Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия анизотропийного анализа 23
1.1 Выводы к главе 1 26
2 Частотная теорема для анизотропийной нормы 28
2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств 29
2.2 Вычисление анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации 33
2.3 Предельные случаи 35
2.4 Вычислительные эксперименты и сравнение с методом гомотопий 36
2.5 Выводы к главе 2 42
3 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации 43
3.1 Постановка задачи синтеза 43
3.2 Решение задачи синтеза 45
3.2.1 Частотная теорема для анизотропийной нормы в задаче синтеза 46
3.2.2 Статическая обратная связь по состоянию 48
3.2.3 Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы 51
3.2.4 Регулятор по выходу полного порядка 53
3.2.5 Статическая обратная связь по выходу
3.2.6 Синтез регулятора заданного порядка с помощью
выпуклой оптимизации 68
3.3 Выводы к главе 3 70
4 Многокритериальные задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов. Синтез управления для систем с неопределенными параметрами 71
4.1 Постановка многокритериальной задачи анизотропийного управления 72
4.2 Решение многокритериальной задачи анизотропийного управления
4.2.1 Синтез регулятора по выходу заданного порядка 74
4.2.2 Синтез регулятора в виде статической обратной связи по состоянию 76
4.2.3 Синтез регулятора по выходу полного порядка 78
4.2.4 Статическая обратная связь по выходу 80
4.3 Размещение полюсов замкнутой системы в ЛМН-области комплексной плоскости 83
4.4 Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем с неопределенными параметрами 87
4.4.1 Постановка робастной задачи анизотропийного управления 87
4.4.2 Решение робастной задачи анизотропийного управления 90
4.5 Выводы к главе 4 100
5 Решение задач стабилизации и слежения в условиях случайных возмущений для технических систем мето дами субоптимального анизотропийного управления 103
5.1 Управление продольным движением самолета в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений 104
5.1.1 Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления 104
5.1.2 Регуляторы полного порядка 107
5.1.3 Регуляторы заданного порядка 119
5.1.4 Статическая обратная связь по выходу 123
5.2 Управление угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и неточных измерений 132
5.2.1 Математическая модель одноосного гиростабили-затора с переменным кинетическим моментом ги-роблока 132
5.2.2 Робастная стабилизация ГСП в условиях случайных возмущений 134
5.2.3 Робастное анизотропийное управление угловым положением оси стабилизации ГСП 143
5.3 Примеры из библиотеки COMPleib 159
Заключение 170
Литература
- Вычисление анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации
- Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы
- Синтез регулятора по выходу заданного порядка
- Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как возмущения, так и задающие команды; измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки; управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параметры реального технического объекта управления могут отличаться от параметров математической модели этого объекта, для которой проектировался закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе прочего, стохастической изменчивостью среды функционирования системы управления.
Для решения задач подавления возмущений в теории управления применяются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих возмущений на качество работы системы управления. Выбор критерия качества в задаче подавления возмущений мотивируется различными предположениями о характере возмущений, действующих на систему. В задаче синтеза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов ХХ века в работах А.М. Летова и Р.Калмана. Такая задача является частным случаем более общей задачи H2-оптимизации, рассмотренной в работе Д.Дойла, К.Гловера, П.Харгонекара, Б.Фрэнсиса1. С другой стороны, если точная модель объекта управления недоступна или статистический характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании H оптимального подхода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направление было основано Д.Зеймсом в середине 80-х годов ХХ века и развивалось в работах Д.Дойла, У.Шейкеда, Б.Фрэнсиса, Д.Гу, П.Иглесиаса, К.Гловера, К. Шерера, К.де Сузы, Р.Скелтона, Т.Ивасаки, П.Гаинета, П.Апкаряна и многих других исследователей.
Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматриваемая как различие между неточно известным распределением реального шу-
1Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H control problems // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831–847.
ма измерений и распределением его номинальной модели, может значительно ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процедура синтеза регулятора основана на определенном законе распределения возмущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситуации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей среды системы управления. Так, H2 и H регуляторы являются полностью эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез о природе внешних возмущений. Известно, что H2 (или ЛКГ) регулятор может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возмущение представляет собой сильно коррелированный шум2, в то время как H регулятор, проектируемый для наихудшего случая детереминирован-ного возмущения, проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.
Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные качества ЛКГ (H2) и H регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квадратичный критерий качества и были бы достаточно робастны) возникли в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложенный Д.Бернстайном и В.Хаддадом3 и связанный с минимизацией H2 нормы замкнутой системы при ограничениях на ее H норму. Эти идеи были расширены на основе разделения внешних возмущений на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанного H2/H критерия качества (К. Жоу, К.Гловер, Б.Боденхаймер, Д.Дойл, Д.Ю, Р.Мирадоре, Г.Риччи). В основе другого подхода, разработанного Д.Мустафой и К.Гловером4, лежит минимизация функционала H энтропии при ограничениях на H норму замкнутой системы (П. Иглесиас, Д.Лаймбир, А.Яйш, У.Шейкед, Э.Фридман).
П.Харгонекар и М.Ротеа в 1991г. рассмотрели смешанную H2/H задачу в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и решили ее с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны эффективные алгоритмы внутренней точки5, выпуклая оптимизация стала стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы линейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределенного программирования зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формулирования проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов, применимая к широкому спектру линейных задач теории управления. После
2Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 756–757.
3Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an H performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293–305.
4Mustafa D. and Glover K. Minimum Entropy H Control. Springer-Verlag, NY, 1991.
5Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.
того, как было получено решение задачи синтеза H регулятора с помощью ЛМН, полуопределенное программирование успешно применяется для решения смешанных H2/H и многокритериальных задач управления (К.Шерер, П.Гаинет, М.Чилали, И.Масубучи, С.Бойд, М.Оливейра, Ж.Жеромель, Ж.Бернуссо, П.Апкарян, Д.Арцелье, Д.Посель и др.).
Перспективный подход к подавлению неопределенных случайных возмущений на основе стохастического минимаксного управления был предложен в середине 1990-х годов И.Г. Владимировым, разработавшим анизотропийную теорию стохастического робастного управления. В свете этого подхода, робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации; статистическая неопределенность измеряется в терминах энтропии, и показатель робастного качества можно выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы. Функционал анизотропии является энтропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной случайной последовательности характеризует величину статистической неопределенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей возмущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со скалярной ковариационной матрицей6. a-Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы (ДЛСС) количественно определяет возможности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощ-ностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии, что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотрицательного уровня a7.
В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической неопределенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация критерия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит
6Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179– 184.
7Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28–42.
к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший консерватизм управления по сравнению с H регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем H2 регулятор. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулятора в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым, основано на решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати, алгебраического уравнения Ляпунова и уравнения относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в результате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (центральный регулятор) является единственным. Но решение сложных систем перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специальных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий. Вместе с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не направлена на синтез регуляторов пониженного или заданного порядка (а также децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оставались открытыми.
В диссертационной работе разработаны регулярные методы решения задач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка) методами полуопределенного программирования (ЛМН) и выпуклой оптимизации. Вместо минимизации анизотро-пийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкнутую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы заданным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального ани-зотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приводит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкнутой системе с целью достижения желаемого качества управления, например, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для достижения желаемого качества переходных процессов. В диссертационной работе получены результаты, направленные на применение мощной методологии полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации к синтезу анизотропийных субоптимальных и -оптимальных регуляторов в общем случае заданного порядка. Разработанные процедуры анализа и синтеза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющегося в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования, реализованного в виде пакетов
программ, среди которых отметим свободно распространяемый интерфейс YALMIP и программу-решатель SeDuMi для систем Matlab и Scilab.
Целью диссертационной работы является разработка регулярных методов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных регуляторов для управления дискретными линейными стационарными системами под воздействием случайных возмущений, а также распространение стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного программирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптимальных и -оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также компьютерное моделирование.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотро-пийной теории стохастического робастного управления. К основным новым результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимизации. Разработаны методы синтеза анизотропийных -оптимальных регуляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийного управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулятора, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робаст-ных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.
Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы являются развитием методов математической теории управления линейными системами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а также осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характеризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими затратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в настоящее время H и H2/H регуляторами. Благодаря распространению методов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на
решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управления разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также желаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссертационной работе метод используется для решения задач анизотропийной 7-оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотропийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями, сформулированными в терминах ЛМН, в стандартных современных многокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления множественными объектами.
Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптимальных и 7-оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в диссертационной работе, показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные методы могут применяться для управления техническими системами с переменными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением ги-ростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике И.2-, 'Ноо и 7^2/Т^оо управлением, а замкнутые системы с анизотро-пийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.
Реализация результатов работы. На основе результатов диссертационной работы совместно с ФГУП “НПЦ Автоматики и приборостроения им. акад. Н.А.Пилюгина” разработаны методы расчета системы управления одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навигационной системы [5]. Методы показали достаточную простоту и пригодность для применения в инженерной практике. Для их численной реализации может использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым кодом. Пример расчета устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных
ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех подробно рассматривается в диссертационной работе.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории автоматического управления и оптимизации Лаборатории 7 им. академика Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборатории анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC, LAAS-CNRS, Toulouse, France), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), Лаборатории сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire de Signaux et Systemes, SUPELEC, Paris, France), на семинарах по теории автоматического управления Лаборатории 1 динамических информационно-управляющих систем ИПУ РАН, на семинаре “Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление” Кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, Х, XI Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17-й Международной конференции по управлению процессами PC’09 (Штрб-ске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синтезу робастного управления IFAC ROCOND’09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня
-
г.), 3-й Мультиконференции IEEE по системам и управлению IEEE MSC’09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной научной конференции по физике и управлению PHYSCON’09 (Катания, Италия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конференции “Мехатроника, автоматизация и управление” (Дивноморское, Россия, 28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по математической теории сетей и систем MTNS’10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля
-
г.), 18-м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике IFAC ACA’10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции “Управление в технических системах” УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 12-14 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, 28 августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автоматическому управлению “Автоматика 2011” (Львов, Украина, 2011 г.), XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 28–30 мая, 2012 г.), на Американской конференции по управлению ACC2012 (Монреаль, Канада, 27-29 июля 2012 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–37]. По теме диссертации опубликовано 12 статей в рецензируе-
мых журналах [1-3,6,8,11,14-16,22,25,35], из них 9 статей в журналах, включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и Scopus [1-3,8,11,14,16,22,35]. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы (186 источников), содержит 72 рисунка, 15 таблиц. Объем диссертации 204 страницы.
Вычисление анизотропийной нормы методом выпуклой оптимизации
Обозначим через L класс интегрируемых с квадратом Мт-значных случайных векторов, распределенных абсолютно непрерывно относительно то-мерной лебеговой меры mesm. Для любого вектора W Є L с плотностью распределения вероятности (п.р.в.) /: М.т — Ш+, анизотропия A(W) определяется в [6] как минимальное значение относительной энтропии D(/pm A) по отношению к гауссовским распределениям рт,х в Rm с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами \1т: A( ):=minD(/pm,A) lnf E 2N) -h(W), (1.1) где Е обозначает математическое ожидание, h(iy) — дифференциальную энтропию W относительно mesm (см. например [60].) В [6] показано, что минимум в (1.1) достигается на Л = EW2/TO.
Пусть W := (wk)-cc k + x) — стационарная последовательность векторов uik Є L, интерпретируемая как дискретный случайный сигнал. Объединим элементы последовательности W, принадлежащие времен ному интервалу [s,t], в случайный вектор ws Ws:t:= І . (1.2) Щ Предполагается, что WQ-N распределен абсолютно непрерывно для каждого TV 0. Средняя анизотропия последовательности W определяется в [6] как средняя интенсивность анизотропии на единицу времени: А(И0 := lim Щ 1. (1.3) Обозначим через Gm(fj,, ) класс Мт-значных гауссовских случайных векторов с математическим ожиданием Его — /л И невырожденной ковариационной матрицей cov(u k) — E(tojt — [J.)(wk — д)т = S. Пусть V := (vk)-оо к +оо — последовательность независимых случайных векторов Vk Є GTO(0, Im), т.е. m-мерный гауссовский белый шум. Предположим, что W = GV производится из V устойчивым формирующим фильтром с передаточной функцией G(z) Є Н.хт. Тогда спектральная плотность W определяется выражением S(u) := G{tu)G (u ), -7Г ш тг, (1.4) где G(u) := G(eluJ) — граничное круговое значение передаточной функции G{z). В [173] показано, что среднюю анизотропию (1.3) можно вычислять в терминах спектральной плотности (1.4) и ТС2 нормы формирующего фильтра G по формуле 1 Г mS{u) A(W) = -— / lndet ..„)Jdu. (1.5) 4тг J_K \\G\\l
Поскольку распределение последовательности W полностью определяется формирующим фильтром G или спектральной плотностью S, вместо А(1У) используются также альтернативные обозначения A(G) иА(5).
Функционал средней анизотропии (1.5) всегда неотрицателен. Он принимает конечные значения, если формирующий фильтр G полного ранга, в противном случае A(G) = +оо (см. [173] и [65].) Равенство A(G) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда G является системой полного пропускания (фазовращающей системой) с точностью до ненулевого постоянного множителя. В этом случае спектральная плотность (1.4) имеет вид S(tu) = XIm, —ж ш 7г, для некоторого Л О, так что W представляет собой гауссовский белый шум с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей.
Пусть F Є У. т — дискретная линейная стационарная система (ДЛСС) с m-мерным входом W и р-мерным выходом Z — FW. Пусть случайная входная последовательность равна W = GV, где, как и ранее, V — m-мерный гауссовский белый шум. Обозначим множество устойчивых формирующих фильтров G, генерирующих гауссовские случайные последовательности W со средней анизотропией (1.5), ограниченной заданным параметром а 0.
Приведем также выражения для а-анизотропийной нормы системы F в терминах выход-выходных сигналов. Обозначим пространство стационарных в узком смысле последовательностей интегрируемых с квадратом случайных векторов [16, 13] через = {W = (wk) k +00: wk Є Ц1 Л \\W\\V +сю} , (1.8) где мощностная норма последовательности случайных векторов W = (wk)-oo k +oo определяется как [190, 16, 13]
В [173, 8] показано, что а-анизотропийная норма заданной системы F Є Ті т является неубывающей функцией уровня средней анизотропии а, удовлетворяющей соотношениям Выражения (1.11) показывают, что Ті.2 и 7 х нормы являются предельными случаями а-анизотропийной нормы при а — 0, +оо, соответственно. Важно отметить, что ДЛСС с ограниченной а-анизотропийной нормой асимптотически устойчива.
В первой главе рассмотрены основные понятия анизотропийного анализа систем — анизотропия случайного вектора с гауссовским распределением, средняя анизотропия многомерной гауссовской случайной последовательности и анизотропийная норма ДЛСС [173, 65, 6].
Анизотропия случайного вектора определяется как минимальное информационное уклонение его распределения от гауссовских распределений с нулевым математическим ожиданием и скалярными ковариационными матрицами. Анизотропия характеризует неравномерность распределения случайного вектора по направлению или, что эквивалентно, неинвариантность этого вектора по отношению к унитарному преобразованию [6].
Средняя анизотропия многомерной случайной последовательности, генерируемой устойчивым формирующим фильтром из многомерного гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей, является мерой цветности данной последовательности, то есть мерой степени коррелированности различных элементов этой векторной последовательности (временная составляющая средней анизотропии), а также степени коррелированное компонент векторов последовательности (пространственная составляющая средней анизотропии) [173, 65]. а-Анизотропийная норма линейной системы определяется как максимальный коэффициент усиления входной последовательности, средняя анизотропия которой не превосходит а [173, 65, 6]. Анизотропий-ная норма системы является частным случаем более общей стохастической нормы системы относительно входных вероятностных распределений [7]. Использование а-анизотропийной нормы системы важно в том случае, когда о сигнале входного возмущения можно предположить, что он генерируется из гауссовского белого шума неизвестным формирующим фильтром с уровнем средней анизотропии выхода, не превышающим значения а.
Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы
Для проверки эффективности и надежности техники вычисления а-анизотропийной нормы ДЛСС методом выпуклой оптимизации были проведены вычислительные эксперименты, результаты которых приводятся и обсуждаются в следующем разделе.
Вычисления, результаты которых приводятся ниже, были выполнены средствами системы MATLAB 7.9.0 (R2009b) и Control System Toolbox в сочетании с интерфейсом YALMIP [122] и решателем SeDuMi [157] на ЦП Р8700 2 х 2.53 ГГц. Ограничение (2.23) теоремы 2.2, содержащее детерминант положительно определенной матрицы, формируется в интерфейсе YALMIP с помощью функции geomean, возвращающей геометрическое среднее собственных чисел симметричной матрицы-аргумента.
Отметим сперва, что число переменных в результирующей задаче выпуклой оптимизации (2.23)-(2.26) равно \п{п + 1) + 2 и не зависит от размерностей входа и выхода системы, в то время как размерность ЛМН (2.24) равна (п + т) х (п + т) и не зависит от размерности выхода системы р. Число неизвестных в системе уравнений из [173, 65] равно п(п + 1) + 1. По этой причине мы проводили вычислительные эксперименты для некоторого фиксированного числа р. С использованием функций drss и randn системы MATLAB были сгенерированы 100 случайных реализаций ДЛСС в пространстве состояний со случайным (положительным) шагом дискретизации для каждой комбинации размерностей из множеств п — {1... 12}, т — {3,4, 5}, р = 2. Таким образом, были получены 3600 устойчивых реализаций, полюсы которых, возможно, были расположены произвольно близко к границе единичного диска (с точностью до машинного є). Для каждой из этих реализаций была вычислена а-анизотропийная нормы из решения задачи выпуклой оптимизации (2.25) (ВО) и с применением вычислительного метода гомотопий (МГ), разработанного И.Г. Владимировым [64] для вычисления анизотропийной нормы из решения системы уравнений [173, 65]. Вычисления выполнялись для 27 различных значений уровня средней анизотропии входного сигнала а Є [0, 20]. Таким образом, сравниваемые алгоритмы запускались 97200 раз. Заданная точность всех вычислений была установлена равной 10 9.
При вычислении а-анизотропийной нормы из решения задачи выпуклой оптимизации запуск считался неудавшимся, если задача оптимизации оказывалась неразрешимой или происходило неожиданное аварийное завершение программы-решателя. Если при решении задачи оптимизации программа-решатель отмечала проблемы вычислительного характера в специальной диагностической переменной, но решение, тем не менее, было найдено, запуск считался успешным. При вычислении а-анизотропийной нормы из решения системы перекрест но связанных матричных алгебраических уравнений вычислительным алгоритмом на основе метода гомотопий вычисления останавливались и делалось заключение о неудавшемся запуске, если заданная точность не была достигнута после 2500 итераций. Также, запуск алгоритма на основе метода гомотопий считался неудавшимся, если оказывалось, что одно из уравнений системы неразрешимо или происходили аварийные завершения программы-решателя уравнений Ляпунова или Рик-кати системы MATLAB. Здесь под аварийными завершениями понимаются тс, которые не проистекают из применяемого в конкретном случае вычислительного алгоритма. Тем не менее, такие события также учитывались при оценке надежности сравниваемых алгоритмов
Результаты тестового сравнения алгоритмов для т = {3, 5} представлены в табл 2 1-2 5 и на рис 2 1 Результаты тестирования ал горитмов для т = 4 не противоречат общей тенденции и здесь не приводятся. В табл. 2.1, 2.2 среднее время центрального процессора (ЦП), затрачиваемое на вычисление анизотропийной нормы, вычисляется как среднее значение по всем реализациям равной размерности и по всему множеству 27 различных значений уровня средней анизотропии входа а Є [0,20]. Сравнение данных показывает, что вычисление а-анизотропийной нормы из решения задачи выпуклой оптимизации требует в среднем больше времени ЦП, чем вычисление а-анизотропийной нормы методом гомотопий. Более того, среднее время ЦП для ВО растет не только с увеличением порядка системы п, но также из увеличением размерности входа системы т гораздо быстрее, чем время ЦП для МГ. На время, требуемое интерфейсом YALMIP для формирования ограничений задачи оптимизации, влияет количество этих ограничений, зависящее от размерности входа системы т, и эти временные затраты существенно возрастают с увеличением т по сравнению с временными затратами программы-решателя SeDuMi.
В то же время, средние значения в табл. 2.1, 2.2 не учитывают увеличения средних временных затрат ЦП для МГ по всем реализациям равных размерностей при увеличении уровня средней анизотропии входа системы а. Этот рост наглядно демонстрируется диаграммами на рис. 2.1, где среднее время ЦП изображается как функция уровня средней анизотропии входа а для всех групп реализаций равных размерностей. Эти диаграммы также показывают, что среднее время ЦП для ВО не подвержено существенным изменениям с увеличением а.
Синтез регулятора по выходу заданного порядка
Тогда, в силу леммы 3.1, из (3.20), (3.24), (3.25), (3.23) следует, что матрица статического регулятора по состоянию К является решением задачи 3.2 для замкнутой реализации (3.19), что и требовалось дока зать. Замечание 3.1. Нетрудно доказать, что неравенства синтеза (3.20)-(3.23) и условия (3.14)—(3.16) леммы 3.1 являются эквивалентными. Однако, мы можем сформулировать и доказать лишь достаточные условия существования регулятора (3.18), поскольку условия леммы 3.1 являются лишь достаточными. Это замечание касается также двух последующих теорем синтеза.
Следствие 3.1. Неравенства (3.20)-(3.23) являются не только выпуклыми по Ф и аффинными по П и Л, но также линейными относительно 72- Минимизируя 72 при ограничениях (3.20)-(3.23), мы минимизируем 7 при тех же ограничениях. Обозначим 7 := 72- Условия теоремы 3.1 позволяют вычислять наименьшее значение 7 из решения задачи оптимизации 7 — inf на множестве Ф,П, Л, 77,7, (3.26) удовлетворяющих ограничениям (3.20)-(3.23). Если задача выпуклой оптимизации (3.26) разрешима, матрица усиления статического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 3.1.
Анизотропийные регуляторы, получаемые из решений задач оптимизации, аналогичных (3.26), называются анизотропийными 7" оптимальными регуляторами.
Синтез регуляторов по выходу заданного порядка: выпуклые ограничения на взаимнообратные матрицы
Прямое применение достаточных условий (3.14)—(3.16) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы А + BUDCCV А Ъ . е Ъ ВиОс Ас B,D.„ ВССУ А BcDyw (3.27) G2 + DzuDzL/y игиис Dzw + DZUDCD приводит к прямому решению общей задачи 3.1. Напомним, что для объекта управления (3.1) и регулятора (3.2) предполагается выполнение условия Кимуры щ пх—ти—ру, гарантирующего существование стабилизирующего регулятора заданного порядка щ. Следствие 3.2. Для заданных а 0, 7 О, динамический регулятор по выходу К порядка п с реализацией (3.2), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств разрешима относительно скалярной переменной т?, вещественных (тш х тш)-матрицы Ф, матриц Ас Є R"«x"f, Бс Є Мп«хь, Сс Є Mm"x"«, Д. є R"XP!/ и двух взаимнообратных (п х п)-матриц Ф, П, удовлетворяющих условию ФП = /„, (3.32) где п = пх + щ — порядок замкнутой системы.
Замечание 3.2. Матрицы параметров регулятора Ас, Вс, Сс и Dc непосредственно входят в неравенства синтеза (3.29), (3.30), что позволяет накладывать на них дополнительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональными матрицами Ас, Вс, Сс и Dc) или регулятора заданной структуры (с матрицами параметров регулятора Ас, Вс, Сс и Dc заданной структуры) из решения задачи (3.28)- (3.32).
Задача вычисления матриц параметров (Ас, BC,CC,DC) динамического регулятора заданного порядка (3.2), являющегося решением задачи 3.1, сводится к проверке разрешимости системы неравенств (3.28)—(3.31) при условии (3.32), из-за которого задача (3.28)-(3.32) не является выпуклой. Хотя применение известных алгоритмов [97, 70, 46, 71, 44, 132, 1, 139, 140] для поиска взаимнообратных матриц, удовлетворяющих линейным матричным неравенствам (3.29), (3.30) при выпуклом ограничении (3.28), может привести к успешному решению задачи (3.28)—(3.32), следует помнить, что каждый из перечисленных алгоритмов может сойтись к локальному минимуму. Применение одного из таких алгоритмов на основе метода условного градиента [20, 46, 139] (модификация алгоритма Фрэнка и Вольфа) будет рассматриваться в главе 5, параграф 5.1.3.
Тем не менее, для решения задачи синтеза регулятора полного порядка можно применить стандартную процедуру овыпукления — линеаризующую замену переменных, рассматриваемую в следующем разделе. 3.2.4 Регулятор по выходу полного порядка
Для решения задачи синтеза регулятора полного порядка (щ — пх) можно эффективно применить известную линеаризующую замену переменных, предложенную П. Гаинетом в [76] и примененную в [150] для решения задач многокритериального управления непрерывными системами с помощью ЛМН. Из блочного разбиения в (3.31) и условия (3.32) следует
Новые переменные Ас, Ъс, Сс, Dc имеют размерности пх х пх, пх х ру, гпи х пх и mu х pj,, соответственно, даже если п пх- В [150] отмечено, что если матрицы Фі2 и Пі2 имеют полный строчный ранг и если матрицы Лс, 23с, Сс, Dc, Пц и Фи известны, всегда можно найти матрицы регулятора Ас, Вс, Сс, Dc, удовлетворяющие (3.36)-(3.39). Если матрицы Фі2 и Щг являются квадратными (щ = пх) и обратимыми, то матрицы Д., Вс, Сс и Dc удовлетворяющие (3.36)-(3.39), единственны. Таким образом, при синтезе реулятора полного порядка отображение, определяемое (3.36)-(3.39), биективно [76, 150]. Решение задачи 3.1 синтеза регулятора полного порядка дано в следующей теореме.
Математическая модель продольного движения самолета. Постановка задачи управления
Реализация передаточной функции замкнутой системы Tz w (z) = CjTzw(z)1Zj от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj имеет вид
Требуется синтезировать линейный стационарный регулятор К, который, во-первых, стабилизирует замкнутую систему, и, во-вторых, обеспечивает одновременное выполнение спецификаций (4.3) для определенных групп каналов входов и выходов. Для каждой из спецификаций (4.3) задачи 4.1 условия леммы 2.2 (частотной теоремы для анизотропийной нормы) устанавливают, что Tzw удовлетворяет j -й спецификации (4.3), если существуют скалярная величина щ т? и матрицы 4 j О, Ф; - 0, удовлетворяющие неравенствам (3.14)—(3.16). Из выполнения неравенств (3.14)—(3.16) следует ЛТФ Л — Ф - - 0, т.е. квадратичная форма для замкнутой системы с матрицей Ф - 0 является функцией Ляпунова Vj(x) = XT jX- Прямое применение достаточных условий (3.14)—(3.16) леммы 3.1 к реализации (4.4) каждой из передаточных функций Тг w (z), j = 1,..., N, приводит к прямому решению задачи 4.1, аналогичному результатам следствия 3.2.
Следствие 4.1. Для заданных а;- 0, 7j 0, j = 1,..., N, динамический регулятор по выходу К порядка щ с реализацией (4.2), являющийся решением задачи 4.1, существует, если система неравенств разрешима относительно N скалярных переменных rj , N вещественных (mW] х mw )-матриц Ф;, матриц Ас є Шщхщ, Вс є Е"«хр»; Сс Є Mm»xn«, Dc Є Rm»xb и 27V взаимнообратных (га х п)-матриц Ф , П , удовлетворяющих условию заданных значений а3, jj относительно переменных rjj, Ф , Фл П;, j = 1,..., N, и одних и тех же неизвестных матриц реализации регулятора Ас, Вс, Сс и Dc. Как и в следствии 2, матрицы параметров регулятора непосредственно входят в неравенства синтеза (4.7), (4 8), что позволяет накладывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограничения. Задача вычисления матриц параметров (Ас, Вс, Сс, Dc) динамического регулятора заданного порядка (4.2) предполагает применение алгоритмов поиска взаимнообратных матриц [97, 70, 46, 71, 44, 132, 1, 139, 140]. Вычислительный процесс может быть затруднен большой размерностью блочно-диагональных взаимнообратных матриц blockdiag( fri,..., Фдг), blockdiag(IIi,..., Щг) и возможными проявлениями локальной сходимости известных алгоритмов.
Рассмотрим случай полной информации о векторе состояния объекта управления. Задача 4.2. Для заданных объекта управления Р с моделью (4-1), где Су = 1Пх, Dyw = 0, уровней средней анизотропии aj 0 групп внешних входов Wj и некоторого набора желаемых пороговых значений 7j 0, j — 1,... ,7V, найти регулятор в виде статической обратной связи по состоянию и обеспечивающий одновременное выполнение условий (4-3). Решение многокритериальной задачи синтеза анизотропийного регулятора 4.2 можно сформулировать в виде задачи выпуклой оптимизации, если применить известную линеаризующую замену переменной К = ЛП-1, как это было сделано в теореме 3.1, раздел 3.2.2. Чтобы применить данную процедуру овыпукления, мы должны потребовать существования общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы в системе неравенств (3.14)—(3.16) леммы 3.1, раздел 3.2.1 (частотной теоремы для анизотропийной нормы), записанных относительно каждой матричной передаточной функции Tz w (z) от группы внешних входов W.j к группе управляемых выходов 2j, j = 1,..., N. Известно [150], что ограничение (4.16) является жестким и вносит консерватизм в решение задачи синтеза. Тем не менее, применяемый подход обладает рядом неоспоримых преимуществ. Во-первых, он приводит процедуру синтеза к численному решению задачи выпуклой оптимизации. Во-вторых, данный подход позволяет использовать все доступные степени свободы субоптимальной задачи. В-третьих, в рамках парадигмы существования общей функции Ляпунова на замкнутую систему можно накладывать и другие дополнительные ограничения, которые могут быть сформулированы в терминах ЛМН, например ограничения на Ti.2 норму, ограничения на Ноо норму, условия размещения полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости, условия строгой пассивности, условия ограниченности в секторе, ограничения на максимум импульсной переходной характеристики, ограничения на время установления переходного процесса, подавление известных возмущений, отслеживание известных сигналов [150]. Парадигма существования общей функции Ляпунова применяется для решения многокритериальных задач синтеза регуляторов в [51, 103, 53, 150].
