Введение к работе
Актуальность темы,
В состав современных вычислительных устройств, обрабатывающих информацию технологических процессов, часто входят блоки программно или аппаратно реализованных цифровых фильтров (ЦФ). По виду разностного уравнения ЦФ делятся на рекурсивные и нерекурсивные. По виду переходного процесса рекурсивные ЦФ являются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а нерекурсивные - с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Методы проектирования КИХ фильтров достаточно хорошо разработаны и рассмотрены в работах Годда Б., Рэйдера Ч., Рабинера Л., Кайзера Д., Ремеза Е.Я., Хемминга Р.. Они основаны на теории рядов Фурье, методах линейного программирования, задачах чебыгпевской аппроксимации. Методы синтеза рекурсивных фильтров приведены в работах Брофи Ф., СалазараА., Штейглица К., ДечкиА, БандлераД., Рабинера Л.. Типовые БИХ фильтры обычно проектируются по аналоговым фильтрам с использованием билинейного преобразования. Наиболее универсальными методами расчета таких фильтров можно считать оптимизационные алгоритмы, которые минимизируют согласно некоторому критерию функцию ошибки, между заданной и полученной характеристикой фильтра.
Одним из общих методов расчета коэффициентов цифровых фильтров является алгоритм минимизации Ьгр ошибки, который при различных значениях параметра-показателя степени р соответствует другим оптимизационным методам. В качестве оптимизационной процедуры, применяемой при реализации алгоритма L^, можно использовать любой метод минимизации вещественной функции нескольких переменных. Наиболее распространенным, обладающим высокой скоростью сходимости, является метод Ньютона. Однако он разрабатывался в предположении, что функционал является унимодальным и начальная точка поиска находится вблизи искомого решения. Функция ошибки в алгоритме L2p может являться неунимодальной относительно некоторых искомых коэффициентов фильтра, что еще в большей степени усложняет задачу выбора начального приближения. Недостатком метода является также его вычислительная сложность, т.к. на каждом шаге поиска необходимо производить обращение квадратной матрицы. В связи с этим на практике вместо алгоритма Ньютона используют квазиньютоновские процедуры ДФП (Давидона-Флетчера-Пауэлла), Мак-Кормика, Фиакко и Мак-Кормика, Гольдфарба, Гринстада, Пирсона, Бройденаидр.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ { БИБЛИОТЕКА Ctlcrtpt
09 ТО»';
Теоретически минимум функционала ошибки в алгоритме L2p стремится к нулю, следовательно, для его реализации можно применять процедуры нахождения корня уравнения. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения включает только первую производную целевой функции, поэтому скорость его сходимости может оказаться недостаточно высокой.
Необходимо разработать такие оптимизационные алгоритмы для определения коэффициентов фильтров, которые основаны на методе Ньютона поиска корня уравнения, но имеют по сравнению с ним большую область и скорость сходимости за счет использования матрицы вторых производных целевой функции и не включают трудоемкую операцию обращения этой матрицы. Получить такие алгоритмы оптимизации можно на основе методики полиномиальной аппроксимации, в которой при линеаризации учитываются высшие члены ряда Тейлора.
Цель работы. Целью настоящей работы является разработка алгоритмов синтеза цифровых рекурсивных минимальнофазовых фильтров по заданной амплитудной частотной характеристике с помощью методов оптимизации, включающих вторую производную целевой функции, но имеющих меньшие вычислительные затраты и лучшие показатели сходимости по сравнению с классическими.
Задачи исследования.
Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи:
-
разработка методов безусловной оптимизации функций нескольких переменных с применением полиномиальной аппроксимации;
-
проведение сравнительного анализа предлагаемых методов;
-
построение рекуррентного алгоритма определения коэффициентов цифровых фильтров на основе алгоритмов второго порядка;
-
экспериментальное исследование алгоритма и программы синтеза фильтров;
-
разработка методики и рекомендаций по синтезу цифровых рекурсивных фильтров.
Методы исследования. Теоретическое исследование проводилось с применением методов оптимизации, теории матриц и цифровой обработки сигналов. Моделирование осуществлялось на ЭВМ с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений Mat Lab.
Результаты, выносимые на защиту:
1) методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе полиномиальной аппроксимации;
-
результаты сравнения классических оптимизационных схем с разработанными методами полиномиальной аппроксимации;
-
алгоритм и результаты синтеза цифровых рекурсивных фильтров.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
получены алгоритмы безусловной оптимизации функций' нескольких переменных на основе полиномиальной аппроксимации;
-
определены свойства алгоритмов оптимизации, области и скорости их сходимости;
-
разработан алгоритм и программа расчета цифровых БИХ фильтров методом минимизации с применением полиномиальной аппроксимации.
Практическая ценность.
Разработаны алгоритм, программа и методика синтеза цифровых рекурсивных фильтров на основе оптимизационных методов полиномиальной аппроксимации, имеющих меньшую сложность и более широкую область допустимых значений начальных приближений искомых параметров, чем у существующих методов.
Реализация результатов работы.
Результаты работы используются в ФГУП "Омский научно-исследовательский институт приборостроения" при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам "Математические основы теории систем" и "Передача данных в информационно-управляющих системах" для студентов специальности 2101 -Управление и информатика в технических системах. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.
Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР "Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах" (1995 г. № ГР 01.9.30001868, 1996-1999 г.г. № ГР 01.9.60000794), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения.
Апробация работы.
Основной материал диссертации представлен в научных докладах, которые обсуждались на 1-й, Н-й и Ш-й международных конференциях "Динамика систем, механизмов и машин " (ОГТУ, Омск, 1995г., 1997г., 1999г.); международной научно-технической конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (ИИТПМ, Омск, 1997г.), Всероссийской
конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" и научно-техническом семинаре "Синтез цифровых фильтров" (ОФИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, 2003г.).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 8 статей, 3 тезиса докладов и оформлено 4 отчета по НИР.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 145 страниц текста, 96 рисунков, 20 таблиц, список литературы из 106 наименований на 9 страницах, 10 страниц приложений с текстами программ и актами о внедрении результатов диссертации.
