекта будут иметь следующую блочную структуру: Отметим, что переменная /л, как искусственно введенная, доступна для использования ее в алгоритме управления, в силу чего она отнесена к новым измеряемым переменным. Это обеспечивает наблюдаемость пары (С, А). Кроме того, переменная ц используются как векторная компонента нового регулируемого выхода, чем достигается наблюдаемость пары (D, А). В приложении 3 показано, что при выполнении условия в]} {П+т—1 (2.2.5) т vank{NC[B \ АВ \ А2В пара (А, В) расширенного объекта сохраняет свойство управляемости. Отметим также, что если матрица С объекта (1.2.1) имеет структуру С = [I,.: 0], то в силу выбранных переменных состояния матрица С в уравнениях измеряемого выхода расширенного объекта (2.2.3) будет иметь такую же структуру. Помимо этого, на вектор измеряемых переменных в (2.2.3) не оказывает влияние возмущающее воздействие w (Н=0), а при выполнении требований (1.2.4) матрицы D и S удовлетворяют условиям STD = 0 и STS=Im. Таким образом, эквивалентный объект (2.2.3) по структуре и свойствам совпадает с исходным объектом (2.1.1) в сингулярной задаче фильтрации, так что для него можно получить решение этой задачи в классе Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности вида (2.1.3), т. е.: (0 = Wm + Ky(t) + TBu(t), u(t) = F(Vm + Uy(0, } где символ «черта» сверху означает, что синтез ведется для расширенного объекта (см. рисунок 2.3, а). Определим структуру матриц, входящих в (2.2.6). Очевидно, эта структура будет определяться выражениями (2.1.4) с той лишь разницей, что все матрицы, входящие в эти выражения, будут иметь символ «черта» сверху. Используя блочные представления (2.2.4) и размерность г=т+г нового измеряемого выхода, нетрудно установить, что А22=А22, Ап=со\оп{0,Аи}, G, = colon{О, }, G2=G2. Тогда, из анализа 5-го и 7-го уравнений системы (2.1.12) вытекает L=[0 :L], где L по-прежнему определяется выражением (2.1.17) и уравнением Риккати (2.1.18). Другими словами решение задачи наблюдения не меняется. При этом для матриц, входящих в (2.2.6), за исключением F, путем непосредственных подстановок можно определить:
Синтез дискретных Н2-оптимальных регуляторов пониженного порядка Постановка задачи (80). Сингулярная задача фильтрации (81). Сингулярная задача управления (85). Пример (87)
Постановка задачи. Рассмотрим линейный стационарный дискретный объект управления, описываемый уравнениями состояний и выходов: х(і +1) = Ах(і) + Ви(ї) + Gw(i), y(i) = Cx(i) + Hw(i), 0(i) = Dx(i) + Su(i% (ЗЛЛ) где x є R", не R7", у єКг (m n, r n) - векторы состояний, управлений и измеряемых выходов, соответственно; w є R , в є R 7 (/ г, q m)- векторы переменных, представляющих возмущающий вход и регулируемый выход системы; / - дискретное время; А, В, G, С, D, Н, S — числовые матрицы соответствующих размеров, причем, будем полагать, что В, G, С и D имеют полные ранги, пары (А, В) и (A, G) являются полностью управляемыми, а пары (С, А) и (D, А) — полностью наблюдаемыми. Относительно внешнего возмущения w предположим, что оно принадлежит классу неопределенных, но ограниченных в L2 -норме векторных сигналов: ЛІ/2 оо, ][ (/)w(0 u=o J Как и для непрерывных систем, будем рассматривать сингулярные задачи: фильтрации, в этом случае будем полагать, что Н-0 я выполняются условия (1.2.4), и управления, когда S = 0 и удовлетворяются требования (1.2.5). В качестве обратной связи будем использовать линейный стационарный дискретный регулятор пониженной по сравнению с объектом размерности, уравнения которого пока запишем в общем виде: u(i) = Ccxc(f) + Dcy(i), (3 L2) xc(i + Y) = Acxc(i) + Bcy(i), где хс GR"C {пс п) - вектор состояний регулятора; Ас, Вс, Сс, Dc — числовые матрицы соответствующих размеров, подлежащие определению. Далее в зависимости от решаемой задачи структура и размерность регулятора будут конкретизированы. Обозначим через T0w(z) передаточную матрицу замкнутой системы (3.1.1), (3.1.2) от возмущения w к регулируемому выходу в. В качестве критерия оптимальности закона управления (3.1.2) будем использовать требование минимизации Н2 -нормы (1.2.22) матрицы T0W (z).
Задача синтеза состоит в определении параметров регулятора (3.1.2) для вырожденных случаев общей проблемы Нг -оптимизации (сингулярных задач фильтрации и управлення) так, чтобы замкнутая система была внутренне устойчивой, и обеспечивался минимум критерия (1.2.22).
Сингулярная задача фильтрации. Для решения данной задачи аналогично непрерывному случаю в качестве обратной связи будем использовать динамический компенсатор минимального порядка. В этом случае, размерность искомого дискретного регулятора будет уменьшена по сравнению с размерностью объекта на число его измеряемых выходов. Уточненные уравнения обратной связи (3.1.2) будут иметь вид:
ї(і +1) = W&i) + Ky{i) + TBuii),
ii(i) = Fx(i) = F(Vt(i) + Uy(i)), ( }
где Е, є R//-r — вектор состояний наблюдателя, х eR" — вектор оценок переменных состояния объекта, используемых в регуляторе по полному состоянию с матрицей передаточных коэффициентов F. Матрицы W, К, Т, V, U должны удовлетворять соотношениям (1.2.8).
Предположим, что матрица С в уравнениях (3.1.1) имеет структуру C = [Ir \ 0], тогда, аналогично непрерывному случаю, уравнения (1.2.8) будут удовлетворяться тождественно, если матрицы W, К, Т, V, U определить соотношениями (2.1.4). Следовательно, задача сводится к нахождению всего лишь двух матриц F и L, которые должны быть определены так, чтобы замкнутая система была внутренне устойчивой, и минимизировался показатель (1.2.22). Заметим, что после нахождения этих матриц для закона управления общего вида (3.1.2) по-прежнему будут иметь место соотношения (1.2.9). Запишем уравнения замкнутой системы (3.1.1), (3.1.3), соответствующие передаточной матрице T0w{z). Для этого введем вспомогательную векторную переменную е = %-Тх, а также вектор состояний xs = colon {х, е] . Тогда, принимая во внимание полученные в первой главе результаты, замкнутую систему (3.1.1), (3.1.3) можно представить в виде:
xs (і +1) = Asxs (і) + Gsw(i), 9(ї) = Dsxs (0, где матрицы параметров имеют блочную структуру (2.1.6).
При условии устойчивости данной системы #2-норма (1.2.22) ее передаточной матрицы вида (1.2.23) может быть определена из выражения (1.2.24) с учетом уравнений (1.2.25).
Как и для случая непрерывных систем, это означает, что рассматриваемая задача Н2 -оптимизации представляет собой вариационную задачу на условный экстремум (минимум) функционала (1.2,24), где в качестве связующего условия выступает одно из уравнений (1.2.25). По-прежнему эту задачу будем решать путем ее сведения к проблеме безусловного экстремума. Для этого выберем в выражении (1.2.24) составляющую с Xs и введем вспомогательный функционал, объединяющий критерий (1.2.24) с соответствующим уравнением из (1.2.25):
J = tv{GsGjXs} + tr{{AjXsAs -Xs +DjDs)ЛЯ}, (3.1.4) где Ду( - некоторая симметрическая матрица, имеющая смысл матричного множителя Лагранжа.
Синтез астатических субоптимальных регуляторов на основе До -критерия Постановка задачи (101). Сингулярная задача фильтрации (102)
Рассмотрим линейный стационарный объект управления, описываемый уравнениями состояний и выходов:
x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t),
y{t) = Cx(t) + Hw(t), 0(t) = Dx(t) + Su(t), 4ЛЛ где xєR", и єRm, v єRr (т п, г п) - векторы состояний, управлений и
измеряемых выходов, соответственно; weR (/ г) - возмущающее воздействие, которое будем считать неопределенным векторным сигналом с ограниченной L2-нормой w2 1; в є R 7 (q m)- вектор переменных, представляющих
регулируемый выход системы; А, В, G, С, D, Н, S - числовые матрицы соответствующих размеров, причем В, G, С и D имеют полные ранги, пары (А, В) и (A, G) являются полностью управляемыми, а пары (С, А) и (D, А) — полностью наблюдаемыми.
Построение процедуры синтеза регуляторов по-прежнему будем связывать с решением сингулярных задач: фильтрации, когда Н = 0 и удовлетворяются ограничения (1.2.4), и управления, при 5 = 0и требованиях (1.2.5).
В качестве обратной связи будем использовать линейный стационарный астатический регулятор, уравнения которого пока запишем в общем виде:
xc(t) = Acxc(t) + Bcy(t),
u(t) = Ccxc(t) + Dcy(t), ( "}
где хс е R"c — вектор состояний регулятора; Ас, Вс, Сс, Dc - числовые матрицы соответствующих размеров, подлежащие определению. Структура и размерность регулятора будут конкретизированы далее.
Обозначим через T0w(s) передаточную матрицу замкнутой системы (4.1.1),
(4.1.2) от возмущения w к регулируемому выходу в и потребуем выполнения целевого условия i/oo -оптимизации (1.2.20).
Таким образом, необходимо определить параметры астатического регулятора (4.1.2) так, чтобы замкнутая система (4.1.1), (4.1.2) была внутренне устойчивой, и удовлетворялся критерий (1.2.20) субоптимальной стабилизации.
Сингулярная задача фильтрации. Рассмотрим сначала сингулярную задачу фильтрации (И — 0). При этом будем полагать, что число степеней свободы системы определяется числом ее управлений (/ т).
Учет требования астатизма будем осуществлять по методике, описанной в разделе 2.2, за счет добавления к модели объекта (4.1.1) уравнения /72-мерного интегратора
fi{t) = Ny{t\ //єіГ (4.1.3)
который, после решения задачи синтеза, должен быть отнесен к регулятору. Напомним, чтоN- согласующая тхг матрица.
В результате получим уравнения эквивалентного расширенного объекта управления вида (2.2.3), (2.2.4). При этом, как уже отмечалось, расширенный объект сохраняет свойства управляемости и наблюдаемости, а если матрица С объекта (4.1.1) имеет структуру С = [1Г: 0], то такую же структуру будет иметь
и матрица С . Помимо этого, на вектор измеряемых переменных в (2.2.3) не оказывает влияние возмущающее воздействие w (Л=0), а при выполнении тре бований (1.2.4) матрицы D и S удовлетворяют условиям STD =0 и STS=Im.
Предположим, что блок А22 исходного объекта (4.1.1) устойчив. Тогда, поскольку пара (A22,G2) управляема, что следует из управляемости пары (A, G) [103], то принимая во внимание результаты работы [70], заключаем, что эквивалентный объект (2.3.3) по структуре и свойствам совпадает с исходным объектом в сингулярной задаче фильтрации, так что для него можно получить решение этой задачи в классе Н -субоптимальных регуляторов пониженной размерности следующего вида:
i(o=wm+кт+т(ви(о+ит),
, n+m
Здесь є R"_r - вектор состояний регулятора; х є R — вектор оценок
переменных состояния расширенного объекта, используемых в регуляторе по полному состоянию с матрицей передаточных коэффициентов F;
w = Fwx, weR - оценка внешнего возмущения; а матрицы W , К, Т , V , U должны удовлетворять соотношениям (1.2.8) с той лишь разницей, что все матрицы, входящие в эти выражения, будут иметь символ «черта» сверху.
Используя результаты работы [70], блочные представления (2.2.4), а также учитывая, что А22-А22, G2=G2, D2=D2, определим матрицы, входящие в
Здесь блоки матриц соответствуют разбиению вектора х на составляющие
— _ т» r+m „ — _ о п г
Хщ Є К И Х(2) Є К
Теперь для построения искомого астатического Нт -субоптимального регулятора необходимо к уравнениям (4.1.4) добавить модель интегратора (4.1.3). Если представить вектор состояний регулятора (4.1.2) как хс = colon{//,}, то матрицы параметров этого регулятора определятся выражениями:
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к итерационной процедуре поиска наименьшего значения параметра /, для которого уравнения (4.1.6) будут иметь положительно-определенные решения, удовлетворяющие условию (4.1.7), и дальнейшему определению параметров астатического субоптимального регулятора (4.1.2) по соотношениям (4.1.8), (4.1.5). Заметим, что размерность найденного астатического регулятора составляет пс=п + т — г.
Сингулярная задача управления. Рассмотрим теперь сингулярную задачу управления (S = 0), полагая при этом, что число степеней свободы
объекта определяется числом его измеряемых выходов (г т) . Как и в разделе 2.2, для учета требования астатизма объект (4.1.1) дополним r-мерным интегратором, который будем ставить на управляющем входе, добавляя выходы интегратора к некоторым условно главным управлениям. Другими словами, управление и будем формировать по следующему принципу:
и(і) = щ(і) + Щ(і), jU(t) = uM(t) + wfJ(t), jueUr, (4.1.9)
где щ и и — вновь образованные управления, N — согласующая т х г матрица, a w — дополнительное, искусственно введенное, возмущение. Если рассмотреть объект управления (4.1.1) совместно с уравнениями (4.1.9), то получим эквивалентный расширенный объект вида (2.2.12), матрицы параметров которого будут иметь блочную структуру (2.2.13), дуальную по отношению к матрицам (2.2.4). При этом, как уже отмечалось, расширенный объект сохраняет свойства управляемости и наблюдаемости исходного объекта, а если В = colon{Im, 0}, то в расширенном объекте такая же структура сохраняется и для матрицы В. Кроме этого, в уравнениях регулируемого выхода в (2.2.12) отсутствует составляющая с новым управлением и (S = 0), а при выполнении требований (1.2.5) матрицы G и Н удовлетворяют условиям GH =0 и Н Н =1Г
