Содержание к диссертации
Введение
1. Интервальные полиномы: задачи анализа устойчивости и локализации корней 22
1.1. Определения, обозначения и обзор литературы по интервальным полиномам и смежным вопросам 23
1.2. Критерии устойчивости интервальных полиномов с минимумом вычислительных затрат 30
1.3. Анализ устойчивости интервальных полиномов с коэффициентами, линейно зависящими от интервальной переменной.. 38
1.4. Задача о локализации корней устойчивых интервальных полиномов 45
1.5. Синтез устойчивого интервального полинома по заданной области локализации множества его корней 50
ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 1 53
2. Анализ устойчивости и управляемости линейных систем в условиях неопределенности параметров 54
2.1. Математические модели и методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами 55
2.2. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров... 70
2.3. Критерии управляемости объектов с неопределенными параметрами 80
2.4. Анализ управляемости и устойчивости контура стабилизации продольного движения вертолета с неопределенными параметрами 86
ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 2 95
3. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров интервальным вариантом метода. модального управления 96
3.1. Задача модального управления для систем с неопределенными параметрами и ее особенности 97
3.2. Аналитический синтез регуляторов по желаемой области локализации полюсов замкнутой системы III
3.3. Синтез регулятора стабилизации бокового движения вертолетного буксировочного комплекса 130
ВЫВОда ПО РАЗДЕЛУ 3 143
4. Синтез регулятора стабилизации продольного движения систжы "вертолет-трос-груз" с учетом неопределенности параметров 144
4.1. Математическая модель системы "вертолет-трос-груз" с неопределенными параметрами и постановка задачи синтеза ... 146
4.2. Синтез регулятора стабилизации 154
4.3. Техническая реализация регулятора и анализ спроектированной системы 162
Выводи по разделу 4 174
Заключение 178
Литература 180
- Критерии устойчивости интервальных полиномов с минимумом вычислительных затрат
- Математические модели и методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами
- Задача модального управления для систем с неопределенными параметрами и ее особенности
- Математическая модель системы "вертолет-трос-груз" с неопределенными параметрами и постановка задачи синтеза
Введение к работе
Повышение требований к качеству работы автоматических систем заставляет разрабатывать все более совершенные методы их проектирования, в частности, учитывающие влияние различных дестабилизирующих факторов, свойственных реальным условиям функционирования объекта. К числу таких факторов в первую очередь следует отнести изменение и неопределенность его параметров.
При синтезе обычных (неадаптивных) регуляторов учет параметрической неопределенности чаще всего проводится косвенным образом - посредством обеспечения надлежащих запасов устойчивости или минимизацией чувствительности к возможным разбросам численных значений параметров. Основополагающей при этом является гипотеза о малости отклонений действительных значений параметров от расчетных. В настоящее время назрела необходимость получения гарантированных результатов с учетом нарушения такого предположения. Характерным примером может служить задача о назначении и распределении допусков /I/. "Информация о допусках (то есть таких отклонениях параметров, которые принципиально не могут считаться малыми - прим. авт.) становится ценным практическим инструментом проектирования, позволяющим решить большой круг таких задач, как выбор номинальных значений параметров по различным критериям, сдвиг номинальных значений для уменьшения чувствительности системы к вариациям параметров, определение серийно-пригодноети изделия, определение оптимальных сроков
- 5 -профилактики изделия, задачи оптимального комплектования ЗИЛа, задачи определения минимального числа типо-номиналов параметров элементов систем управления, задачи взаимозаменяемости блоков и узлов, установление методики проведения настройки системы и т.д.
Таким образом, информация о допусках позволяет решить большой круг задач, связанных с повышением эффективности производства и функционирования систем управления" / I /, с.52. Это, в свою очередь, выдвигает задачи создания специализированных методов синтеза ненастраиваемых регуляторов для существенно неопределенных динамических объектов и анализа свойств систем с большой неопределенностью параметров в число актуальных в научном и практическом отношениях.
Задача синтеза состоит в отыскании необходимых и (или) достаточных условий существования регулятора с постоянными (но также может быть неопределенными, лежащими в некоторых допусках) коэффициентами по области параметрической неопределенности объекта и желаемой цели управления, а также в формировании процедуры, позволяющей найти этот регулятор. Целью управления обычно считается придание замкнутой системе устойчивости, а процессам, в ней протекающим - некоторых качественных показателей, оформленных в виде функционалов или ограничений различного рода.
Задача анализа состоит в получении оценок основных свойств замкнутой системы при неопределенности параметров объекта и коэффициентов регулятора. Решение задачи анализа обычно преследует цель улучшения свойств системы, что предполагает изучение объекта для установления корректности требований к его функционированию. Поэтому в задачу анализа имеет смысл включать анализ управляемости (наблюдаемости) объекта с неопределенными параметрами.
В настоящее время существует довольно много разнообразных методов решения задач синтеза и анализа систем управления с не-настраиваемыми регуляторами в условиях параметрической неопределенности. Данной теме посвящены обзоры /3/,/44/,/ 147 /. Синтез систем может проводиться с позиций теории инвариантности, теории чувствительности, теории систем с переменной структурой, теории игр, теории размытых (нечетких) множеств и др. При этом критериями качества спроектированных систем могут быть квадратичный функционал, различные меры нечувствительности полюсов или выходных координат (состояний).
Сфера действия теории инвариантности, становление и развитие которой связано с именами Г.В.Щипанова, Н.Н.Лузина, Б.Н.Петрова, А.И.Кухтенко / 28 /, первоначально включавшая только внешние возмущения, была затем распространена на параметрическую неопределенность. Появившиеся содержательные понятия двухкратной инвариантности / 43 /, модальной инвариантности / 14 /, параметрической инвариантности, параметрического возмущения, позволили создать методы синтеза систем при произвольных отклонениях значений параметров от расчетных. Различные по сложности ненастра-иваемые регуляторы, синтезированные по принципу инвариантности к неопределенности параметров, предложены в работах / 14 /, / 122 /, /123 /, / 137/, / 138 /, / 46 /, / 60 / и других.
В / 122 /, / 123 / рассмотрены условия достижения инвариантности полюсов замкнутой системы от одного неопределенного параметра при скалярной обратной связи по состоянию. Предложена специальная форма записи неопределенных матриц в виде произведения постоянных столбца и строки на неопределенный параметр, которая позволяет учесть линейный характер зависимости нескольких коэффициентов матрицы состояния от неопределенного параметра.Порознь
рассматриваются ситуации с неопределенностью в матрице состояний и в векторе эффективности управлений. В / 138 / рассмотрен случай многих неопределенных параметров, входящих в матрицу состояний как линейно, так и нелинейно. Разработана процедура синтеза обратной связи по состоянию,обеспечивающая параметрическую инвариантность максимально возможного числа полюсов замкнутой системы. При этом подчеркивается, что устойчивость системы не гарантируется. Получены условия, при которых регулятор обеспечивает устойчивость по крайней мере для номинального значения параметров.
В / 137 / предполагается, что с помощью перестановок уравнений и изменений в порядке следования координат состояния можно преобразовать матрицу замкнутой системы так, что параметрические возмущения изменяют только первые ЭС столбцов этой матрицы. Для синтеза регулятора, обеспечивающего параметрическую инвариантность П.-Э6 собственных значений, предлагается применять процедуру подбора собственных векторов. Утверждается, что если
96 меньше числа Г управлений, то все собственные числа (СЧ) могут быть расположены произвольным образом. Однако, еслиЭ-Г,то
IX- ґ СЧ не могут быть выбраны произвольно, другими словами, их нельзя достаточно далеко "отодвинуть" от мнимой оси комплексной плоскости с тем, чтобы их изменения при параметрических возмущениях не привели к неустойчивости. Более сложный регулятор, использующий эталонную модель, позволяет строить системы.с числом неподвижных доминирующих полюсов, равных порядку объекта, а остальные полюсы отодвигать влево так, что их изменение не сказывается на устойчивости / 14/. Учет динамики привода не увеличивает порядка решаемых в процессе синтеза уравнений. В / 72 / решена задача обеспечения параметрической инвариантности выходных координат системы (траєкторная инвариантность) в задаче слежения с одной неопределенностью. При этом использована предложен-
- 8 -ная в /122/, /123/ структурная форма записи зависимости объекта от неопределенного параметра. Неопределенность может входить как в матрицу состояния, так и в матрицу эффективности управлений. Обратная связь замыкается не только по вектору состояния, но и по вектору командного сигнала. Отмечается, что при большом числе неопределенных параметров добиться достижения параметрической инвариантности иногда бывает затруднительно.Поэтому предлагаются некоторые условия обеспечения минимальной чувствительности в упомянутой структуре регулятора, причем без привлечения гипотезы о "небольших" отклонениях значений параметров.
Задаче синтеза регуляторов, обеспечивающих минимальную чувствительность полюсов системы к неопределенности параметров, посвящено большое число работ. Отметим среди них те, которые затрагивают наименее разработанные проблемы. В цикле статей /102/, / 130/, /131/ рассматриваются вопросы назначения свободных (не служащих для обеспечения заданного распределения полюсов) коэффициентов матрицы регулятора исходя из требования минимума чувствительности, влияния на устойчивость отклонений параметров в матрице В объекта и коэффициентов регулятора при неточной его реализации, синтеза регуляторов с ограниченными по модулю значениями коэффициентов, построения малочувствительных наблюдателей. Последний вопрос освещается также в /91/. В / 141/ предлагается метод синтеза обратной связи по выходу объекта в условиях как малых, так и больших отклонений значений многих параметров от их номинала. В последнем случае значение каждого параметра считается распределенным внутри интервала с заданной плотностью вероятности. В /146/ предлагается метод синтеза скалярного управления, обеспечивающего разную чувствительность двум группам полюсов: доминирующей группе - минимальную, недо-
- 9 -минирующей - несколько большую. В /56/ рассматривается метод проектирования векторного управления, обеспечивающего системе заданный спектр и минимальную его чувствительность к небольшим вариациям параметров в матрицах модели объекта. В отличие от других способов синтеза здесь все коэффициенты регулятора участвуют как в размещении полюсов, так и в минимизации чувствительности. Отметим, что основой методов синтеза регуляторов в изложенных работах является численная минимизация функционалов, содержащих показатели чувствительности полюсов к неопределенным параметрам.
Минимизация чувствительности полюсов дает неполное представление о качестве спроектированной системы, так как остается неучтенным влияние расположения нулей. Поэтому другим направлением синтеза регуляторов является минимизация так называемой траек-торной чувствительности. Задача состоит в нахождении такой обратной связи, чтобы, несмотря на неопределенность параметров, траектории координат системы находились в некоторой трубке, составленной из желаемых кривых. Как правило, добиться этого можно, используя в законе управления замкнутые контуры по функциям чувствительности /47/. В рамках этого подхода в /90/ найдены структурные ограничения для достижимости желаемых траекторий. В /100/ показано, что уравнения для численного определения регулятора зависят от начальных условий, и предлагаются их упрощения в зависимости от имеющейся априорной информации о последних. Статья /120/ посвящена новому доказательству ( с привлечением терминов конечномерных линейных пространств) условий существования закона управления, обеспечивающего нечувствительность траектории при сохранении пространства управляемости. Приближенные методы построения моделей и функций чувствительности /6/ развиваются в /92/, где получены условия, позволяющие упростить алгоритм синтеза и сделать его более эффективным. Обычным ин-
- ю -струментом при синтезе является градиентная процедура минимизации с удвоенной размерностью задачи /101/, применяемая к уравнениям Ляпунова или Риккати. Существенно более простыми являются регуляторы, использующие информацию только о выходе системы или о векторе ее состояния. При этом /143/, /144/ порядок задачи оптимизации не увеличивается, однако объем вычислительной работы возрастает, причем рассмотрена только неопределенность матрицы состояний объекта. Иногда /114/ требуемая нечувствительность траектории увязывается со значением интегрального критерия, ограничиваемого нормой начального состояния системы, умноженной на заданную положительную скалярную величину. Методика синтеза состоит в решении уравнения Ляпунова, составленного для функционала с неопределенным множителем Лагранжа.
Различные способы синтеза оптимальных в смысле интегрально-квадратичного функционала регуляторов, придающих системе свойство "грубости" к малым отклонениям параметров объекта, описываются и сравниваются в обзоре /44/. К рассмотренным методам, одновременно учитывающим случайный характер внешних возмущений, относятся: I) сдвиг коэффициентов регулятора от критических значений, 2) деформация расчетного спектра возмущающего воздействия за полосой существенных частот системы, 3) изменение структуры функционала оптимизации за счет введения производных по управлению, 4) искусственное добавление к возмущающему воздействию или измеряемым координатам белого шума. Аналогичную (отличающуюся лишь критерием) задачу решают при создании р о б а с т -ных систем /4/,/128/,/129/,/117/. С довольно обширной библиографией по этому вопросу, а также сравнительной характеристикой различных подходов к решению этой интересной задачи можно ознакомиться в /117/. В /57/,/58/ для объектов специальной ("иерархической") структуры указаны ограничения на нормы
- II -
матриц погрешностей, удовлетворение которым гарантирует устойчивость оптимальной системы при любых конкретных реализациях этих погрешностей.
Синтез ненастраиваемых регуляторов на основе теории игр (минимаксного подхода) заключается в минимизации функционала, содержащего моделирующую параметрическую неопределенность составляющую. В /87/, /50/ предлагается интерпретировать отклонение реакций системы с параметрической неопределенностью от реакций одной или нескольких моделей как результат игры "противника". В /142/ показано, что в некоторых случаях из области параметрической неопределенности может быть выбрано наихудшее сочетание параметров, не зависящее от начального состояния. В частности, это можно сделать при интервальном характере неопределенности и линейном ее вхождении в матрицу состояний объекта. Предложен численный алгоритм определения этого сочетания. В случае неопределенности матрицы В наихудшее сочетание можно указать при дополнительном условии: любая квадратная размера Г (число управлений) ее подматрица должна быть верхнєтреугольной. В общем же случае наихудшее сочетание параметров связано с начальными условиями по состоянию. Эта зависимость используется в "нелинейном" игровом подходе к синтезу регуляторов для объектов с неопределенностью /86/, /118/. При этом в матрицы А и & должны входить разные неопределенные параметры. Регулятор ищется как сумма линейной обратной связи по состоянию и нелинейной . добавки, парирующей неопределенность параметров и произвольные начальные отклонения. В ряде случаев, как показано в /147/,процедуры синтеза при игровом подходе имеют склонность к зацикливанию из-за отсутствия точки минимакса (решались практические задачи по алгоритмам работ /103/, /136/).
Классическим способом подавления параметрических вариаций
- 12 -является применение больших коэффициентов усиления. Этому вопросу посвящены монографии /34/ и /60/. В /19/ указана структура функционала, приводящая к оптимальным регуляторам с неограниченно возрастающими коэффициентами, а в /139/ на основе исследований асимптотического поведения корневых годографов линейных многомерных систем указан класс матриц, описывающих неопределенность параметров, при которых такая обратная связь по состоянию стабилизирует систему. Максимально достижимые характеристики САУ с ненастраиваемыми регуляторами исследуются также в /96/.
Недостатком перечисленных работ является отсутствие оценок для минимально возможных значений коэффициентов регулятора, при которых еще возможно подавление неопределенности параметров. В этом смысле более результативна работа /83/, в которой рассматривается объект с передаточной функцией, не имеющей нулей. При этом все IX коэффициентов в ней ( И - І в знаменателе и один в числителе) могут принимать произвольные значения из заданных областей (в частности, интервалов). Показано, что при неизменном знаке числителя стабилизирующий регулятор существует, и предложены формулы для вычисления значения его коэффициентов. Для случая разных знаков границ этого элемента получены необходимые условия существования регулятора. Следует сказать, что нижние границы его коэффициентов завышены, так как в процедуре их получения используются оценочные характеристики некоторых трудновычислимых величин. Формулы, по которым осуществляется синтез, можно значительно упростить, если использовать достаточные условия устойчивости /59/, /30/, /33/. Принципиально иной подход к аналогичной задаче предложен в /145/. Он основан на методах, изложенных в /70/. Большие коэффициенты регулятора расширяют полосу пропускания системы, что ведет к снижению ее помехозащищенности и усилению влияния нелинейностей /38/.
- ІЗ -
В отличие от описанного подхода в системах с переменной структурой /66/ парирование внешних и параметрических возмущений достигается с помощью конечных управляющих воздействий /71/.
Частотные методы применительно к задачам синтеза систем с неопределенностью развиваются школой Горовица A.M. /8/, /106/ -/III/. Ими разработаны подходы к синтезу стационарных регуляторов как для объектов со скалярным, так и векторным входом (минимально-фазовых и неминимально-фазовых), линейных и нелинейных, стационарных и изменяющихся во времени. Однако все они основаны на вычислении некоторых линейных стационарных эквивалентов для систем с нелинейностью и нестационарностью, а системы с векторным входом специальным образом преобразуются к системе со скалярным входом. После этого применяются графо-аналитические методы синтеза. Вследствие трудностей определения упомянутых выше эквивалентов и неоднозначности преобразований к скалярной системе, а также неформализованности графо-аналитических методов расчета, этот подход обладает большой трудоемкостью, и его нельзя отнести, строго говоря, к аналитическим. Другие подходы к синтезу в частотной области предлагаются в /115/ (траєкторная нечувствительность), а также в /97/, /119/.
Рассмотренные выше работы можно разбить на три группы по признаку учитываемой при синтезе "величины" параметрической неопределенности: неограниченная, ограниченная замкнутой областью, малая неопределенность. В большинстве работ второй группы не делается особого акцента на форме области, которой могут принадлежать значения параметров. Между тем, при недостатке информации об объекте, значения его параметров чаще всего задаются в виде интервалов /I/, /24/, /37/, /41/. Можно сказать, что это наиболее естественная форма описания неопределенности, и "...модель, в которой параметрам приписаны не конкретные числа, а интерва-
- 14 -лы возможных значений, более точно соответствует реальности" /41/, с.171.
Настоящая диссертационная работа посвящена поиску путей решения задачи синтеза ненастраиваемых регуляторов для объектов именно с интервальным характером неопределенности параметров. Следует сказать, что работ по синтезу регуляторов для этого случая известно совсем немного.
В /93/ рассмотрена ситуация, когда интервальные неопределенные параметры входят в матрицу состояний объекта линейно. Синтез регуляторов предлагается проводить методом аналитического конструирования. Для этого интегрируется уравнение типа Риккати, в котором матрица CL функционала оптимизации, в отличие от обычного случая, не является постоянной, а зависит от величины неопределенности и текущей матрицы - решения. В алгоритме построения изменяющейся части матрицы Q. используется свойство прямоугольное области параметров. Нестационарность & , естественно, ухудшает сходимость процедуры интегрирования и требует гораздо больших затрат машинного времени из-за уменьшенного шага. Причинами отсутствия сходимости могут быть, во-первых, слишком большой разброс значений параметров, во-вторых, неверный выбор шага интегрирования. В /147/ предложен модернизированный (многошаговый) алгоритм этого метода, свободный от указанных недостатков. При невозможности построения регулятора для заданной прямоугольной области пространства параметров указывается подобласть, для которой это осуществимо. Сравнение метода /93/, /147/ с методом случайной переменной /104/ и относительным методом /105/ показало его предпочтительность.
В отличие от /93/ в /9/ найдена структура матрицы замкнутой системы с неопределенными параметрами, при которой возможно так выбрать постоянную матрицу Q, функционала оптимизации, что
- 15 -для любой (в том числе прямоугольной) замкнутой области пространства параметров может быть найден регулятор с постоянными коэффициентами, обеспечивающий заданное время переходных процессов. Область неопределенных параметров накрывается гиперэллипсоидом минимального объема, откуда определяется & , используемая далее в стандартной процедуре метода аналитического конструирования регуляторов.
В /35/ рассматривается ситуация, когда матрица состояний объекта принадлежит некоторому многограннику с заданными вершинами, а матрица В > распределяющая управление, фиксирована. Процедура синтеза состоит в отыскании минимума квадратичной формы на выпуклом множестве положительно определенных матриц. Предварительно необходимо найти матрицу, столбцы которой образуют базис ортогонального дополнения линейной оболочки столбцов матрицы В . Если искомый минимум отрицателен, то регулятор существует. Определены структурные и параметрические отклонения матриц Л и В от исходных форм, не меняющие методики синтеза. Для матрицы А они совпадают с полученными в /9/, а для В - /57/, /58/. Заметим, что по многограннику значений А легко получить интервалы значений ее элементов, поэтому данный метод может быть отнесен к случаю интервальной параметрической неопределенности.
В /I/ (с.5-6) сформулирована задача параметрической коррекции, под которой понимается "назначение допусков на параметры системы и выбор таких номинальных значений ее параметров в допуске, при которых достигается максимальное или заданное значение каких-либо показателей качества функционирования системы". Получено ее аналитическое решение для случая одного и двух неопределенных параметров. Для этого разработан специализированный математический аппарат с оригинальной аксиоматикой. При большем числе неопределенностей предлагаются алгоритмы решения методами математического программирования (метод "растяжения" точ-
ки, метод диагоналей). Задача о выборе номиналов рассматривается со стохастических позиций. При этом, как пишут авторы:"... большинство решений получено для одномерного случая и их использование для выбора номинальных значений большего числа параметров возможно лишь в том случае, когда область допустимых значений удается аппроксимировать брусом, а характеристики отклонений параметров полагать независимыми", с.84. Полученные аналитические решения затруднительно применить в каком-либо методе синтеза регуляторов, так как методика /I/ предполагает возможность прямого изменения допусков в замкнутой системе, а не посредством варьирования коэффициентов регулятора.
Однако работа /I/ примечательна тем, что явно отражает потребность в применении к интервальным задачам специального математического аппарата. Действительно, любой алгоритм решения задачи синтеза регуляторов предполагает проведение некоторых действий над интервально-заданными величинами, что затруднительно в рамках обычных математических методов, так как числовой интервал представляет собой множество чисел. Поэтому в диссертационной работе используется интервальный анализ /124/, /84/. Б задачах теории автоматического управления специализированный математический аппарат, приемы и методы этого нового раздела прикладной математики уже нашли свое применение. Так, /23/ и /24/ посвящены задаче управления с неопределенными возмущениями, а /37/ -идентификации.
Недостаточно разработанным остается вопрос о критериях управляемости неопределенных объектов /61/, с. 19. Между тем, управляемость при всевозможных значениях параметров является необходимой предпосылкой для существования искомого регулятора. Но такая вспомогательная задача оказывается ничуть не менее сложной, чем основная. По-видимому, поэтому предпочитают сразу пытаться
- 17 -осуществить синтез регулятора (даже ценой значительных затрат времени работы ЭВМ /147/). Решение задачи может идти, следовательно, по пути создания простых критериев с эффективными алгоритмами, совмещенными с процедурой синтеза регулятора. Это дает возможность использовать информацию, накопленную на этапе анализа управляемости, при синтезе регулятора. Из обзора литературы следует, что в подавляющем большинстве случаев инструментом синтеза регуляторов является решение матричного уравнения типа Рик-кати (метод АКоР). Метод модального управления применяется значительно реже, а для интервально-неопределенных объектов - вообще не применяется. К достоинствам модального подхода следует отнести простоту алгоритма и тесную связь с привычными показателями качества САУ". Известная аналогия между модальной управляемостью (которая достаточно просто устанавливается) и управляемостью по Калману /70/ также говорит в пользу этого метода при синтезе регуляторов для неопределенных объектов.
Существо метода модального управления, как известно, состоит в том, что коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (ХПЗС) записываются в виде функций параметров объекта и регулятора. По заданному распределению корней на комплексной плоскости строится желаемый полином. Затем коэффициенты полученных полиномов при одинаковых степенях приравниваются и получается система линейных алгебраических уравнений, решением которой является искомый регулятор. При неопределенности параметров объекта неопределенными будут и коэффициенты ХПЗС. Если неопределенность интервальная, то, согласно интервальному анализу, ХПЗС будет иметь в качестве коэффициентов числовые интервалы. Поэтому в диссертационной работе большое внимание уделяется изучению свойств полиномов с интервальными коэффициентами.
Цель работы состоит в разработке метода синтеза
\
- 18 -ненастраиваемых регуляторов по корневым оценкам качества регулирования для линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами на основе специализированного математического аппарата - интервального анализа.
Указанная цель достигается посредством решения следующих конкретных задач:
получения необходимых и достаточных условий существования регулятора, обеспечивающего локализацию полюсов системы с неопределенными параметрами в желаемой области комплексной плоскости;
разработки процедуры синтеза такого регулятора;
разработки критериев управляемости объектов с неопределенными параметрами;
разработки способа анализа устойчивости систем с неопределенностью параметров объекта и допусками на коэффициенты регулятора на основе алгебраических критериев устойчивости;
создания программного обеспечения разработанных методов.
диссертация помимо введения содержит четыре раздела, заключение, список литературы и шесть приложений. Первый раздел посвящен исследованию свойств полиномов, коэффициенты которых могут принимать любые значения из заданных числовых интервалов - интервальных полиномов. По данному вопросу проводится отдельный обзор литературы. Рассматриваются задачи анализа устойчивости, локализации корней в трапецеидальной области, синтеза интервальных полиномов с желаемыми свойствами. Особое внимание обращено на интервальные полиномы с линейной зависимостью коэффициентов от некоторой интервальной переменной. Теоретические результаты иллюстрируются примерами. Во втором разделе предлагаются методики анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных сие-
- 19 -тем, полученных замыканием объекта с неопределенными параметрами обратной связью с неопределенными коэффициентами (имеющими допуски). Так же как в первом разделе проводится обзор литературы по исследуемому вопросу. Эффективность разработанных методик демонстрируется на примере решения соответствующих задач для канала стабилизации продольного движения вертолета. Втретьем разделе изучается задача синтеза регуляторов - в новой, интервальной постановке рассматривается задача модального управления. Основные этапы метода синтеза подробно разбираются на примере проектирования регулятора стабилизации бокового движения вертолета, транспортирующего груз по водной поверхности. Даются краткие сведения о программном обеспечении" метода. В четвертом разделе решается задача синтеза регулятора стабилизации движения вертолета с грузом на внешней подвеске в условиях неопределенности некоторых физических параметров, характерных для данного режима. Используется разработанный интервальный вариант метода модального управления. Проводится анализ спроектированной системы. Приложения содержат необходимые сведения из интервального анализа и другие вспомогательные материалы, а также документы, подтверждающие практическое использование и внедрение результатов диссертационной работы.
В процессе решения поставленных задач получены следующие основные научные результаты, выносимые автором на защиту:
- сформулирована задача модального управления для объектов
с интервальной неопределенностью параметров, и получены достаточные и необходимые условия существования ее решения;
- предложена процедура решения данной задачи (интервальный
вариант метода модального управления), при этом, в отличие от
известных методов синтеза, неопределенные параметры могут вхо
дить в модель объекта нелинейным образом, а регулятор может на-
- 20 -ходиться с допусками;
доказан алгебраический критерий устойчивости полиномов, коэффициенты которых линейно зависят от одного интервального параметра;
предложена методика анализа устойчивости линейных непрерывных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров объекта и коэффициентов регулятора, отличающаяся от известных этапами формирования матрицы замкнутой системы, вычисления коэффициентов характеристического полинома и применяемыми критериями устойчивости.
Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с направлением научно-исследовательских работ, предусмотренных пунктом 03.01.01.01 целевой программы 0.Ц.026 ГКНТ при СМ СССР, соисполнителем которого является Саратовский политехнический институт, и находятся в русле одного из основных научных направлений ВУЗа "Аналитическая теория линейных систем автоматического регулирования" и связанных с ним планами госбюджетных и хоздоговорных работ кафедры "Автоматика и телемеханика" СПИ.
Практическая ценность полученных результатов заключается в разработке инженерных процедур конструирования регуляторов для систем с неопределенными параметрами по заданным корневым показателям качества, процедур анализа управляемости, устойчивости и назначения допусков на неопределенность параметров с целью обеспечения указанных требований.
На основе теоретических положений работы создан пакет прикладных программ, с помощью которого решены задачи синтеза регуляторов для вертолета-крана. Программная продукция внедрена, что подтверждается соответствующим актом. Гарантированный экономический эффект от ее использования по одному предприятию составляет 17,6 тыс.рублей в год.
Основные результаты работы были представлены и обсуждены на УІ Всесоюзном совещании "Теория инвариантности, теория чувствительности и их применения" (Москва, 1982), Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения" (Ленинград, 1983), в выступлениях на научных семинарах кафедр "Системы автоматического управления летательных аппаратов" Московского авиационного института им.С.Орджоникидзе (1982) и "Дифференциальные уравнения и прикладная математика" Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (1982), научных семинарах лабораторий Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР (Новосибирск, 1982) и Института проблем управления (1983), докладах на научном семинаре "Аналитические методы синтеза регуляторов" каф. ATM СПИ (1979-1982), двух областных научно-технических конференциях (Саратов, 1980, 1981), пяти научно-технических конференциях СПИ (1979-1983).
По теме диссертации опубликовано 8 работ: /15/, /52/, /76/, /77/, /78/, /79/,/80/,/81/, из них одна рукописная /15/, остальные печатные.
Прежде чем переходить к изложению существа диссертационной работы, отметим, что в ней рассматривается синтез регуляторов состояния. Вопросы программного управления в условиях неопределенности рассмотрены в /27/, оптимизационные задачи данного направления отражены в /63/. При меньшем количестве информации об объекте имеет смысл переходить к построению самонастраивающихся /46/, адаптивных /66/ и самоорганизующихся /53/ систем управления. Наряду с традиционным и хорошо зарекомендовавшим себя подходом с позиций теории инвариантности /48/,при построении таких систем может оказаться полезной теория размытых множеств /2/, /41/, /ИЗ/.
Критерии устойчивости интервальных полиномов с минимумом вычислительных затрат
Если корни полинома (I.5I) при любых численных значениях его коэффициентов из соответствующих интервалов лежат в области Q ,то полином [ &(S) J называется интервальным полиномом, соответствующим этой области, и обозначается [ k(S)J0,
Требуется по заданным числам , , У построить интервальный полином, соответствующий области &.,
Как уже отмечалось, трапециедальную область, изображенную на рис.1.1, можно представить в виде пересечения следующих трех полуплоскостей:
- сектора с углом раствора 2 Ч1 и вершиной в начале координат;
- полуплоскости левее вертикальной прямой в точке (- TJ , jO);
- полуплоскости правее вертикальной прямой в точке (- і 0).
В связи с этим, интервальный полином, соответствующий области Si , предлагается формировать в три этапа, обеспечивая расположение корней в каждой из указанных полуплоскостей.
Рассмотрим порядок синтеза вещественного полинома 5% ,- +...+ -0 (1,52) с корнями в секторе %Щ if -if J по его коэффициентам. Для устойчивого полинома (1.52) обязательно выполняется условие L- 0 ({.=4П.). Поэтому (П3.9) с учетом (П3.8) можно преобразо-вать к виду (Приложение 3)
Тогда для вычисления коэффициентов искомого полинома достаточно задаться значением коэффициента &. , по графику зависи-мости UQoerrpT Lp и И. определить соответствующее значение Qocm ) » а затем по рекуррентной формуле (1.53) вычислить Д., Ц, ...Ди . На первом шаге учитывается, что Д0=1. Видно, что задача синтеза вещественного полинома с корнями в заданном секторе имеет неединственное решение, что обусловлено произволом в выборе &. . При синтезе же интервального полинома, на корни которого наложено аналогичное требование, произвол еще более увеличивается,так как эти полиномы могут отличаться друг от друга как значениями границ, так и длинами коэффициентов.Дяя излагаемого в разделе 3 метода синтеза регуляторов наиболее важны ограничения на длины коэффициентов, поэтому они должны быть заданы.
Если полином (1.52) должен быть интервальным, т.е. иметь вид (I.5I), то в (П3.9) S: будут также интервальными числами, причем
Из (1.56) можно получить формулу для вычисления верхних границ последующих коэффициентов через соответствующие границы предыдущих коэффициентов Нижние границы находятся по формуле, которая легко выводится из определения длины jf интервального числа (Приложение I)
Алгоритм построения полинома L С У А ничем не отличается от приведенного выше для Ш. Нужно задаться значением &. , по формуле (1.58) найти Ьц , по рис.ПЗ.1 определить 0Q (п., ), учесть, что Ik. J = I. Затем подставить эти данные в (1.57) и найти (L . Затем снова обратиться к (1.58) и т.д. Обратим вни-мание, что при этих действиях формула (1.58) не должна приводить к отрицательным значениям , так как при этом нарушается необходимое условие устойчивости ИП. Эта особенность отличает случай синтеза интервального полинома от синтеза вещественного. Последний может быть синтезирован при любом значении &i . Интервальный же удается построить не при любых &, и Если длины коэффициентов заданы, то синтез [ \(b) ] заключается в последовательном увеличении к до тех пор, пока все нижние границы Цм Ц= 4, П. ) не станут положительными.
Задачей дальнейших действий является корректировка (при необходимости) коэффициентов 1&(Ь)1 с целью обеспечить расположение множества его корней в полосе между вертикальными прямыми, отстоящими влево от мнимой оси на 11 и Е ,
Вычислив согласно теореме 1.6 корни всех ВЇЇ из множества 1& (b)j » можно установить, лежат ли они в данной полосе. Если это так, то найденный полином соответствует области Q, и никаких дальнейших действий по его синтезу не требуется.
В случае 02 2 , где Tl mCn ]$Л, 11 относится к Л (Ь) (к 4, к ) » нужно перестроить [Д(5)1 , увеличив в (1.58)
. Увеличение Д. приводит к увеличению Д. (іг2,,п)» а при неизменных CO CL&jlJ и к увеличению Д I . При этом множество корней ИП сдвигается влево и достигается Ч) П} . Если же « 5 где gsrriQX [ ), относится к Дк ($) (кя йЛ ) , то ИП с заданными длинами коэффициентов не существует.
1. Для интервальных полиномов 3-й и 4-й степени получены необходимые и достаточные критерии устойчивости с минимумом вычислительных затрат. На их основе созданы эффективные достаточные критерии устойчивости ИП старших степеней.
2. Впервые рассмотрена задача анализа устойчивости интервальных полиномов с линейной зависимостью коэффициентов от одного интервального параметра и получены необходимые и достаточные критерии их устойчивости.
3. Показано, что область локализации множества корней интервального полинома определяется объединенной областью локализации корней полиномов с вещественными коэффициентами, являющимися границами интервальных коэффициентов.
4. Предложена методика синтеза интервального полинома по заданной области локализации множества его корней.
Математические модели и методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами
В разделе рассматриваются методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем, полученных замыканием объекта с неопределенными параметрами обратной связью с неопределенными коэффициентами (имеющими допуски).
Проводится краткий обзор способов описания неопределенности параметров в различных моделях линейных систем автоматического регулирования и наиболее результативных работ по анализу устойчивости и управляемости в условиях неопределенности.
Предлагается новый подход к решению этих задач для случая интервального характера неопределенности параметров, имеющего наибольшее распространение на практике. Подход основан на применении специализированного математического аппарата - интервального анализа. Разработаны достаточные критерии устойчивости и управляемости для систем с моделями в пространстве состояний.
Эффективность полученных критериев демонстрируется путем их сравнения с некоторыми известными критериями при решении конкретной технической задачи.
Основные результаты данного раздела опубликованы в /15/, /76/.
. Математические модели и методы анализа устойчивости и управляемости линейных непрерывных стационарных систем с неопределенными параметрами
В теории автоматического управления широко используются два основных вида математических моделей объектов - модели в физических переменных "вход-выход" и модели в переменных состояния. Параметрическая неопределенность может быть увязана с обоими этими видами моделей различными способами. Эти способы имеют один и тот же физический смысл, а то или иное его математическое толкование позволяет применять различные методы решения задач и, как следствие этого, получать отличающиеся по практической направленности результаты.
Наибольшее разнообразие способов введения неопределенности параметров существует для моделей в переменных состояния. Чаще всего /58/, /91/, /127/, /128/, /129/, /135/, /149/ исследуется следующий объект:
где X" П. - мерный вектор состояния, LL- Ґ - мерный вектор управления, и- р - мерный вектор измеряемых переменных, t - независимая переменная (время), А. Ь0С — числовые матрицы согласованных с векторами Х,\Л7\1 размеров, характеризующие номинальный (расчетный) режим объекта, &К &ЬйС- матрицы, совпадающие по размерам с матрицами
- 56 -/\Q,b0,C0 и содержащие неопределенные элементы.
Структурная схема объекта (2.1) изображена на рис.2.1. Обычно задают либо ограничения на нормы этих матриц /127/, либо считают, что их коэффициенты принадлежат некоторой замкнутой области пространства параметров /91/.
Другим способом описания неопределенности параметров объекта является введение зависимости матриц к, Ь, С от векторного или скалярного параметра П, , ограниченного двухсторонним нера-венотвом 0 Ц,ё СЦ0Х/93/, /100/:
Другой способ моделирования неопределенности параметров объекта, описанного в форме "вход-выход", используют авторы работ /95/, /97/, /119/, /134/. Объект с неопределенными параметрами представляется в виде последовательного соединения идеального объекта с передаточной матрицейVv(b) и неопределенности с передаточной матрицей(Е + Li(Ь)) і где Е - единичная матрица (рис.2,2). Условие устойчивости накладывает ограничения на Ь (Ь) . При этом оказывается, что далеко небезразлично место включения неопределенности - этот факт отражен структурными схемами на рис.2.2а и 2.26.
Наиболее часто встречающимся способом задания неопределенности при решении практических задач является числовой интер - 59 Объект с неопределенными параметрами (модель в форме "вход - выход")
а) неопределенность на выходе объекта
б) неопределенность на входе объекта
. Действительно, незнание точного численного значения физического параметра Q, проще и естественнее всего описать в виде где CL - нижняя граница, CL - верхняя граница интервала [ОЛ ( ty , 0. - известные числа).
Задача модального управления для систем с неопределенными параметрами и ее особенности
В данном разделе рассматривается основная задача диссертационной работы - синтез регуляторов с постоянными коэффициентами для объектов с интервальной неопределенностью параметров. Формулируется задача модального управления для объектов со скалярным входом, исследуются ее особенности, и предлагается метод решения, основанный на интервальной математике. В отличие от стандартной формулировки задается не фиксированный спектр, а трапециедальная область желаемого расположения корней замкнутой системы. Коэффициенты регулятора при синтезе предполагаются имеющими допуски.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи модального управления для данного нового класса объектов. В случае их удовлетворения процедура синтеза состоит в построении некоторого наилучшего (дающего максимальные допуски на коэффициенты регулятора) интервального полинома и последующем решении задачи линейного программирования.
Возможности разработанного метода дополнительно поясняются при решении задачи синтеза регулятора стабилизации вертолетного буксировочного комплекса.
Результаты данного раздела опубликованы в / 52 /, / 78 /, /79/, /80/, /81/.
. Обоснование к выбору метода синтеза регуляторов На современном этапе развития теории автоматического управления для синтеза регуляторов в линейных системах наибольшее применение нашли два метода - аналитическое конструирование регуляторов (АКоР) и модальное управление (ММУ). Метод АКоР позволяет получать хорошие в смысле запасов устойчивости системы, учитывать действия внешних возмущений, многомерность вектора управлений. Однако коэффициенты минимизируемого функционала в общем случае неизвестным образом связаны с привычными инженеру показателями качества процесса стабилизации, что затрудняет обеспечение требуемых динамических характеристик системы. ММУ в этом смысле выглядит гораздо более привлекательно, так как позволяет рациональным выбором полюсов системы обеспечить нужную динамику. Недостатком его является неоднозначность синтеза регуляторов с векторным выходом: определив часть коэффициентов по желаемому спектру, остальные приходится рассчитывать исходя из других соображений и по другим методикам.
Изложенные "за и против" позволяют в конкретной ситуации отдать предпочтение одному из методов, говорить об абсолютном превосходстве одного из них над другим, скорее всего, неправомочно. Вместе с тем при выборе метода решения задач управления для нетрадиционных классов объектов приходится учитывать и другие аспекты данных методов. Желание использовать интервальную математику предъявляет особые требования к алгоритмической стороне процедуры синтеза. Метод АКоР, как известно, зиждется на решении нелинейного матричного уравнения Риккати. Примене - 98 -ниє обычных методов его решения для случая интервальных (неопределенных) коэффициентов в матрицах модели объекта позволило решить задачу синтеза в ограниченной постановке /93/. Развитие методов решения интервального уравнения Риккати с учетом специфики задачи синтеза регуляторов наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Метод же модального управления сводится, по-существу, к решению системы линейных алгебраических уравнений и использованию других разделов линейной алгебры. Методы матричной алгебры являются одними из наиболее разработанных в интервальном анализе, что и обусловило в значительной степени разработку интервального варианта именно метода модального управления. Вместе с тем оказалось, что механическая замена обычного математического аппарата интервальным не решает проблемы. Возникли задачи, вытекающие из специфики рассматриваемой задачи автоматического управления. Кратко они будут сформулированы в 3.1.4, а методы их решения изложены в 3.2.
Будем рассматривать объекты управления с интервальным характером неопределенности параметров, при этом ограничимся случаем скалярного управления, то есть в (2.5), (2.6) матрицы В(ип)и1в] заменяются на векторы -1)(1 ОЛ) и \Ы.
Математическая модель системы "вертолет-трос-груз" с неопределенными параметрами и постановка задачи синтеза
Проведенные в диссертационной работе исследования могут быть представлены в виде следующих основных результатов.
1. Для интервальных полиномов с линейной зависимостью коэффициентов от одного интервального параметра получены необходимые и достаточные алгебраические критерии устойчивости. Для устойчивых полиномов данного класса и интервальных полиномов решена задача локализации корней в трапециедальной области левой комплексной полуплоскости. Предложена методика решения обратной задачи - построения интервального полинома по заданной в виде трапеции области локализации множества его корней.
2. Для объектов с неопределенными параметрами в виде числовых интервалов сформулирована задача модального управления, и получены условия ее разрешимости (достаточное и необходимые). Проверка необходимых условий заключается в анализе полной управляемости объекта и построении интервального полинома по желаемой области локализации полюсов замкнутой системы. Достаточное условие состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений и обеспечении справедливости системы линейных неравенств.
3. Разработана процедура решения сформулированной задачи. Она состоит в построении наилучшего интервального полинома, корни которого лежат в заданной области, и решении задачи линейного программирования. В отличие от известных методов проектирования регуляторов, коэффициенты модели объекта могут зависеть от неопределенных параметров нелинейно, а на коэффициенты регулятора в процес - 179 -се синтеза могут быть назначены допуски.
4. Получен достаточный критерий устойчивости систем автоматического управления с интервальным характером неопределенности параметров как в объекте, так и в регуляторе. От известных данный критерий отличается применяемым математическим аппаратом, большей близостью к необходимым условиям и существенно меньшими вычислительными затратами.
5. Разработаны критерии управляемости объектов с интервальной неопределенностью параметров.
6. Создан и внедрен в практику проектирования пакет прикладных программ, реализующий разработанные алгоритмы синтеза регуляторов и анализа устойчивости в условиях неопределенности параметров.
7. С помощью программного обеспечения синтезированы регуляторы стабилизации для вертолетов, выполняющих транспортные и крановые работы.
