Содержание к диссертации
Введение
1 Метод линеаризации для решения задач квантильного анализа с малыми случайными параметрами 17
1.1. Введение 17
1.2. Обзор методов исследования задач стохастического программирования с квантильным критерием 18
1.3. Постановка задачи квантильного анализа 24
1.4. Обоснование метода линеаризации 24
1.4.1. Решение вспомогательной задачи 24
1.4.2. Одномерный случай 26
1.4.3. Векторный случай 29
1.5. Примеры 35
1.5.1. Нормальное распределение 35
1.5.2. Равномерное распределение 37
1.5.3. Экспоненциальное распределение 38
1.6. Задача коррекции орбиты геостационарного искусственного спутника Земли 39
1.7. Заключение 41
2 Сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу систем в условиях неопределенности 42
2.1. Введение 42
2.2. Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности . 43
2.3. Постановка задачи 46
2.4. Принцип равномерности 48
2.5. Оценка характеристик эффекта 50
2.5.1. Некоторые вспомогательные результаты 50
2.5.2. Использование принципа равномерности 52
2.6. Оценка абсолютной и относительной эффективностей квантилыюго подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему . 53
2.6.1. Оценка абсолютной эффективности 53
2.6.2. Оценка относительной эффективности 60
2.6.3. Оценка относительной эффективности в случае функции потерь с детерминированной составляющей 65
2.7. Заключение 68
3 Решение задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом методом линеаризации 70
3.1. Введение 70
3.2. Обзор методов решения задач оптимизации портфелей ценных бумаг 72
3.3. Постановка задачи 73
3.4. Применение метода линеаризации к задаче формирования портфеля 74
3.5. Решение линеаризованной задачи 79
3.6. Пример 83
3.7. Заключение 84
Заключение 85
Список литературы 87
- Обзор методов исследования задач стохастического программирования с квантильным критерием
- Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности
- Оценка относительной эффективности в случае функции потерь с детерминированной составляющей
- Применение метода линеаризации к задаче формирования портфеля
Введение к работе
В диссертационной работе исследуются задачи анализа и оптимизации систем с квантильным критерием качества в условиях стохастической неопределенности.
Задачи управления в вероятностной постановке (особенно задачи оптимизации по вероятностному критерию или с вероятностными ограничениями) до недавнего времени рассматривались крайне редко. Это объясняется в основном сложностью использования самого вероятностного критерия и отсутствием сопутствующих конструктивных методов решения подобных задач. Потому при практическом решении таких задач широкое распространение получили различные приемы, состоящие в замене вероятностных критериев более простыми [46]. Один из приемов состоит в использовании среднеквадратических критериев качества. В настоящее время наиболее общие результаты по оцениванию параметров и состояний линейных статистически и стохастически неопределенных моделей получены при использовании среднеквадратнческого критерия. Однако, используя среднеквадратический критерий, зачастую нельзя определить вероятностные характеристики ошибок оценивания в многомерном случае, даже если известно, что модель наблюдения является гауссовской. На практике ситуация выглядит еще более удручающей: не только истинные законы распределения случайных параметров модели неизвестны, но и их важнейшие характеристики (векторы средних значений и ковариационные матрицы) задаются лишь приближенно. Последнее еще более усложняет задачу оценивания по вероятностным критериям качества.
Для моделей с полной априорной информацией задачи стохастической оптимизации по вероятностному и квантильному критериям в последнее время исследовались весьма интенсивно [46,79]. Дальнейшие результаты, применимые к линейным стохастически неопределенным моделям, описаны в [49, 86]. Ис-
следование вероятностных и квантильных критериев в задачах идентификации линейных статисгически неопределенных моделей в настоящее время следует признать недостаточным. Широкому распространению среднеквадратического подхода способствовало то обстоятельство, что для линейных систем с гауссовыми случайными возмущениями удается получить в явном виде решение как задачи анализа, так и задачи синтеза оптимального управления. Однако в общем случае нельзя гарантировать выполнение требуемых условий с заданной вероятностью при использовании среднеквадратической стратегии управления. Именно поэтому некоюрые исследователи обратились к использованию другого подхода, получившего название гарантирующего (минимаксного). Сущность его состоит в интерпретации всех неконтролируемых факторов, включая и случайные, о которых известна некоторая статистическая информация, как неопределенных факторов, о которых известными считаются лишь диапазоны их изменения или, более точно, некоторые предельные (доверительные) множества. В конечном счете, оптимальная стратегия управления определяется как стратегия, гарантирующая достижение наилучшего результата при наихудшем сочетании неопределенных факторов. Если при этом доверительное множество неопределенных факторов выбрать априори так, что его вероятностная мера будет не ниже заданной, то минимаксная стратегия управления будет гарантировать достижение результата с такой же вероятностью. Основной недостаток гарантирующего подхода заключается в том, что соответствующая ему стратегия, как правило, оказывается слишком «осторожной», а величина оценки критерия - сильно завышенной. Это объясняется тем, что, с одной стороны, решение выбирается из расчета наихудшего сочетания неопределенных факторов (а это событие является маловероятным), а с другой, - тем, что статистическая информация о случайных факторах при данном подходе используется частично или не используется вообще.
Для решения сложных практических задач в вероятностной постановке в настоящее время универсальным и эффективным является аппарат, базирующийся на использовании метода статистического моделирования совместно с численными (поисковыми) методами оптимизации. При этом возможны два принципиально разных способа совместного использования этих методов. Первый способ состоит в последовательном применении статистического моделирования и поисковой
оптимизации. Второй способ совместного использования статистического моделирования и поисковой оптимизации заключается в применении их параллельно. Подобные методы оптимизации стохастических систем называются методами стохастической аппроксимации.
Теория стохастического программирования с вероятностными критериями рассматривает конечномерные задачи, которые своей целью ставят принятие оптимальных решений с учетом риска или требований надежности в условиях неопределенности, имеющей стохастическую природу. Стохастическая природа в таких задачах моделируется некоторым случайным вектором. Вероятностными критериями оптимальности являются функции вероятности и квантили. Функция вероятности несет в себе смысл вероятности выполнения некоторого условия. Функция квантили характеризует минимальное гарантированное значение функции потерь, которое не может быть превышено с заданной вероятностью при выборе гарантирующей стратегии. В силу актуальности и важности задач стохастического программирования их исследованием занимались известные российские ученые в области теории управления [2,3,40,41]. Из зарубежных исследователей в этой области следует отметить представителей венгерской [88-92] и эстонской [43-45,54-58,62,63,68,69,80,82,93,94] научных школ.
В общем случае, задачи стохастического программирования и анализа в условиях стохастической неопределенности являются весьма сложными. Это связано с тем, что найти аналитический вид функций квантили и вероятности или их градиентов можно лишь в некоторых частных случаях. При отсутствии аналитического вида критерия бывает сложно построить эффективные численные методы решения подобных задач. Кроме того, задача может быть усложнена тем, что распределение случайных параметров системы явно не задано, а известно лишь то, что распределение принадлежит некоторому классу неопределенности. Несмотря на возникающие сложности исследования этих задач, в последнее время их актуальность увеличивается. Это объясняется тем, что данные критерии не рассматривают некоторые маловероятные совокупности неопределенных параметров, учитывая только риск их реализации. Однако главным недостатком вероятностных критериев остается то, что зачастую не представляется возможным привести их к аналитическому виду.
При детерминированном подходе исследования систем влияние неопределенных факторов не учитывается. Но с практической точки зрения в этом случае может быть потерян реализм присутствующих в задаче явлений. Например, при формировании портфеля ценных бумаг сложно не учитывать случайность эффективностей финансовых инструментов или при моделировании движения летательного аппарата определять, как постоянную, скорость ветра. Таким образом, практическая значимость учета неконтролируемых факторов в моделях систем не вызывает сомнений.
Одним из подходов к решению задач стохастического программирования является метод детерминированного эквивалента, суть которого состоит в замене исходной стохастической задачи некоторой детерминированной. В задачах анализа и оптимизации систем в присутствии случайных параметров зачастую, чтобы избавиться от "стохастики", усредняют целевую функцию по этим параметрам. В результате полученное решение может абсурдным, так как оно будет справедливо лишь "в среднем". Наглядным примером является биржевой парадокс [60]. Другим вариантом построения детерминированного эквивалента является гарантирующий (минимаксный) подход. Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что берутся наихудшие из возможных реализаций случайных параметров. Так осуществляется страховка от наихудшего результата. Но в реальности наихудшие сочетания неопределенных параметров системы маловероятны и пере-страховочны, особенно когда таких параметров много. Некоторым компромиссом между стохастическим и минимаксным подходами к моделированию систем в условиях неопределенности является квантильный подход, основанный на использовании квантильного критерия качества. При квантильном подходе маловероятные, наихудшие сочетания параметров, характерные для минимаксного подхода, исключаются из рассмотрения. Риск их появления ограничивается на некотором допустимом уровне.
При анализе и синтезе систем в присутствии случайных параметров по квантильному критерию качества возникают сложности следующего характера. Во-первых, в большинстве таких задач найти аналитическое выражение для квантильного критерия при заданном уровне доверительной вероятности, как правило, невозможно. Это связано с абстрактным (через вероятность) опре-
делением функции квантили. Кроме того, задача усложняется нелинейностью квантильного критерия. Во-вторых, для статистического оценивания квантили не всегда понятно, сколько нужно провести испытаний, чтобы с заданной точностью оценить искомую величину. В-третьих, если количество опытных данных фиксировано - как улучшить точность оценки квантили. В силу указанных причин при разработке численных методов для вычисления квантили приходится использовать различные аппроксимации. Обычно применяют аппроксимации двух типов: основывающиеся на статистических оценках и на построении детерминированных границ для квантили. Наиболее известными методами оценки квантили являются выборочная оценка [5,16], экстремальная порядковая оценка [11,13] и ядерная оценка функции квантили [75,87,97].
Для решения задач стохастического программирования с критерием в виде функции квантили, как правило, используются стохастические квазиградиентные алгоритмы [17, 20, 79]. Некоторые из этих алгоритмов [79] сходятся крайне медленно, в частности потому, что при приближении к экстремуму требуется увеличение объема выборки. Поэтому актуальна проблема сокращения числа испытаний, а, следовательно, и повышения быстродействия подобных алгоритмов. В диссертации в первой главе предлагается метод линеаризации для оценки квантильного критерия, в случае, если в системе присутствуют малые случайные параметры. При рассмотрении линеаризованной задачи указанные проблемы обычно удается преодолеть.
Приложениями теории стохастического программирования являются задачи об оптимизации инвестиционных портфелей, рассмотренные, например, в [12,23, 36,83]. Одна из таких задач рассматривается в третьей главе.
Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод о том, что постановки задач анализа и стохастического программирования с квантильным критерием активно исследуются в настоящее время, что подтверждает актуальность диссертационной работы.
Целью работы является обоснование метода линеаризации для оценки квантильного критерия, а также сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу качества систем в условиях статистической неопределенности. Для достижения поставленной цели предлагаются:
аналитические оценки для абсолютной и относительной эффективностей кван-тильного подхода по отношению к гарантирующему;
достаточные условия применимости метода линеаризации функции потерь для оценки квантили;
новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с помощью метода линеаризации.
Диссертация была поддержана грантами РФФИ Ж№ 05-08-17963, 09-08-00369.
Результаты работы докладывались на следующих международных научных конференциях: "Системный анализ, управление и навигация" (Евпатория, 2006, 2007, 2008гг.), "Авиация и Космонавтика" (Москва, МАРІ, 2008г.), а также на всероссийской конференции молодых ученых и студентов "Информационные технологии в авиационной и космической технике" (Москва, МАИ, 2008г.) и на научных семинарах в MAPI, ИПУ РАН и МИЭМ.
Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях [25,29] в журнале, входящем в Перечень ВАК, и тезисах научных конференций [24,26-28,30].
Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы (97 источников). Объем диссертации включает 95 машинописных страниц, включая 1 рисунок и 6 таблиц.
Краткое содержание основных результатов работы по главам состоит в следующем.
Первая глава посвящена методу линеаризации для решения задач квантильно-го анализа и оптимизации в присутствии в системе малых случайных параметров. Малыми случайными параметрами будем называть произведение /і, где д > 0 - малый скалярный параметр, а - n-мерный случайный вектор с известным распределением, моделирующий статистическую неопределенность.
Задачи оценивания или оптимизации квантили в общем случае являются достаточно сложными. Сложность заключается в том, что квантильный критерий в большинстве случаев не может быть явно представлен в аналитическом виде. Но в случае, когда модель системы является линейной по неопределенным параметрам, задачу оценивания квантили можно свести к задаче обобщенного линейного программирования на выпуклом множестве.
Рассматривается функция потерь f(x), являющаяся непрерывно-дифференцируемой по х Є R". Вводится также линеаризованная функция потерь:
/і(/«) = /(о) + Л (і)
9f(y)
где a = ^f
Задачей первой главы является обоснование того, что квантиль (fi([J,,))a отличается от искомой квантили (/(/х))а на малую величину порядка /и2.
В качестве вспомогательной задачи рассматривается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь. С помощью результата из [78] при выполнении ряда условий, задача оценивания квантили (/і((г))а сводится к задаче обобщенного линейного программирования:
(fi№))a = пах fi№), (2)
где Ka - регулярное а-ядро случайного вектора , а о; Є (0,1). Понятие а-ядра, а также некоторые его свойства приведены в главе 1 диссертации. Таким образом, задачу (2) можно записать в следующем виде:
(fi№))<* = /(0) + /і max a?x. (3)
хЄКс
В главе сначала рассматривается случай, когда вектор одномерный, а затем приводятся результаты для многомерного случая.
Введем следующие обозначения: / - замыкание интервала (ол_,а>+), где w_ = inf(a: : F(x) > 0), и+ = sup(rr : F(x) < l),F(x) - функция распределения случайной величины .
В одномерном случае оказывается, что если функция распределения F(x) случайной величины непрерывна и строго возрастает на /, функция потерь f(x) строго монотонна и непрерывна на этом же отрезке и непрерывно-дифференцируемая на интервале (и>_,^+) и, кроме того, а^О, тогда
(/(/*))« - (/«(**))« = (^)- (4)
Дальнейшие рассуждения ведутся для систем, которые имеют в качестве неопределенности многомерный вектор . Рассматривается частный случай функции потерь [8]:
/(0 = r(«T(i4 + c)), (5)
где А - некоторая матрица размерности тхп, - n-мерный случайный вектор, -г/, с - фиксированные векторы размерности т, г(-) : И1 —> R1 - строго возрастающая непрерывно-дифференцируемая функция, определенная на всей числовой оси.
Доказано, что если функция потерь имеет вид (5) и вектор имеет сферически симметричное распределение, то
(ЖА*0)« = M\ATu\\r>(to№)« + r(t0), (6)
где (i) а - квантиль уровня а первой компоненты случайного вектора , a t0 = иТс, г'(to) = ^|=( Таким образом, решается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь (5). Доказано также, что если система задана функцией потерь структуры (5), то справедливо равенство
иШ«-иіШа = о(и2). (7)
Далее формулируются и доказываются еще два утверждения, касающиеся точности оценивания квантили функции потерь квантилью для линеаризованной функции. При выполнении ряда условий, сформулированных в теоремах первой главы, также выполняется соотношение (7).
В конце главы приводится три примера задач квантильного анализа в случаях нормального, равномерного и экспоненциального распределений для размерности пространства п = 1. Аналитически находятся разности квантилей функции потерь и ее линейного приближения для этих случаев. Данные примеры подтверждают справедливость оценки (4). Кроме того, рассмотрена задача коррекции искусственного геостационарного спутника Земли с квантильным критерием оптимизации. Сравниваются значения квантили для истинной и линеаризованной функций потерь.
Во второй главе рассматривается задача сравнения квантильного и гарантирующего подходов к анализу систем в условиях неопределенности. Сравнение подходов производится для функции потерь в условиях статистической неопределенности. Данная неопределенность задается распределениями из класса Бармиша. Рассматривается линейная функция потерь
Дс,0=ст, (8)
где вектор с - детерминированный n-мерный вектор с нормой ||с|| = 1,-случайный вектор с плотностью вероятности р(х), которая берется из класса Бармиша, где х = (хі, ...,хп)т. Определение класса Бармиша приведено в главе 2. Распределение вектора задается соотношением
Р(А) = Jp(x)dx, (9)
где А - произвольное борелевское множество, Р(-) - вероятностная мера борелев-
ских подмножеств пространства Rn. Обозначим множество вероятностных мер Р
вида (9), соответствующих всевозможным плотностям из класса Бармиша, как
Пв.
Если Р Є Ив, то распределение случайного вектора сосредоточено на
единичном кубе
In = LeW: |хі|<І, г = 1,...,nl. (10)
Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что выбирается такая комбинация компонентов неопределенности, которая обеспечивает наибольшие потери.
Максимальные потери на единичном кубе 1п будут иметь вид
1 п
то(с) = тах/(с,ж) = - V|q|. (11)
г=1
Рассмотрим квантильный подход к анализу систем в условиях статистической неопределенности, описанной классом Пд. Определим наихудшее значение функции квантили на выбранном классе распределений:
у*а(с) = sup min {у : Р (/(с, ) ^ у) > а} , (12)
Рєпв
где а Є (0,1) - заданный уровень надежности.
Задачей сравнения этих двух подходов является оценка абсолютной
ha(c) = т(с) - у*а(с) (13)
и относительной
Кіс) = !Щ (14)
т{с) эффективностей квантильного подхода по отношению к гарантирующему.
С помощью некоторых вспомогательных результатов, в частности принципа равномерности [19, 73], находятся аналитические оценки нижних граней для абсолютной (13) и осредненной по вектору с (14) относительной эффективностей. Приводятся численные результаты расчетов средней относительной эффективности для различных а и п. Оказывается, что квантильный подход в среднем является оптимистичнее гарантирующего не менее чем на 40 %.
Кроме того, во второй главе рассматривается случай линейной функции потерь с детерминированной составляющей (свободным членом). Для данной функции также находится аналитическая оценка нижней границы среднего относительного эффекта квантильного подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему. Также приводятся результаты численных расчетов относительной эффективности для системы, которая задается функцией потерь с детерминированной составляющей. Из результатов вычисления видно, что при увеличении размерности пространства п нижняя граница относительной эффективности стремиться к значению 39% и практически не зависит от а.
Третья глава посвящена задаче формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом. Речь идет о задаче формирования портфеля бескупонных ценных бумаг с фиксированным доходом на интервале времени [0,Т]. Такие ценные бумаги будем называть бондами. Каждый г—и бонд характеризуется номиналом Ц и датой погашения ТЇ. Инвестор, который купил бонд по цене с в момент времени t Є [0, Т] выручает в момент Ті капитал размера Li. Доход от этой операции равен ^г5, т.е. он фиксирован. Бонд, погашаемый в момент Т, называется безрисковым. Упорядочим бонды по датам погашения следующим образом: 0 < Ті < ... < Тп < Т. Все средства, выручаемые в момент Ті погашения г-го бонда, инвестор вкладывает в безрисковый бонд. Таким образом, к моменту Т в портфеле остаются лишь экземпляры безрискового бонда. Цена безрискового бонда в моменты Ті, г = 1,...,п, априори неизвестна. Предполагается, что эти цены случайны. Если предположить, что эти цены имеют нормальный закон распределения, то оказывается, что доход портфеля не имеет математического ожидания [78]. По этой причине сформулировать задачу в терминах Марковица [53] не удается. В связи с этим в постановке задачи используется квантильный критерий качества портфеля, известный также под названием Value-at-Risk (VaR).
Ранее эта задача решалась в работах [23,78] приближенно в предположении, что цены безрискового бонда являются независимыми. В диссертации предлагается приближенное решение задачи формирования портфеля бондов с учетом того, что цены безрискового бонда в моменты Ті,і = 1,...,п, могут быть зависимыми. Это достигается путем применения метода линеаризации, разработанного в главе 1 диссертации для решения задач стохастического программирования с квантиль-ным критерием качества.
Пусть у инвестора имеется начальный капитал, который в начальный момент времени t = О вкладывается в бонды с целью получения дохода к заданному моменту времени Т > 0. Обозначим через щ долю начального капитала, вкладываемую в г—ю ценную бумагу. Тогда справедливо следующее равенство:
щ + ... + ип = 1. (15)
В данной задаче операции типа "short sales" (взятие бондов в долг на время Т) принципиально нереализуемы, поэтому
Щ ^ 0, г — 0,..., п. (16)
Доход портфеля в процентах годовых определяется соотношением, которое получено в [23]:
Щи, д) = ат ^—,* + ^ -^-imJ , (17)
где и = (иг,...,ип)т, ат = ^р, di = f;, gi = |^, і = 0,...,г?, д = (ді,...,дп)т ~ ~ J\f(m, К) с известными вектором математического ожидания тп и ковариационной матрицей К. Отметим, что переменная щ не включена в вектор и для удобства дальнейших выкладок. При заданном и она определяется однозначно в силу (15). Предполагается, что диагональные элементы of матрицы К таковы, ЧТО Gi « ГПі, і = 1,...,п.
Качество портфеля с учетом риска характеризуется квантильным критерием
(-Д(«, д))а =' minfcp : P(-R(u, д) ^ <р) > а}, (18)
где а Є (|, 1) - заданная доверительная вероятность. Требуется решить задачу
(-R(u,g))a ^min, (19)
при ограничениях (15) и (16). Пусть
Ь = (Ьь ..., 6n)T, bo = —T-^-aT, (20)
Ьх = ... = Ьп = ~ат, а = (ах, ...,ап), а* = ——аг, (21)
ві = ~, і =1,..., п. (22)
Тогда
-Л(«, =f -Ьощ -Ри-У2 T^h, (23)
ІҐх Х + ^
где г?г = gi~mi ~Л/"(0,1). В [78] предложено аппроксимировать задачу (19) задачей
max G(w, ж) —> min, (24)
при ограничениях (15),(16), где А'а - а-ядро для случайного вектора г], а ж Є Rn - возможные реализации вктора 77. В [23] и [78] задача (24) успешно решена в предположении о независимости компонент вектора г/.
В диссертации задача (24) решается приближенно без предположения о независимости компонентов 77. С этой целью учтем, что величины в{, г = 1, ...,п, малы и рассмотрим линеаризованную функцию
Gi(u, 77) = -Ь0щ - Ьти - J^ <цщ(1 - QiVi)- (25)
г=1
Исходя из свойств функции Gi(u,rj) [78] можно записать следующее:
maxGj(«,a;) = (Gi(w,77))e. (26)
хЄКа
Основным результатом третьей главы является теорема о том, что задачу (24) можно аппроксимировать задачей
(Gi(u, 77))0 = -Ь0и0 - bru - min У^ щщ(1 — ОіХі) -+ min , (27)
хЄКа ^—f и:и0+гти=1,и;>0
г=1
с учетом погрешности решения не превосходящей величину, имеющую порядок &1 для всех 0* < -Ц где 0* = max 0*.
rQ 1=1,...,Tl
Далее в главе приводится алгоритм решения задачи (27). Данный алгоритм обоснован в [31].
Обзор методов исследования задач стохастического программирования с квантильным критерием
Приведем обзор результатов, которые касаются задач квантильного анализа и стохастической оптимизации.
В монографии [46] изложен подход к решению задач анализа и синтеза высокоточных алгоритмов управления летательными аппаратами, на движение которых оказывают влияние различные случайные и неопределенные факторы. Установлена связь между традиционным стохастическим подходом, основанным на минимизации усредненной функции потерь, и минимаксным подходом. В книге [79] исследованы задачи стохастического программирования с вероятностным и квантильным критериями. Исследованы прикладные модели в производстве и экономике с критериями в виде функций вероятности и квантили, свойства функции вероятности и квантили, в том числе их непрерывность и дифферен-цируемость, выпуклость для некоторых классов задач. Кроме того, изложены методы нахождения функций вероятности и квантили, определения нижних и верхних границ для данных функций, условия эквивалентности вероятностной и квантилыюй постановок, соотношение задачи квантильной оптимизации с минимаксной, описаны методы численной оптимизации функций вероятности и квантили.
Свойства функций вероятности и квантили к настоящему времени хорошо изучены. В работах [18, 62, 88, 89] исследуются выпуклые свойства функций вероятности и квантили. В [18] проводятся исследования свойств выпуклости функций вероятности и квантили в моделях стохастического программирования и стохастического оптимального управления. Даются определения выпуклости (вогнутости), квазивыпуклости (квазивогнутости), g-выпуклости ( -вогнутости), логарифмической вогнутости. Также вводится понятие частично -вогнутых функций и вероятностных мер. Доказываются теоремы о выпуклых свойствах функций вероятности и квантили для различных целевых функций, о связи логарифмической вогнутости и д-вогнутости. Основным результатом работы [62] является доказательство связи квазивыпуклости функции квантили и квазивогнутости функции вероятности. В работах [88,89] исследуются свойства логарифмической вогнутости плотности распределения вероятностных мер и функции вероятности. В статье [89] доказываются теоремы о связи логарифмической вогнутости плотности распределения с вероятностной мерой и функцией распределения. В работе [88] доказано несколько теорем об обладании функцией вероятности свойством логарифмической вогнутости в ряде частных случаев, приведены соответствующие примеры.
В большинстве задач исследователь сталкивается со сложностью определения значения квантили. Причем не только невозможно получить для нее явное аналитическое выражение, но и чтобы определить численно, необходимо провести достаточно большое число испытаний. Возникает необходимость в применении эффективного численного метода для оценивания квантили. В [5,16] рассматривается метод выборочной оценки квантили. Основополагающие результаты по данному методу, такие как несмещенность, асимптотическая нормальность и локальная оценка точности, получены в [72, 85]. Метод экстремальной порядковой оценки квантили исследуется в трудах [11,13]. В данном методе оценивается значение квантили для выборки малого фиксированного объема. Статистическая оценка в виде линейной комбинации экстремальных порядковых статистик предложена в [37]. В работах [75,87,97] рассматривается ядерная оценка функции квантили, которая помогает решить проблему сглаживания выборочной оценки функции квантили. Впервые данный метод оценивания квантили предложен в работе [87]. В [97] установлены асимптотическая нормальность и среднеквадратическая состоятельность данной оценки. В [75] исследована асимптотическая точность ядерной оценки функции квантили по сравнению с выборочной оценкой. В статье [95] предложены другие ядерные оценки функции квантили и установлена асимптотическая эквивалентность оценок данного метода.
В [41] представлены приближенные методы оценивания вероятностей больших отклонений фазовых координат динамических систем под действием случайных возмущений. Рассматриваемые методы основаны на приведении задачи оценки вероятности к эквивалентным задачам нелинейного программирования или к вариационным задачам. Рассматривается задача оценки вероятностей больших случайных отклонений, фиксируемых в заданный определенными условиями момент времени, а также задачи об оценках вероятностей больших выбросов на заданном отрезке времени. Большое внимание в книге уделяется возможности реализации рассматриваемых методов для решения практических задач и оценке точности приближенных решений.
Работа [9] посвящена применению метода бутстрепа для численного решения задач стохастического программирования. В ней исследована точность выборочной оценки квантили для равномерного, экспоненциального и нормального распределений, распределения Коши. Также предлагаются две бутстреп-процедуры для оценивания функции квантили: процедура несглаженного и сглаженного бутстрепа. Оценка квантили, полученная в результате применения несглаженного или сглаженного бутстрепа, считается как среднее значение выборочной квантили но т бутстреп-выборкам. Доказывается утверждение о сходимости сглаженной оценки квантили к истинному значению почти наверное, несглаженной оценки - по вероятности. В статье [38] исследуются процедуры построения ядерных оценок функции квантили, а также предложен стохастический квазиградиентный алгоритм, построенный на основе ядерных оценок.
В работах [13,67] изложены различные методы работы с выборкой. Книга [13] посвящена порядковым статистикам. Большое внимание уделено распределениям порядковых статистик, оценкам и приближениям для этих моментов. Рассмотрены приложения порядковых статистик к теории оценивания, к проверке статистических гипотез. Рассмотрены "быстрые" (short-cut) методы, предназначенные главным образом для нормальных выборок, задача исключения резко выделяющихся "аномальных" наблюдений. Исследована асимптотическая теория порядковых статистик. Получены асимптотическое совместное распределение квантилей, асимп -готическое распределение экстремального (крайнего) значения для некоторого вида распределений. В книге [67] описан метод бутстрепа (bootstrap). Предполагается, что имеющиеся п значений образуют генеральную совокупность, из которой извлекаются выборки с возвращением объема п с равными вероятностями извлечения каждого значения. Всего извлекается т выборок, по каждой из них строится оценка интересующего параметра исходной случайной величины, а затем полученные оценки усредняются. Сама по себе идея "размножения выборок" была предложена М. Кенуем еще в 40-х годах (см. также [32]) в методе "складного ножа" (jackknife). "Размножение выборок" при этом осуществляется путем исключения одного наблюдения.
Рассмотрим работы [70, 77], в которых содержатся обобщения многих результатов по стохастическому программированию. В книге [70] рассмотрены три группы методов стохастического программирования: методы прогнозирования поведения сложных систем, методы управления в условиях риска и неопределенности и методы адаптации и обучения (стохастическая аппроксимация). Исследованы одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи стохастического программирования, проблемы сглаживания и экстраполяции случайной функции, обобщенные задачи фильтрации и прогноза, одномерная и многомерная стохастическая аппроксимация. В работе [77] рассмотрены основные вопросы стохастического программирования, в том числе нахождение вероятностных мер, детерминированных эквивалентов, решение многоэтапных задач оптимизации. В книге рассмотрен раздел динамических систем, включая принцип Беллмана, детерминированные и стохастические деревья решений, а также препроцессинг данных - уменьшение размерности задачи, проверка на разрешимость - и задачи, связанные с системами массового обслуживания.
Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности
В монографии [2] излагаются вопросы современной теории устойчивости, оптимального управления и численные методы теории управления. Здесь приведены общие утверждения об устойчивости и неустойчивости, достаточные условия устойчивости линейных систем, приемы исследования устойчивости различных типов систем и теоремы об устойчивости при случайных возмущениях. Кроме того, рассмотрены основные постановки задачи управления, связь современных задач и методов теории управления с теорией устойчивости и вариационным исчислением, основные результаты теории управления - принцип максимума Понтрягина, метод динамического управления Беллмана, теория линейных управляемых систем. Также рассматриваются задачи управления системами при случайных возмущениях их параметров, основные принципы теории оценивания, фильтр Калмана, задачи управления при слежении за системой, методы синтеза оптимального управления. В заключительной главе книги излагаются современные численные методы управления: численное определение условий устойчивости, методы решения уравнений Ляпунова и Риккати, численные методы в линейно-квадратичной задаче, методы анализа управляемых систем, включая одношаговые и многошаговые методы.
Книга [42] посвящена разделу теории управляемых процессов - математическим задачам управления и наблюдения по неполным данным. Рассматриваются три группы вопросов. К первой из них относятся методы программного управления при неполной априорной информации о начальных и входных параметрах системы. Вторую составляют минимаксные методы решения задачи фильтрации, прогноза и оценки фазового состояния для систем, функционирующих в присутствии помех типа неопределенности. Полученные соотношения применяются далее к задачам позиционного управления - минимаксному синтезу систем с неполной информацией, сочетающих процессы наблюдения и процессы управления или коррекции движения. Обсуждается связь изложенных результатов с теорией дифференциально-игровых задач.
Монография [7] посвящена проблеме восстановления зависимостей по эмпирическим данным. В ней исследуется метод минимизации риска на выборках ограниченного объема, согласно которому при восстановлении функциональной зависимости следует выбирать такую функцию, которая удовлетворяет определенному компромиссу между величиной, характеризующей ее "сложность", и величиной, характеризующей степень ее приближения к совокупности эмпирических данных. Рассмотрено применение этого метода к трем основным задачам восстановления зависимостей: задаче обучения распознаванию образов, восстановления регрессии, интерпретации результатов косвенных экспериментов. Показано, что учет ограниченности объема эмпирических данных позволяет решать задачи распознавания при большой размерности пространства признаков, восстанавливать регрессионные зависимости при отсутствии модели восстанавливаемой функции, получать устойчивые решения некорректных задач интерпретации результатов косвенных экспериментов.
В [3] рассматривается определение движения и управление им при дискретном характере измерительной информации и корректирующих воздействий. Особое внимание обращается на оценку точности получаемых результатов и оптимизацию стратегии решения рассматриваемых задач. При этом используется подход, гарантирующий достижение требуемой точности и надежности получаемых решений при условии, что функции распределения ошибок исходных данных точно не известны, а заданы лишь некоторые множества, которым могут принадлежать эти функции. Этим обеспечивается устойчивость получаемых результатов. Описывается аппарат математического программирования, используемый при решении рассматриваемых задач оптимизации.
В [1] вводится понятие информационного множества в задачах оценивания статистически неопределенных систем, которое сводит к известному при отсутствии статистических составляющих. В статье делается попытка определить аналоги информационных множеств для статистически неопределенных систем так, чтобы в детерминированном случае они совпадали с введенными ранее. Предлагается два возможных определения, для каждого из которых приводятся определяющие соотношения, изучаются некоторые частные случаи и примеры.
В статьях [64, 65] рассматриваются доверительные множества для статистически неопределенных систем. В [64] рассматривается задача построения доверительных множеств для случайного вектора, информация о распределении которого является неполной. В [65] строятся доверительные множества для фазовых состояний многошаговой нелинейной системы, в которой присутствуют случайные возмущения с известными распределениями и неопределенные параметры с известными множествами их значений. За критерий оптимальности берется функция квантили.
В статьях [48, 51, 52, 61] исследуются многомерные неопределенно-стохастические линейные модели. В работах [48, 51] рассмотрены задачи параметрической идентификации многомерной неопределенно-стохастической линейной модели в условиях априорной информации о первых двух моментных характеристиках параметров модели. В [48] приведен общий вид оператора оценивания, а также получены необходимые и достаточные условия, при которых минимаксный оцениватель однозначно определяется решением двойственной задачи. В [51] показано, что с помощью регуляризации исходного среднеквадратического критерия, минимаксная задача сводится к двойственной без каких-либо дополнительных предположений о невырожденности матриц, принадлежащих множеству неопределенности. В статье [52] рассмотрена задача минимаксного оценивания в многомерной линейной регрессионной модели, содержащей неопределенные параметры и случайные величины. Совместное распределение случайных величин, входящих в модель наблюдения, точно не задано, однако имеет фиксированное среднее и ковариационную матрицу из данного множества. Для оптимизации алгоритма оценивания использован минимаксный подход с мерой риска в виде вероятности превышения ошибкой оценки некоторого заданного уровня. Показано, что задача линейного оценивания равносильна минимаксной проблеме со среднеквадратическим критерием. При этом соответствующая линейная оценка будет наилучшей (в минимаксном смысле) по вероятностному критерию на классе всех несмещенных оценок. Построено также наименее благоприятное распределение случайных параметров модели. В [61] рассмотрена задача байесовского оценивания в многомерной неопределенно-стохастической модели наблюдения по минимаксному критерию с обобщенными вероятностными функционалами риска. Сформулированы достаточные условия, при которых линейная оценка оптимальна в минимаксном смысле на классе всех измеримых оценок. Подробно рассмотрены случаи функционалов риска в виде ожидаемых потерь, вероятности превышения ошибкой некоторого уровня, а также квантили нормы ошибки.
Принципу равномерности в условиях стохастической неопределенности посвящены труды [19, 29, 33, 73]. В [73] установлен класс задач с вероятностным критерием, в которых наихудшим распределением является равномерное. Также впервые сформулирован и доказан принцип равномерности. В статье [33] рассматривается задача максимизации функции вероятности, в которой распределение известно лишь с точностью до некоторого класса. Показано, что если распределения из этого класса обладают некоторыми свойствами симметрии, то равномерное распределение оказывается наихудшим для решения этой задачи. В работе [19] предлагается доказательство принципа равномерности Бармиша-Лагоа без предположения об интегрируемости плотностей вероятности по Риману. Также исследована чувствительность этого принципа по отношению к нарушению исходных предположений.
Оценка относительной эффективности в случае функции потерь с детерминированной составляющей
Рассматривается задача формирования портфеля бескупонных ценных бумаг с фиксированным доходом на интервале времени [0,Т]. Такие ценные бумаги ниже называются бондами. Бонды образуют значительный сегмент рынка ценных бумаг. Типичными примерами являются Российские государственные краткосрочные облигации (ГКО), U.S. Treasury Bills и банковские векселя. В странах с развитой экономикой обычно наблюдается, что доход, получаемый при погашении бондов, оказывается существенно ниже спекулятивного дохода, получаемого при инвестициях в корпоративные ценные бумаги (акции). Поэтому для спекулятивных инвесторов бонды представляют интерес только как безрисковые финансовые инструменты, которые целесообразно включать в портфель только вместе с акциями. Задача же формирования портфеля, содержащего только бонды, актуальна для защиты безрисковой части активов финансовой компании от инфляции. В связи с этим ниже исследуется модель, отражающая пассивную стратегию инвестора, предполагающая получение дохода только путем погашения бондов и реинвестицию средств, получаемых в моменты погашения, в бонды, которые еще не погашены. Условия таких реинвестиций (цены, по которым преобретаются дополнительные экземпляры бондов на вырученные при погашениях средства) в начальный момент времени, когда формируется портфель, считаются случайными, что приводит к случайности дохода портфеля. Но учет механизма реинвестиций приводит [21] к существенно нелинейной зависимости дохода портфеля от этих случайных параметров.
Каждый г—й бонд характеризуется номиналом Li и датой погашения Т;. Инвестор, который купил бонд по цене с в момент времени t Є [0,Т], выручает в момент ТІ капитал размера Lj. Доход от этой операции равен Ь те он фиксирован. После момента ТЇ бонд прекращает свое существование. Упорядочим бонды по датам погашения следующим образом: 0 Ті ... Тп Т. Бонд, который погашается в момент времени T, будем называть безрисковым. Рассматривается схема реинвестиций [78], при которой средства, выручаемые в момент ТІ, инвестируются в безрисковый бонд. Цена покупки безрискового бонда в моменты ТІ, г = 1,...,п, априори неизвестна. Предполагается, что эти цены случайны. Кроме того, если предположить, что эти цены имеют нормальный закон распределения, то оказывается, что доход портфеля не имеет математического ожидания [78]. По этой причине сформулировать задачу в терминах Марковица [53,83] не удается. В связи с этим в постановке задачи используется квантильный критерий качества портфеля, известный также под названием Value-at-Risk (VaR). Задача с таким критерием рассматривалась ранее в [23,78]. В [78] она сведена к детерминированной задаче нелинейного программирования в пространстве И2. Последняя в [23] сведена к однопараметрической задаче нелинейного программирования. Отметим, что и в [78], и в [23] оптимизационная задача решалась приближенно. При этом в обеих работах существенно использовалось предположение, что цены безрискового бонда являются независимыми случайными величинами.
В настоящей главе предлагается также приближенное решение задачи формирования портфеля бондов, но с учетом того, что цены безрискового бонда в моменты ТІ, І = 1,..., п, могут быть зависимыми. Это достигается путем применения метода линеаризации, предложенного в главе 1 диссертации.
В работах [10,12,21,23,31,35,49,50,53,74,78,83] рассматриваются проблемы формирования портфелей ценных бумаг. Задача оптимизации инвестиционного портфеля по среднеквадратическому критерию сформулирована и решена Г. Марковицем [83]. Книга [53] посвящена описанию рынка ценных бумаг в развитых западных странах и современной России, видов ценных бумаг и способов расчета их эффективности, анализу и прогнозированию риска финансовых капиталовложений. В [31] исследуется задача стохастического программирования с целевой функцией, являющейся квантилыо распределения билинейной функции оптимизируемого вектора стратегии и случайного вектора, компоненты которого имеют совместное гауссовское распределение. Задача сводится к детерминированной задаче путем построения детерминированного эквивалента, которая, в свою очередь, сводится к задаче оптимизации в пространстве двух скалярных параметров. В статье [49] рассматривается задача оптимизации одношаговой стратегии инвестирования по квантильному критерию, в случае, когда о законе распределения вектора доходностей известные лишь множества возможных значенні! моментов первого и второго порядков. Формулируется понятие минимаксной стратегии инвестирования, полученной с помощью теории двойственности выпуклого программирования, а также приведен алгоритм решения двойственной задачи. В работе [35] рассматривается задача оптимизации билинейной функции [31], которая связана с задачей об оптимальном портфеле ценных бумаг. В [12] рассматривается двухшаговая задача поиска оптимального управления портфельными инвестициями с помощью позиционного управления по вероятностному и квантильному критериям. Предполагается, что доходности имеют одинаковое равномерное распределение на каждом шаге. Задача квантильной оптимизации сводится к оптимизации функционала вероятности и для поиска оптимальной стратегии используется метод динамического программирования. В статье [50] рассмотрена минимаксная задача оптимизации с квадратическим критерием и линейными ограничениями в виде равенств и неравенств. Приведен общий вид минимаксного решения. Найдены достаточные условия, при которых минимаксное решение однозначно определяется решением двойственной задачи. Полученные результаты использованы для построения инвестиционного портфеля ценных бумаг, обладающего гарантированными характеристиками в условиях априорной статистической неопределенности. В работе [10] исследуется задача максимизации функции дохода при двухшаговом вложении капитала в рисковую и безрисковую ценные бумаги. Сравниваются результаты решения задачи при использовании квантильного критерия, критерия усредненной квантили, логарифмического и минимаксного критериев и исследуются зависимости оптимальных значений критериев от уровня доверительной вероятности. Также предлагается еще один способ выбора допустимого уровня доверительной вероятности для решения задач квантильной оптимизации. В [23] исследуется задача нелинейного программирования в пространстве двух скалярных параметров, которая аппроксимирует задачу оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом по квантильному критерию качества. В статье выясняется геометрия множества допустимых значений параметров и выводиться явное алгебраическое выражение для оптимума целевой функции.
Применение метода линеаризации к задаче формирования портфеля
Рассмотрим пример портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом. В качестве ценных бумаг были взяты 5 шестимесячных бондов с Российского рынка ГКО 1997 года. Параметры ГТІІ,СГІ были получены с помощью статистической обработки выборки цен ГКО. В таблице 3.1 приведены полученные значения этих параметров. Портфели были сформированы с помощью метода, рассмотренного в [23], и предложенного в настоящей главе метода линеаризации.
В таблице 3.2 указаны решения, полученные двумя способами при различных значениях доверительной вероятности а. Выписаны только ненулевые компоненты вектора управления и. Индекс надежности портфеля 7 = 6, 52. Видно, что решения, полученные указанными методами, практически совпали. Это свидетельствует о хорошей точности предложенного подхода. Предложен приближенный метод формирования портфеля бондов, основанный на линеаризации функции дохода по случайным ценам. Как видно из примеров, оптимальные значения критериев, полученные методом из [23] и с помощью предложенного метода линеаризации, отличаются незначительно. Кроме того, субоптимальные портфели в обоих случаях совпадают друг с другом. Основным преимуществом метода линеаризации в отличие от других методов формирования портфеля бондов является то, что он учитывает возможность зависимости цен. В диссертационной работе предложен метод линеаризации для решения задач квантильного анализа в присутствии малых случайных параметров. Сформулированы условия, необходимые и достаточные для применения метода линеаризации в системах с малыми случайными параметрами для оценивания квантили. При этом в некоторых случаях задачу анализа удается свести к обобщенному линейному программированию на выпуклом множестве. Кроме того, исследована точность оценок квантили при использовании метода линеаризации. Также в диссертации впервые предложены оценки эффекта использования квантильного критерия в задачах оценки качества систем в условиях статистической неопределенности. Рассмотрена система, заданная линейной функцией потерь. Найдены нижние оценки абсолютной и относительной эффективностей преимущества квантильного подхода. Показано, что в условиях неопределенности, заданной классом Бармиша, квантильные оценки качества системы в среднем на 40 % является более оптимистичной, чем гарантирующие. Получены аналогичные оценки эффективностей в случае, если в функции потерь системы присутствует детерминированная составляющая. В качестве примера использования метода линеаризации получено новое решение задачи формирования портфеля бескупонных ценных бумаг. Учтено, что в системе управления портфелем присутствуют малые случайные параметры с известным распределением. Также оценена погрешность полученного решения. Оказывается, что она не превосходит порядка квадрата вышеуказанного малого параметра. Основные результаты, выносимые на защиту: 1) достаточные условия применимости метода линеаризации для оценивания функции квантили в задачах с малыми случайными возмущениями; 2) получены аналитические оценки эффекта квантильного подхода по отношению к гарантирующему в задачах оценки критерия качества систем в условиях статистической неопределенности; 3) новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с учетом возможной зависимости случайных цен.
