Введение к работе
Диссертационная работа посвящена синтезу цифровых регуляторов для линейных динамических объектов на основе применения аппарата линейных матричных неравенств.
Актуальность темы
Решение задач математической теории управления начинается с составления математической модели управляемого процесса и задания определенной цели управления. Для обеспечения достижения этой цели на основе принципа обратной связи синтезируется закон управления, который реализуется в виде соответствующего автоматического регулятора.
С каждым годом развиваются различные отрасли науки и техники, что способствует развитию теории управления, обобщению ее методов, а также поиску новых подходов и методов решения возникающих задач. Ранее задачи управления относительно простыми физическими и механическими системами состояли в построении какого-либо прибора (устройства), оказывающего воздействие на управляемый объект с целью достижения желаемых его свойств. Впоследствии задачи, возникающие в теории управления, стали характеризоваться все большей сложностью объектов, а также высокими требованиями к точности и динамике управления. К таким задачам относятся создание авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике, обеспечение устойчивости высотных сооружений при сейсмических и ветровых воздействиях и многие другие. Для решения широкого круга задач стали применяться цифровые вычислительные машины и, в частности, компьютеры.
Возросшая сложность объектов управления потребовала разработки соответствующих методов построения регуляторов, которые должны быть реализованы. Процесс реализации синтезированных регуляторов заметно усложнился, и во многих случаях стало очень сложно или совсем невозможно их реализовать при помощи построения механических управляющих устройств. Применение компьютеров позволяет синтезировать сложные регуляторы, так как поступающие сигналы могут быть обработаны и преобразованы в соответствии с законом управления в необходимые для управляющего воздействия сигналы. Полученные после преобразования сигналы подаются на управляемый объект и оказывают на него нужное воздействие, не требуя при этом построения сложных механических устройств. Обработка поступающих на компьютер сигналов производится на основе цифрового принципа с применением разработанных алгоритмов и программ синтеза регуляторов. Поэтому в настоящее время в связи с развитием науки и техники все большее значение приобретают регуляторы, работающие по цифровому принципу. В соответствии с этим в данной работе рассматриваются моде-
ли объектов управления, функционирующие в дискретном времени, и под термином "регулятор" понимается термин "дискретный регулятор".
В теории управления рассматривались различные задачи управления как непрерывными, так и дискретными объектами (например, в работе X. Квакернаака и Р. Сивана "Линейные оптимальные системы управления"). В частности, для дискретных объектов - это задачи стабилизирующего управления динамическими объектами; задачи оптимального управления на конечном и бесконечном интервалах времени детерминированными и стохастическими объектами и др. Существуют различные способы синтеза стабилизирующих и оптимальных регуляторов в зависимости от того, что доступно для измерения - либо все переменные вектора состояния объекта, либо только часть переменных этого вектора. Как правило, на практике не могут быть измерены все переменные состояния. В качестве выходных переменных обычно получают отдельные компоненты вектора состояния, либо линейные комбинации этих компонент. Основная трудность синтеза законов управления по измеряемому выходу заключается в том, что необходимо построить регулятор для объекта при отсутствии необходимых данных о его состоянии, руководствуясь только данными, полученными на выходе.
Ранее задачи стабилизации динамических объектов по выходу решались, например, при помощи построения наблюдателей - динамических систем, дающих оценку состояния объекта и обеспечивающих асимптотическое приближение этой оценки к истинному состоянию. Наблюдатель синтезировался на основе информации о входных и выходных переменных, а также о структуре объекта. Стабилизирующий регулятор по выходу получали следующим образом: строили стабилизирующий регулятор по состоянию на основе принципа обратной связи, после чего вместо вектора состояния объекта использовали его оценку.
При решении задачи оптимального линейно-квадратичного управления по выходу для непрерывной системы также конструировали наблюдатели для получения оценки вектора состояния и строили оптимальный регулятор по состоянию, в котором вместо вектора состояния применяли эту оценку. Однако, синтезированный таким образом регулятор по выходу, вообще говоря, не является оптимальным. Позднее задача оптимального управления непрерывным объектом по измеряемому выходу была решена на основе применения аппарата линейных матричных неравенств, который является принципиально новым подходом к решению предлагаемого класса задач автоматического управления динамическими системами. Развитию этого аппарата посвящена недавно изданная книга Д.В. Баландина и М.М. Когана "Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств".
Таким образом, несмотря на имеющееся многообразие методов в теории управления дискретными объектами, остались нерешенными некоторые важные вопросы. К таким вопросам относится, в частности, задача синтеза регулятора, когда состояние объекта не может быть измерено. Основной информацией для построения регулятора в этом случае являются
данные, полученные на выходе объекта. Поэтому актуальным становится поиск подхода к решению задач стабилизирующего и оптимального управления по измеряемому выходу дискретного объекта.
Более ста лет назад в теории управления появился аппарат линейных матричных неравенств. Но, только начиная с конца прошлого века благодаря появившимся алгоритмам и программному обеспечению (в частности, пакет MATLAB), линейные матричные неравенства начали активно применяться во многих областях теории управления и имеют эффективные методы решения. Поэтому в качестве альтернативы имеющимся способам решения задач теории управления, а также как метод решения некоторых задач, для которых классические методы не позволяют найти решение, можно рассматривать метод, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. В этом контексте изучение вопросов управления дискретными динамическими объектами на основе линейных матричных неравенств становится актуальным и представляет собой содержательную математическую задачу, относящуюся к классу фундаментальных исследований.
Кроме этого, подход, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств, позволяет рассмотреть новую задачу управления в случае измеряемого состояния. Эта задача связана с построением стабилизирующего дискретного регулятора, обеспечивающего расположение собственных значений матрицы замкнутой системы в заданной области. Область может представлять собой круг, вертикальную и горизонтальную полосы, конический сектор, а также их всевозможные пересечения. Главным здесь является возможность охарактеризовать эти области с помощью линейных матричных неравенств, поэтому такие области получили название "LMI-области", а регуляторы относительно произвольных LMI-областей D стали называться D -стабилизирующими регуляторами.
Применение аппарата линейных матричных неравенств позволяет также осуществить единый подход к решению указанных выше задач стабилизирующего и оптимального управления как по состоянию, так и по выходу объекта, и задач D -стабилизирующего управления.
Цель работы
Цель данной работы состоит в том, чтобы разработать подход к синтезу дискретных законов управления на основе аппарата линейных матричных неравенств, который позволит получить стабилизирующие и оптимальные законы управления по состоянию и по выходу, а также D -стабилизирующие законы управления.
Методы исследования
В работе применялись методы исследования, относящиеся к области математической
теории управления, теории устойчивости, теории матриц и теории разностных уравнений.
Научная новизна
В диссертационной работе получен ряд новых научных результатов, относящихся к области теории автоматического управления линейными дискретными динамическими объектами. Полученные результаты состоят в следующем:
Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств.
Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:
стабилизирующий регулятор по состоянию;
стабилизирующий регулятор по выходу;
D -стабилизирующий регулятор;
оптимальный и ;к-оптимальный регуляторы по состоянию;
оптимальный и ;к-оптимальный регуляторы по выходу.
Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.
В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.
Теоретическая и практическая значимость
Результаты данной диссертационной работы относятся к области фундаментальных исследований в теории автоматического управления дискретными динамическими объектами и могут быть применены для решения задачи управления различными технологическими процессами на производстве, для создания авторулевых в навигации, автопилотов и систем ориентации космических аппаратов в авиации и ракетно-космической технике и др.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI, XII и XIII Нижегородской сессиях молодых ученых (математические науки) (2006, 2007, 2008гг.); X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008г.).
Доклад на XI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (2006г.) был удостоен диплома третьей степени.
Работа над диссертацией осуществлялась в рамках госбюджетной темы "Разработка новых методов активного гашения колебаний высотных сооружений при сейсмических воз-
действиях", а также грантов Российского фонда фундаментальных исследований по проектам № 05-01-00123 "Гашение колебаний механических систем робастными регуляторами пониженного порядка" и № 08-01-00422 "Синтез оптимальных и робастных регуляторов по выходу методами линейных матричных неравенств".
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в 9 работах [1-9], в том числе 5 статей [1, 2, 3, 4, 6] и 4 работы в сборниках трудов конференций [5, 7, 8, 9]. Статьи [1, 2, 3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикаций диссертационных материалов.
Структура и объем работы
Похожие диссертации на Синтез цифровых регуляторов на основе линейных матричных неравенств
